《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第9章

9.1離散序列與基本運(yùn)算9.2

LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法

9.3零輸入響應(yīng)9.4離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)9.5離散序列卷積(和)9.6離散系統(tǒng)的完全響應(yīng)與系統(tǒng)特性習(xí)題九隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的迅猛發(fā)展及廣泛應(yīng)用，在信號(hào)系統(tǒng)分析中，有關(guān)離散系統(tǒng)(主要是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng))的理論與應(yīng)用越來(lái)越重要，并已自成體系。與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)有：

(1)精度高：離散系統(tǒng)的精度高，更確切地說(shuō)是精度可控制。因?yàn)榫热Q于系統(tǒng)的字長(zhǎng)(位數(shù))。字長(zhǎng)越長(zhǎng)，精度越高。根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)改變字長(zhǎng)，可以獲得所要求的精度。

(2)靈活：數(shù)字處理系統(tǒng)的性能主要由乘法器的各系數(shù)決定。只要改變乘法器的系數(shù)，系統(tǒng)的性能就改變了，這對(duì)一些自適應(yīng)系統(tǒng)尤為合適。

(3)穩(wěn)定性與可靠性好：離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算是加法、乘法，采用的是二進(jìn)制(非1即0)，所以工作穩(wěn)定，受環(huán)境影響小，抗干擾能力強(qiáng)，且數(shù)據(jù)可以存儲(chǔ)。

(4)集成化程度高，體積小、重量輕、功耗低、功能強(qiáng)、成本越來(lái)越低。由于以上優(yōu)點(diǎn)，離散系統(tǒng)在通信、網(wǎng)絡(luò)、交通、控制、航空航天、生物醫(yī)學(xué)、地震、遙感等方面得到了廣泛應(yīng)用，使得“數(shù)字化”正不動(dòng)聲色地滲透到社會(huì)及人們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷?。面?duì)數(shù)字化的浪潮，有人提出了“數(shù)字地球”、“數(shù)字化世界”的概念，甚至有人認(rèn)為離散系統(tǒng)可代替連續(xù)系統(tǒng)。不過(guò)，大多實(shí)際遇到的待處理信號(hào)如聲音、圖像等是連續(xù)信號(hào)，在利用數(shù)字系統(tǒng)處理前，要經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換，處理后往往還要再經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換變?yōu)槁?tīng)得清的聲音和看得懂的圖像，所以連續(xù)信號(hào)處理也有學(xué)習(xí)研究的必要。本書(shū)對(duì)離散系統(tǒng)的分析也采用了與連續(xù)系統(tǒng)平行分析的方法，一方面是由于習(xí)慣認(rèn)識(shí)上的方便,另一方面是可將連續(xù)系統(tǒng)的一些方法、概念直接用于離散系統(tǒng)，而無(wú)需再?gòu)念^開(kāi)始討論。9.1離散序列與基本運(yùn)算

9.1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列的描述

離散信號(hào)可以從模擬信號(hào)采樣得到，樣值用f(n)表示(表示在離散時(shí)間點(diǎn)nT上的數(shù)值)。也可以本身是離散信號(hào)或由系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生，在處理過(guò)程中只要知道樣值的先后順序即可，所以可以用序列來(lái)表示離散的時(shí)間信號(hào)，它們的一般項(xiàng)為f(n)。f={f(n)}

<n<

={

,f(

2),f(

1),f(0),f(1),f(2),

}(9.1-1)為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，常用一般項(xiàng)f(n)表示序列，稱為序列f(n)。例如其中，小箭頭表示n=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的樣值。還可以用譜線狀圖形表示離散時(shí)間信號(hào)，如圖9.1-1表示的f1(n)。離散序列與系統(tǒng)分析中，通常用x(n)而不是f(n)表示輸入，因此從這以后，將更多地使用x(n)。圖9.1-1

f1(n)的波形9.1.2常用典型序列

1.單位脈沖序列單位脈沖序列也稱單位樣值序列，用δ(n)表示，定義為(9.1-2)單位階躍序列d(n)如圖9.1-2所示。圖9.1-2單位脈沖序列

2.單位階躍序列單位階躍序列用u(n)表示，定義為單位階躍序列u(n)如圖9.1-3所示。(9.1-3)圖9.1-3單位階躍序列大多數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)教材選用u(n)作為單位階躍序列的符號(hào)，因離散系統(tǒng)不涉及電壓源，所以本書(shū)也用u(n)表示單位階躍序列。還可用δ(n)表示u(n)亦可用u(n)表示δ(n)

