《工程制圖與計算機繪圖》課件第3章

第3章立體、截交線及切口3.1平面立體

3.2回轉(zhuǎn)體

3.3立體截交線及切口

3.1平面立體

一、平面立體投影圖的畫法

從圖3-1(b)所示三棱錐的三面投影中可以看出，立體上有些線段(或表面)的投影成為該立體投影的最外輪廓線(封閉的線框)，如正面投影s'a'、a'b'c'、c's'。這些輪廓線一定是可見的，并且確定了立體的投影范圍，它們是立體對某一投影面的可見部分和不可見部分的分界線。在投影輪廓范圍以內(nèi)的線段的可見性可利用重影點來判別。

為了盡量反映立體表面的實形和便于畫圖，常將立體的底面、對稱平面(或軸線)放置成平行或垂直于某一投影面的位置，如圖3-1所示三棱錐的底面為水平面。圖3-1三棱錐表示法根據(jù)有關(guān)標準和規(guī)定，用正投影法所繪制出的物體圖形稱為視圖。我們把立體的正面投影、水平投影和側(cè)面投影

分別稱為主視圖、俯視圖和左視圖。

畫立體的投影圖有以下規(guī)定：

(1)由于立體的投影與它對投影面的遠近無關(guān)，因此立體的投影圖一般不畫投影軸。

(2)立體的投影圖形對稱時，用細點畫線表示對稱中心線。

(3)可見輪廓線畫成粗實線，不可見輪廓線畫成細虛線。當細虛線與粗實線重合時，只畫粗實線。當細點畫線與細虛線重合時，只畫細虛線。圖3-2為省去投影軸后三棱錐的三面視圖。如果把視圖上X軸方向的尺寸稱為“長”，Y軸方向的尺寸稱為“寬”，Z軸方向的尺寸稱為“高”，則三視圖對應(yīng)關(guān)系如下：

主視圖與俯視圖——長對正。

主視圖與左視圖——高平齊。

俯視圖與左視圖——寬相等。

各視圖反映立體的位置關(guān)系如下：

主視圖反映了立體的上下和左右位置關(guān)系。

俯視圖反映了立體的前后和左右位置關(guān)系。

左視圖反映了立體的前后和上下位置關(guān)系。圖3-2三視圖對應(yīng)關(guān)系

二、平面立體表面上的點和線

由于平面立體的各表面都是平面，因此在平面立體表面上取點和線與在平面上取點和線的方法完全相同。

如圖3-3(a)所示，已知三棱錐表面上D點的正面投影d'和K點的水平投影k，求作它們的另外兩個投影。

首先作D點的兩個投影：由點D的正面投影d'(可見)，可知點D在三棱錐表面SAB上，通過點D作平行于AB的輔助線,即可作出點D的水平投影d。由點D的正面投影及水平投影即可作出其側(cè)面投影d''。圖中用量取點D到點B的Y坐標尺寸(點D在點B后方)的方法作出d''，最后判斷可見性，d、d''均可見。由點K的水平投影(可見)可知K點在三棱錐的SBC表面上，通過K點在SBC上作輔助線S1，即可作出點K的另外兩個投影。在側(cè)面投影上，因SBC表面不可見，故k''也不可

見，k'可見。

圖3-3(b)中已知直線MN的水平投影mn，求作它的另外兩個投影。其中，M點在三棱錐的棱SA上，N點在三棱錐表面SAB上。作出M、N點的正面投影及側(cè)面投影，用直線連接同面投影(m'、n'和m''、n'')即得。因表面SAB的三面投影均可見，所以MN的三面投影也均可見。圖3-3在平面立體表面上取點、線

3.2回轉(zhuǎn)體

將母線(直線或曲線)繞軸線旋轉(zhuǎn)，即形成回轉(zhuǎn)面。由回轉(zhuǎn)面或者回轉(zhuǎn)面和平面圍成的立體稱為回轉(zhuǎn)體。圖3-4所示為圓柱、圓錐(母線為直線)、圓球、圓環(huán)(母線為圓)等回轉(zhuǎn)

體。

母線在旋轉(zhuǎn)時的任一位置稱為素線。母線上任一點(如圖3-4中的A點)的軌跡稱為緯圓(或者回轉(zhuǎn)圓)，緯圓所在平面必垂直于軸線。圖3-4回轉(zhuǎn)曲面和回轉(zhuǎn)體(a)圓柱；(b)圓錐；(c)圓球；(d)圓環(huán)

