自動(dòng)控制原理 課件 第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程

2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2.4控制系統(tǒng)的信號流圖2.5典型反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)本章要點(diǎn)：⑴控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程。⑵控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。⑶控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換。⑷控制系統(tǒng)的信號流圖及梅森公式。⑸典型反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。⑴理解建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟和方法；會(huì)利用拉氏變換法求解微分方程；理解非線性微分分程線性化的思想。⑵掌握傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)、局限性及不同形式的表達(dá)式；理解典型元部件傳遞函數(shù)的建立方法；掌握典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)。⑶掌握控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立步驟和方法；掌握結(jié)構(gòu)圖等效變換法則，能利用結(jié)構(gòu)圖等效變換求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。⑷掌握信號流圖的概念和繪制方法；熟練掌握利用梅森公式求取傳遞函數(shù)的方法。⑸掌握典型反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)的概念及求取方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)：⑴傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)及不同形式的表達(dá)式；典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。⑵結(jié)構(gòu)圖等效變換。⑶信號流圖及梅森公式。⑷典型反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。本章重點(diǎn)：第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其建立方法一般有解析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是唯一的，根據(jù)不同需要，往往具有不同的形式。在經(jīng)典控制理論中，對于連續(xù)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型有時(shí)域中的微分方程，復(fù)頻域中的傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號流圖，頻域中的頻率特性等；離散系統(tǒng)類似，有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖等。而在現(xiàn)代控制理論中，無論連續(xù)還是離散系統(tǒng)，普遍采用狀態(tài)空間方程來描述。

本章討論利用解析法建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖及信號流圖的方法。2.1控制系統(tǒng)的微分方程

控制系統(tǒng)的微分方程描述的是系統(tǒng)的輸出變量與輸入變量之間的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系，它中包含有輸出變量和輸入變量的時(shí)間函數(shù)以及它們對時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)。微分方程中輸出變量導(dǎo)數(shù)的最高階次是微分方程的階數(shù)，也稱為系統(tǒng)的階數(shù)。建立步驟：

（1）分析系統(tǒng)的工作原理，將系統(tǒng)分解為若干環(huán)節(jié)或元部件，根據(jù)需要設(shè)定一些中間變量，確定系統(tǒng)和各環(huán)節(jié)或元部件的輸入、輸出變量。（2）從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各環(huán)節(jié)或元部件所遵循的基本定律建立相應(yīng)的微分方程。

（3）將各環(huán)節(jié)或元部件的微分方程聯(lián)立，消去中間變量，化簡得到僅包含系統(tǒng)輸入、輸出變量的微分方程。

（4）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程，即將輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)放在微分方程的左端，輸入變量及其各階導(dǎo)數(shù)放在微分方程的右端，并按降冪排列。2.1.1控制系統(tǒng)微分方程的建立解：例2-1如圖示

無源網(wǎng)絡(luò)，試建立以

為輸入、

為輸出的微分方程。設(shè)如圖所示電流

、

作為中間變量，根據(jù)電路理論中的伏安特性和基爾霍夫定律，可列出消去中間變量，整理得令

，則可見：

無源網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階線性常微分方程。所以，該無源網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)二階線性定常系統(tǒng)。解：分析這類系統(tǒng)時(shí)，首先要根據(jù)彈簧、阻尼器的物理意義對與其連接的質(zhì)量塊的受力情況進(jìn)行分析，然后利用牛頓第二定律列寫質(zhì)量塊對應(yīng)的合力方程，從而得到系統(tǒng)的微分方程。例2-2由彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖示，試建立質(zhì)量塊上所受外力

與其相對位移

之間的微分方程。圖中，

為質(zhì)量塊的質(zhì)量，

為彈簧的彈性系數(shù)，

為阻尼器的阻尼系數(shù)。設(shè)彈簧的彈力

和阻尼器的阻力

作為中間變量，根據(jù)牛頓第二定律，可得假設(shè)彈簧是線性的，則彈簧力與位移成正比，即阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦的阻尼裝置，其阻力與質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)速度成正比，即可見：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也是一個(gè)二階線性常微分方程。所以，該系統(tǒng)也是一個(gè)二階線性定常系統(tǒng)。消去中間變量，整理得例2-3電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的原理圖如圖示，試建立以電樞電壓

為輸入、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速

為輸出的微分方程。圖中，

、

分別是電樞電路等效的電感和電阻；

分別是電動(dòng)機(jī)與負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù)；

是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩，為系統(tǒng)的擾動(dòng)量；

為勵(lì)磁電流，在電樞控制方式下為常數(shù)。解：電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)是控制系統(tǒng)中常用的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其工作原理為：輸入的電樞電壓

