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文檔簡介

廣東省茂名地區(qū)2025屆高考數(shù)學必刷試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則=()A. B. C. D.2.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點在同一個球上,則球的表面積為()A. B. C. D.3.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知集合(),若集合,且對任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若不等式對任意的恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復數(shù)在復平面內對應的點位于第三象限C.的共軛復數(shù) D.7.已知,是兩條不重合的直線,是一個平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則8.已知函數(shù),若則()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)9.已知正項等比數(shù)列滿足,若存在兩項,,使得,則的最小值為().A.16 B. C.5 D.410.如圖是甲、乙兩位同學在六次數(shù)學小測試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說法錯誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等11.方程在區(qū)間內的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.1012.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調遞減,已知是銳角三角形的兩個內角,則的大小關系是()A. B.C. D.以上情況均有可能二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.西周初數(shù)學家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù),則這3個數(shù)能構成勾股數(shù)的概率為__________.14.某校高三年級共有名學生參加了數(shù)學測驗(滿分分),已知這名學生的數(shù)學成績均不低于分,將這名學生的數(shù)學成績分組如下:,,,,,,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法中正確的是________(填序號).①;②這名學生中數(shù)學成績在分以下的人數(shù)為;③這名學生數(shù)學成績的中位數(shù)約為;④這名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為.15.已知點P是直線y=x+1上的動點,點Q是拋物線y=x2上的動點.設點M為線段PQ的中點,O為原點,則16.已知雙曲線的左右焦點分別為,過的直線與雙曲線左支交于兩點,,的內切圓的圓心的縱坐標為,則雙曲線的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某企業(yè)質量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質量情況,從生產(chǎn)線上隨機抽取了個零件進行測量,根據(jù)所測量的零件尺寸(單位:mm),得到如下的頻率分布直方圖:(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這個零件尺寸的中位數(shù)(結果精確到);(2)若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個,設表示尺寸在上的零件個數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)已知尺寸在上的零件為一等品,否則為二等品,將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進行成箱包裝出售,每箱個.企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗,已知每個零件的檢驗費用為元.若檢驗,則將檢驗出的二等品更換為一等品;若不檢驗,如果有二等品進入買家手中,企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了個,結果有個二等品,以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù),該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗?請說明理由.18.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函數(shù)h(x)的單調區(qū)間;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,且滿足1e(e為自然對數(shù)的底數(shù))求x1?x2的最大值.19.(12分)某大學開學期間,該大學附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務的前54單沒有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務量,現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機選取一天,估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應聘,四人選擇日工資方案相互獨立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長為2的正方形,側面為正三角形,且面面,分別為棱的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當時,解不等式;(2)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知動圓恒過點,且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程;(2)設是軌跡上橫坐標為2的點,的平行線交軌跡于,兩點,交軌跡在處的切線于點,問:是否存在實常數(shù)使,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎題.2、A【解析】

將正四面體補成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補形成一個正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關鍵在于,巧妙構造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉化,屬于中檔題.3、C【解析】

先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點,判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點,所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎題.4、C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因為,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.5、A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程,在同一直角坐標系內畫出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結合進行求解即可.【詳解】當時,,所以函數(shù)在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示:利用數(shù)形結合思想可知:不等式對任意的恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是.故選:A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結合思想解決不等式恒成立問題,考查了導數(shù)的應用,屬于中檔題.6、D【解析】

利用的周期性先將復數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因為,,,所以的周期為4,故,故的虛部為2,A錯誤;在復平面內對應的點為,在第二象限,B錯誤;的共軛復數(shù)為,C錯誤;,D正確.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,涉及到復數(shù)的虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模等知識,是一道基礎題.7、D【解析】

利用空間位置關系的判斷及性質定理進行判斷.【詳解】解:選項A中直線,還可能相交或異面,選項B中,還可能異面,選項C,由條件可得或.故選:D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質與判定等基礎知識;考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎題.8、C【解析】

利用導數(shù)求得在上遞增,結合與圖象,判斷出的大小關系,由此比較出的大小關系.【詳解】因為,所以在上單調遞增;在同一坐標系中作與圖象,,可得,故.故選:C【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查利用函數(shù)的單調性比較大小,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.9、D【解析】

由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設等比數(shù)列公比為,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,當且僅當時,等號成立.故選:D.【點睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題,涉及到等比數(shù)列的知識,是一道中檔題.10、B【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結論.【詳解】對于甲,;對于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯誤;對于甲,方差.5,對于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點睛】本題考查莖葉圖的應用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計算能力,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.11、C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像,和均關于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學生的計算能力和應用能力,確定函數(shù)關于點中心對稱是解題的關鍵.12、B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調性,結合三角函數(shù)的性質即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因為在區(qū)間上單調遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調遞增,因為,是銳角三角形的兩個內角,所以且即,所以即,.故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由組合數(shù)結合古典概型求解即可【詳解】從11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)有種不同的方法,其中能構成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【點睛】本題考查古典概型與數(shù)學文化,考查組合問題,數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.14、②③【解析】

