專(zhuān)題四 二次函數(shù)綜合題（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)一輪題型專(zhuān)練（陜西）

專(zhuān)題四二次函數(shù)綜合題題型1二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,在陜西中考2022,2023,2024年連續(xù)三年進(jìn)行考查,其考查本質(zhì)為二次函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用,其主要為頂點(diǎn)式的考查,在表達(dá)式的基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值,感受數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.類(lèi)型1拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題(2024·西安市蓮湖區(qū)模擬)如圖,在一場(chǎng)校園羽毛球比賽中,小華在點(diǎn)P選擇吊球進(jìn)行擊球,當(dāng)羽毛球飛行的水平距離是1m時(shí),達(dá)到最大高度3.2m,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.羽毛球在空中的運(yùn)行軌跡可以近似地看成拋物線(xiàn)的一部分,隊(duì)友小樂(lè)則在點(diǎn)P選擇扣球進(jìn)行擊球,羽毛球的飛行高度y1(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似地滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系y1=-0.4x+2.8.(1)根據(jù)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求吊球時(shí)羽毛球滿(mǎn)足的二次函數(shù)表達(dá)式.(2)在(1)的條件下,已知球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA=3m,CA=2m,且點(diǎn)A,C都在x軸上,實(shí)踐發(fā)現(xiàn)擊球和吊球這兩種方式都能使羽毛球過(guò)網(wǎng).要使球的落地點(diǎn)到點(diǎn)C的距離更近,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷應(yīng)該選擇哪種擊球方式?解題指南(1)抓住最大高度這一特征,設(shè)出頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k,然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可.(2)分別令一次函數(shù)與二次函數(shù)的y為0,對(duì)比兩種方式在x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)到點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的距離大小即可.類(lèi)型2以建筑為背景的“過(guò)橋”問(wèn)題(2024·西工大模擬)陜北窯洞,具有十分濃厚的民俗風(fēng)情和鄉(xiāng)土氣息.如圖,某窯洞口的下部近似為矩形OABC,上部近似為一條拋物線(xiàn).已知OA=3m,AB=2m,窯洞的最高點(diǎn)M(拋物線(xiàn)的頂點(diǎn))離地面OA的距離為258m.(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求拋物線(xiàn)的表達(dá)式.(2)若在窯洞口的上部要安裝一個(gè)正方形窗戶(hù)DEFG,使得點(diǎn)D,E在矩形OABC的邊BC上,點(diǎn)F,G在拋物線(xiàn)上,那么這個(gè)正方形窗戶(hù)DEFG的邊長(zhǎng)為多少米?解題指南(1)借助點(diǎn)M為頂點(diǎn),設(shè)出頂點(diǎn)式,然后將點(diǎn)B坐標(biāo)代入頂點(diǎn)式即可.(2)設(shè)出小正方形DEFG的邊長(zhǎng),然后用所設(shè)邊長(zhǎng)表示出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),最后代入(1)中拋物線(xiàn)的表達(dá)式解方程即可.(2024·西安新城區(qū)模擬)某地想將新建公園的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線(xiàn)型拱門(mén),設(shè)計(jì)部門(mén)給出了如下方案:將拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中,如圖,拋物線(xiàn)型拱門(mén)的跨度ON=24m,拱高PE=8m.其中,點(diǎn)N在x軸上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.(2)現(xiàn)要在拱門(mén)中設(shè)置矩形框架,其周長(zhǎng)越小越好(框架粗細(xì)忽略不計(jì)).設(shè)計(jì)部門(mén)給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案:方案一:矩形框架ABCD的周長(zhǎng)記為C1,點(diǎn)A、D在拋物線(xiàn)上,邊BC在ON上,其中AB=6m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周長(zhǎng)記為C2,點(diǎn)A',D'在拋物線(xiàn)上,邊B'C'在ON上,其中A'B'=4m.求這兩個(gè)方案中,矩形框架的周長(zhǎng)C1,C2,并比較C1,C2的大小.類(lèi)型3以“懸掛線(xiàn)”為背景解決高度問(wèn)題如圖,在一個(gè)斜坡上架設(shè)兩個(gè)塔柱AB,CD(可看作兩條豎直的線(xiàn)段),塔柱間掛起的電纜線(xiàn)下垂可以近似地看成拋物線(xiàn)的形狀.兩根塔柱的高度滿(mǎn)足AB=CD=27m,塔柱AB與CD之間的水平距離為60m,且兩個(gè)塔柱底端點(diǎn)D與點(diǎn)B的高度差為12m.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),1m為單位長(zhǎng)度構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)B,C,D的坐標(biāo).(2)經(jīng)過(guò)測(cè)量,AC段所掛電纜線(xiàn)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的形狀與拋物線(xiàn)y=1100x2一樣,且電纜線(xiàn)距離斜坡面豎直高度至少為15.5m時(shí),才符合設(shè)計(jì)安全要求.請(qǐng)結(jié)合所學(xué)知識(shí)判斷上述電纜線(xiàn)的架設(shè)是否符合安全要求?并說(shuō)明理由(2024·陜師大附中模擬)在元旦來(lái)臨之際,學(xué)校安排各班在教室進(jìn)行聯(lián)歡.八(2)班同學(xué)準(zhǔn)備裝點(diǎn)一下教室.他們?cè)谖蓓攲?duì)角A,B兩點(diǎn)之間拉了一根彩帶,彩帶自然下垂后呈拋物線(xiàn)形狀.若以?xún)擅鎵痪€(xiàn)AO為y軸,以點(diǎn)A正下方的墻角點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,此時(shí)彩帶呈現(xiàn)出的拋物線(xiàn)表達(dá)式為y=ax2-0.6x+3.5.已知屋頂對(duì)角線(xiàn)AB長(zhǎng)12m.(1)a=,該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

(2)小軍想從屋頂正中心C(C為AB的中點(diǎn))系一根繩子CD.將正下方彩帶最低點(diǎn)向上提起,這樣兩側(cè)的彩帶就形成了兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的新拋物線(xiàn)形狀(如圖所示).要使兩個(gè)新拋物線(xiàn)彩帶最低點(diǎn)之間的水平距離為5m,且比之前的最低點(diǎn)提高0.3m.求這根繩子的下端D到地面的距離.題型2圖形面積探究類(lèi)型1面積、線(xiàn)段最值探究二次函數(shù)中面積問(wèn)題,基本上都可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段相關(guān)問(wèn)題,線(xiàn)段的三種表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以邊為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),可采取不同方法進(jìn)行面積的求解,現(xiàn)對(duì)不同類(lèi)型線(xiàn)段的表示作以說(shuō)明.