《電工電子學(xué)》課件第2章

第2章線性電阻電路的分析方法

2.1電阻串、并聯(lián)連接的等效變換

2.2電阻星形連接與三角形連接的等效變換

2.3實(shí)際電源的兩種模型之間的等效變換

2.4支路電流法

2.5節(jié)點(diǎn)電壓法

2.6網(wǎng)孔電流法

2.7疊加定理

2.8戴維南定理與諾頓定理

2.9受控電源電路的分析

2.1電阻串、并聯(lián)連接的等效變換

2.1.1電阻的串聯(lián)

將兩個(gè)或更多的電阻按順序一個(gè)接一個(gè)連接起來，且

都通過同一電流，這種電阻的連接方式稱為串聯(lián)連接。如圖2-1所示是兩個(gè)電阻串聯(lián)的電路。圖2-1電阻的串聯(lián)如圖2-1(a)所示電路，由基爾霍夫電壓定律可得

U=U1+U2=IR1+IR2=I(R1+R2)(2-1)

設(shè)R=R1+R2，則

U=IR(2-2)

比較式(2-1)和式(2-2)可得，在輸入電壓和電流不變的條件下，串聯(lián)等效電阻其阻值為各串聯(lián)電阻阻值的和，即

Req=R1+R2

(2-3)當(dāng)總電壓為U的兩個(gè)電阻串聯(lián)時(shí)，其每一個(gè)電阻上的電壓分別為

(2-4)2.1.2電阻的并聯(lián)

將兩個(gè)或更多的電阻并接在兩個(gè)公共節(jié)點(diǎn)上，各電阻承受同一電壓，這種電阻的連接方式稱為并聯(lián)連接。如圖2-2所示是兩個(gè)電阻并聯(lián)的電路。圖2-2電阻的并聯(lián)如圖2-2(a)所示電路，由基爾霍夫電流定律可得

(2-5)

設(shè)則

(2-6)比較式(2-5)和式(2-6)可得，在輸入電壓和電流不變的條件下，并聯(lián)等效電阻其阻值的倒數(shù)為各并聯(lián)電阻阻值倒數(shù)的和，即

(2-7)

若將每個(gè)電阻用相應(yīng)的電導(dǎo)來表示，式(2-7)也可寫成

(2-8)當(dāng)總電流為I的兩個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)，其每一個(gè)電阻上的電流分別為

(2-9)

若采用電導(dǎo)來表示，則分流公式為

(2-10)2.1.3電阻的混聯(lián)

【例2-1】如圖2-3(a)所示電路，已知U=400V，R1=R2

=10Ω，R3=20Ω，R4=32.5Ω，求I、I1、I2。圖2-3例2-1圖

解從圖中可看出該電路的等效電阻是R4+［R1∥(R2+

R3)］，所以

故電路中的總電流為各支路電流應(yīng)用分流公式并帶入數(shù)據(jù)得

【例2-2】求圖2-4電路的等效電阻Rab。已知R1=R2=

1Ω，R3=R4=2Ω，R5=4Ω。圖2-4例2-2圖

解此電路為混聯(lián)電路，從電路圖上可以看到電阻R4與短接線是并聯(lián)的，所以電阻R4被短路掉了，則

Rab=(R1∥R2∥R3)+R5

代入電阻的阻值可得

Rab=(1∥1∥2)+4=4.4Ω

2.2電阻星形連接與三角形連接

的等效變換

在電路的計(jì)算中，將串聯(lián)與并聯(lián)的電阻化簡為等效電阻，最為簡便。但是有的電路，如圖2-5(a)所示的電路，五個(gè)電阻既非串聯(lián)，也非并聯(lián)，顯然這種電路不能用電阻串

并聯(lián)來化簡。圖2-5電阻Y－△的連接結(jié)構(gòu)典型的電阻Y連接和△連接如圖2-6所示，Y連接的電阻與△連接的電阻等效變換的條件是對應(yīng)端子之間施加相同

