連云港灌南縣2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

9/31連云港市灌南縣2022年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。1．改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)眾多科技實(shí)體在各自行業(yè)取得了舉世矚目的成就，大疆科技、華為集團(tuán)、太極股份和鳳凰光學(xué)等就是其中的杰出代表．上述四個(gè)企業(yè)的標(biāo)志是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．2．如圖，點(diǎn)C、D分別在BO、AO上，AC、BD相交于點(diǎn)E，若CO＝DO，則再添加一個(gè)條件，仍不能證明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根據(jù)題目給出的條件結(jié)合全等三角形的判定定理分別分析即可．解：A、可利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；B、不可利用SSA證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠A＝∠B，再利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；D、根據(jù)線段的和差關(guān)系可得OA＝OB，再利用SAS證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．3．已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，周長(zhǎng)為12，那么它的腰長(zhǎng)為（）A．4.5 B．6 C．4.5或6 D．不能確定【分析】分3是腰長(zhǎng)與底邊兩種，根據(jù)等腰三角形兩腰相等列式求解即可．解：①3是腰長(zhǎng)時(shí)，三邊分別為3、3、6，不能組成三角形；②3是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為（12﹣3）＝4.5，三邊分別為4.5、4.5、3，能組成三角形．綜上所述，腰長(zhǎng)為4.5．故選：A．4．如圖所示，三個(gè)居民小區(qū)分別座落在地圖中的△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C處，現(xiàn)要建一個(gè)牛奶供應(yīng)站P，且該供奶站P到三小區(qū)A，B，C的距離相等，則該供奶站P的位置應(yīng)選在（）A．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條中線的交點(diǎn) D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)確定P點(diǎn)的位置．解：因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)A，B，C的距離相等，所以點(diǎn)P為AB、BC、AC的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：A．5．△ABC在下列條件下不是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．a(chǎn)2：b2：c2＝1：2：3 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷選項(xiàng)A，選項(xiàng)B；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)，即可判斷選項(xiàng)C和選項(xiàng)D．解：A．因?yàn)閎2＝a2﹣c2，所以b2+c2＝a2，即△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)閍2：b2：c2＝1：2：3，所以a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．因?yàn)椤螦：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，所以最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，所以△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D．因?yàn)椤螦＝∠B﹣∠C，所以∠A+∠C＝∠B，又因?yàn)椤螦+∠B+∠C＝180°，所以2∠B＝180°，所以∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．7．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AP和∠CBD的平分線BP的交點(diǎn)，射線CP交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【分析】由AB＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠ABC＝∠ACB＝70°，由角平分線的定義推出∠APB＝∠ACB＝35°，最后用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：如圖，AP與BC相交于點(diǎn)O，因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝70°，所以∠CAB＝40°，因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC內(nèi)角和外角角平分線的交點(diǎn)，所以∠APB＝∠ACB＝35°，因?yàn)锳B＝AC，AP是∠BAC的平分線，所以AP⊥BC，OB＝OC，所以CP＝BP，所以∠APC＝∠APB＝35°，所以∠BPC＝70°，因?yàn)锽P是△ABC的外角的平分線，所以∠PBD＝∠CBD＝55°，所以∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．故選：A．8．如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝BC，點(diǎn)P為直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PBC的面積等于△ABC的面積的，則當(dāng)PB+PC最小時(shí)，∠PBD的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由三角形面積關(guān)系得出P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，l∥BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'C交l于P，則BB'⊥l，PB＝PB'，此時(shí)點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，證明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．解：因?yàn)椤鱌BC的面積等于△ABC的面積的，所以P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，所以l∥BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'C交l于P，如圖所示：則BB'⊥l，PB＝PB'，此時(shí)點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，因?yàn)锳D⊥BC，AD＝BC，所以BB'＝BC，BB'⊥BC，所以△BB'C是等腰直角三角形，所以∠B'＝45°，因?yàn)镻B＝PB'，所以∠PBB'＝∠B'＝45°，所以∠PBC＝90°﹣45°＝45°；故選：B．