安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷含解析_第1頁
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安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的最大值為,若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知平面平面,且是正方形,在正方形內(nèi)部有一點(diǎn),滿足與平面所成的角相等,則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為()A. B.16 C. D.3.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則雙曲線的離心率為()A. B. C.3 D.47.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C.2 D.8.已知集合,,若AB,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.410.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.11.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.12.在中,“”是“為鈍角三角形”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,的系數(shù)等于__.14.三對(duì)父子去參加親子活動(dòng),坐在如圖所示的6個(gè)位置上,有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).15.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,則________.16.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績(jī),并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖),則成績(jī)?cè)赱250,400)內(nèi)的學(xué)生共有____人.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx.(1)討論函數(shù)f(x)在[?π,π]上的單調(diào)性;(2)證明:函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).18.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè).若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.19.(12分)已知函數(shù)的最小正周期是,且當(dāng)時(shí),取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的圖象(要列表).20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范圍;(2)當(dāng)x<0時(shí),研究函數(shù)F(x)=h(x)﹣g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)求證:(參考數(shù)據(jù):ln1.1≈0.0953).21.(12分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.(1)求的值;(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.22.(10分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到,進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值,區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2,存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,即故答案為:B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用,題目比較綜合.2、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等,判斷出,建立平面直角坐標(biāo)系,求得點(diǎn)的軌跡方程,由此求得點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由于平面平面,且交線為,,所以平面,平面.所以和分別是直線與平面所成的角,所以,所以,即,所以.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示,則,,設(shè)(點(diǎn)在第一象限內(nèi)),由得,即,化簡(jiǎn)得,由于點(diǎn)在第一象限內(nèi),所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用,考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.3、A【解析】

首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,綜上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到,由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定所處象限.【詳解】由得:,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解,涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)題意,由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo),由此可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由雙曲線的幾何性質(zhì)可得,解可得,由離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,拋物線的焦點(diǎn)為,則雙曲線的焦點(diǎn)也為,即,則有,解可得,雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是求出拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,可得時(shí),取得最大值,即,,,當(dāng)時(shí),解得,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題;據(jù)平移變換“左加右減,上加下減”的規(guī)律求解出,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí),取得最大值,求解可得實(shí)數(shù)的值.8、D【解析】

先化簡(jiǎn),再根據(jù),且AB求解.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)?,且AB,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】

先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.11、B【解析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個(gè)“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.12、C【解析】分析:從兩個(gè)方向去判斷,先看能推出三角形的形狀是銳角三角形,而非鈍角三角形,從而得到充分性不成立,再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí),也推不出成立,從而必要性也不滿足,從而選出正確的結(jié)果.詳解:由題意可得,在中,因?yàn)椋?,因?yàn)?,所以,,結(jié)合三角形內(nèi)角的條件,故A,B同為銳角,因?yàn)?,所以,即,所以,因此,所以是銳角三角形,不是鈍角三角形,所以充分性不滿足,反之,若是鈍角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以為既不充分也不必要條件,故選D.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問題,在解題的過程中,需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化,余弦的和角公式,誘導(dǎo)公式等,需要明確對(duì)應(yīng)此類問題的解題步驟,以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】

由題,得,令,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,令,得x的系數(shù).故答案為:7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.14、192【解析】

根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分步進(jìn)行分析:①,在三對(duì)父子中任選1對(duì),有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對(duì)父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.16、750【解析】因?yàn)?.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1,得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.005三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】