的電壓u12、u23和u31，流入對應(yīng)端子的電流分別相等，即i1=i1′，i2=i2′，i3=i3′。圖2-6電阻Y-△等效變換滿足上述條件后，就可以推導(dǎo)兩種連接方式下參數(shù)之間的關(guān)系。

圖2-6(b)，可以對△的三個(gè)頂點(diǎn)列KCL方程：

(2-11)由圖2-6(a)，根據(jù)KVL的推廣形式得可以解出端子電流

(2-12)根據(jù)等效的條件，流入對應(yīng)端子的電流應(yīng)分別相等，即i1=i1′，i2=i2′，i3=i3′。所以式(2-11)和式(2-12)電壓前面的系數(shù)應(yīng)該相等，即

(2-13)式(2-13)是將Y連接的電阻等效變換為△連接時(shí)各電阻的關(guān)系式。如果已知△連接，將其轉(zhuǎn)換成Y連接的電阻時(shí)，可由式(2-13)求得

(2-14)

【例2-3】電路如圖2-7(a)所示，試求解電流I。

解應(yīng)用△-Y等效變換，將圖2-7(a)中acda間三個(gè)電阻構(gòu)成的△電阻等效變換為Y電阻，如圖2-7(b)所示。在圖2-7(b)中，設(shè)電流I1和I2如圖所示，由分流公式得故對圖2-7(b)中bcd回路應(yīng)用KVL得

Ucd=1.4I1－1×I2=1.4×2－1×2=0.8V

再返回到圖2-7(a)，可得

根據(jù)等效的概念，要求解電流I，必須在原電路中求。圖2-7例2-3圖

2.3實(shí)際電源的兩種模型之間的等效變換

2.3.1電壓源和電流源的模型及外特性曲線

一個(gè)實(shí)際電源的電壓源模型如圖2-8(a)所示。圖2-8電壓源模型及外特性曲線根據(jù)圖2-8(a)所示的電路，對單回路電路應(yīng)用KVL可得

U=E－IR0

(2-15)

由此電壓方程可作出電壓源模型的外特性曲線，如圖

2-8(b)所示。

同樣，電源除用電壓源模型表示外，還可以用理想電流源和電阻相并聯(lián)的電路表示，所組成的電源的電流源模型如圖2-9(a)所示。圖2-9電流源模型及外特性曲線根據(jù)圖2-9(a)所示的電路，利用KCL可得

即

U=ISR0－IR0

(2-16)

由方程可作出電流源模型的外特性曲線，如圖2-9(b)

所示。2.3.2電壓源與電流源的等效變換

根據(jù)等效的條件得出E=ISR0，等效后的電源的內(nèi)阻保持不變，如圖2-10所示。兩種電源在等效的時(shí)候要注意方向，當(dāng)電壓源的電壓上正下負(fù)時(shí)，等效替代的電流源的電流方向向上；反之電流源的電流方向向下。圖2-10電壓源與電流源的等效變換需要指出的是：

(1)理想電壓源(R0=0)和理想電流源(R0=∞)的外特性不相等，故兩者不可等效變換。

(2)上述電壓源是由電動(dòng)勢為E的理想電壓源和內(nèi)阻為R0的電阻串聯(lián)的電路，電流源是由電流為IS的理想電流源和內(nèi)阻為R0的電阻并聯(lián)的電路，兩者是等效的。

【例2-4】分別求圖2-11所示電路的等效電路。圖2-11例2-4圖

解對圖2-11(a)，5V電壓源與1Ω的電阻相并聯(lián)，可等效為5V的電壓源；進(jìn)一步等效成電流源和電阻相并聯(lián)的電路，電路的變換過程如圖2-12(a)所示。

對圖2-11(b)，2A電流源與3Ω的電阻相串聯(lián)，可等效為2A的電流源；進(jìn)一步等效成電壓源和電阻相串聯(lián)的電路，電路的變換過程如圖2-12(b)所示。圖2-12例2-4的求解過程圖