(n)=u(n)

u(n

1)(9.1-4)(9.1-5)

3.單位矩形序列RN(n)單位矩形序列用RN(n)表示，定義為

R4(n)如圖9.1-4所示。亦可用δ(n)、u(n)表示RN(n)

圖9.1-4單位矩形序列

4.斜變序列

斜變序列是包絡(luò)為線性變化的序列，表示式為

x(n)=nu(n)如圖9.1-5所示。圖9.1-5斜變序列

5.實(shí)指數(shù)序列

實(shí)指數(shù)序列an是指包絡(luò)為指數(shù)函數(shù)的序列。當(dāng)|a|>1，序列發(fā)散；當(dāng)|a|<1，序列收斂；當(dāng)a<0，序列正、負(fù)擺動(dòng)。實(shí)指數(shù)序列的四種波形如圖9.1-6所示。圖9.1-6實(shí)指數(shù)序列的四種波形

6.正弦型序列正弦型序列是包絡(luò)為正、余弦變化的序列。如sinnθ0，cosnθ0

，若，，即每10點(diǎn)重復(fù)一次正、余弦變化，如圖9.1-7所示。圖9.1-7正弦型序列正弦型序列的一般表示式為：x(n)=Acos(nθ0+jn)對(duì)模擬正弦型信號(hào)采樣可以得到正弦型序列。如xa(t)=sin(ω0t)

x(n)=xa(nT)=sin(nω0T)=sin(nθ0)其中：θ0=ω0T是數(shù)字域頻率，T為采樣周期。數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對(duì)采樣頻率取歸一化值，即

7.復(fù)指數(shù)序列其中，|x(n)|=eσn，j(n)=nθ0。*8.周期序列

周期序列是依一定的點(diǎn)數(shù)間隔周而復(fù)始，無(wú)始無(wú)終的序列。一般表示為其中N為最少重復(fù)點(diǎn)數(shù)，也稱N為序列的周期。

9.任意序列的單位取樣脈沖表示

任意序列可以用單位取樣脈沖序列的加權(quán)和表示為(9.1-6)式中，…、x(-1)、x(0)、x(1)、…為加權(quán)系數(shù)。

10.序列的能量任何信號(hào)都具有能量，離散序列的能量為(9.1-7)9.1.3序列的運(yùn)算

1.相加

z(n)=x(n)+y(n)

(9.1-8)z(n)是兩個(gè)序列x(n)、y(n)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加形成的序列。

2.相乘

z(n)=x(n)·y(n)(9.1-9)

z(n)是兩個(gè)序列x(n)、y(n)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘形成的序列。標(biāo)量相乘

z(n)=ax(n)(9.1-10)z(n)是x(n)每項(xiàng)乘以常數(shù)a形成的序列。

3.時(shí)移(時(shí)延、移序、移位、位移)m>0

z(n)=x(n-m)

(9.1-11)z(n)是原序列x(n)每項(xiàng)右移m位形成的序列。

z(n)=x(n+m)

(9.1-12)z(n)是原序列x(n)每項(xiàng)左移m位形成的序列。如圖9.1-8所示x(n)、x(n-1)、x(n+1)。圖9.1-8序列的移序

4.折疊及其位移

y(n)=x(-n)

(9.1-13)是以縱軸為對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)180°形成的序列。折疊位移序列

z(n)=x(-n±m(xù))

(m>0)

