差分方程穩(wěn)定性

1.差分方程模型

對于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(1-1)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(1-1)的解,包含個任意常數(shù)的解稱為(1-1)的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時稱為(1-1)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(1-1)的特解.

若x0,x1,…,xk-1已知,則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn).

若有常數(shù)a是差分方程(1-1)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,則稱

a是差分方程(1-1)的平衡點.

又對差分方程(1-1)的任意由初始條件確定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個平衡點a是穩(wěn)定的.

一階常系數(shù)線性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b為常數(shù),且a≠-1,0)的通解為xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點,由上式知,當(dāng)且僅當(dāng)|a|＜1時,b/(a+1)是穩(wěn)定的平衡點.

二階常系數(shù)線性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常數(shù).

當(dāng)r=0時,它有一特解x*=0；

當(dāng)r≠0,且a+b+1≠0時,它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪種情形,x*是其平衡點.設(shè)其特征方程

2+a

+b=0的兩個根分別為

=

1,

=

2.

①當(dāng)

1,

2是兩個不同實根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+C1(

1)n+C2(

2)n;

②當(dāng)

1,2=

是兩個相同實根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+(C1+C2n)

n;

③當(dāng)

1,2=

(cos

+isin

)是一對共軛復(fù)根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+

n(C1cosn

+C2sinn

).

易知,當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根|

i|＜1時,平衡點x*是穩(wěn)定的.

則對于一階非線性差分方程xn+1=f(xn)其平衡點x*由代數(shù)方程x=f(x)解出.

為分析平衡點x*的穩(wěn)定性,將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程時,上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.

因此當(dāng)時,x*是不穩(wěn)定的.當(dāng)時,x*是穩(wěn)定的；當(dāng)2.建模實例：差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t

,x

N,x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關(guān))離散形式x(t)~某種群

t時刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k

,

yk

N？y*=N是平衡點離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程

(1)的平衡點y*=N討論

x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點(1)的平衡點

x*——代數(shù)方程

x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識(剛學(xué)過的):一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*

穩(wěn)定x*

不穩(wěn)定另一平衡點為

x=0不穩(wěn)定01/2101的平衡點及其穩(wěn)定性初值

x0=0.2數(shù)值計算結(jié)果b<3,x

b=3.3,x

兩個極限點b=3.45,x4個極限點b=3.55,x8個極限點0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.411891

0.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.6154

0.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.4794

0.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.4327

0.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.3548

0.39870.87110.56800.2000