(1)線(xiàn)段AB∥y軸時(shí),點(diǎn)A,B橫坐標(biāo)相等,則AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)線(xiàn)段BC∥x軸時(shí),點(diǎn)B,C縱坐標(biāo)相等,則BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)線(xiàn)段AC與x軸,y軸不平行時(shí),在Rt△ABC中,AC=AB2+BC第一步,過(guò)動(dòng)點(diǎn)向x軸作垂線(xiàn),與定邊產(chǎn)生交點(diǎn)第二步,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),表示交點(diǎn)坐標(biāo)第三步,表示縱向線(xiàn)段長(zhǎng)度|y上-y下|第四步,利用水平寬鉛垂高表示三角形面積:S=12(y上-y下)(x右-x左【原創(chuàng)好題】“水平寬”與“鉛垂高”的運(yùn)用:已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),用含有A,B,C坐標(biāo)的方式表示出△ABC的面積.解題指南(1)在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC,要求點(diǎn)A,B在點(diǎn)C的左、右兩側(cè),經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)D,則△ABC被分成兩部分,即S△ABC=S△ACD+S△BCD.(2)過(guò)點(diǎn)A作△ADC的高h(yuǎn)1,過(guò)點(diǎn)B作△DBC的高h(yuǎn)2,所以△ACD與△BCD的面積表示為S△ADC=12CD·h1,S△BCD=12CD·h(3)所以S△ABC=S△ADC+S△BCD=12CD·h1+12CD·h2=12CD·(h1(4)其中h1與h2的和可以看作點(diǎn)A與點(diǎn)B的水平間的距離,因此稱(chēng)之為“水平寬”,h1+h2=|xB-xA|,CD是點(diǎn)C與點(diǎn)D的豎直間的距離,稱(chēng)之為“鉛垂高”,即CD=|yD-yC|,故S△ABC=S△ACD+S△BCD=12|yD-yC|·|xB-xA1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A(yíng),B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c過(guò)A,B兩點(diǎn),D為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E.(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式.(2)求△ABE面積的最大值.2.如圖,拋物線(xiàn)y=-x2+2x+3與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若P為線(xiàn)段BC上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),PM∥y軸,且PM交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N.當(dāng)線(xiàn)段PM的長(zhǎng)度最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).類(lèi)型2面積關(guān)系探究(2018.T24)【改編】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線(xiàn)y=-43x2+bx與x軸交于O,A兩點(diǎn),B(1,4)在拋物線(xiàn)上.若P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且在直線(xiàn)AB的上方,且滿(mǎn)足△OAB的面積是△PAB面積的2倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解題指南(1)第一步,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式,求出b的值,根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線(xiàn)AB的表達(dá)式;(2)第二步,借助三角形的面積公式,求出△OAB的面積,根據(jù)△OAB與△PAB的面積關(guān)系求出△PAB的面積;(3)第三步,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,-43t2+163t,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),與AB交于點(diǎn)N,并結(jié)合直線(xiàn)AB的表達(dá)式,表示出點(diǎn)N的坐標(biāo);(4)第四步,借助“水平寬,鉛垂高”,求出PN的長(zhǎng)度,用含有t的式子表示出PN的長(zhǎng)度,構(gòu)造方程求解即可.1.如圖,拋物線(xiàn)y=-x2+mx+3與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=-32x+3交于C,D兩點(diǎn),連接(1)求m的值.(2)求A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo).(3)若拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)P,滿(mǎn)足S△ABP=4S△ABD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,-1),拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,5)和C(5,0).(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式.(2)連接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上,是否存在點(diǎn)D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.3.已知拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線(xiàn)的解析式.(2)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PCB是以BC為底邊的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)在(2)的條件下,是否存在M為拋物線(xiàn)第一象限上的點(diǎn),使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解題指南(1)由交點(diǎn)式可直接得出拋物線(xiàn)的解析式.(2)設(shè)P(1,m),根據(jù)列出方程,進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)作PQ∥BC交y軸于點(diǎn)Q,作MN∥BC交y軸于點(diǎn)N,先求出PQ的解析式,進(jìn)而求得MN的解析式,進(jìn)一步求得結(jié)果.借助“同底等高”找等面積的方法在平面直角坐標(biāo)系中有△ABC,分別在BC所在直線(xiàn)的兩側(cè)找出一點(diǎn)P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根據(jù)要求可知△PBC和△QBC均與△ABC具有共同的底邊BC,要使它們的面積相等,只需要它們的高相等即可,因此可以設(shè)△PBC與△QBC的高均為h;(2)確定高以后,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn),則在所作平行線(xiàn)上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足S△PBC=S△ABC;(3)如圖,將BC所在直線(xiàn)向下平移AO'個(gè)單位長(zhǎng)度,過(guò)A'作BC的平行線(xiàn),則該直線(xiàn)上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足S△QBC=S△ABC;(4)運(yùn)用“同底等高”法時(shí),務(wù)必考慮不同位置的情況;(5)進(jìn)行面積計(jì)算時(shí),可以直接利用三角形面積公式求解.題型3特殊三角形問(wèn)題探究類(lèi)型1等腰三角形問(wèn)題探究等腰三角形存在問(wèn)題,可以分為兩個(gè)方向來(lái)解決,幾何法和代數(shù)法,其中幾何法的優(yōu)勢(shì)在于比較直觀(guān)地得到結(jié)果,對(duì)幾何圖形要求較高;代數(shù)法以解析幾何為背景可更快地找到等量關(guān)系,方法較為單一,等腰三角形問(wèn)題做完之后一定要驗(yàn)證是否出現(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)的情況.方法一幾何法(1)兩圓一線(xiàn)找出點(diǎn);(2)利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線(xiàn)段長(zhǎng),由線(xiàn)段長(zhǎng)求得點(diǎn)坐標(biāo)方法二代數(shù)法(1)表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A,B,C;(2)由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線(xiàn)段AB,AC,BC;(3)分類(lèi)討論①AB=AC;②A(yíng)B=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·鐵一中模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)L的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,8),且過(guò)點(diǎn)B(0,6),與x軸交于M,N兩點(diǎn).