(9.1-14)z(n)是由x(-n)向右或向左移m位形成的序列。折疊序列與折疊位移序列如圖9.1-9所示。圖9.1-9序列的折疊位移9.2

LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法離散時(shí)間系統(tǒng)的作用是將輸入序列轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂蛄?，系統(tǒng)的功能是完成將輸入x(n)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鰕(n)的運(yùn)算，記為：

y(n)=T[x(n)](9.2-1)

離散時(shí)間系統(tǒng)的作用如圖9.2-1所示。圖9.2-1離散時(shí)間系統(tǒng)的作用離散時(shí)間系統(tǒng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有相似的分類，如線性、非線性；時(shí)變、非時(shí)變等。運(yùn)算關(guān)系T[]滿足不同條件，對(duì)應(yīng)著不同的系統(tǒng)。本書(shū)只討論“線性非時(shí)(移)變離散系統(tǒng)”，即離散的LTI系統(tǒng)。9.2.1

LTI離散系統(tǒng)與連續(xù)LTI系統(tǒng)相同，離散LTI系統(tǒng)應(yīng)滿足可分解、線性(疊加、比例)以及非時(shí)變特性。離散系統(tǒng)的線性與非時(shí)變特性的示意圖分別如圖9.2-2和圖9.2-3所示。圖9.2-2系統(tǒng)的線性圖9.2-3系統(tǒng)的非時(shí)變性下面通過(guò)具體例題討論離散系統(tǒng)的線性非時(shí)變特性。

例9.2-1已知離散系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b，判斷系統(tǒng)是否為線性非時(shí)變系統(tǒng)。

解：T[x1(n)]=ax1(n)+b=y1(n)，

T[x2(n)]=ax2(n)+b=y2(n)T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b=ax1(n)+ax2(n)+b

y1(n)+y2(n)所以是非線性系統(tǒng)。T[x(n

n0)]=ax(n

n0)+b=y(n

n0)，是非時(shí)變系統(tǒng)。9.2.2

LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——差分方程

LTI離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算有延時(shí)(移序)、乘法、加法，基本運(yùn)算可以由基本運(yùn)算單元實(shí)現(xiàn)，由基本運(yùn)算單元可以構(gòu)成LTI離散系統(tǒng)。

1.LTI離散系統(tǒng)基本運(yùn)算單元的框圖表示

(1)延時(shí)器的框圖如圖9.2-4所示。圖9.2-4延時(shí)器框圖表示圖中，1/E是單位延時(shí)器，有時(shí)亦用D、T表示。離散系統(tǒng)延時(shí)器的作用與連續(xù)系統(tǒng)中的積分器相當(dāng)。

(2)加法器的框圖如圖9.2-5所示。圖9.2-5加法器框圖表示

(3)乘法器的框圖如圖9.2-6所示。圖9.2-6乘法器框圖表示利用離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算單元，可以構(gòu)成任意LTI離散系統(tǒng)。

2.LTI離散系統(tǒng)的差分方程

線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)是由常系數(shù)微分方程描述的，而線性時(shí)不變離散系統(tǒng)是由常系數(shù)差分方程描述的。在差分方程中構(gòu)成方程的各項(xiàng)包含有未知離散變量y(n)，以及y(n+2)，y(n+1)，…，y(n-1)，y(n-2)，…等。下面舉例說(shuō)明系統(tǒng)差分方程的建立。

例9.2-2

系統(tǒng)方框如圖9.2-7所示,寫(xiě)出其差分方程。圖9.2-7例9.2-2離散時(shí)間系統(tǒng)

解：y(n)=ay(n-1)+x(n)或

這是一階前向差分方程，與后向差分方形式相比較，僅是輸出信號(hào)的輸出端不同。前者是從延時(shí)器的輸入端取出，后者是從延時(shí)器的輸出端取出。

(9.2-3)二階LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)二階線性差分方程，它的一般形式是y(n)+a1y(n