一、圓柱體

圓柱體由圓柱面和上、下底面圍成，圓柱面由直母線繞與它平行的直線旋轉(zhuǎn)而成。

1.圓柱體投影圖的畫法

畫圓柱體投影時，一般選擇軸線垂直于某個投影面，如圖3-5所示，軸線垂直于H面。

軸線鉛垂放置的圓柱體水平投影為圓。它是圓柱面在H面上的積聚性投影，也是底面的投影。用垂直相交的細點畫線畫出圓的中心線。

圓柱體正面投影為矩形，矩形左、右兩邊a'a'1、b'b'1是圓柱面對V面的外形輪廓線，也是圓柱面最左和最右的素線投影。外形輪廓線也稱為轉(zhuǎn)向素線，它把圓柱面分成前、后兩部分，前半部分正面投影可見，后半部分正面投影不可見,轉(zhuǎn)向素線是可見的。矩形的上、下兩邊為圓柱體上、下底面(水平面)的積聚性投影。圓柱體軸線平行于V面，用細點畫線表示軸線的投影。

圓柱體側(cè)面投影也是矩形，矩形上、下兩邊也是圓柱體上、下底面的積聚性投影。矩形左、右兩邊是圓柱面對W面的轉(zhuǎn)向素線，c''c''1是圓柱面的最前素線的投影，d''d''1是圓柱面的最后素線的投影。前、后轉(zhuǎn)向素線把圓柱面分為左、右兩部分，左半個圓柱面的側(cè)面投影可見，右半個圓柱面的側(cè)面投影不可見。用細點畫線表示軸線的投影。圖3-5圓柱體的表示法

2.圓柱體表面上的點和線

在圓柱表面上取點，可利用圓柱面對某一投影面的積聚性進行作圖。如圖3-6(a)所示，已知圓柱表面上點E的正面投影e'，并且可見，求作它的水平投影及側(cè)面投影。由點E的正面投影可知，E點在圓柱面右前部分，利用圓柱面水平投影的積聚性，可作出點E的水平投影e。根據(jù)點的投影規(guī)律可作出點E的側(cè)面投影e''，并且不可見。

圖3-6(b)中，已知線段EH的正面投影e'h'，求作它的水平投影及側(cè)面投影。根據(jù)圓柱面的形成原理，EH線段既不是直線也不是圓弧(是一段橢圓弧)。作EH的投影時，須作出它上面的一系列點的投影，然后用曲線光滑連接各點的同面投影即可。EH的水平投影重合在圓柱面的水平投影上。需要注意，線段跨過圓柱面轉(zhuǎn)向素線的點(如M)的投影必須作出，因為它是線段在側(cè)面投影上可見與不可見的分界點。圖3-6在圓柱表面上取點、線

二、圓錐體

圓錐體由圓錐面和底面圍成，如圖3-7所示。圓錐面由直線繞與它相交的直線旋轉(zhuǎn)而成。圖3-7圓錐體的表示法

1.圓錐體投影圖的畫法

軸線鉛垂放置的圓錐體的水平投影為圓，用垂直相交的細點畫線畫出圓的中心線。

圓錐體的正面投影及側(cè)面投影均為等腰三角形。正面投影三角形的兩邊s'a'和s'b'為圓錐面對V面的轉(zhuǎn)向素線，分別是圓錐面最左、最右的素線投影。左、右轉(zhuǎn)向素線的前半個圓錐面的正面投影可見，后半個圓錐面不可見。側(cè)面投影三角形的兩邊s''c''和s''d''為圓錐面對W面的轉(zhuǎn)向素線，分別是圓錐面最前、最后的素線投影。前、后轉(zhuǎn)向素線的左半個圓錐面的側(cè)面投影可見，右半個圓錐面不可見。正面投影及側(cè)面投影中，等腰三角形的底邊為圓錐體底面的投影。用細點畫線表示軸線的投影。

2.圓錐體表面上的點和線

在圓錐面上取點可以采用兩種方法：

(1)素線法。如圖3-8(a)所示，已知圓錐面上點F的水平投影f，求作點F的正面投影及側(cè)面投影。作圖時，過錐頂S

和點F作圓錐面的一條輔助素線SE，則F點在該素線上。先在水平投影上過f確定SE的水平投影se，再作SE的正面投影及側(cè)面投影。根據(jù)點在直線上的投影規(guī)律，即可作出f'及f''。因點F在圓錐面的左、前部分上，所以點F的正面投影及側(cè)面投影均可見。

(2)緯圓法(回轉(zhuǎn)圓法)。在圖3-8(a)中，過點F作輔助緯圓，其水平投影為半徑等于sf的圓(水平圓)。緯圓水平投影與圓錐面最右素線的交點為a，正面投影a'在最右邊的轉(zhuǎn)向