二、填空題本大題共8小題，每小題3分，本大題共24分.不需要寫出解答過(guò)程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上。9．如圖，△ABC≌△EDF，DF＝BC，AB＝ED，AF＝20，EC＝10，則AE的長(zhǎng)是5．【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC＝EF，然后求出AE＝CF，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．解：因?yàn)椤鰽BC≌△EDF，所以AC＝EF，所以AC﹣CE＝EF﹣CE，即AE＝CF，因?yàn)锳F＝20，EC＝10，所以AE＝×（20﹣10）＝5．故答案為：5．10．如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC交AC于點(diǎn)F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，則∠EDF＝55°．【分析】由圖示知：∠DFC+∠AFD＝180°，則∠DFC＝35°．通過(guò)全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的對(duì)應(yīng)角相等推知∠BDE＝∠CFD．解：如圖，因?yàn)椤螪FC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，所以∠CFD＝35°．又因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥BC，所以∠BED＝∠CDF＝90°，在Rt△BDE與△Rt△CFD中，，所以Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），所以∠BDE＝∠CFD＝35°，所以∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，所以∠EDF＝55°．故答案是：55°．11．如圖，在△ABC中，若AB＝9，AC＝12，BC＝15，則BC邊上的高AD的長(zhǎng)為1.2．【分析】設(shè)BD＝x，則CD＝15﹣x，根據(jù)高的定義得出∠ADB＝∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理得出AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，求出x，再求出高AD即可．解：設(shè)BD＝x，則CD＝15﹣x，因?yàn)锳D是高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，因?yàn)锳B＝9，AC＝12，BC＝15，BD＝x，所以92﹣x2＝122﹣（15﹣x）2，解得：x＝，即BD＝，所以AD＝＝＝1.2，故答案為：1.2．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC＝6，AD＝4，則DE的長(zhǎng)為．【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．解：因?yàn)锳B＝AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，BD＝CD＝3，所以∠ADB＝90°，所以AB＝＝＝5，因?yàn)锳E＝EB，所以DE＝AB＝，故答案為．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點(diǎn)P．按以下步驟作圖：以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；作射線AF．射線AF與直線PQ相交于點(diǎn)G，則∠AGQ的度數(shù)為56度．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得∠BAC＝68°，由角平分線的定義得∠BAG＝34°，由線段垂直平分線可得△AQG是直角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠AGQ．解：如圖，因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，∠C＝90°，所以∠B+∠BAC＝90°，因?yàn)椤螧＝22°，所以∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣22°＝68°，由作法可知，AG是∠BAC的平分線，所以∠BAG＝BAC＝34°，因?yàn)镻Q是AB的垂直平分線，所以△AGQ是直角三角形，所以∠AGQ+∠BAG＝90°，所以∠AGQ＝90°﹣∠BAG＝90°﹣34°＝56°，故答案為：56．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為4cm．【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B＝∠C＝30°，連接AN，AM，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM＝BM，根據(jù)軸對(duì)稱性可得∠BAM＝30°，從而得到∠CAM＝90°，然后利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BM長(zhǎng)，同理可得出CN的長(zhǎng)，根據(jù)MN＝BC﹣CN﹣BM即可得出結(jié)論．解：因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C，因?yàn)椤螦＝120°，所以∠B＝∠C＝30°，連接AM，AN，因?yàn)镸E是AB的垂直平分線，所以AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，所以∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，所以CM＝2AM＝2BM，所以3BM＝BC＝12cm，因?yàn)锽M＝4cm，同理可得，CN＝4，所以MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案為：4cm．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為F，與BC交于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)是．【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)可知AE是CD的垂直平分線，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用等積法求出DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求BE即可．解：連接DE，因?yàn)锳D＝AC，AE⊥CD，所以AE是CD的垂直平分線，所以CE＝DE，所以∠ADE＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝，所以BD＝AB﹣AD＝2，所以S△ABC＝S△ACE+S△ABE，所以AC×BC＝AC×CE+AB×DE，所以3×4＝3CE+5DE，所以DE＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，故答案為：．16．