第4篇：平面向量與斜坐標(biāo)系

#斜坐標(biāo)系向量的坐標(biāo)表示微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組

斜坐標(biāo)系向量的坐標(biāo)表示微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組

如圖1,以平面內(nèi)兩個(gè)夾角為90。的

單位向量i、j所在直線為x軸、y—U.f.軸建立直角坐標(biāo)系xOy，?。鹖,j｝作為基底，對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向-量。，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得— — "sira=xi+yj這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a在基底i、j下的坐標(biāo)，記作微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組《平面向量深度?系統(tǒng)講義》第4篇：平面向量與斜坐標(biāo)系為了方便讀者朋友理解、記憶，第4篇平面向量與斜坐標(biāo)系內(nèi)容將直角坐標(biāo)系及斜坐標(biāo)系下的向量性質(zhì)、直線方程若干性質(zhì)以表格的形式對(duì)比呈現(xiàn).直角坐標(biāo)系如圖」，以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量OA、OB所在直線為x軸、y軸建立坐標(biāo)系xOy，取｛OA,OB｝作為基底(OA、OB的夾角為9豐90。，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得OP=xOA+yOB這樣，平面內(nèi)的任一向量OP都可由x,y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量OP在基底OA、OB下的坐標(biāo)，記作OP=(x,y) ②其中x叫做OP在x軸上的坐標(biāo)，y叫做OP在y軸上的坐標(biāo)，②叫做OP的坐標(biāo)

a=(^,y) ①其中X叫做a在X軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，①叫做a的坐標(biāo)表示.表示、 微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組說明：如何建立斜坐標(biāo)系？如何在斜坐標(biāo)系下寫向量坐標(biāo)？是我們利用斜坐標(biāo)系解題的“唯二”理論依據(jù)，另一個(gè)理論依據(jù)是我們課本上的平面向量的相關(guān)知識(shí)，畢竟斜坐標(biāo)系解決的還是平面向量問題.在上述理論依據(jù)的基礎(chǔ)上，本篇我們著重探究斜坐標(biāo)系下三大向量問題，即：①向量的線性表示問題②向量的數(shù)量積問題③向量相關(guān)的最值問題.(其實(shí)這三大問題，在我們前三篇都有講過，例如在向量相關(guān)的最值問題中我們講過等和線定理，在向量的線性表示問題中我們講過爪字模型等等，今天我們通過斜坐標(biāo)系，為上述問題提供全新解法與全新思路)性質(zhì)1特殊坐標(biāo)在斜坐標(biāo)系下：O(0,0),A(1,0),B(0,1)在斜坐標(biāo)系下：0(0,0),A(1,0),B(0,1)證明：因?yàn)?=00A+0OB,0A=0A+0OB,0B=00A+OB所以由斜坐標(biāo)系下的向量坐標(biāo)表示定義知：0(0,0),A(1,0),B(0,1)性質(zhì)2加減法&=X1i+y1j=(X1,y1)P=X2i+y2j=(X2，y2)&土P=(x1土x2)i+(y1土y2)j=(X1±X2,y1±y2)微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組&=x10A+y10B=(x1,y1)P=X20A+y20B=(x2,y2)&±P=(x1±x2)0A+(y1±y2)0B=(x1±X2,y1±y2)斜坐標(biāo)系下的向量加減坐標(biāo)運(yùn)算與直角坐標(biāo)系下一致.

性質(zhì)3平行性&=(x1,y1),B=(x2,y2)dBoa=X廠oxi+yj=入xi+入yj1 1 2 2n1=y1^入oxy—xy=0xy 12 212 2微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組d=(x1,y1),p=(x2,y2)dpoa二九p『ox1OA+y1OB='x2OA+入y2OBn"=y1=入oxy—xy=0xy 12 212 2斜坐標(biāo)系下的向量的平行判定與直角坐標(biāo)系下一致.性質(zhì)4數(shù)量積d=x1i+y1j=(x1,y1)B=x2i+y2j=(x2,y2)d-P=(x1i+y；j)?(x；i+y2j)-2 -2/ 、--=x1x2i+y1y2j+(x1y2+x2y1)i-j=x1x+丁1y2設(shè)IOA1=m,1OB1=nd=x1OA+y1OB=(x1,y1)p=x20A+y2OB=(x2,y2)a.P=(x1OA+y1OB).(x2OA+y2OB)=x1x2OA+y1y2OB+(x1y2+x2y1)OA-OB=xx-m2+yy-n212 12+(xy2+x2y)m?n?cosZAOB微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組斜坐標(biāo)系下的向量的數(shù)量積與直角坐標(biāo)系下差別較大，從我們化簡(jiǎn)的結(jié)果的形式出發(fā)，我們總結(jié)斜坐標(biāo)系下數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則：Step1.以O(shè)AO所在直線為x軸、y軸建立坐標(biāo)系建立斜坐標(biāo)系Step2.標(biāo)記坐標(biāo)A(m,0),B(0,n)，并以此為起點(diǎn)標(biāo)記相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫出向量坐標(biāo)：d=(x',y')，-p=(x',y')1 1 2 2Step3.代入斜坐標(biāo)系下的數(shù)量積公式：