素線上，于是可作輔助緯圓的正面投影及側(cè)面投影。由點F在此緯圓上，即可作出點F的正面投影及側(cè)面投影，如圖3-8(a)所示。

如圖3-8(b)所示，若已知線段FH的正面投影f'h'，求作它的另外兩個投影。作圖時可作線段上一系列點的水平投影及側(cè)面投影，其中側(cè)面投影轉(zhuǎn)向素線上的點M必須作出，然后用曲線依次光滑連接各點的同面投影，并判別可見性。圖3-8在圓錐表面上取點、線

三、圓球體

圓球體由圓球面圍成。圓球面由圓(母線)繞直徑旋轉(zhuǎn)而成。

1.圓球體投影圖的畫法

圓球體的三面投影都是圓。用垂直相交的細點畫線畫出圓的中心線，如圖3-9(b)所示。圓球體在三個投影面上的輪廓素線均為大小相等的圓，其直徑與球的直徑相同。圖中水平輪廓素線——圓B稱為赤道圓，與赤道圓垂直的圓稱為經(jīng)線(如A、C)。在圖3-9(b)中，赤道圓將球面分成上、下兩部分，在水平投影中，上半個球面可見，下半個球面不可見。經(jīng)線A是對V面的輪廓素線，它把球面分成前、后兩部分，在V面投影中，前半個球面可見，后半個球面不可見。經(jīng)線C是對W

面的輪廓素線，它把球面分成左、右兩部分，在W面投影中，左半個球面可見，右半個球面不可見。圖3-9圓球體的表示法

2.圓球體表面上的點和線

在圓球面上取點，只能用平行于某個投影面的輔助緯圓來作圖。

如圖3-10(a)所示，已知圓球面上點E的水平投影，并且可見，求作它的另外兩個投影。作圖時，可以通過點E在球面上作輔助水平緯圓，其水平投影是以oe為半徑的圓。該圓與正面(或者側(cè)面)輪廓素線的交點確定了該圓正面(或者側(cè)面)投影的位置，投影均為水平直線，由此即可作出e'及e''。由水平投影知點E在球面的前、右、上部分，故e'可見，e''不可見。同樣，也可以通過E點在球面上作正平輔助緯圓或側(cè)平輔助緯圓。圖3-10在圓球表面上取點、線在球面上取線的作圖方法如圖3-10(b)所示。若已知球面上線段EH的水平投影eh，可以用輔助緯圓的方法作線段上一系列點的正面投影及側(cè)面投影，然后用曲線順次光滑連

接各點的同面投影即可。圖中線段跨越正面輪廓素線的N點和跨越側(cè)面輪廓素線的M點的兩投影必須作出，因為它們分別是線段EH的正面投影及側(cè)面投影上可見與不可見的分界點。

四、圓環(huán)體

圓環(huán)體由圓環(huán)面圍成。圓環(huán)面由圓(母線)繞圓外直線(該直線與圓同面)旋轉(zhuǎn)而成。

圓環(huán)體投影圖的畫法如圖3-11所示。

圓環(huán)面上取點只能用緯圓法。圖3-11圓環(huán)體的表示法

3.3立體截交線及切口

一、平面立體截交線與切口

平面與平面立體相交，截交線是三角形或封閉的平面多邊形。

［例3-1］如圖3-12所示，用正垂面P截去三棱錐頭部，求截交線的投影。

解分析與作圖。由于截切平面為正垂面，故截交線正面投影重合在正垂面的正面跡線上，跡線PV與s'a'、s'b'、s'c'的交點即為截交線各頂點的正面投影1'、2'、3'。根據(jù)點在直線上的投影規(guī)律，即可作出截交線頂點的水平投影1、2、3及側(cè)面投影1''、2''、3''。用直線連接相應(yīng)兩點的同面投影即得所求截交線的投影，最后判別可見性。圖3-12三棱錐截交線的投影

［例3-2］求作圖3-13(a)所示四棱臺切口的投影。

解分析與作圖。由圖3-13(a)正面投影知，四棱臺切口由左、右兩個側(cè)平面和一個水平面截切而成，故分別作出各截切平面的截交線即可。

投影作圖如圖3-13(b)所示。若水平面與四棱臺完全截交，則截交線為矩形，截交線頂點即為水平面與各棱線的交點。因水平面僅截棱臺的中間部分，故截交線僅有中間部分線段。水平截切平面的側(cè)面投影不可見；側(cè)平面截交線的水平投影積聚成一直線段，例如ab。同理可作出另一側(cè)平面的水平投影，連接有關(guān)線段，即完成切口的投影。圖3-13四棱臺切口二、回轉(zhuǎn)體截交線與切口