如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），其中結(jié)論正確的是①②③．【分析】①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結(jié)論；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°而得出結(jié)論；③由條件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出結(jié)論；④△BDE為直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出結(jié)論．解：①因?yàn)椤螧AC＝∠DAE，所以∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以BD＝CE．故①正確；因?yàn)椤鰽BD≌△ACE，所以∠ABD＝∠ACE．因?yàn)椤螩AB＝90°，所以∠ABD+∠AFB＝90°，所以∠ACE+∠AFB＝90°．因?yàn)椤螪FC＝∠AFB，所以∠ACE+∠DFC＝90°，所以∠FDC＝90°．所以BD⊥CE；故②正確；③因?yàn)椤螧AC＝90°，AB＝AC，所以∠ABC＝45°，所以∠ABD+∠DBC＝45°．所以∠ACE+∠DBC＝45°，故③正確；④因?yàn)锽D⊥CE，所以BE2＝BD2+DE2．因?yàn)椤螧AC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，所以DE2＝2AD2，BC2＝2AB2．因?yàn)锽C2＝BD2+CD2≠BD2，所以2AB2＝BD2+CD2≠BD2，所以BE2≠2（AD2+AB2）．故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．三、解答題本大題共10小題，共102分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【分析】由“ASA”可證△ABF≌△DCE，可AF＝DE．【解答】證明：因?yàn)锳B∥CD，所以∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，所以△ABF≌△DCE（ASA），所以AF＝DE．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC＝6，AD＝4，求DE的長(zhǎng)．【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．解：因?yàn)锳B＝AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，所以∠ADB＝90°，所以AB＝＝＝5，因?yàn)锳E＝EB，所以DE＝AB＝．19．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上（點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A，D在直線l的異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的長(zhǎng)度．【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】（1）證明：因?yàn)锳B∥DE，所以∠ABC＝∠DEF，所以AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE，在△ABC與△DEF中，，所以△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，所以BC＝EF，所以BF+FC＝EC+FC，所以BF＝EC，因?yàn)锽E＝13m，BF＝4m，所以FC＝13﹣4﹣4＝5m．20．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD為∠BAC的平分線，F(xiàn)為AC上的點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，DF＝DB．（1）求證：DC＝DE；（本小題要求寫出每一步的推理依據(jù)）（2）求證：△CDF≌△EDB；（3）求∠ADF的度數(shù)．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)定理證明即可；（2）根據(jù)HL證明三角形全等即可；（3）求出∠CDF＝50°，∠CAD＝20°，再利用三角形的外角的性質(zhì)，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC（已知），所以DC＝DE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）；（2）在Rt△DCF和Rt△DEB中，，所以Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．（3）解：因?yàn)椤螩＝90°，∠B＝50°，所以∠CAB＝90°﹣50°＝40°，因?yàn)锳D平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD＝20°，因?yàn)椤鰿DF≌△EDB，所以∠CFD＝∠B＝50°，因?yàn)椤螩FD＝∠ADF+∠CAD，所以∠ADF＝50°﹣20°＝30°．21．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F．（1）若BC＝10，求△AEF周長(zhǎng)．（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度數(shù)．【分析】（1）由在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，易得AE＝BE，AF＝CF，即可得△AEF周長(zhǎng)＝BC；（2）由∠BAC＝128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，繼而求得答案．解：（1）因?yàn)樵凇鰽BC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，所以AE＝BE，AF＝CF，因?yàn)锽C＝10，所以△AEF周長(zhǎng)為：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10；（2）因?yàn)锳E＝BE，AF＝CF，所以∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，因?yàn)椤螧AC＝128°，所以∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，所以∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，所以∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．22．如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）在圖2中畫出∠ABC的角平分線；（3）在正方形網(wǎng)格中存在8個(gè)格點(diǎn)，使得該格點(diǎn)與A、C兩點(diǎn)構(gòu)成以AC為腰的等腰三角形．【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）取格點(diǎn)G，H，R，連接AR，GH，交于點(diǎn)P，作射線BP，射線BP即為所求．（3）畫出滿足條件的點(diǎn)即可判斷．解：（1）如圖1中，△A1B1C1即為所求．（2）如圖2中，射線BP即為所求．（3）如圖2中，使得該格點(diǎn)與A、C兩點(diǎn)構(gòu)成以AC為腰的等腰三角形的格點(diǎn)有8個(gè)，故答案為：8．23．