在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流

，通電的電樞轉(zhuǎn)子繞組在磁場作用下產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩

，從而帶動(dòng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)，電樞旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生反電勢

，其與

極性相反。根據(jù)電路理論中伏安特性和基爾霍夫定律，可列出電樞回路電壓平衡方程設(shè)電樞電流

、電樞反電勢

、電磁轉(zhuǎn)矩

作為中間變量。式中，電樞反電勢

的大小與轉(zhuǎn)速成正比，即

為反電勢系數(shù)。根據(jù)安培定律，可列出電磁轉(zhuǎn)矩方程

為反電勢系數(shù)?？梢姡哼@是一個(gè)二階線性常微分方程。根據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可列出電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程消去中間變量，整理得在工程實(shí)際中，電樞電路的等效電感

通常很小，可忽略不計(jì)，因而上式可簡化為式中，

為電動(dòng)機(jī)時(shí)間常數(shù)；

、

分別為電動(dòng)機(jī)對有用輸入和擾動(dòng)的傳遞系數(shù)。這是一個(gè)一階微分方程。因此，在工程中，為便于分析問題，常忽略一些次要因素而使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變得簡單。若電樞電路的等效電阻

和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

都很小，可忽略不計(jì)，且只考慮有用輸入

的作用，則進(jìn)一步可得即電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速

與電樞電壓

成正比。這時(shí)，電動(dòng)機(jī)可作為測速發(fā)電機(jī)使用。若以電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角

為輸出，可得這是一個(gè)二階微分方程。所以，對于同一系統(tǒng)，若分析和設(shè)計(jì)問題的角度不同，建立的數(shù)學(xué)模型也是不同的。解：例2-4試建立如圖示由運(yùn)算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路的微分方程。設(shè)如圖所示電壓

、

作為中間變量，根據(jù)理想運(yùn)放虛斷虛短的概念及電路理論中伏安特性和基爾霍夫定律，可列出消去中間變量，整理得可見:運(yùn)算放大器控制系統(tǒng)模擬電路的數(shù)學(xué)模型仍是一個(gè)二階線性常微分方程。所以，此控制系統(tǒng)也是一個(gè)二階線性定常系統(tǒng)。

綜合以上例題可以看出，不同物理特性的系統(tǒng)可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型。把這種具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)，它揭示了不同物理特性間的相似關(guān)系。當(dāng)研究一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)或不易進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)時(shí)，可以用一個(gè)與它相似的簡單系統(tǒng)模型來代替，從而使問題的研究簡單化。

實(shí)際物理元部件或系統(tǒng)都是非線性的，只是非線性的程度不同。對于某些嚴(yán)重的非線性，不能作線性化處理，一般用第八章中介紹的分析非線性系統(tǒng)的方法來研究。而對于一些非線性程度較弱的元部件，工程上通常有兩種線性化的處理方法。一種是在一定條件下，忽略這些非線性因素的影響，把它們假定為線性元部件，建立的微分方程就是線性微分方程，這是微分方程線性化通常使用的一種方法；另一種稱為小偏差法或切線法，它是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替，這種方法特別適合于具有連續(xù)變化的非線性特性方程。2.1.2非線性微分方程的線性化

1.具有一個(gè)自變量的非線性方程設(shè)某元部件或系統(tǒng)的非線性方程為其非線性特性如圖示。若輸入

與輸出

在某平衡點(diǎn)

附近做微小變化，即當(dāng)

時(shí)

，且方程

在該點(diǎn)連續(xù)可微，則可將此非線性方程在點(diǎn)

處展開成泰勒級數(shù)由于

很小，所以高次冪項(xiàng)可忽略，因此有式中，

為曲線

在平衡點(diǎn)

的切線斜率。令

且略去增量符號

，即可得非線性方程

在平衡點(diǎn)

附近的線性化方程為設(shè)具有兩個(gè)自變量的非線性方程為2.具有兩個(gè)自變量的非線性方程在某平衡點(diǎn)

附近可展開為泰勒級數(shù)忽略高次冪項(xiàng)，并令

，

，

，

，

，可得非線性方程

在平衡點(diǎn)

附近的線性化增量方程為對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)，小偏差法都是可以應(yīng)用的。2.1.3微分方程的求解

拉普拉斯變換法求解線性常微分方程的步驟:（1）利用拉普拉斯變換的時(shí)域微積分性質(zhì)，考慮初始條件，對微分方程兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為

域的代數(shù)方程；（2）求解

域代數(shù)方程，得到系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換表達(dá)式；（3）取拉普拉斯逆變換，求出輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解析解，也是微分方程所描述系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：在例2-1中已建立出微分方程為例2-5在例2-1中，若已知