1)+a2y(n

2)=b0

x(n)+b1x(n

1)+b2x(n

2)(9.2-4)為處理方便，一般不特別指明，默認(rèn)待求變量序號(hào)系數(shù)為a0=1。9.2.3線性差分方程的求解方法一般差分方程的求解方法有下列四種：

(1)迭代（遞推）法：此法直觀簡(jiǎn)便，但往往不易得到一般項(xiàng)的解析式(閉式或封閉解答)，它一般為數(shù)值解。

(2)時(shí)域法：與連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域法相同，分別求解離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，完全響應(yīng)為二者之和。其中零輸入響應(yīng)是齊次差分方程的解，零狀態(tài)響應(yīng)可由卷積的方法求得，這也是本章的重點(diǎn)。

(3)時(shí)域經(jīng)典法：與微分方程求解相同，分別求差分方程的齊次通解與特解，二者之和為完全解，再代入邊界條件后求完全解的待定系數(shù)。

(4)變域法：與連續(xù)系統(tǒng)的拉氏變換法相似，離散系統(tǒng)可利用變換求解響應(yīng)，優(yōu)點(diǎn)是可簡(jiǎn)化求解過(guò)程。這種方法將在下一章討論。9.3零輸入響應(yīng)

線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)差分方程，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)是線性常系數(shù)齊次差分方程的解。為簡(jiǎn)化討論，先從一階齊次差分方程求解開(kāi)始。9.3.1一階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的齊次差分方程一般形式為將差分方程改寫(xiě)為y(n)=ay(n-1)用遞推(迭代)法，y(n)僅與前一時(shí)刻y(n-1)有關(guān)，以y(0)為起點(diǎn)：(9.3-1)y(1)=ay(0)；y(2)=ay(1)=a2y(0)；y(3)=ay(2)=a3y(0)；當(dāng)n

0時(shí)，齊次方程解為y(n)=y(0)an=Can

(9.3-2)由式(9.3-2)可見(jiàn)，y(n)是一個(gè)公比為a的幾何級(jí)數(shù)，其中C取決于初始條件y(0)，這是式(9.3-1)一階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。利用遞推(迭代)法的結(jié)果，我們可以直接寫(xiě)出一階齊次差分方程解的一般形式。因?yàn)橐浑A差分方程的特征方程為a-a=0

(9.3-3)由特征方程解出其特征根

a=a

與齊次微分方程相似，得到特征根a后，就得到一階差分方程齊次解的一般模式為Can，其中C由初始條件y(0)決定。例9.3-1

已知系統(tǒng)差分方程

y(n)=ay(n-1)+x(n)，x(n)=0，y(0)=2，求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)。解：因?yàn)閤(n)=0，是求零輸入響應(yīng)。由齊次差分方程y(n)-ay(n-1)=0，得特征方程a－a=0由特征方程得特征根a=a

由特征根得齊次解y(n)=y(0)an=Can

代入初始條件

y(0)=2=C

最后得零輸入響應(yīng)yzi(n)=2anu(n)9.3.2二階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)有了一階齊次差分方程解的一般方法，將其推廣至二階齊次差分方程，有

(9.3-4)二階齊次差分方程的特征方程

2+a1

+a0=0(9.3-5)

(1)當(dāng)特征根均為單根時(shí)，特征方程可以分解為

(a-a1)(a-a2)=0

(9.3-6)利用一階齊次差分方程解的一般形式，由特征方程a-a1=0，解得由特征方程a-a2=0

，解得二階線性齊次差分方程的解是這二個(gè)線性無(wú)關(guān)解的線性組合，即式中，C1、C2由y(0)、y(1)兩個(gè)邊界條件確定。

y(0)=C1+C2

y(1)=C1a1+C2a2(9.3-8)(9.3-7)