【例2-5】利用電源的等效變換求圖2-13(a)所示電路中的電流I。

解將所求支路看做外電路，對a、b端左邊電路進(jìn)行等效變換，也就是進(jìn)行簡化。

由圖2-13(a)電路，將實(shí)際電流源(2A電流源并2Ω電阻支路)等效變換為實(shí)際電壓源(2Ω電阻串4V電壓源支路)，將實(shí)際電壓源(4Ω電阻串8V電壓源支路)等效變換為實(shí)際電流源(4Ω電流源并2A電阻支路)，如圖(b)所示。

在圖(b)中，2Ω電阻串聯(lián)2Ω電阻，等效為4Ω電阻，如圖(c)所示。在圖(c)中，將4Ω電阻串4V電壓源等效變換為1A電流源并4Ω電阻，如圖(d)所示。圖2-13例2-5圖在圖(d)中，1A電流源并2A電流源等效為3A電流源，4Ω電阻并聯(lián)4Ω電阻，等效為2Ω電阻，如圖(e)所示。

在圖(e)所示電路中，利用分流公式可得電流I為

2.4支路電流法

簡單電路就是能用電阻串并聯(lián)方法化簡和電源等效變換求解的電路。前面討論了簡單電路的分析與計(jì)算方法，可歸納如下：

(1)單電源多電阻電路?？衫脷W姆定律、電阻的等效簡化，以及分壓、分流原理分析計(jì)算求得。

(2)多電源多電阻電路?？刹捎秒娫吹刃ё儞Q方法化簡求解。本節(jié)主要介紹支路電流法。

所謂支路電流法就是以支路電流為電路變量，應(yīng)用KCL列寫節(jié)點(diǎn)電流方程式，應(yīng)用KVL列寫回路電壓方程式，求得各支路電流。支路電流法是電路分析中最基本的方法。

對于圖2-14所示電路，支路數(shù)b=3，節(jié)點(diǎn)數(shù)n=2，共要列出3個(gè)獨(dú)立方程。列方程前，必須先在電路圖上標(biāo)出未知支路電流以及電壓或電動(dòng)勢的參考方向。圖2-14支路電流法的電路首先，應(yīng)用基爾霍夫電流定律(KCL)對節(jié)點(diǎn)A列出方程：

I1+I2－I3=0

(2-17)

對節(jié)點(diǎn)B列出方程:

I3－I1－I2=0(2-18)

顯然這兩個(gè)方程是不獨(dú)立的，一般對具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路應(yīng)用KCL只能得到(n－1)個(gè)獨(dú)立方程。其次，應(yīng)用基爾霍夫電壓定律(KVL)列出其余b－(n－1)個(gè)方程，通常取單孔回路(也稱網(wǎng)孔)列出。圖2-14中有兩個(gè)單孔回路，對左邊的單孔回路可列出方程:

－E1+R1I1+R3I3=0

(2-19)

對右邊的單孔回路列出方程:

－E2+(R2+R4)I2+R3I3=0(2-20)

單孔回路的數(shù)目恰好等于b－(n－1)個(gè)。由此可歸納出用支路電流法分析電路的步驟如下：

(1)確定各支路電流的參考方向；

(2)對獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列寫n－1個(gè)獨(dú)立的KCL方程；

(3)選(b－(n－1))個(gè)獨(dú)立回路(對于平面電路，通常取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路)，對獨(dú)立回路列出(b－(n－1))個(gè)以支路電流為變量的KVL方程。

(4)聯(lián)立求解上述b個(gè)獨(dú)立方程，解得各支路電流，并以此求出其他參數(shù)。

【例2-6】在圖2-14所示的電路中，E1=80V,E2=70V,

R1=5Ω，R2=3Ω，R3=5Ω，R4=2Ω，試求各支路電流。

解應(yīng)用KCL和KVL列方程:

I1+I2－I3=0

80=5I1+5I3

70=2I2+5I3+3I2

解得

I1=6A，I2=4A，I3=10A

【例2-7】電路如圖2-15所示，已知E1=6V,E2=16V，IS=2A，R1=2Ω，R2=2Ω，R3=2Ω，應(yīng)用支路電流法求解各支路電流。圖2-15例2-7圖

解首先標(biāo)定各支路電流的參考方向，利用KCL和KVL列方程。

節(jié)點(diǎn)A:

I1+I2+I5=0

節(jié)點(diǎn)B:

I2－I3－I4=0

節(jié)點(diǎn)C:

I1+I3+IS=0回路ABCA:

E1－I3R2－I2R1=0

回路ABDA:

E2－I5R3+I2R1=0

將已知量帶入，聯(lián)立求解以上5個(gè)獨(dú)立方程組，得

I1=－6A，I2=－1A，I3=4A，I4=－5A，I5=7A

2.5節(jié)點(diǎn)電壓法

在電路中任選某一節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)到參考節(jié)點(diǎn)的電壓稱為對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓。一般選取連接支路數(shù)較多的點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，可以減少計(jì)算量。由于電路中任何一條支路總是連接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間或者節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間，因此，只要求出節(jié)點(diǎn)電壓就可以采用歐姆定律計(jì)算出支路電流，進(jìn)而求出任一元件兩端的電壓。這種以節(jié)點(diǎn)電壓為變量，應(yīng)用基爾霍夫電流定律(KCL)列出電路中的節(jié)點(diǎn)電壓方程式，求解節(jié)點(diǎn)電壓和各支路電流的方法稱為節(jié)點(diǎn)電壓法。圖2-16所示電路包含四個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖2-16節(jié)點(diǎn)電壓法示例選0節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，由歐姆定律得出各條支路電流的表達(dá)式:

(2-21)對1、2、3節(jié)點(diǎn)分別列寫KCL方程:將式(2-21)帶入以上三個(gè)KCL方程，可得到整理上式得出節(jié)點(diǎn)電壓的方程式:上面的節(jié)點(diǎn)電壓方程式寫成一般表達(dá)式:

(2-22)綜上所述，用節(jié)點(diǎn)電壓法解題的一般步驟如下：

(1)標(biāo)定各支路電壓或電流的參考方向；

(2)選取參考節(jié)點(diǎn)，對其他節(jié)點(diǎn)編號(hào)；

(3)以節(jié)點(diǎn)電壓為未知量，按節(jié)點(diǎn)電壓的一般表達(dá)式列方程；

(4)從方程組中解出各節(jié)點(diǎn)電壓，并由節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算各支路電壓或電流。

【例2-8】在圖2-17中，US1=12V，iS=0.016A，

R1=100Ω，R2=500Ω，R3=100Ω。試用節(jié)點(diǎn)電壓法求解

電流I1。圖2-17例2-8圖

解在圖2-17中，共有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，選取0為參考節(jié)點(diǎn)，

1為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，列節(jié)點(diǎn)電壓方程:

則所以電流I1為

【例2-9】利用節(jié)點(diǎn)電壓法求圖2-18中各支路的電流。圖2-18例2-9圖

解

(1)選取參考節(jié)點(diǎn)，標(biāo)出各支路電流的參考方向。

(2)按一般方法列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程。

節(jié)點(diǎn)a：

節(jié)點(diǎn)b：

解方程組得

una=－15V

unb=25V

(3)各支路電流為

2.6網(wǎng)孔電流法

下面以圖2-19電路為例來說明網(wǎng)孔電流方程。本電路共有6條支路和4個(gè)節(jié)點(diǎn)。網(wǎng)孔電流法是選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，以假想的網(wǎng)孔電流為未知量，依據(jù)KVL列寫方程的方法。所選網(wǎng)孔序號(hào)、網(wǎng)孔及網(wǎng)孔電流繞向如圖2-19所示。圖2-19網(wǎng)孔電流法示例圖中，il1、il2、il3為所選的網(wǎng)孔電流，網(wǎng)孔電流一經(jīng)選