，

，

，電感上的初始電流

，電容上的初始電壓

，輸入電壓

。試求輸出電壓

。兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，得式中解得代入給定的元件參數(shù)和初始條件，且

，整理可得對其進(jìn)行部分分式分解可得取拉普拉斯逆變換，得2.1.4MATLAB實(shí)現(xiàn)MATLAB提供了

域表達(dá)式

的部分分式展開式和

分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)之間轉(zhuǎn)換的函數(shù)residue()，其調(diào)用格式如下。[r,p,k]=residue(num,den)%由

分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)求取

的部分分式展開式。其中，num、den分別為

分子、分母多項(xiàng)式按降冪排列的系數(shù)向量，r為部分分式展開式的系數(shù)，p為極點(diǎn)，k為多項(xiàng)式的系數(shù)，若

為真分式，則k為空向量。若r中有一對共軛復(fù)數(shù)，則也可以應(yīng)用cart2pol()函數(shù)把共軛復(fù)數(shù)表示成模和相角的形式，其調(diào)用格式為[TH,R]=cart2pol(X,Y)，其中X、Y為笛卡爾坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)，TH是極坐標(biāo)的相角，單位為弧度，R為極坐標(biāo)的模[num,den]=residue(r,p,k)%由

的部分分式展開式求取

分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)解：系統(tǒng)零輸入響應(yīng)部分分式展開式的MATLAB程序如下：num=[12];den=[111];[r,p,k]=residue(num,den)例2-6利用MATLAB求例2-5系統(tǒng)響應(yīng)的部分分式展開式。運(yùn)行結(jié)果為r=0.5000-0.8660i0.5000+0.8660ip=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660ik=[]所以，零輸入響應(yīng)部分分式展開式為取拉普拉斯逆變換，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)部分分式展開式的MATLAB程序如下：num=[1];den=[1110];[r,p,k]=residue(num,den)運(yùn)行結(jié)果為r=-0.5000+0.2887i-0.5000-0.2887i1.0000p=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i0k=[]所以，零狀態(tài)響應(yīng)部分分式展開式為取拉普拉斯逆變換，得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是用來描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，利用它可以方便地研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的根軌跡法和頻率法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來的，它是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。1.傳遞函數(shù)的定義定義：零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。2.2.1傳遞函數(shù)的定義和表達(dá)式

控制系統(tǒng)的零初始條件有兩層含義：一是指系統(tǒng)輸入是在

時(shí)才作用于系統(tǒng)，所以，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在

時(shí)均為零；二是指輸入作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)工作狀態(tài)是穩(wěn)定的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在

時(shí)也為零。2.傳遞函數(shù)的表達(dá)式（1）有理分式形式表達(dá)式設(shè)階線性定常系統(tǒng)的微分方程為

式中，

是系統(tǒng)的輸出量；

是系統(tǒng)的輸入量；

和

都是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的常系數(shù)。在零初始條件下，兩端取拉普拉斯變換得若用

表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則根據(jù)定義有這是一個(gè)關(guān)于復(fù)變量

的有理分式，即為傳遞函數(shù)的有理分式形式表達(dá)式。（2）零極點(diǎn)形式表達(dá)式令對

和

進(jìn)行因式分解，可得傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式表達(dá)式為式中，

稱為零極點(diǎn)形式表達(dá)式的傳遞系數(shù)。這種形式表達(dá)式在根軌跡法中

使用較多，所以

又稱根軌跡增益；

是

的

個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

是

的

個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可能是實(shí)數(shù)，也可能是共軛復(fù)數(shù)。將零、極點(diǎn)分別用“

”和“

”表示在

平面上的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖。（3）時(shí)間常數(shù)形式表達(dá)式若

中有

個(gè)極點(diǎn)為0，則傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)形式表達(dá)式為

式中，一次因子對應(yīng)于不為0的實(shí)數(shù)零極點(diǎn)，二次因子對應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點(diǎn)；

，

；

和

稱為時(shí)間常數(shù)；

稱為時(shí)間常數(shù)形式表達(dá)式的傳遞系數(shù)，其與根軌跡增益

之間的關(guān)系為這種形式表達(dá)式在頻率法中使用較多，

又稱開環(huán)增益。例2-7試求例2-1

網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

，并畫出零極點(diǎn)圖。已知

，

，

。解：在例2-1中已建立出微分方程為在零初始條件下兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，得根據(jù)傳遞函數(shù)的定義并代入給定的元件參數(shù)有畫出零極點(diǎn)分布圖如圖示。2.2.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)

（1）傳遞函數(shù)是由拉普拉斯變換定義的，拉普拉斯變換是一種線性變換，因此傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。