(1)求該拋物線(xiàn)L的表達(dá)式.(2)設(shè)拋物線(xiàn)L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后的拋物線(xiàn)為L(zhǎng)',其頂點(diǎn)記為點(diǎn)D,連接MD,在拋物線(xiàn)L'對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)M,D,Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2024·西咸新區(qū)模擬)如圖,拋物線(xiàn)L:y=ax2+bx-3(a、b為常數(shù),且a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線(xiàn)L向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)L'.(1)求拋物線(xiàn)L的函數(shù)表達(dá)式.(2)連接AC,探究拋物線(xiàn)L'的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,C,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.類(lèi)型2直角三角形問(wèn)題探究直角三角形存在問(wèn)題,菱形中對(duì)角線(xiàn)垂直,矩形中的內(nèi)角為直角,有下列兩個(gè)方向可以幫助解決問(wèn)題,不同的方法適用不同方向的題目,注意區(qū)分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,則△ABC為直角三角形二、構(gòu)造“K”字型相似過(guò)直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線(xiàn),過(guò)其他兩點(diǎn)向平行線(xiàn)作垂直,出現(xiàn)“一線(xiàn)三等角”模型,利用“一線(xiàn)三等角”的相似模型,構(gòu)建方程解決問(wèn)題已知拋物線(xiàn)L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo).(2)當(dāng)△ABC是以AB為斜邊的直角三角形時(shí),求拋物線(xiàn)L的表達(dá)式.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x軸于點(diǎn)A(-5,0),B(-1,0),交y軸于點(diǎn)C(0,5).(1)求拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)將拋物線(xiàn)C1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)記作C2,E為拋物線(xiàn)C2上一點(diǎn),若△DOE是以DO為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)E的坐標(biāo).直角三角形中的找點(diǎn)方法和計(jì)算方法找點(diǎn)方法:示例:如圖,在平面內(nèi)有A,B兩點(diǎn),試著找出一點(diǎn)C,使得A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形.分兩種情況討論:當(dāng)AB為直角邊時(shí),過(guò)點(diǎn)當(dāng)AB為斜邊時(shí),以AB為直徑作圓.如圖,在直線(xiàn)l1,l2上的點(diǎn)C滿(mǎn)足△ABC為直角三角形,但要注意一點(diǎn):點(diǎn)C不與A,B兩點(diǎn)重合.我們將這種找點(diǎn)C的方法稱(chēng)為“兩線(xiàn)一圓”.計(jì)算方法:(1)利用勾股定理構(gòu)造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式構(gòu)造方程求解.類(lèi)型3等腰直角三角形問(wèn)題探究等腰直角三角形相關(guān)問(wèn)題,以等腰直角三角形和正方形問(wèn)題,主要解題方法相對(duì)統(tǒng)一,注意如何構(gòu)圖能直觀(guān)得到“K”字全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵之處.(1)過(guò)直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸平行線(xiàn),構(gòu)造“K”字全等(2)方法一:設(shè)某小邊長(zhǎng)度.方法二:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),表示直角三角形中的直角邊(3)利用某縱向或橫向線(xiàn)段構(gòu)建等式如圖,拋物線(xiàn)y=-25(x+1)(x-5)與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.如果P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),M是該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn),當(dāng)△OMP是以O(shè)M為斜邊的等腰直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).解題指南第一步,過(guò)直角頂點(diǎn)作平行y軸的垂線(xiàn),分別過(guò)另兩個(gè)頂點(diǎn)作垂直,構(gòu)造“K”字全等;第二步,利用坐標(biāo)分別表示兩直角三角形的直角邊;第三步,利用某邊相等構(gòu)造方程.(2024·高新一中模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)L:y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3).(1)求出拋物線(xiàn)L的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo).(2)P是拋物線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)圖象上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q,作拋物線(xiàn)L關(guān)于直線(xiàn)PQ對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)L',則C關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C',若△PCC'為等腰直角三角形,求出拋物線(xiàn)L'的表達(dá)式.題型4三角形關(guān)系問(wèn)題類(lèi)型1與相似三角形結(jié)合問(wèn)題三角形的關(guān)系問(wèn)題是陜西考試中非常常見(jiàn)的一個(gè)類(lèi)型,中考中多次連續(xù)出現(xiàn),相似問(wèn)題的處理方法也相對(duì)較為固定,以固定三角形為參照,找到定角,以邊為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)行分類(lèi)討論.主要有兩個(gè)方法.方法一:利用一角相等,鄰邊成比例證明相似方法二:兩組角相等的三角形相似分析目標(biāo)三角形:第一類(lèi):找一角相等,用鄰邊成比例.第二類(lèi):找一角相等(多為90°問(wèn)題),找另一角相等.方法總結(jié):(1)分動(dòng)、定三角形;(2)找等角;(3)表示邊或者找另一角相等.(2024·曲江一中模擬)如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)A(3,0),正比例函數(shù)y=kx與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)B72,74.(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.(2)P是第四象限拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)N,交OB于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)P,使得△OMN與以點(diǎn)N,A,P為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2024·陜師大附中模擬)已知拋物線(xiàn)L1:y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.(1)求此二次函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)A,B的坐標(biāo).(2)P為第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)L1上一動(dòng)點(diǎn),將拋物線(xiàn)L1平移得到拋物線(xiàn)L2,拋物線(xiàn)L2的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,拋物線(xiàn)L2與y軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)交y軸于點(diǎn)D.