由頻率分布直方圖可知,解得,故①不正確;這名學生中數(shù)學成績在分以下的人數(shù)為,故②正確;設這名學生數(shù)學成績的中位數(shù)為,則,解得,故③正確;④這名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為,故④不正確.綜上,說法正確的序號是②③.15、3【解析】

過點Q作直線平行于y=x+1,則M在兩條平行線的中間直線上,當直線相切時距離最小,計算得到答案.【詳解】如圖所示:過點Q作直線平行于y=x+1,則M在兩條平行線的中間直線上,y=x2,則y'=2x=1,x=1點M為線段PQ的中點,故M在直線y=x+38時距離最小,故故答案為:32【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,轉化為切線問題是解題的關鍵.16、2【解析】

由題意畫出圖形,設內切圓的圓心為,圓分別切于,可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質結臺雙曲線的定義,求得的內切圓的圓心的縱坐標,結合已知列式,即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設內切圓的圓心為,圓分別切于,連接,則,故四邊形為正方形,邊長為圓的半徑,由,,得,與重合,,,即——①,——②聯(lián)立①②解得:,又因圓心的縱坐標為,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質,考查數(shù)形結合思想與運算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)分布列見詳解,期望為;(3)余下所有零件不用檢驗,理由見詳解.【解析】

(1)計算的頻率,并且與進行比較,判斷中位數(shù)落在的區(qū)間,然后根據(jù)頻率的計算方法,可得結果.(2)計算位于之外的零件中隨機抽取個的總數(shù),寫出所有可能取值,并計算相對應的概率,列出分布列,計算期望,可得結果.(3)計算整箱的費用,根據(jù)余下零件個數(shù)服從二項分布,可得余下零件個數(shù)的期望值,然后計算整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值,進行比較,可得結果.【詳解】(1)尺寸在的頻率:尺寸在的頻率:且所以可知尺寸的中位數(shù)落在假設尺寸中位數(shù)為所以所以這個零件尺寸的中位數(shù)(2)尺寸在的個數(shù)為尺寸在的個數(shù)為的所有可能取值為1,2,3,4則,,所以的分布列為(3)二等品的概率為如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為(元)余下二等品的個數(shù)期望值為如果不對余下的零件進行檢驗,整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為(元)所以,所以可以不對余下的零件進行檢驗.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用,掌握中位數(shù),平均數(shù),眾數(shù)的計算方法,中位數(shù)的理解應該從中位數(shù)開始左右兩邊的頻率各為0.5,考驗分析能力以及數(shù)據(jù)處理,屬中檔題.18、(1)單調遞增區(qū)間是(0,e),單調遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)【解析】

(1)化簡函數(shù)h(x),求導,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調性的關系即可求出(2)函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,則f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消參數(shù)m化簡整理可得ln(x1x2)=ln?,設t,構造函數(shù)g(t)=()lnt,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值.【詳解】(1)令m=2,函數(shù)h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴當x∈(0,e)時,h′(x)>0,當x∈(e,+∞)時,h′(x)<0,∴函數(shù)h(x)單調遞增區(qū)間是(0,e),單調遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個不等正根,∴l(xiāng)nx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,兩式相減可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),兩式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴l(xiāng)n(x1x2)=ln?,設t,∵1e,∴1<t≤e,設g(t)=()lnt,∴g′(t),令φ(t)=t2﹣1﹣2tlnt,∴φ′(t)=2t﹣2(1+lnt)=2(t﹣1﹣lnt),再令p(t)=t﹣1﹣lnt,∴p′(t)=10恒成立,∴p(t)在(1,e]單調遞增,∴φ′(t)=p(t)>p(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴φ(t)在(1,e]單調遞增,∴g′(t)=φ(t)>φ(1)=1﹣1﹣2ln1=0,∴g(t)在(1,e]單調遞增,∴g(t)max=g(e),∴l(xiāng)n(x1x2),∴x1x2故x1?x2的最大值為.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值和最值,考查了函數(shù)與方程的思想,轉化與化歸思想,屬于難題19、(1)0.4;(2);(3)應選擇方案,理由見解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨立重復試驗概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對立事件概率性質即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設騎手每日完成外賣業(yè)務量為件,分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式,即可計算兩種計算方式下的數(shù)學期望,并根據(jù)數(shù)學期望作出選擇.【詳解】(1)設事件為“隨機選取一天,這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的頻率分別為,∵,∴估計為0.4.(2)設事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”,設事件,為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”,則,所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.(3)設騎手每日完成外賣業(yè)務量為件,方案的日工資,方案的日工資,所以隨機變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05;同理,隨機變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵,∴建議騎手應選擇方案.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡單應用,獨立重復試驗概率的求法,數(shù)學期望的求法并由期望作出方案選擇,屬于中檔題.20、(1)見證明;(2)【解析】

(1)取PD中點G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證線面平行;(2)取AD中點O,連結PO,可得面,連交于,可證是二面角的平面角,再在中求解即得.【詳解】(1)證明:取PD中點G,連結為的中位線,且,又且,且,∴EFGA是平行四邊形,則,又面,面,面;(2)解:取AD

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