如圖，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD為BC邊上的中線，且AD＝8，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：AD⊥BC；（2）求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；（2）求出AC＝AB＝10，根據(jù)三角形的面積公式求出DE即可．【解答】（1）證明：因?yàn)锽C＝12，AD為BC邊上的中線，所以BD＝DC＝BC＝6，因?yàn)锳D＝8，AB＝10，所以BD2+AD2＝AB2，所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）解：因?yàn)锳D⊥BC，AD為BC邊上的中線，所以AB＝AC，因?yàn)锳B＝10，所以AC＝10，因?yàn)椤鰽DC的面積S＝＝，所以＝，解得：DE＝4.8．24．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求證：∠B＝∠DEF；（2）連接DF，當(dāng)∠A的度數(shù)是多少時(shí)，△DEF是等邊三角形．【分析】（1）首先證明△DBE≌△ECF，推出∠BDE＝∠CEF，由在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°推出∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB由∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°推出∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB可得∠B＝∠DEF；（2）當(dāng)∠A＝60°時(shí)，△DEF是等邊三角形，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；【解答】（1）證明：因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C，在△DBE與△ECF中，因?yàn)锽D＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，所以△DBE≌△ECF，所以∠BDE＝∠CEF，因?yàn)樵凇鱀BE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°所以∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB因?yàn)椤螩EF+∠DEF+∠DEB＝180°所以∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB所以∠B＝∠DEF．（2）當(dāng)∠A＝60°時(shí)，△DEF是等邊三角形，理由如下因?yàn)锳B＝AC，∠A＝60°，所以△ABC是等邊三角形，所以∠B＝60°，即∠DEF＝60°，因?yàn)椤鱀BE≌△ECF所以ED＝EF，因?yàn)镋D＝EF，∠DEF＝60°，所以△DEF是等邊三角形．25．如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝30cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)BD＝x，AD＝4x，CD＝4x，則AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出結(jié)論；（2）①當(dāng)MN∥BC時(shí)，當(dāng)DN∥BC時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出方程，解方程即可；②若△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣2；分別得出方程，解方程即可．解：（1）設(shè)BD＝x，AD＝4x，CD＝3x（x＞0），在Rt△ACD，因?yàn)锳C2＝CD2+AD2，所以AC2＝（3x）2+（4x）2，所以AC＝5x，因?yàn)锳B＝BD+AD＝5x，所以AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形；（2）S△ABC＝×5x×3x＝30cm2，而x＞0，所以x＝2cm，則BD＝2cm，AD＝8cm，CD＝6cm，AC＝10cm．①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM＝AN，即10﹣t＝t，所以t＝5，當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD＝AN，有t＝8，故若△DMN的邊與BC平行時(shí)，t的值為5或8．②當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0≤t＜2時(shí)，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE，當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，不構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2＜t≤10時(shí)，△MDE為等腰三角形，有3種可能．如果DE＝DM，則t﹣2＝5，所以t＝7；如果ED＝EM，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，所以t＝10；如果MD＝ME＝t﹣2，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，因?yàn)镈E＝AE，EF⊥AD，所以AF＝DF＝4，在Rt△AEF中，因?yàn)镋F2＝AE2﹣AF2，所以EF＝＝3，因?yàn)锽M＝t，BF＝6，所以MF＝t﹣6，在Rt△EMF中，因?yàn)镋F2+MF2＝EM2，所以32+（t﹣6）2＝（t﹣2）2，所以t＝．綜上所述，符合要求的t值為7或10或．26．（1）閱讀理解：如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的大?。悸伏c(diǎn)撥：考慮到PA，PB，PC不在一個(gè)三角形中，采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，可以將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP'處，此時(shí)△ACP'≌△ABP，這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，結(jié)合已知條件，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB的度數(shù)．請(qǐng)你寫出完整的解答過(guò)程．（2）變式拓展：請(qǐng)你利用第（1）問(wèn)的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．（3）能力提升：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，請(qǐng)直接寫出（OA+OB+OC）2＝7．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答．（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，從而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可解決問(wèn)題．（3）將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連