（2）傳遞函數(shù)是復(fù)變量

的有理分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子階次

總是小于或等于分母階次

，即

，且所有系數(shù)都為實(shí)數(shù)。

（3）傳遞函數(shù)表示的是系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的表達(dá)式，不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)輸入量和輸出量的形式和大小無關(guān)，因此它表征了系統(tǒng)本身的特性。一個(gè)具有傳遞函數(shù)

的線性系統(tǒng)可以用如圖示的方框圖表示。

（4）傳遞函數(shù)與微分方程有相對應(yīng)的關(guān)系。微分方程左端和右端各階導(dǎo)數(shù)及其系數(shù)分別與相應(yīng)傳遞函數(shù)分母和分子多項(xiàng)式

的各次方及其系數(shù)相對應(yīng)。

（5）傳遞函數(shù)

與單位脈沖響應(yīng)

是一對拉普拉斯變換對，它們分別從復(fù)域和時(shí)域的角度表征了同一系統(tǒng)的特性。

單位脈沖響應(yīng)

定義為，零初始條件下單位脈沖信號

作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。

此時(shí)

，所以有

反之，有

（6）傳遞函數(shù)具有一定的局限性。一是它只能描述單輸入、單輸出系統(tǒng)，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)需采用現(xiàn)代控制理論中的傳遞函數(shù)矩陣來描述；二是它只表示系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的關(guān)系，而不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息，針對這一不足，可以用現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)變量法進(jìn)行彌補(bǔ)；三是它只能研究零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，而對非零初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性，需通過傳遞函數(shù)寫出微分方程，然后在考慮非零初始條件后進(jìn)一步進(jìn)行分析。解：（1）在例2-3中已建立出電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為例2-8（1）試求例2-3電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)

和

。

（2）若忽略擾動(dòng)的影響，確定電動(dòng)機(jī)的單位脈沖響應(yīng)。當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，有零初始條件下兩端進(jìn)行拉普拉斯變換并整理得當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，有零初始條件下兩端進(jìn)行拉普拉斯變換并整理得（2）電動(dòng)機(jī)的單位脈沖響應(yīng)為1.比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)或無慣性環(huán)節(jié)）微分方程為2.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為式中

，為比例系數(shù)或增益。比例環(huán)節(jié)的實(shí)例有電位器、理想運(yùn)算放大器、齒輪系、以電樞電壓為輸出轉(zhuǎn)子角速度為輸入的測速發(fā)電機(jī)等。2.積分環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的實(shí)例有運(yùn)放構(gòu)成的積分調(diào)節(jié)器、以轉(zhuǎn)子角位移為輸出量且忽略了電樞電路的等效電阻和電感及電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)等。3.慣性環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)的實(shí)例有電加熱爐、以轉(zhuǎn)子角速度為輸出量且忽略了電樞電路的等效電感的電樞控制直流電動(dòng)機(jī)、兩相伺服電動(dòng)機(jī)等。式中

，為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。4.振蕩環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為振蕩環(huán)節(jié)的實(shí)例有

無源網(wǎng)絡(luò)、彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)、雙容水槽等。式中

，為阻尼系數(shù)或阻尼比；

為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；

為無阻尼振蕩角頻率。5.微分環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為工程上，理想的微分環(huán)節(jié)是難以實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際的元部件或系統(tǒng)普遍存在慣性，因此實(shí)際的微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，其傳遞函數(shù)為微分環(huán)節(jié)的實(shí)例有以電壓為輸出電流為輸入的電感、以電樞電壓為輸出轉(zhuǎn)子角位移為輸入的測速發(fā)電機(jī)等。實(shí)際中，除微分環(huán)節(jié)外，還有一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。它們的微分方程分別為傳遞函數(shù)為式中

，為阻尼系數(shù)或阻尼比；

為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。6.延遲環(huán)節(jié)（時(shí)滯環(huán)節(jié)或時(shí)延環(huán)節(jié)）微分方程為傳遞函數(shù)為延遲環(huán)節(jié)的實(shí)例有很多，如管道壓力和流量等物理量的控制過程、皮帶輸送裝置、燃料輸送過程等都存在延遲環(huán)節(jié)。式中