是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?如果存在,請(qǐng)寫(xiě)出平移過(guò)程,并說(shuō)明理由.類(lèi)型2與全等三角形結(jié)合問(wèn)題1.全等為特殊的相似,相似比為1,方法與相似一致.2.注意相等角的鄰邊分類(lèi)情況.【改編】如圖,拋物線(xiàn)y=-23x2+103x+4的圖象與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)y=-43x+4與x軸交于點(diǎn)D.若M是拋物線(xiàn)上位于第一象限的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD于點(diǎn)E,MF∥x軸交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F,當(dāng)△MEF≌△COD時(shí),求出點(diǎn)M解題指南當(dāng)△MEF≌△COD時(shí),(1)找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角、邊.結(jié)合關(guān)系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根據(jù)直線(xiàn)CD的表達(dá)式求出線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度.由點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,可以設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為m,-23m2+103m+4,再由MF∥x軸,得點(diǎn)F的縱坐標(biāo).根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可以得出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m-5.(3)由點(diǎn)F在直線(xiàn)CD上,將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入直線(xiàn)CD的表達(dá)式中,求出m的值.已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)y=-x2+4x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.(2)B是OA的中點(diǎn),N是y軸正半軸上一點(diǎn),在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M,使得△OMN與△OBM全等,且點(diǎn)B與點(diǎn)N為對(duì)應(yīng)點(diǎn)?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.與全等三角形結(jié)合問(wèn)題的求解步驟(1)全等三角形的問(wèn)題與相似三角形的問(wèn)題步驟類(lèi)似,均是先列出三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系式,再根據(jù)關(guān)系式找出對(duì)應(yīng)邊相等;(2)借助對(duì)應(yīng)邊相等,將邊與邊的長(zhǎng)度關(guān)系用點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行表示,然后運(yùn)用“兩點(diǎn)間距離公式”構(gòu)造方程求解.題型5特殊四邊形問(wèn)題探究類(lèi)型1平行四邊形問(wèn)題探究平行四邊形問(wèn)題,一般分為三定一動(dòng),兩定兩動(dòng)問(wèn)題,選取固定的兩個(gè)點(diǎn)為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),①以某邊為邊時(shí);②以某邊為對(duì)角線(xiàn)時(shí).第一步,尋找分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn);第二步,平移點(diǎn),找關(guān)系(注意:從A到B和從B到A);第三步,代入關(guān)系求值(2024·西工大附中模擬)如圖,拋物線(xiàn)y=ax2-2x+c與直線(xiàn)y=kx+b都經(jīng)過(guò)A(0,3),B(-3,0)兩點(diǎn),該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C.(1)求此拋物線(xiàn)和直線(xiàn)AB的表達(dá)式.(2)設(shè)直線(xiàn)AB與該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,在射線(xiàn)EB上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N.使點(diǎn)M,N,C,E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【改編】已知點(diǎn)A(-1,0)在拋物線(xiàn)L:y=x2-x-2上,拋物線(xiàn)L'與拋物線(xiàn)L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',是否在拋物線(xiàn)L上存在一點(diǎn)P,在拋物線(xiàn)L'上存在一點(diǎn)Q,使得以AA'為邊,且以A,A',P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.平行四邊形中坐標(biāo)的計(jì)算如圖1,在平行四邊形ABDC中,關(guān)于坐標(biāo)的計(jì)算——平移法則:xB-xA=xD-xC,yB-yA=yD-yC,xA-xC=xB-xD,yA-yC=yB-yD.如圖2,在平行四邊形ADBC中,關(guān)于坐標(biāo)的計(jì)算——中點(diǎn)坐標(biāo)公式:xM=xA+xB2=xC+類(lèi)型2菱形問(wèn)題探究菱形存在問(wèn)題,主要分兩類(lèi).第一類(lèi):以平行四邊形為背景,在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線(xiàn)垂直或鄰邊相等即可得菱形.(1)選一定點(diǎn),再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線(xiàn)作為對(duì)角線(xiàn),分類(lèi)討論.(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程:xA+xC2=x(3)對(duì)角線(xiàn)垂直:可參照直角存在問(wèn)題.鄰邊相等:可參照等腰存在問(wèn)題.(4)平移型:先平行四邊形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二類(lèi):若出現(xiàn)在平面內(nèi)任意一點(diǎn)存在性問(wèn)題,則去掉此點(diǎn),轉(zhuǎn)化為等腰存在問(wèn)題,可以利用等腰存在問(wèn)題策略解決問(wèn)題如圖,拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,OA=2,OC=6,連接AC和BC.(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.(2)若M是y軸上的動(dòng)點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.類(lèi)型3矩形問(wèn)題探究矩形存在性問(wèn)題,主要分兩類(lèi).第一類(lèi):以平行四邊形為背景,在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線(xiàn)相等或一內(nèi)角為90°即可得到矩形.(1)選一定點(diǎn),再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線(xiàn)作為對(duì)角線(xiàn),分類(lèi)討論.(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程:xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.(3)方向一對(duì)角線(xiàn)相等:(xA-方向二有一角為90°.第二類(lèi):若出現(xiàn)在平面內(nèi)任意一點(diǎn)存在性問(wèn)題,則去掉此點(diǎn),轉(zhuǎn)化為直角存在問(wèn)題,可以利用直角存在問(wèn)題策略解決問(wèn)題已知拋物線(xiàn)L:y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6,0),C(3,9).(1)求拋物線(xiàn)L的表達(dá)式.(2)若拋物線(xiàn)L'與拋物線(xiàn)L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),P,Q(點(diǎn)P,Q不與點(diǎn)O,B重合)分別是拋物線(xiàn)L,L'上的動(dòng)點(diǎn),連接PO,PB,QO,QB,問(wèn)四邊形OPBQ能否為矩形?