(2)當(dāng)特征方程中a1是二階重根時(shí)，其特征方程為

(a-a1)2=0[JY](9.3-9)此時(shí)零輸入解的模式為

(9.3-10)式中C1、C2由y(0)、y(1)兩個(gè)邊界條件確定。9.4離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相似，用時(shí)域法求離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，必須知道離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。通常既可用迭代法求單位脈沖響應(yīng)，也可以用轉(zhuǎn)移算子法求單位脈沖響應(yīng)。由于迭代法的局限性，故重點(diǎn)討論由轉(zhuǎn)移算子法求單位脈沖響應(yīng)，為此先討論離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移(傳輸)算子。9.4.1離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移(傳輸)算子類似連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分算子，離散系統(tǒng)也可用移序算子表示。由此可得到差分方程的移序算子方程，由算子方程的基本形式可得出對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移算子H(E)。移序（離散）算子定義

(1)超前算子E

x(n+1)=E[x(n)]

x(n+m)=Em[x(n)]

(9.4-1)

(2)滯后算子(9.4-2)將式(9.2-4)二階后向差分方程用算子表示并整理為(1+a1E-1+a2E-2)y(n)=(b0+b1E-1+b2E-2)x(n)上式兩邊同乘E－2(同時(shí)左移2個(gè)序位)，得到

(E2+a1E+a2)y(n)=(b0E2+b1E+b2)x(n)(9.4-3)可以改寫(xiě)為(9.4-4)定義轉(zhuǎn)移(傳輸)算子(9.4-5)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相同，H(E)的分子、分母算子多項(xiàng)式表示運(yùn)算關(guān)系，不是簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系，不可隨便約去。9.4.2單位脈沖響應(yīng)h(n)

由δ(n)產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位脈沖響應(yīng)，記為h(n)。有若干求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的方法，這里先討論兩種常用方法。

1.迭代法下面由具體例題介紹用迭代法求單位脈沖響應(yīng)的方法。

例9.4-1已知某系統(tǒng)的差分方程利用迭代法求h(n)。解：當(dāng)x(n)=δ(n)時(shí)，y(n)=h(n)，所以有…一般項(xiàng)：當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)較高時(shí)，用迭代法不容易得到h(n)的一般項(xiàng)表示式，可以把δ(n)等效為起始條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解齊次方程(零輸入)的解。這種方法稱為轉(zhuǎn)移(傳輸)算子法。

2.轉(zhuǎn)移算子法

已知二階系統(tǒng)的傳輸算子為設(shè)H(E)的分母多項(xiàng)式D(E)均為單根，即

D(E)=E2+a1E+a2=(E-a1)(E-a2)將H(E)部分分式展開(kāi)，有(9.4-6)則式(9.4-7)中任一子系統(tǒng)的傳輸算子為(9.4-7)(9.4-8)由此得到任一子系統(tǒng)差分方程，并對(duì)其中任一子系統(tǒng)的傳輸算子求hi(n)(i=1,2)hi(n+1)

ihi(n)=Ai

(n)(9.4-9)(9.4-10)將式(9.4-10)的激勵(lì)等效為初始條件，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解齊次方程(零輸入)的解。由于因果系統(tǒng)的hi(-1)=0，令n=-1代入式(9.4-10)，得hi(0)-aihi(-1)=Aiδ(-1)=0解出hi(0)=0,再令n=0，代入式(9.4-10)，得hi(1)-aihi(0)=Aiδ(0)=Ai

解出hi(1)=Ai，即為等效的初始條件。因?yàn)辇R次方程解的形式為,代入等效邊界條件hi(1)=C

i=Ai

，解出C=Ai/ai，由此得出hi(n)的一般形式為(9.4-11)將式(9.4-11)代入式(9.4-7)，得到h(n)的一般形式為(9.4-12)若將H(E)展開(kāi)為(9.4-13)(9.4-14)對(duì)應(yīng)的hi(n)為將式(9.4-11)的結(jié)果代入上式，得到hi(n)=Ai[

(n)+

i

in-1u(n－1)]=Ai

inu(n)再將新的hi(n)代入式(9.4-7)，則h(n)的一般形式為

h(n)=A1an1u(n)+A2an2u(n)(9.4-15)