為延遲時(shí)間。2.2.4MATLAB實(shí)現(xiàn)（1）傳遞函數(shù)模型傳遞函數(shù)模型用MATLAB提供的tf()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式如下。sys=tf(num,den)%建立連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sys。其中，num、den分別為傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式按降冪排列的系數(shù)向量。注意，若某項(xiàng)系數(shù)為0，向量中不可空缺，應(yīng)寫為0；若傳遞函數(shù)的分子或分母為多項(xiàng)式相乘的形式，則可以用MATLAB提供的多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv()得到分子或分母多項(xiàng)式向量，且conv()函數(shù)允許多級嵌套使用。sys=tf(num,den,Ts)%建立離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)模型sys，Ts是采樣周期。sys=tf(num,den,’InputDelay’,tao)%建立帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sys。其中，InputDelay為關(guān)鍵詞，tao為系統(tǒng)延遲時(shí)間。1.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在MATLAB中的描述經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在MATLAB中常用傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)模型來描述。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=conv([13],conv([105],[1710]));sys=tf(num,den)例2-9已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其傳遞函數(shù)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=s^2+5s+4--------------------------------------------s^5+10s^4+36s^3+80s^2+155s+150Continuous-timetransferfunction.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=tf([14],conv([11],[1710]),'InputDelay',0.35)例2-10已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其傳遞函數(shù)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=s+4exp(-0.35*s)*-----------------------s^3+8s^2+17s+10Continuous-timetransferfunction.（2）零極點(diǎn)模型零極點(diǎn)模型用MATLAB提供的zpk()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式如下。sys=zpk(z,p,k)%建立連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型sys。其中，z、p、k分別為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)向量、極點(diǎn)向量和增益。注意，若無零、極點(diǎn)，則用[]表示。sys=zpk(z,p,k,Ts)%建立離散時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型sys，Ts是采樣周期。sys=zpk(z,p,k,’InputDelay’,tao)%建立帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型sys。其中，InputDelay為關(guān)鍵詞，tao為系統(tǒng)延遲時(shí)間。解：MATLAB程序如下：clc;clearz=[-1-4];p=[0-2i*sqrt(3)-i*sqrt(3)];k=5;sys=zpk(z,p,k)例2-11已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其零極點(diǎn)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=5(s+1)(s+4)-----------------s(s+2)(s^2+3)Continuous-timezero/pole/gainmodel.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=zpk([-4],[-1-2-5],1,'InputDelay',0.35)例2-12用MATLAB建立例2-10系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型。運(yùn)行結(jié)果為sys=(s+4)exp(-0.35*s)*-----------------(s+1)(s+2)(s+5)Continuous-timezero/pole/gainmodel.2.傳遞函數(shù)模型與零極點(diǎn)模型的相互轉(zhuǎn)換MATLAB提供了傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)tf2zp()和zp2tf()，其調(diào)用格式如下。[z,p,k]=tf2zp(num,den)%將分子系數(shù)向量為num、分母系數(shù)向量為den的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零點(diǎn)向量為z、極點(diǎn)向量為p、增益為k的零極點(diǎn)模型[num,den]=zp2tf(z,p,k)%將零點(diǎn)向量為z、極點(diǎn)向量為p、增益為k的零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換為分子向量為num、分母向量為den的傳遞函數(shù)模型。注意，z和p必須是列向量。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=[1103680155150];[z,p,k]=tf2zp(num,den)例2-13已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為用MATLAB將其轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)模型。運(yùn)行結(jié)果為z=-4-1p=-5.0000+0.0000i-0.0000+2.2361i-0.0000-2.2361i-3.0000+0.0000i-2.0000+0.0000ik=1即系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型為若運(yùn)行程序[num,den]=zp2tf([-1;-4],[-2;-3;-5;i*sqrt(5);-i*sqrt(5)],1)結(jié)果為num=000154den=1.000010.000036.000080.0000155.0000150.0000即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是用來描述系統(tǒng)各環(huán)節(jié)或元部件之間信號傳遞關(guān)系的一種圖示數(shù)學(xué)模型，是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡捷方法，具有形象、直觀等特點(diǎn)。它既可以用來描述線性系統(tǒng)，也可以用于描述非線性系統(tǒng)。定義：將系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)或元部件用標(biāo)明其傳遞函數(shù)的方框表示，并根據(jù)它們之間信號的流動(dòng)方向用信號線把各方框依次連接起來所得的圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。2.3.1結(jié)構(gòu)圖的定義和組成組成：由信號線、比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)或相加點(diǎn)）、引出點(diǎn)（分支點(diǎn)或測量點(diǎn)）和方框四個(gè)基本元素組成。（1）信號線：用帶有箭頭的直線表示，箭頭表示信號的流動(dòng)方向，在直線旁標(biāo)明信號的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)，如圖示。（2）比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)或相加點(diǎn)）：表示對兩個(gè)及兩個(gè)以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算，“