若能,求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.已知拋物線(xiàn)L:y=-x2+2x+3與x軸交于A(yíng),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo).(2)拋物線(xiàn)L平移后得到拋物線(xiàn)L',點(diǎn)A,C在拋物線(xiàn)L'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A',C',若以A,C,A',C'為頂點(diǎn)的四邊形是面積為20的矩形,求平移后的拋物線(xiàn)L'的表達(dá)式.類(lèi)型4正方形問(wèn)題探究(在菱形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線(xiàn)相等)(1)選一定點(diǎn),再將這一定點(diǎn)與另外點(diǎn)的連線(xiàn)作為對(duì)角線(xiàn),分類(lèi)討論.(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程:xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.(3)平行四邊形題基礎(chǔ)上加等腰直角三角形問(wèn)題.如圖,一條拋物線(xiàn)y=ax2+bx(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,83,正方形ABCD的邊AB落在x軸的正半軸上,點(diǎn)C,D在這條拋物線(xiàn)上.(1)求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式.(2)求正方形ABCD的邊長(zhǎng).解題指南(1)已知頂點(diǎn),可直接設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.(2)①在正方形中,四條邊均相等;②設(shè)出正方形的邊長(zhǎng),并根據(jù)所設(shè)邊長(zhǎng)表示出正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo);③注意觀(guān)察正方形ABCD的頂點(diǎn)C,D在拋物線(xiàn)上;④代入相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出所設(shè)的邊長(zhǎng)即可.已知二次函數(shù)y=-13x2+bx+c的圖象L經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)作x軸的平行線(xiàn),交L于A(yíng),B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線(xiàn),垂足分別為D,C.當(dāng)以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo).借助拋物線(xiàn)判定正方形的思路步驟1.明確在拋物線(xiàn)上的正方形的兩個(gè)頂點(diǎn);2.借助拋物線(xiàn)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0),設(shè)出其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,ax2+bx+c),然后利用拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸表示出另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo);3.根據(jù)正方形四條邊相等構(gòu)造一元二次方程求解即可.題型6角度問(wèn)題探究角相關(guān)問(wèn)題是二次函數(shù)中相對(duì)較為綜合性的問(wèn)題,在近幾年中考中也常出現(xiàn)在各個(gè)省市的中考題中,問(wèn)題最終都會(huì)落到以下問(wèn)題上來(lái).等角問(wèn)題,可直接用等角的性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題.解決策略:(1)尋找相似,出現(xiàn)等角;(2)利用三角函數(shù)找等角;(3)利用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)找等角.【改編】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線(xiàn)y=-x2+4x-3與x軸分別交于A(yíng),B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)D,使得∠DOA=45°?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解題指南以平面直角坐標(biāo)系為背景來(lái)探究角度問(wèn)題,常用的思路為借助三角函數(shù)構(gòu)造方程求解.本題具體步驟如下:第一步,根據(jù)∠DOA=45°,聯(lián)想tan∠DOA=1;第二步,根據(jù)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上,可以過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn),記垂足為H,在△DOH中,tan∠DOH=DHOH第三步,由點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,-t2+4t-3);第四步,根據(jù)DH=|yD|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,構(gòu)造方程求解即可.已知拋物線(xiàn)L:y=-23x2+bx+c,與y軸的交點(diǎn)為C(0,2),與x軸的交點(diǎn)分別為A(3,0),B(點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式.(2)將拋物線(xiàn)沿x軸向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,所得的拋物線(xiàn)與x軸的左交點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.

參考答案題型1二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類(lèi)型1拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題例1解析:(1)在y1=-0.4x+2.8中,令x=0,則y1=2.8,∴P(0,2.8).根據(jù)題意,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3.2).設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)2+3.2,把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球時(shí)羽毛球滿(mǎn)足的二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球時(shí),令y=0,則-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x1=1+22,x2=1-22(舍去),扣球時(shí),令y=0,則-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3m,CA=2m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴選擇吊球時(shí),球的落地點(diǎn)到點(diǎn)C的距離更近.類(lèi)型2以建筑為背景的“過(guò)橋”問(wèn)題例2解析:(1)由題意得點(diǎn)M,B的坐標(biāo)分別為32,258,(3,2).設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=ax-322+258,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得2=a3-322+258,解得a=-12∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-12x-322+258(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m.把點(diǎn)G32-m,2+2m代入拋物線(xiàn)表達(dá)式,得2+2m=-1232-m-322+25解得m=12∴正方形窗戶(hù)DEFG的邊長(zhǎng)為1m.變式設(shè)問(wèn)解析:(1)由題意得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(12,8),N(24,0).設(shè)y=a(x-12)2+8,把N(24,0)代入表達(dá)式中,得a=-118∴該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-118(x-12)2+8(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8解得x1=6,x2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD的周長(zhǎng)C1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+解得x1=12-62,x2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周長(zhǎng)C2=2×122+2×4=(242+8)m.