《材料力學(xué)》課件1西電社 材力 第7章-彎曲變形

第7章彎曲變形第7章彎曲變形§7.1

工程中的彎曲變形問題§7.2

撓曲線的微分方程

§7.3

積分法求彎曲變形§7.4疊加法求彎曲變形§7.5簡單超靜定梁§7.6提高彎曲剛度的一些措施§7.1工程中的彎曲變形問題返回總目錄

起重機(jī)大梁如果變形過大，將使梁上小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，還會(huì)引起振動(dòng)等。一、工程中的彎曲變形問題返回軸的變形過大時(shí)，會(huì)影響齒輪嚙合，加速齒輪、軸承磨損，產(chǎn)生噪聲等問題。一、工程中的彎曲變形問題返回軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格。一、工程中的彎曲變形問題

在車床上車削外圓時(shí)，如果工件變形太大，將影響加工精度。一、工程中的彎曲變形問題返回

疊板彈簧應(yīng)有較大變形，才能更好地起到緩沖減振作用。一、工程中的彎曲變形問題返回二、梁的剛度條件

梁的剛度條件，就是根據(jù)需要，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即：返回§7.2撓曲線的微分方程返回總目錄一、彎曲變形梁的軸線變形后的曲線。對(duì)稱彎曲時(shí)是一條平面曲線。撓曲線撓曲線方程撓度

w橫截面形心沿y方向的位移向上為正轉(zhuǎn)角

橫截面相對(duì)其原位置轉(zhuǎn)過的角度逆時(shí)針為正因

在工程中，一般很小返回二、撓曲線微分方程

略去剪力對(duì)彎曲變形的影響，上一章得到：由高等數(shù)學(xué)公式：因?yàn)榉祷囟锨€微分方程考慮符號(hào)——撓曲線的近似微分方程返回§7.3積分法求彎曲變形返回總目錄撓曲線近似微分方程積分一次，得再次積分，得式中，C、D為積分常數(shù)由梁上的邊界、光滑連續(xù)條件確定。一、積分法求彎曲變形即——轉(zhuǎn)角方程——撓度方程返回二、邊界、連續(xù)光滑條件邊界條件撓曲線上轉(zhuǎn)角與撓度已知的條件。如：w

D=0；

D＝0wA=

0；w

C=0連續(xù)光滑條件撓曲線是一條連續(xù)光滑的曲線如：wB左=wB右；

B左＝

B右一般，梁上邊界、連續(xù)光滑條件總數(shù)等于積分常數(shù)的個(gè)數(shù)。返回找出梁上的邊界、連續(xù)光滑條件。E2m2mq=10kN/mADB2mP＝20kN邊界和連續(xù)光滑條件：6個(gè)例題7-1解：1.確定條件個(gè)數(shù)2.邊界條件3.連續(xù)光滑條件B處：D處：彎矩方程：三個(gè)積分常數(shù)：6個(gè)返回已知：均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長度為l。求：梁的撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

例題7-2返回x解：1.確定支座反力qlql2/22.建立微分方程并積分積分一次,得再次積分,得3.由邊界條件確定積分常數(shù)返回解：4．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程返回解：5．

確定最大轉(zhuǎn)角與最大撓度

從撓曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。最大轉(zhuǎn)角最大撓度返回例題7-3已知：EI=

常數(shù)

求：1)撓度、轉(zhuǎn)角方程；2)wmax,θmax。

3.列撓曲線近似微分方程并積分2.分段列彎矩方程1.求支反力解：AC段CB段例題7-3解：4.由邊界連續(xù)、條件確定積分常數(shù)返回例題7-3解：5.撓度與轉(zhuǎn)角方程AC段CB段6.確定最大轉(zhuǎn)角若a＞b，則θmax=θB返回例題7-3解：7.確定最大撓度若a＞b，則wmax在AC段

8.比較最大撓度與梁跨度中點(diǎn)撓度當(dāng)P接近端點(diǎn)B，即b→0時(shí)，→0.5l此時(shí)結(jié)論:

可用中點(diǎn)撓度近似代替最大撓度。返回§7.4疊加法求彎曲變形返回總目錄梁在簡單載荷作用下的變形圖表。一、求彎曲變形的疊加法

當(dāng)彎曲變形很小，且材料服從胡克定律時(shí)，梁上同時(shí)作用多個(gè)載荷時(shí)的變形等于每一載荷單獨(dú)作用下引起的變形的疊加。在內(nèi)力不變的前提下，將梁分解為幾段，求出各段的變形，然后進(jìn)行疊加。二、疊加法求彎曲變形的基礎(chǔ)三、疊加法的類型將載荷分解為幾個(gè)簡單載荷，分別求解后，進(jìn)行疊加；1.載荷疊加法2.幾何疊加法返回例題7-4求：wC；