(1)f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[?π,π]得x=1或或.當(dāng)x變化時(shí),f(x)和f(x)的變化情況如下表:x1f(x)?1+1?1+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間,上單調(diào)遞減,在區(qū)間,上單調(diào)遞增.(2)由(1)得極大值為f(1)=?4;極小值為f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(?π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一個(gè)零點(diǎn).顯然x∈(π,2π)時(shí),?4xsinx>1,x2?4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)時(shí),f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上沒有零點(diǎn).因?yàn)閒(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),從而x<?π時(shí),f(x)>1,即f(x)在(?∞,?π)上也沒有零點(diǎn).故f(x)僅在,上各有一個(gè)零點(diǎn),即f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).18、(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)由題意可知在上恒成立,分和兩種情況討論,在時(shí),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立;在時(shí),經(jīng)過分析得出,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立,由此得出,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí),.令,解得(舍去),.當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增.因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ)由題意,可知在上恒成立.(i)若,,,,構(gòu)造函數(shù),,則,,,.又,在上恒成立.所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在上恒成立.(ii)若,構(gòu)造函數(shù),.,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增.恒成立,即,,即.由題意,知在上恒成立.在上恒成立.由(Ⅰ)可知,又,當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,,不合題意,,即.此時(shí)構(gòu)造函數(shù),.,,,,恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,恒成立.綜上,實(shí)數(shù)的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題,本題的難點(diǎn)在于不斷構(gòu)造新函數(shù)來求解,考查推理能力與運(yùn)算求解能力,屬于難題.19、(1);(2)見解析.【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值,由該函數(shù)的最大值可得出的值,再由,結(jié)合的取值范圍可求得的值,由此可得出函數(shù)的解析式;(2)由計(jì)算出的取值范圍,據(jù)此列表、描點(diǎn)、連線可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以.又因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,所以,同時(shí),得,因?yàn)?,所以,所以;?)因?yàn)?,所以,列表如下:描點(diǎn)、連線得圖象:【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)解析式的求解,同時(shí)也考查了利用五點(diǎn)作圖法作圖,考查分析問題與解決問題的能力,屬于中等題.20、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】

(1)令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),求得導(dǎo)數(shù),討論a>1和a≤1,判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),由恒成立思想可得a的范圍;(2)求得F(x)=h(x)﹣g(x)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),判斷F'(x)的單調(diào)性,討論a≤﹣1,a>﹣1,F(xiàn)(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)由(1)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對(duì)x>0恒成立,令;由(2)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對(duì)x<0恒成立,令,結(jié)合條件,即可得證.【詳解】(Ⅰ)解:令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),則,①若a≤1,則,H'(x)≥0,H(x)在[0,+∞)遞增,H(x)≥H(0)=0,即f(x)≤h(x)在[0,+∞)恒成立,滿足,所以a≤1;②若a>1,H′(x)=ex﹣在[0,+∞)遞增,H'(x)≥H'(0)=1﹣a,且1﹣a<0,且x→+∞時(shí),H'(x)→+∞,則?x0∈(0,+∞),使H'(x0)=0進(jìn)而H(x)在[0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)H(x)<H(0)=0,即當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f(x)>h(x),不滿足題意,舍去;綜合①,②知a的取值范圍為(﹣∞,1].(Ⅱ)解:依題意得,則F'(x)=ex﹣x2+a,則F''(x)=ex﹣2x>0在(﹣∞,0)上恒成立,故F'(x)=ex﹣x2+a在(﹣∞,0)遞增,所以F'(x)<F'(0)=1+a,且x→﹣∞時(shí),F(xiàn)'(x)→﹣∞;①若1+a≤0,即a≤﹣1,則F'(x)<F'(0)=1+a≤0,故F(x)在(﹣∞,0)遞減,所以F(x)>F(0)=0,F(xiàn)(x)在(﹣∞,0)無零點(diǎn);②若1+a>0,即a>﹣1,則使,進(jìn)而F(x)在遞減,在遞增,,且x→﹣∞時(shí),,F(xiàn)(x)在上有一個(gè)零點(diǎn),在無零點(diǎn),故F(x)在(﹣∞,0)有一個(gè)零點(diǎn).綜合①②,當(dāng)a≤﹣1時(shí)無零點(diǎn);當(dāng)a>﹣1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).(Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對(duì)x>0恒成立,令,則即;由(Ⅱ)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對(duì)x<0恒成立,令,則,所以;故有.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用,考查分類討論思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問題,它和方程的根的問題,和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題,可以互相轉(zhuǎn)化;在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí),如果是一

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