平面與回轉(zhuǎn)體的截交線一般是閉合的平面曲線，或者是曲線與直線圍成的平面圖形。

圓柱體、圓錐體、圓球體與不同位置的平面相交，其截交線投影圖見表3-1、表3-2和表3-3。表3-1圓柱體截交線表3-2圓錐體截交線表3-3圓球體截交線平面與回轉(zhuǎn)體相交時，為便于截交線投影作圖，一般將截切平面放置成特殊位置——投影面平行面或投影面垂直面。作截交線投影時，須充分利用截切平面的投影特性，并熟練

掌握求截交線上的點(立體表面與截切平面的共有點)的作圖方法。

作回轉(zhuǎn)體截交線投影的方法是：根據(jù)表3-1、表3-2和表3-3確定截交線的形狀特點；根據(jù)投影分析作截交線上的特殊點；用基本幾何體表面取點、取線的投影作圖方法作截交線上適當?shù)闹虚g點；判斷可見性并用線段(直線或曲線)光滑連接各點的同面投影。

1.圓柱體截交線與切口

［例3-3］求正垂面與圓柱體的截交線，如圖3-14所示。圖3-14平面斜切圓柱

解分析與作圖。由表3-1，圓柱被平面斜切時截交線為橢圓。因截切平面為正垂面，故截交線的正面投影重影在截切平面的正面投影上；截交線的水平投影重影在圓柱面的積聚性投影上；側(cè)面投影一般為橢圓，但不反映實形。

作圖過程如下：

(1)作截交線上的特殊點。如圖3-14(b)中的A點(最低點,橢圓長軸端點)、B點(最高點，橢圓長軸端點)、C點(最前點，橢圓短軸端點)、D點(最后點，橢圓短軸端點)。

(2)作截交線上的一般點。如圖中E、F點，可以根據(jù)點既在截切平面上又在圓柱面上的原理作出。

(3)用曲線光滑連接各點的側(cè)面投影。

［例3-4］求作圖3-15(a)所示套筒上部切口的投影。

解分析與作圖。由表3-1，圓柱被平行于軸線和垂直于軸線的平面截切后，截交線分別為直線和圓弧。圖3-15(b)所示為實心圓柱體切口的投影：在側(cè)面投影上，圓柱面最前和最后輪廓素線在切口內(nèi)的部分被切掉，截交線(直線)向軸線方向“退縮”。圖3-15(c)所示為圓筒切口的投影：其內(nèi)圓柱面對正面及側(cè)面的投影輪廓素線畫成細虛線，在側(cè)面投影上，側(cè)平面與水平面的交線在圓筒厚度(實體)方向上應(yīng)畫出一段細虛線。圖3-15套筒切口的投影

2.圓錐體截交線與切口

［例3-5］求正垂面與圓錐體的截交線，如圖3-16(a)所示。

解分析與作圖。由表3-2可知，正垂面與圓錐體的截交線為橢圓，其中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ分別為橢圓長、短軸的端點。投影作圖如圖3-16(b)所示。作圖步驟如下：

(1)作特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ各點投影。其中點Ⅰ、Ⅱ分別在圓錐面正面輪廓素線上，Ⅴ、Ⅵ點分別在圓錐面?zhèn)让孑喞鼐€上。由于橢圓長、短軸互相垂直平分，故Ⅲ、Ⅳ點正面投影重影成一點，且平分1'2'。Ⅲ、Ⅳ點的另外兩個投影可用緯圓法或素線法作出，圖中采用緯圓法。

(2)用緯圓法或素線法作截交線上的一般點，如Ⅶ、Ⅷ點。

(3)用曲線光滑連接各點的同面投影。截交線的水平投影及側(cè)面投影均可見。圖3-16圓錐被平面斜截

［例3-6］求圖3-17(a)所示圓錐體切口的投影。

解分析與作圖。由圖3-17(b)所示的正面投影可知，圓錐體切口由左、右兩側(cè)平面及一個水平面截切而成。由表3-2可知，側(cè)平面與圓錐面的截交線為雙曲線，水平面與圓錐面的截交線為圓。側(cè)平面與圓錐面的截交線投影作圖如圖3-17(c)所示：截交線的側(cè)面投影反映實形(雙曲線)，水平投影為直線，其中A、B、C是截交線上的特殊點，其投影必須作出。D、E是截交線上的一般點，可用緯圓法作出它們的投影。

在圖3-17(b)中，水平截切平面與圓錐面的截交線的水平投影為前、后兩段圓弧，其中Ⅱ、Ⅲ兩點為兩類截交線的交點，稱為截交線的結(jié)合點。側(cè)面投影線段2''3''