定，各支路電流都可以用網(wǎng)孔電流來表示，即

(2-23)對三個(gè)網(wǎng)孔分別列寫KVL方程。

ABDA網(wǎng)孔1：

R1I1+R5I5+uS2－R3I3=0

BCDB網(wǎng)孔2：

R2I2－R4I4－uS2－R5I5=0

ADCA網(wǎng)孔3：

R3I3+R4I4－uS1=0將式(2-23)帶入三個(gè)網(wǎng)孔的KVL方程并整理，可得到網(wǎng)孔電流方程為上式寫成一般表達(dá)式為綜上所述，用網(wǎng)孔電流法解題的一般步驟如下：

(1)選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，標(biāo)出網(wǎng)孔電流的方向和網(wǎng)孔序號(hào)。

(2)用觀察自電阻、互電阻的方法列寫各網(wǎng)孔的KVL方程(以網(wǎng)孔電流為未知量)。

(3)求解網(wǎng)孔電流。

(4)用網(wǎng)孔電流求解各支路電流。

(5)由支路電流及支路的VCR關(guān)系式求各支路電壓。

【例2-10】利用網(wǎng)孔電流法求圖2-20中的電流I1和I2。圖2-20例2-10圖

解電路的網(wǎng)孔電流序號(hào)如圖中所示，三個(gè)網(wǎng)孔電流都取順時(shí)針方向，則網(wǎng)孔電流方程為

(6+4+3)il1－3il2－4il3=0

－3il1+(3+1)il2－il3=12

－4il1－il2+(4+2+1)il3=－12

另外，根據(jù)支路電流和網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系，可求得

I1=il3－il1

I2=il3

求解以上方程組可得到支路電流I1和I2。

2.7疊加定理

如圖2-21(a)所示電路中有兩個(gè)電源，支路中的電流I1是這兩個(gè)電源共同作用產(chǎn)生的。圖2-21疊加定理對于圖2-21(a)所示電路，應(yīng)用KCL和KVL可列方程組:

(2-25)

解方程組，得在以上方程中，可設(shè)

于是綜上所述，可得到如下結(jié)論：

(1)對于線性電路，任何一條支路的電流，可以看成是電路中各個(gè)電源(電壓源或者電流源)分別單獨(dú)作用時(shí)在此支路上所產(chǎn)生的電流的代數(shù)和。線性電路的這一性質(zhì)稱為疊加定理。

(2)使用疊加定理時(shí)注意，此定理只能用來計(jì)算線性電路的電壓和電流，對于非線性電路，疊加定理不適用。

(3)疊加定理的數(shù)學(xué)依據(jù)是線性方程的可加性。支路電流法及節(jié)點(diǎn)電壓法得到的是線性方程，因此所求解的電壓和電流量可以疊加；而求功率所列的方程不是線性方程，因?yàn)殡娏骱凸β什怀烧汝P(guān)系，也就是說得到的是非線性方程，所以不能疊加。顯然,

【例2-11】試求圖2-22(a)所示電路中的電壓Uab。圖2-22例2-11圖

解由疊加定理：

電壓源單獨(dú)作用時(shí)，電流源用開路代替，等效電路如圖2-22(b)所示，可得電流源單獨(dú)作用時(shí)，電壓源用短路代替，等效電路如圖2-22(c)所示，則有