∵C1=36=28+8=4×7+8,C2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C1<C2.類(lèi)型3以“懸掛線(xiàn)”為背景解決高度問(wèn)題例3解析:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸,垂足為E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸,垂足為F.記CD與x軸相交于點(diǎn)G.根據(jù)題意,得點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,-27).∵FB=12,則GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(60,12),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:設(shè)AC段所掛電纜線(xiàn)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=1100x2+bx將點(diǎn)C(60,12)代入表達(dá)式中,得12=1100×602+60b,解得b=-2∴y=1100x2-2由點(diǎn)B(0,-27),D(60,-15)可知直線(xiàn)BD的表達(dá)式為y=15x-27記M為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)與BD交于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)Mm,1100m2-25m,則點(diǎn)Nm,15m-27,故MN=1100m2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15∴電纜線(xiàn)距離斜坡面豎直高度的最小值為18m,高于安全需要的距離15.5m,故符合安全要求.變式設(shè)問(wèn)解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由題意得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=6,則A(0,3.5),B(12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=0.05x2-0.6x+3.5.當(dāng)x=6時(shí),y=0.05x2-0.6x+3.5=1.7,即該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1.7),(2)∵兩個(gè)新拋物線(xiàn)彩帶最低點(diǎn)之間的水平距離為5m,且比之前的最低點(diǎn)提高0.3m,∴左邊新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3.5,2).設(shè)左邊新拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=a'(x-3.5)2+2,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649∴左側(cè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=649(x-3.5)2+2當(dāng)x=6時(shí),y=649(6-3.5)2+2=271∴這根繩子的下端D到地面的距高為27198m題型2圖形面積探究類(lèi)型1面積、線(xiàn)段最值探究例1解析:如圖,過(guò)點(diǎn)C作垂直于x軸的直線(xiàn),與AB交于點(diǎn)D,分別過(guò)點(diǎn)A,B作CD的垂線(xiàn)段h1,h2,即S△ABC=S△ACD+S△BCD.∵S△ADC=12CD·h1,S△BCD=12CD·h∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12CD·(h1+h2)又∵CD=|yD-yC|,h1+h2=|xB-xA|,∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12(yD-yC)(xB-xA)變式設(shè)問(wèn)1.解析:(1)在一次函數(shù)y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A(-4,0),B(0,4).∵點(diǎn)A(-4,0),B(0,4)在拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c上,∴-16-4b+∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-x2-3x+4.(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,0)(-4≤m≤0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-m2-3m+4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m+4),則DE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m,則S△ABE=12DE·(xB-xA)=12(-m2-4m)×4=-2m2-8m=-2(m+2)2+∵-4≤m≤0,∴當(dāng)m=-2時(shí),S取得最大值,最大值為8.故△ABE面積的最大值為8.2.解析:(1)對(duì)于y=-x2+2x+3,令x=0,則y=3,∴C(0,3),令y=0,則-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1,∴A(-1,0),B(3,0).(2)∵B(3,0),C(0,3),∴設(shè)直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0),則0=3k+∴直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y=-x+3.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-t+3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,-t2+2t+3),∴PM=-t2+2t+3+t-3=-t2+3t=-t-322+94.∵0<t<3且a=-1<0,拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,∴當(dāng)t=32時(shí),PM此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為32,154.類(lèi)型2面積關(guān)系探究例2解析:將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y=-43x2+bx中,有4=-43+b,解得b=令y=0,得-43x2+163x=0,可知A設(shè)直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y=kx+m(k≠0),將A(4,0),B(1,4)代入,有4k+故直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y=-43x+16∵S△OAB=12×4×4=∴S△OAB=2S△PAB=8,故S△PAB=4.如圖,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),交x軸于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PM于點(diǎn)E.∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN·BE+12PN·AM=3∴PN=83設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,-43t2+163t(1<t<4),Nt,-43t+163,∴PN=-43t2+163t--43t+163=83,解得t=∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,163或(3,4).變式設(shè)問(wèn)1.解析:(1)拋物線(xiàn)y=-x2+mx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0),∴-9+3m+3=0,∴m=2.(2)由(1)知,拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y=-x2+2x+3,∴y=-(x-3)(x+1),∴該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),(3,0).∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),∴A(-1,0).由y=-x2+2x+3,∴D72,-94.綜上所述,A(-1,0),D72,-94.(3)由題意知,C(0,3),D72,-94.