例9.4-2

已知某系統(tǒng)的差分方程y(n)-5y(n-1)=x(n)，求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(n)。解

:

(1

5E

-1)y(n)=x(n)方程兩邊同時(shí)乘E(移序1個(gè)位序)，得

(E

5)y(n)=Ex(n)h(n)=5nu(n)對(duì)應(yīng)不同的轉(zhuǎn)移算子，有不同的h(n)序列與之對(duì)應(yīng)，如表9-1所示。9.4.3零狀態(tài)響應(yīng)已知任意離散信號(hào)可表示為，并且

(n)

h(n)，那么與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法相同，基于離散LTI系統(tǒng)的線性與時(shí)不變特性，可以用時(shí)域方法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。因?yàn)?/p>

(n)

h(n)由時(shí)不變性

(n

m)

h(n

m)由比例性x(m)

(n

m)

x(m)h(n

m)最后由疊加性，得(9.4-16)式(9.4-16)的右邊是離散LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，也是離散序列卷積公式。因?yàn)殡x散序列卷積是求和運(yùn)算，所以有時(shí)稱其為卷積和。利用變量代換，卷積的另一種形式為故離散序列的卷積公式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為yzs(n)=x(n)

h(n)=h(n)

x(n)(9.4-17)(9.4-18)以上推導(dǎo)表明，離散系統(tǒng)的時(shí)域分析法是利用單位脈沖響應(yīng)，通過(guò)卷積完成系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解，而不是求解差分方程。9.5離散序列卷積(和)

離散序列卷積的一般表達(dá)形式為若令f1(n)=x(n)，f2(n)=h(n)，則正是求解零狀態(tài)響應(yīng)的式(9.4-16)。(9.5-1)9.5.1卷積的性質(zhì)離散序列的卷積與連續(xù)信號(hào)的卷積有平行相似的性質(zhì)與運(yùn)算關(guān)系，這里不加證明地給出結(jié)論。

(1)當(dāng)f1(n)、f2(n)、f3(n)分別滿足可和條件，卷積具有以下代數(shù)性質(zhì)：交換律(9.5-2)分配律f1(n)

[f2(n)+f3(n)]=f1(n)

f2(n)+f1(n)

f3(n)(9.5-3)結(jié)合律f1(n)

f2(n)

f3(n)=f1(n)

[f2(n)

f3(n)]=[f1(n)

f2(n)]

f3(n)

=f2(n)

[f3(n)

f1(n)](9.5-4)

(2)任意序列與δ(n)的卷積：

δ(n)*f(n)=f(n)(9.5-5)δ(n-m)*f(n)=f(n-m)(9.5-6)

(3)任意因果序列與u(n)的卷積：

(9.5-7a)任意序列與u(n)的卷積：(9.5-7b)

(4)卷積的移序:

E[f1(n)

f2(n)]=E[f1(n)]

f2(n)=f1(n)

E[f2(n)](9.5-8)(9.5-9)9.5.2卷積的計(jì)算

1.豎式相乘法

當(dāng)兩個(gè)有限長(zhǎng)序列卷積時(shí)，有簡(jiǎn)單的豎式相乘對(duì)位相加法。下面舉例說(shuō)明具體計(jì)算方法。例9.5-1

已知x(n)=[1

2

3]，h(n)=[3

2

1]，求y(n)。

解：將兩個(gè)序列的樣值如下分兩行排列，逐位豎式相乘得到(三行)按從左到右的順序逐項(xiàng)將豎式相乘的乘積對(duì)位相加，結(jié)果是y(n)。也可以

2.圖解法圖解法是離散序列卷積計(jì)算的基本方法之一。其步驟與連續(xù)信號(hào)的卷積相似，可以分為4步計(jì)算：①兩個(gè)序列變量置換；②任選其中一個(gè)序列折疊位移；③兩個(gè)序列相乘；④對(duì)相乘后的非零值序列求和。例9.5-2已知x(n)=RN(n)，h(n)=anu(n)，求yzs(n)，其中0<a<1。