B已知：

q,

l,EI

=常數(shù)。解：1.分解梁上載荷(載荷疊加)返回2.查表得三種情形下C截面撓度和B截面的轉(zhuǎn)角解：3.疊加返回已知：q、l、EI，求：

C、wC例題7-5解：1.將載荷轉(zhuǎn)變成有表可查的情形

返回解：2.查表得兩種情形下

C截面轉(zhuǎn)角和撓度返回解：3.疊加得C點(diǎn)轉(zhuǎn)角與撓度返回已知：P、a、b、EI，求：wB例題7-6(幾何疊加)解:1.將梁分割成兩段2.CB段將AC段剛化，C端視為固定端3.AC段將CB段剛化成直線4.wBxPbABCwB1xPaACPbwB2

C2xPabABCwB返回例7.7圖示的變截面梁，試求跨度中點(diǎn)C的撓度。解：1.解題分析

可將求C點(diǎn)撓度轉(zhuǎn)換為求B點(diǎn)撓度先分段求變形分量，然后疊加。2.BD段變形3.CD段變形解：

解：4.變形疊加例7-8已知：圖示梁A端鉸支，B點(diǎn)由BD桿吊掛的梁，受力如圖。AC梁的抗彎剛度為EI，BD桿的抗拉剛度為EA。試：用疊加法求C點(diǎn)的撓度。解

：(1)求BD桿拉力引起的變形分量BD桿所受拉力

BD桿的伸長量由BD桿的伸長所引起的C點(diǎn)撓度為解

：(2)求A點(diǎn)集中力偶引起的變形分量

A點(diǎn)集中力偶引起截面B的轉(zhuǎn)角引起的C點(diǎn)撓度為解

：(3)變形疊加§7.5簡單超靜定梁

返回總目錄超靜定次數(shù)——未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差靜定梁——用靜力平衡方程可確定所有未知力超靜定(靜不定)梁——未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)多余約束——保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束

一、超靜定梁與多余約束返回二、求解簡單超靜定梁的方法和步驟1.解除多余約束，代以相應(yīng)的反力，將超靜定梁轉(zhuǎn)化為靜定梁；2.根據(jù)多余約束對(duì)位移或變形的限制，建立變形協(xié)調(diào)方程；3.根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程，建立補(bǔ)充方程，解出部分未知力；4.再由平衡方程解出全部未知力。返回求:

梁的支座反力。已知：F，a，l，EI。例題7-7解：1.解除多余約束2.變形協(xié)調(diào)方程3.補(bǔ)充方程即解除B處約束

，代反力FB返回解：3.補(bǔ)充方程——補(bǔ)充方程返回4.

求A端反力由梁平衡：

返回三、多余約束的解除方法不是唯一的返回例題7-8已知：EI、δ、l,解：去除約束B,代反力FB2.變形協(xié)調(diào)方程3.補(bǔ)充方程查表得:補(bǔ)充方程：求:裝配應(yīng)力。1.去除多余約束返回解：4.由平衡方程求A、C處的反力5.作梁的彎矩圖6.裝配應(yīng)力返回§7.6提高彎曲剛度的一些措施

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由撓曲線的近似微分方程及其積分可知，彎曲變形與彎矩大小、梁截面的慣性矩、材料的彈性模量，梁長等因素有關(guān)。提高彎曲剛度應(yīng)從考慮上述因素入手。一、提高彎曲剛度的途徑——撓曲線的近似微分方程返回二、提高彎曲剛度的措施1.改善結(jié)構(gòu)形式,減小彎矩的數(shù)值在結(jié)構(gòu)允許的條件下,將齒輪、帶輪等靠近支座；將集中力分散成分布力等。返回二、提高彎曲剛度的措施減小梁的長度，可提高梁的剛度。2.減小梁的跨度l查表：返回二、提高彎曲剛度的措施增加支座，采用超靜定結(jié)構(gòu)以提高梁的剛度。3.采用超靜定結(jié)構(gòu)返回二、提高彎曲剛度的措施4.選擇合理的截面形狀，增大截面慣性矩I

不同的截面形狀，盡管面積相等，但慣性矩卻不一定相等。豎放：平放：