”號表示信號相加，“

”號表示信號相減，通?！?/p>

”號可以省略，但“

”號必須標(biāo)明，如圖示。（3）引出點(diǎn)（分支點(diǎn)或測量點(diǎn)）：表示信號引出或測量的位置，從同一點(diǎn)引出的信號完全相同,如圖示。（4）方框：表示對環(huán)節(jié)或元部件的輸入與輸出信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，方框中寫入環(huán)節(jié)或元部件的傳遞函數(shù),如圖示。則有2.3.2結(jié)構(gòu)圖的繪制

繪制步驟：

（1）按系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解各環(huán)節(jié)或元部件，確定其輸入、輸出信號，并列寫它們的微分方程。

（2）通過拉普拉斯變換，將各微分方程在零初始條件下變換成

域的代數(shù)方程。

（3）將每個(gè)

域代數(shù)方程（代表一個(gè)環(huán)節(jié)或元部件）用一個(gè)方框表示。

（4）根據(jù)各環(huán)節(jié)或元部件的信號流向，用信號線將各方框依次連接即可。例2-14

繪制例2-1

網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解：在例2-1中已經(jīng)列出了系統(tǒng)各元件的微分方程為在零初始條件下進(jìn)行拉普拉斯變換，得分別繪制各元件的方框如圖示。用信號線按信號流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來，得到

網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。例2-15繪制例2-3電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)圖。解：在例2-3中已經(jīng)列出了系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程為在零初始條件下進(jìn)行拉普拉斯變換，得分別繪制各元件的方框如圖示。用信號線按信號流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來，得到電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。1.結(jié)構(gòu)圖的簡化原則

結(jié)構(gòu)圖在簡化時(shí)必須遵循等效變換的原則。所謂等效變換，即對結(jié)構(gòu)圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前后的輸入量、輸出量及其相互之間的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。2.3.3結(jié)構(gòu)圖的簡化（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化環(huán)節(jié)的串聯(lián)是指前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出信號是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入信號，依次順序連接,如圖示。2.結(jié)構(gòu)圖簡化的基本規(guī)則由圖可得則串聯(lián)后的傳遞函數(shù)為即串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。其等效結(jié)構(gòu)圖如圖示。（2）并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化環(huán)節(jié)的并聯(lián)是指各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號等于各環(huán)節(jié)輸出信號的代數(shù)和，如圖示。由圖可得則并聯(lián)后的傳遞函數(shù)為即并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。其等效結(jié)構(gòu)圖如圖示。（3）反饋連接環(huán)節(jié)的簡化由圖可得環(huán)節(jié)的反饋連接是指將環(huán)節(jié)的輸出信號返回到輸入端與輸入信號進(jìn)行比較，從而構(gòu)成閉環(huán)的連接方式，如圖示圖?！?/p>

”號表示負(fù)反饋，“

”號表示正反饋。即則反饋連接環(huán)節(jié)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其等效結(jié)構(gòu)圖如圖示。（4）比較點(diǎn)的移動(dòng)由圖可得比較點(diǎn)的移動(dòng)通常有比較點(diǎn)前移、比較點(diǎn)后移及比較點(diǎn)的交換和合并等。前移移動(dòng)前，如圖示。移動(dòng)后，如圖示。由圖可得可見：兩者等效。后移移動(dòng)前，如圖示。移動(dòng)后，如圖示。交換和合并交換和合并前，如圖示。交換后，如圖示。合并后，如圖示。（5）引出點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)的移動(dòng)通常也有前移、后移及交換和合并等。移動(dòng)前，如圖示。后移由圖可得引出點(diǎn)信號為移動(dòng)后，如圖示。由圖可得引出點(diǎn)信號為可見：兩者等效。移動(dòng)前，如圖示。移動(dòng)后，如圖示。前移交換和合并交換和合并前，如圖示。交換后，如圖示。合并后，如圖示。教材表2-3-1列出了結(jié)構(gòu)圖簡化的基本規(guī)則，以便查看。例2-16通過結(jié)構(gòu)圖簡化求取例2-1

網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

。解：該結(jié)構(gòu)圖具有兩重負(fù)反饋連接，可采用先內(nèi)反饋后外反饋的方法，逐級簡化反饋連接環(huán)節(jié)。在例2-14中已繪制出

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖為首先，

和

構(gòu)成負(fù)反饋連接，簡化后如圖示。然后，

和

構(gòu)成串聯(lián)連接，簡化后如圖示。此為一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，可求得傳遞函數(shù)為例2-17某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示，試對其進(jìn)行簡化，并求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。解：首先將

后面的引出點(diǎn)前移，簡化后如圖示。然后根據(jù)并聯(lián)和反饋連接規(guī)則，簡化后如圖示。最后根據(jù)串聯(lián)和反饋連接規(guī)則即可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2-18某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示，試對其進(jìn)行簡化，并求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。其中