&.P=x'?x'+yf-yf1 2 1 2+（x'-y'+x'-y'）-cosZAOB12 2 1性質(zhì)5模長(zhǎng)&=x1i+y1j=（x1,y1）|a|=^?2_jx2+y2微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)精品課結(jié)合性質(zhì)4斜坐標(biāo)系下向量數(shù)量積公式，我們不難推出斜坐標(biāo)系下向量模長(zhǎng)公式：Step1.以O(shè)A、OB所在直線為x軸、y軸建立坐標(biāo)系建立斜坐標(biāo)系Step2.標(biāo)記坐標(biāo)A(m,0),B(0,n)，并以此為起點(diǎn)標(biāo)記相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫出向量坐標(biāo)：&=（x',y'）1 1Step3.代入斜坐標(biāo)系下的數(shù)量積公式：1&|=6微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組=Jx'2+y'2+2x'-y'-cosZAOB1 1 1 1斜坐標(biāo)系下向量數(shù)量積公式和向量模長(zhǎng)公式，理論描述比較復(fù)雜(主要目的是幫助大家理解)，實(shí)際操作比較簡(jiǎn)單——即以基底實(shí)際長(zhǎng)度標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)，具體操作見下文例題,分點(diǎn)2 2 21 1 132,y2),次羽y)，若已知P/yJ，PP=入pp則OP則OP=OP+OPWR1TVR2則OP=OP+OP1TX11TX2x+入xx=11+-2, （九豐-1）即y+人yy=—1——1+九

x+Xxx=11+X2坐標(biāo)公式 1+, (Xw-1)y+Xy1y=-W即P=(X1+XX2,y1+Xy2)1+X 1+X微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組P=(X1+XX2,y1+Xy2)(1+X,1+X)證明：如圖4,因?yàn)镻P=XPP1 2即OP—OP1=l(OP2—~OP)，所以O(shè)P=1OP+OPT+X1TTX2所以(X,y)=('1，y1)：+2,y2)1+X所以P=心士2Hz2)1+X 1+X直線方程y1.兩點(diǎn)式如圖5,設(shè)直線l上的任意兩點(diǎn)E(X1,y1),F(x2,y2)(X產(chǎn)X2,y產(chǎn)y2)則直線l的方程：X-X1 X1-X2我們把方程③定義為直線l在直角坐標(biāo)系xOy下的方程（兩點(diǎn)式）.y-y其中_j_2=k，我們稱其為直X1-X21.兩點(diǎn)式如圖6,設(shè)直線l上的任意兩點(diǎn)E(X1,y1),F(X2,y2)(X1wX2),設(shè)Q(X,y)為直線l上的任意一點(diǎn)，則OQ=xOA+yOB,易知OE=x1OA+y1OB,OF=x2OA+y2OB又OQ=XOE+(1-X)OF所以xOA+yOB=[XX1+(1-X)XJOA+Xy+(1-X)y化簡(jiǎn)得:化簡(jiǎn)得:線1在直角坐標(biāo)系xOy下的斜率.2.截距式微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組y-yy-y 1=_J 2x-x1 x1-x2我們把方程④定義為直線1在斜坐標(biāo)系J11(0,n)J11(0,n)jr * OiA E(m,0)■x圖7特殊地，如圖7,當(dāng)E、F兩點(diǎn)分別位于x軸y軸上，即E(m,0)、F(0,n)兩點(diǎn)時(shí)(其中m、n分別稱為直線1在x、y軸上的截距，m-n豐0).則代入上文兩點(diǎn)式有：微信公眾號(hào)：邏輯數(shù)學(xué)教研組x+)=1 ⑤mn我們把方程⑤定義為直線1在直角坐標(biāo)系xOy下的方程(截距式).圖8特殊地，如圖8,當(dāng)E、F兩點(diǎn)分別位于xOy下的方程(兩點(diǎn)式).y-y其中-—2=k，我們稱其為直線1在斜x1-x2坐標(biāo)系xOy下的斜率.2.截距式x軸y軸上，即E(m,0)、F(0,n)兩點(diǎn)時(shí)(其中m、n分別稱為直線1在x、y軸上的截距，m-n豐0).則代入上文兩點(diǎn)式有：x+y=1 ⑤mn我們把方程⑤定義為直線1在斜坐標(biāo)系xOy下的方程(截距式).性質(zhì)7兩直線平行，斜率相等兩直線平行，斜率相等典型例題題型一向量的線性表示問題.如圖所示,在平行四邊形ABCD中，-AE=_1AB,AF=JAD,CE與BF相交于G點(diǎn)，記3 4AB=a,AD=b,則AG=