所以

【例2-12】試應(yīng)用疊加定理求圖2-23(a)所示電路中的支路電流I。已知E1=12V，IS=6A，R1=1Ω，R2=2Ω，

R3=1Ω，R4=2Ω。圖2-23例2-12圖

解利用疊加定理，圖2-23(a)所示的電路可視為圖2-23(b)和圖2-23(c)的疊加。

根據(jù)疊加定理，所以

I=I′+I″=4+2=6A

2.8戴維南定理與諾頓定理

2.8.1戴維南定理

戴維南定理：任意一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)(如圖2-24(a)所示)，就其兩個(gè)輸出端(或負(fù)載RL)而言，總可與一個(gè)獨(dú)立電壓源和一個(gè)線性電阻串聯(lián)的電路等效(如圖2-24(b)所示)。其中，獨(dú)立電壓源的電壓值等于該有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓U0(如圖2-24(c)所示)；尤其注意要把負(fù)載RL斷開，串聯(lián)電阻R0等于該有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨(dú)立源置零后得到的無源二端網(wǎng)絡(luò)從輸出端看入的等效電阻(如圖2-24(d)所示)。圖2-24戴維南定理示意圖戴維南定理可用疊加定理和替代定理證明。下面給出該定理的證明。

設(shè)在圖2-25(a)的電路中，ab支路用一電流源置換，電流源的電流IS與支路電流I相等(圖2-25(a))。這樣置換后不會(huì)改變原有源二端網(wǎng)絡(luò)各支路的電流和電壓。圖2-25戴維南定理的證明根據(jù)疊加原理，圖2-25(a)電路中的電流I和電壓U是圖

2-25(b)與(c)兩個(gè)電路中相應(yīng)電流(I′與I″)和相應(yīng)電壓

(U′與U″)的疊加。在圖2-25(b)的電路中，除去理想電流源，保留了二端網(wǎng)絡(luò)中所有的電源；此時(shí)，a和b兩端開路，即I′=0，U′=U0。在圖2-25(c)的電路中，只有理想電流源單獨(dú)作用，有源二端網(wǎng)絡(luò)中各電源均被除去而成為無源二端網(wǎng)絡(luò)，其等效電阻為R0；此時(shí)，I″=IS=I，U″=－IR0。

由此可得

U=U′+U″=U0－IR0

因此，有源二端網(wǎng)絡(luò)可用一個(gè)含源支路來等效代替，戴維南定理得證。

【例2-13】試求圖2-26(a)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。圖2-26例2-13圖

解

(1)求開路電壓U0。

求開路電壓的電路如圖2-26(b)所示，因?yàn)镮=0，所以

故

(2)求等效電阻R0。

將二端網(wǎng)絡(luò)中的所有獨(dú)立源置零，得圖2-26(c)所示的求等效電阻R0的電路，則等效電阻為

R0=4+6∥3=6Ω

因此可得戴維南等效電路如圖2-26(d)所示。利用戴維南定理解題的一般步驟如下：

(1)在原電路圖中先去掉待求支路,形成有源二端網(wǎng)絡(luò)；

(2)求有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓U0；

(3)求無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R0；

(4)以實(shí)際電壓源模型的形式畫出戴維南等效電路，補(bǔ)充待求支路；

(5)求待求支路的未知量。2.8.2諾頓定理

諾頓定理與戴維南定理有對偶關(guān)系，其內(nèi)容表述如下：任意一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)(如圖2-27(a)所示)，就其兩個(gè)輸出端(或負(fù)載RL)而言，總可與一個(gè)獨(dú)立電流源和一個(gè)線性電阻并聯(lián)的電路等效(如圖2-27(b)所示)。其中，獨(dú)立電流源的電流等于該有源二端網(wǎng)絡(luò)輸出端的短路電流IS(如圖2-27(c)所示)。尤其注意要把負(fù)載RL短路，并聯(lián)電阻R0等于該有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨(dú)立源置零后得到的無源二端網(wǎng)絡(luò)從輸出端看入的等效電阻(如圖2-27(d)所示)。圖2-27諾頓定理示意圖應(yīng)用戴維南定理和諾頓定理的幾點(diǎn)說明：

(1)應(yīng)