，

，

，

，

，

。解：首先將

前面的引出點(diǎn)后移，

后面的比較點(diǎn)前移，

前面的比較點(diǎn)后移，并將三個(gè)比較點(diǎn)合并，簡化后如圖示。然后根據(jù)串聯(lián)和并聯(lián)連接規(guī)則，簡化后如圖示。最后根據(jù)串聯(lián)和反饋連接規(guī)則即可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為代入給定的各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2-19某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示，試對其進(jìn)行簡化，并求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

和

。解：當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。根據(jù)反饋連接規(guī)則，簡化后如圖示?？汕蟮孟到y(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。首先將

前面的比較點(diǎn)后移，簡化后如圖示。然后根據(jù)反饋連接規(guī)則，簡化后如圖示。其次將

后面的比較點(diǎn)后移并將兩個(gè)比較點(diǎn)合并，簡化后如圖示。最后根據(jù)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接規(guī)則可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.3.4MATLAB實(shí)現(xiàn)1.串聯(lián)連接兩個(gè)系統(tǒng)的串聯(lián)連接用MATLAB提供的series()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為sys=series(sys1,sys2)%將系統(tǒng)sys1和sys2進(jìn)行串聯(lián)連接。此連接方式相當(dāng)于sys=sys1×sys2。2.并聯(lián)連接兩個(gè)系統(tǒng)的并聯(lián)連接用MATLAB提供的parallel()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為sys=parallel(sys1,sys2)%將系統(tǒng)sys1和sys2進(jìn)行并聯(lián)連接。此連接方式相當(dāng)于sys=sys1＋sys2。3.反饋連接兩個(gè)系統(tǒng)的反饋連接用MATLAB提供的feedback()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為sys=feedback(sys1,sys2,sign)%將系統(tǒng)sys1和sys2進(jìn)行反饋連接。其中sys1是前向通道子系統(tǒng)，sys2是反饋通道子系統(tǒng)，字符串sign指定反饋的極性，sign=1時(shí)表示正反饋，sign=-1或缺省時(shí)表示負(fù)反饋。解：MATLAB程序如下：clc;clearG1=tf([2],[1]);numG2=[3];denG2=[10];G2=tf(numG2,denG2);numG3=[5];denG3=conv([10],[61]);G3=tf(numG3,denG3);G4=1;H1=tf([4],[1]);H2=1;G31=tf(denG3,numG3);%G3前面的引出點(diǎn)后移G21=tf(denG2,numG2);%G2后面的比較點(diǎn)前移例2-20利用MATLAB求例2-18系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。sys1=series(G2,G3);sys2=series(H1,G31);sys3=series(G1,H2);sys4=series(G4,G21);sys5=parallel(sys2,sys3);sys6=parallel(G1,sys4);sys7=feedback(sys1,sys5);sys=series(sys6,sys7)運(yùn)行結(jié)果為sys=75s+450-------------------------------90s^3+1095s^2+180s+450Continuous-timetransferfunction.即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.4控制系統(tǒng)的信號流圖

信號流圖是由美國數(shù)學(xué)家S.J.Mason（梅森）于20世紀(jì)50年代提出的，用來表示線性代數(shù)方程組的一種圖示方法。在控制理論中，它是描述系統(tǒng)元部件間信號傳遞關(guān)系的另一種圖示數(shù)學(xué)模型。與結(jié)構(gòu)圖相比，信號流圖具有符號簡單、便于繪制、直觀形象等特點(diǎn)，但它只能用來描述線性系統(tǒng)。1.信號流圖的定義和組成2.4.1信號流圖的概念（1）節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中信號或變量的點(diǎn)，用符號“o”表示。定義：由節(jié)點(diǎn)和有向支路構(gòu)成的，能表示信號流動(dòng)方向與系統(tǒng)功能的圖，稱為系統(tǒng)的信號流圖。組成：由節(jié)點(diǎn)、支路和支路增益三個(gè)基本元素組成，如圖示。（2）支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段，用符號“

”表示，箭頭表示信號流動(dòng)的方向。在信號流圖中，信號是單方向流動(dòng)的。（3）支路增益：表示支路上信號或變量的傳遞關(guān)系，用寫在支路旁邊的函數(shù)“

”表示，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中某個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。有2.信號流圖中的常用術(shù)語在信號流圖中，常使用一些專用的名詞術(shù)語。下面以圖示信號流圖為例進(jìn)行介紹。（1）源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