A.2 3A.B.CaC—bC._〃+—bD.—a+—b7 7 7 7 7 7解析：解法一寫兩遍解析：解法一寫兩遍因?yàn)锳G=xAE+（1一x）AC,又AE=1AB=1a,AC=a+bTOC\o"1-5"\h\z， 3 3，1 八、，i、八2x所以AG=xx-a+（1一x）（a+b）=（1一一）a+（1一x）b①3同理AG=yAB+（1-y）AF,又AF=-AD=-b,,4所以AG=ya+（1-y）-b②4「1-2x=y 「x=6結(jié)合平面向量基本定理，由①②兩式可得：］ 31-y，解得］ 31—x= ?y=1. 173 1所以AG=-a+-b.7 7如圖，以向量AB、AD'所在直線為x軸、y軸建立坐標(biāo)系xOy,?。鸄B,AD｝作為基底…… 1八八1 3,r則B(1,0),D(0,1),E(丁0),F(0,),C(1,1)由兩點(diǎn)式寫出直線EC方程：/：y=-(x--)3 4 Ec2 3fx+4y=1 'x=由截距式寫出直線fb方程：由截距式寫出直線fb方程：IF」x+4y=1，聯(lián)立尸3(x」)得j2 3I7于是AG=題型二向量的數(shù)量積問題.設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，IAB1=6,1AD1=4,若點(diǎn)M,N滿足BM=3MC,DN=2NC,則AM-NM=()A.20 B.15 C.9 D.6解法一：基底轉(zhuǎn)化解法一：基底轉(zhuǎn)化AM=AB+3BC=AB+3AD①,AN=AD+2DC=AD+2AB②4 4 ' 3 3所以NM=AM—AN,所以AM?NM=AM(AM'-AN)③將①②代入③式化簡(jiǎn)即得AM-NM=9解法二：斜坐標(biāo)系解法二：斜坐標(biāo)系如圖，以向量AB、AD.所在直線為x軸、y軸建立坐標(biāo)系xOy,由于這里需要計(jì)算數(shù)量積，所以我們?cè)跇?biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)的時(shí)候，用題干中給定的實(shí)際數(shù)據(jù)標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)，即：A(0,0),B(6,0),D(0,4),M(6,3),N(4,4)于是AM=(6,3),NM=(2,-1)，代入斜坐標(biāo)系下向量數(shù)量積公式得:AM?NM=6x2+3x(-1)+[6x(-1)+3x2卜cos/DAB=9解法三：特殊化在學(xué)斜坐標(biāo)系之前，我們還可以采取特殊化的方式來解這道題，即：由于題目中并未給定平行四邊形的具體形狀，我們不妨取一種特殊的且利于計(jì)算的情況，設(shè)/DAB=90。,建立直角坐標(biāo)系求解剩余步驟大家可自行嘗試.題型三向量相關(guān)的最值問題..如圖，在扇形OAB中,ZAOB=60。,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若OC=xOA+yOB，則x+3y的取值范圍是_.解析：解法一等和線定理如圖，在OB上取一點(diǎn)D,使OB=3OD,設(shè)OC||AD=E,則有OC=xOA+yOB=xOA+3yOD，過點(diǎn)C作CFIAD交OB于F，由等和線定理得X+3y=OC=OF,易知當(dāng)點(diǎn)C