∵S△ABP=4S△ABD,∴12AB×|yP|=4×12AB×∴|yP|=9,即yP=±9,當(dāng)y=9時(shí),-x2+2x+3=9,∴x2-2x+6=0,∴Δ=4-4×6<0,∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)解,當(dāng)y=-9時(shí),-x2+2x+3=-9,解得x1=1+13,x2=1-13,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+13,-9)或(1-13,-9).2.解析:(1)把點(diǎn)B(4,5)和C(5,0)分別代入y=-x2+bx+c,得-16+4b+故該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-x2+4x+5.(2)由點(diǎn)A(0,-1),點(diǎn)B(4,5)和C(5,0),得AC2=26,BC2=26,AB2=52,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.∵AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,∴tan∠ABC=1.(3)如圖,設(shè)直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,由y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9知,該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2.由點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(4,5)易得直線(xiàn)AB的表達(dá)式是y=32x-1把x=2代入y=32x-1,得y=2,即E(2,2)當(dāng)直線(xiàn)CD∥AB時(shí),設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=32x+t把C(5,0)代入,得32×5+t=0,解得t=-15即直線(xiàn)CD的解析式為y=32x-15把x=2代入,得y=32×2-152=-∴D2,-92,∴點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E(2,2)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'2,172也符合題意.綜上所述,符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是2,-92或2,172.3.解題指南:PB=PC解析:(1)由題意得y=-(x+1)(x-3),∴y=-x2+2x+3.(2)由題意易知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1,C(0,3),設(shè)P(1,m).∵PB2=PC2,∴(3-1)2+m2=1+(m-3)2,∴m=1,∴P(1,1).(3)存在.假設(shè)存在點(diǎn)M滿(mǎn)足條件.如圖,連接BM,作PQ∥BC交y軸于點(diǎn)Q,作MN∥BC交y軸于點(diǎn)N.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),∴易求得直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3.∵PQ∥BC,且過(guò)點(diǎn)P(1,1),∴易求得直線(xiàn)PQ的解析式為y=-x+2,∴Q(0,2).∵C(0,3),S△BCM=S△BCP,∴N(0,4),∴直線(xiàn)MN的解析式為y=-x+4.由-x2+2x+3=-x+4,得x=3±5∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3+52或題型3特殊三角形問(wèn)題探究類(lèi)型1等腰三角形問(wèn)題探究例1解析:(1)設(shè)拋物線(xiàn)L的表達(dá)式為y=a(x+2)2+8,將點(diǎn)B(0,6)代入y=a(x+2)2+8,得6=a(0+2)2+8,解得a=-12∴拋物線(xiàn)L的表達(dá)式為y=-12(x+2)2+8(2)存在.理由:由(1)中拋物線(xiàn)的表達(dá)式得點(diǎn)M(-6,0).如圖,由題意得新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,D(2,8).設(shè)點(diǎn)Q(2,m),根據(jù)點(diǎn)D,Q,M的坐標(biāo),得DQ2=(8-m)2,QM2=64+m2,DM2=128.當(dāng)DQ=QM時(shí),(8-m)2=64+m2,解得m=0,∴點(diǎn)Q(2,0);當(dāng)DQ=DM時(shí),(8-m)2=128,解得m=8±82,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,8+82)或(2,8-82);當(dāng)QM=DM時(shí),64+m2=128,解得m=-8或m=8(舍去),∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,-8).綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,0)或(2,8+82)或(2,8-82)或(2,-8).變式設(shè)問(wèn)解析:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3中,得a-b∴拋物線(xiàn)L的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3.(2)存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,C,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.理由:在y=x2-2x-3中,令x=0得y=-3,∴C(0,-3).∵把拋物線(xiàn)y=x2-2x-3向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)L',∴拋物線(xiàn)L'的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x=(x-2)2-4,∴拋物線(xiàn)L'的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2.設(shè)P(2,t),∵A(-1,0),∴AP2=9+t2,CP2=4+(t+3)2,AC2=10.①若AP=CP,則9+t2=4+(t+3)2,解得t=-23∴點(diǎn)P2,-23;②若AP=AC,則9+t2=10,解得t=1或t=-1,∴點(diǎn)P(2,1)或(2,-1);③若CP=AC,則4+(t+3)2=10,解得t=6-3或t=-6-3,∴點(diǎn)P(2,6-3)或(2,-6-3).綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,-23或(2,1)或(2,-1)或(2,6-3)或(2,-6-3).類(lèi)型2直角三角形問(wèn)題探究例2解析:(1)令y=ax2-2ax-8a=0,解得x=-2或x=4,∴點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,0),(4,0).(2)如圖,由拋物線(xiàn)的表達(dá)式,得點(diǎn)C(0,-8a).∵△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,則∠ACB=90°.∵∠CAB+∠ACO=90°,∠ACO+∠OCB=90°,∴∠CAB=∠OCB.∵∠AOC=∠COB,∴△AOC∽△COB,∴COOB=AOCO,即OC2=OA·OB=2×4∴64a2=8,解得a=±24∴拋物線(xiàn)L的表達(dá)式為y=24x2-22x-22或y=-24x2+22變式設(shè)問(wèn)解析:(1)將點(diǎn)A(-5,0),B(-1,0),C(0,5)代入y=ax2+bx+c,得25a-5∴y=x2+6x+5.∵y=x2+6x+5=(x+3)2-4,∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,-4).(2)設(shè)拋物線(xiàn)C2上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(-x,y),∴點(diǎn)(-x,y)在拋物線(xiàn)C1上,拋物線(xiàn)C2的表達(dá)式為y=x2-6x+5,設(shè)E(t,t2-6t+5),如圖,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H.∵∠DOE=90°,∴∠GOD+∠HOE=90°.∵∠GOD+∠GDO=90°,∴∠HOE=∠GDO,∴△GDO∽△HOE,∴GDOH=GO∵GD=4,GO=3,HE=-t2+6t-5,OH=t,∴4t=3-t2+6t-5,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,-3)或54,-1516.類(lèi)型3等腰直角三角形問(wèn)題探究例3解析:∵拋物線(xiàn)y=-25(x+1)(x-5),∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1+52=2,∴點(diǎn)M在直線(xiàn)x=2上,即點(diǎn)M如圖,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交過(guò)點(diǎn)M與x軸平行的直線(xiàn)于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,-25x2+85x+2.