。它通常是系統(tǒng)的輸入信號。（2）阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

。它通常是系統(tǒng)的輸出信號。（3）混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

、

和

。它通常是系統(tǒng)的中間變量。對于任意一個(gè)混合節(jié)點(diǎn)，都可以通過引出一條支路增益為1的支路將其變?yōu)橼骞?jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)

。（4）前向通路及其增益：從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿支路箭頭方向（不能是相反方向），連續(xù)經(jīng)過相連支路而到達(dá)阱節(jié)點(diǎn)，且經(jīng)過每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅一次的路徑稱為前向通路。將前向通路上各支路增益的乘積稱為前向通路增益。如圖中有兩條前向通路：一條是

，其前向通路增益為

；另一條是

，其前向通路增益為

。（5）回路及其增益：從某一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，順著信號流動(dòng)的方向又回到該節(jié)點(diǎn)，且經(jīng)過其余節(jié)點(diǎn)僅一次的閉合路徑稱為回路。將回路中各支路增益的乘積稱為回路增益。只有一條支路的回路稱為自回路。如圖中有四個(gè)回路：第一個(gè)是

，其回路增益為

；第二個(gè)是

，

,其回路增益為

；第三個(gè)是

，其回路增益為

；第四個(gè)是

，其回路增益為

，此為一個(gè)自回路。（6）不接觸回路：沒有公共節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)或兩個(gè)以上回路稱為不接觸回路。如圖中有一對互不接觸回路：

和

。3.信號流圖的性質(zhì)（1）信號流圖只適用于線性系統(tǒng)。（2）節(jié)點(diǎn)表示的變量是所有流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)的信號之和，而從同一節(jié)點(diǎn)流出到各支路的信號均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。（3）支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時(shí)，乘以支路增益而變?yōu)榱硪恍盘?。?）信號只能在支路上沿箭頭方向單向傳遞。（5）對于給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。信號流圖具有以下基本性質(zhì):2.4.2信號流圖的繪制

繪制步驟：（1）通過拉普拉斯變換，將微分方程組變換成

域的代數(shù)方程組。（2）將系統(tǒng)每個(gè)變量用一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示，并根據(jù)信號傳遞的方向從左向右排列。（3）按照方程中各變量的因果關(guān)系，用標(biāo)有支路增益的支路將各節(jié)點(diǎn)變量連接即可。1.已知系統(tǒng)的微分方程，繪制信號流圖解：例2-21畫出圖示

無源濾波網(wǎng)絡(luò)的信號流圖。以如圖所示電流

、

和

為中間變量，根據(jù)伏安特性和基爾霍夫定律，可列出系統(tǒng)的微分方程組為在零初始條件下進(jìn)行拉普拉斯變換，得然后，對變量

、

、

、

及

設(shè)置五個(gè)節(jié)點(diǎn)并自左向右順序排列。第三步，按照方程中各變量的因果關(guān)系，用標(biāo)有相應(yīng)支路增益的支路將各節(jié)點(diǎn)連接起來，便得到

無源濾波網(wǎng)絡(luò)的信號流圖如圖示。繪制步驟：（1）確定節(jié)點(diǎn)：將結(jié)構(gòu)圖中的輸入變量設(shè)為源節(jié)點(diǎn)，輸出變量設(shè)為阱節(jié)點(diǎn)，每個(gè)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)均各設(shè)為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，但應(yīng)注意：①比較點(diǎn)和比較點(diǎn)之后的引出點(diǎn)只需在比較點(diǎn)后設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)即可；②比較點(diǎn)和比較點(diǎn)之前的引出點(diǎn)需各設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示兩個(gè)變量，它們之間的支路增益是1。（2）將各個(gè)節(jié)點(diǎn)按照結(jié)構(gòu)圖上的位置依次排列。（3）用標(biāo)有傳遞函數(shù)的有向線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，即為信號流圖的支路，這樣就得到了系統(tǒng)的信號流圖。2.已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，繪制信號流圖解：在例2-14中已畫出該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖示。例2-22畫出例2-1中

網(wǎng)絡(luò)的信號流圖。在圖中

、A、B、C及

處設(shè)五個(gè)節(jié)點(diǎn)，并依次排列，然后按結(jié)構(gòu)圖中給出的關(guān)系畫出各節(jié)點(diǎn)的支路，得到

網(wǎng)絡(luò)的信號流圖如圖示。梅森增益公式的一般表達(dá)式為2.4.3梅森增益公式

在控制工程中，對于信號流圖，通常利用梅森增益公式直接獲得系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。：從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)（或系統(tǒng)總增益）:特征式，:所有不同回路的回路增益之和：所有兩個(gè)互不接觸回路的回路增益乘積之和:所有三個(gè)互不接觸回路的回路增益乘積之和：從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的前向通路總數(shù):從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)