解：讓h(n)折疊位移，則當(dāng)n<0時(shí)yzs(n)=0當(dāng)0≤n<N-1時(shí)當(dāng)n

N

1時(shí)求解過(guò)程與結(jié)果如圖9.5-1所示。圖9.5-1例9.5-1求解過(guò)程與結(jié)果為了計(jì)算方便，將常用因果序列卷積的結(jié)果(卷積)列于表9.5-1中。9.6離散系統(tǒng)的完全響應(yīng)與系統(tǒng)特性

由前面的分析可知與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相同，離散時(shí)間系統(tǒng)的全響應(yīng)y(n)可分為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，可以分別求解后疊加，即

y(n)=yzi(n)+yzs(n)(9.6-1)

例9.6-1已知系統(tǒng)的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=x(n)，x(n)=0.05u(n)，邊界條件y(-1)=0，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。

解:激勵(lì)在n=0時(shí)接入,且y(-1)=0，所以為零狀態(tài)，其解為零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子為單位脈沖響應(yīng)

h(n)=0.9nu(n)

響應(yīng)為yzs(n)=0.9nu(n)*0.05u(n)

查表9.5-1的第3條，可得例9.6-2已知系統(tǒng)的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=x(n)，x(n)=0.05u(n)，邊界條件y(-1)=1，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：此題與上題除邊界條件不同外，其余相同，可分別求其零狀態(tài)與零輸入響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)方程與解同上題

yzs(n)=0.5-0.45(0.9)n

n≥0由yzi(n)-0.9yzi(n-1)=0，得零輸入響應(yīng)的一般表示式y(tǒng)zi(n)=C(0.9)n

代入初始條件

yzi(-1)=C(0.9)-1=1解出C=0.9，則

yzi(n)=0.9(0.9)n

全響應(yīng)為

y(n)=yzi(n)+yzs(n)=0.5+0.45(0.9)n

n≥09.6.2系統(tǒng)特性單位脈沖響應(yīng)h(n)表征了系統(tǒng)本身的性能，所以在時(shí)域分析中，由系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，可判斷離散時(shí)間系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。具有因果性的系統(tǒng)，其輸出是激勵(lì)的結(jié)果，激勵(lì)是響應(yīng)的原因，輸出變化發(fā)生在輸入變化之后，所以y(n)只取決于此時(shí)及以前的激勵(lì)x(n)、x(n-1)、…。離散LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件為h(n)=0

n<0

(9.6-2)或h(n)=h(n)u(n)

(9.6-3)

與連續(xù)系統(tǒng)相同，具有BIBO穩(wěn)定性的離散系統(tǒng)是輸入信號(hào)有界輸出必為有界的系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為單位脈沖響應(yīng)滿足絕對(duì)可和,即(9.6-4)由因果、穩(wěn)定系統(tǒng)的條件，離散LTI系統(tǒng)同時(shí)具有因果穩(wěn)定性的充分必要條件為且h(n)=h(n)u(n)(9.6-5)例9.6-3已知單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，判斷系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解:因?yàn)閚<0時(shí)，h(n)=0，所以是因果系統(tǒng)，且有因此，當(dāng)|a|<1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|>1時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。習(xí)題九

9-1用δ(n)加權(quán)和的形式寫(xiě)出題圖9-1所示圖形的表示式題圖9-1

9-2分別繪出以下各序列的圖形。(1)x1(n)=[2,1,-3,2,3,-2,1](2)x2(n)=[2,1,-3,2,3,-2,1]

9-3分別繪出以下各序列的圖形：

(2)x2(n)=(2)nu(n)(3)(4)x4(n)=(-2)nu(n)

9-4已知x(n)的波形如題圖9-2所示，試畫(huà)出y(n)=x(n+2)+x(n-2)信號(hào)的波形。題圖9-2

9-5已知

9-6列出題9-3圖所示系統(tǒng)的差分方程，已知邊界條件