∵∠MPO=90°,∴∠MPF+∠OPE=90°.∵∠OPE+∠POE=90°,∴∠POE=∠MPF.∵∠PFM=∠OEP=90°,PM=PO,∴△PFM≌△OEP(AAS),∴PE=MF,則-25x2+85x+2=|x-2|,解得x=-52或x=4或x=0或x=13故點(diǎn)P的坐標(biāo)為-52,-92或(4,2)或(0,2)或132,-92.變式設(shè)問(wèn)解析:(1)由題意得c=3,1+∴拋物線(xiàn)L的表達(dá)式為y=x2-4x+3.(2)由拋物線(xiàn)的表達(dá)式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).如圖,設(shè)CC'交PQ于點(diǎn)N.若△PCC'為等腰直角三角形時(shí),則PN=CN=C'N.設(shè)點(diǎn)P(m,m2-4m+3),則m=m2-4m+3-3,解得m=0(舍去)或5,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5.∵原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,∴新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2+3+3=8,∴新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-1),∴拋物線(xiàn)L'的表達(dá)式為y=(x-8)2-1.題型4三角形關(guān)系問(wèn)題類(lèi)型1與相似三角形結(jié)合問(wèn)題例1解析:(1)將點(diǎn)A(3,0),B72,74代入y=ax2+bx,得9a+3∴y=x2-3x.(2)存在點(diǎn)P,使得△OMN與以點(diǎn)N,A,P為頂點(diǎn)的三角形相似.理由:將點(diǎn)B72,74代入y=kx,即74=72k,解得k=12,設(shè)P(t,t2-3t),則N(t,0),Mt,12t,∴ON=t,NM=12t∴tan∠MON=12∵A(3,0),∴AN=3-t.①當(dāng)∠NPA=∠MON時(shí),12=3-解得t=2或t=3(舍),∴P(2,-2);②當(dāng)∠NAP=∠MON時(shí),12=-解得t=3(舍)或t=12,∴P12,-54綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2)或12,-54.變式設(shè)問(wèn)解析:(1)由題意得x=-b∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2-2x-3.令y=x2-2x-3=0,則x=-1或x=3,即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0).(2)設(shè)點(diǎn)P(m,m2-2m-3).∴平移后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=(x-m)2+m2-2m-3,∴點(diǎn)E(0,2m2-2m-3),∴DE=2m2-2m-3-(m2-2m-3)=m2,PD=m.在Rt△ACO中,tan∠ACO=13當(dāng)以點(diǎn)P,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似時(shí),tan∠EPD=13或3,即m2m解得m=3(舍去)或13,∴點(diǎn)P13,-329∵拋物線(xiàn)L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),∴將L1向左平移23個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移49類(lèi)型2與全等三角形結(jié)合問(wèn)題例2解析:∵M(jìn)E⊥CD,∴∠MEF=90°.∵M(jìn)F∥x軸,∴∠MFE=∠CDO.∵△MEF≌△COD,∴MF=CD.∵OC=4,OD=3,∴CD=5,∴FM=5.設(shè)Mm,-23m2+103m+4,則Fm-5,-23m2+103m+4.∵點(diǎn)F在直線(xiàn)CD上,∴-23m2+103m+4=-43(m-∴m=2或m=5,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,8)或(5,4).變式設(shè)問(wèn)解析:(1)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)y=-x2+4x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.令y=0,則-x2+4x=0,解得x1=0,x2=4,∴A(4,0).∵拋物線(xiàn)y=-x2+4x,∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-4-2=∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2.(2)存在.∵B是OA的中點(diǎn),∴B(2,0).圖1①如圖1,當(dāng)△OMN≌△MOB時(shí),∠MON=∠OMB,∠OMN=∠MOB,∴BM∥ON,MN∥OB,∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2,把x=2代入y=-x2+4x中,得y=-22+4×2=4,∴M(2,4).圖2②如圖2,當(dāng)△OMN≌△OMB時(shí),過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H.∵△OMN≌△OMB,∴∠NOM=∠BOM=45°,∴OH=MH.設(shè)M(m,-m2+4m),∴-m2+4m=m,解得m1=3,m2=0(舍去),∴M(3,3).綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4)或(3,3).題型5特殊四邊形問(wèn)題探究類(lèi)型1平行四邊形問(wèn)題探究例1解析:(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2-2x+c經(jīng)過(guò)A(0,3),B(-3,0)兩點(diǎn),∴9解得a∴拋物線(xiàn)y=-x2-2x+3.∵直線(xiàn)y=kx+b經(jīng)過(guò)A(0,3),B(-3,0)兩點(diǎn),∴b=3,-3∴直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y=x+3.(2)在射線(xiàn)EB上存在一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N.使點(diǎn)M,N,C,E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).理由:∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,4).∵CE∥y軸,點(diǎn)E在直線(xiàn)y=x+3上,∴E(-1,2).∴CE=2.①如圖1,連接CN.若點(diǎn)M在x軸的上方,四邊形CEMN為平行四邊形,則CE=MN.設(shè)M(a,a+3),則N(a,-a2-2a+3),∴MN=-a2-2a+3-(a+3)=-a2-3a,∴-a2-3a=2.解得a=-2或a=-1(舍去).∴M(-2,1);②如圖2,連接EN,CM,MN.若點(diǎn)M在x軸的下方,四邊形CENM為平行四邊形,則CE=MN.設(shè)M(a,a+3),則N(a,-a2-2a+3),∴MN=a+3-(-a2-2a+3)=a2+3a,∴a2+3a-2=0,解得a=-3±17∵a<0,∴a=-3-17∴點(diǎn)M-3-172,3-17綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,1)或M-3-172,3-17變式設(shè)問(wèn)解析:存在.由拋物線(xiàn)L與拋物線(xiàn)L'的對(duì)稱(chēng)性可知,拋物線(xiàn)L'的表達(dá)式為y=-x2-x+2,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',∴點(diǎn)A'(1,0),∴AA'=2,以AA'為邊,且以A,A',P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,∴PQ=AA'=2,PQ∥AA'.設(shè)點(diǎn)P(x,x2-x-2).當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x+2,∴x2-x-2=-(x+2)2-(x+2)+2,解得x1=x2=-1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0)(不符合題意,舍去).當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x-2,∴x2-x-2=-(x-2)2-(x-2)+2,∴x1=2+1,x2=-2+1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+1,2)或(-2+1,-2).類(lèi)型2菱形問(wèn)題探究例2解析:(1)∵OA=2,OC=6,∴A(-2,0),C(0,-6).∵拋物線(xiàn)y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A,C,∴4-2∴