《高等微波網(wǎng)絡(luò)》課件第5章

第5章雙匹配網(wǎng)絡(luò)的綜合

5.1雙匹配網(wǎng)絡(luò)的一般概念5.2具有簡單傳輸零點(diǎn)的雙匹配網(wǎng)絡(luò)5.3雙匹配網(wǎng)絡(luò)的實(shí)頻CAD技術(shù)

5.1雙匹配網(wǎng)絡(luò)的一般概念

本節(jié)將討論雙匹配網(wǎng)絡(luò)的基本關(guān)系式、系統(tǒng)的傳輸零點(diǎn)和均衡網(wǎng)絡(luò)的物理實(shí)現(xiàn)等問題。

5.1.1雙匹配網(wǎng)絡(luò)的基本關(guān)系式

在研究雙匹配問題時(shí)，將整個(gè)雙匹配系統(tǒng)(如圖5.1-1(a)所示)表示為圖5.1-1(b)所示的形式是很方便的。圖中終端接1Ω的無耗網(wǎng)絡(luò)G和L，分別是電源阻抗zg(s)和負(fù)載阻抗zl(s)的達(dá)林頓等效網(wǎng)絡(luò)。大方框包括的雙口網(wǎng)絡(luò)由G、E、L級聯(lián)組成，即G-E-L網(wǎng)絡(luò)，其終端電阻為1Ω。為了便于下面的討論，首先給出有關(guān)的散射矩陣、參數(shù)的定義和基本關(guān)系式。圖5.1-1雙匹配網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)G-E-L的散射矩陣是單位歸一化散射矩陣，可表示為

S(s)=[Sij(s)]，i，j=1，2(5.1.1)

參考阻抗為zg(s)和zl(s)，即得匹配網(wǎng)絡(luò)E的復(fù)歸一化散射矩陣為

參考阻抗zg(jω)和zl(jω)的實(shí)部和虛部為

zg(jω)=rg(ω)+jxg(ω)

(5.1.3a)

zl(jω)=rl(ω)+jxl(ω)

(5.1.3b)i，j=1，2

(5.1.2)參考阻抗zg(s)和zl(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分(或偶部)為

根據(jù)前面的討論方式，定義下列函數(shù)。

均衡網(wǎng)絡(luò)E復(fù)歸一化反射系數(shù)為式中，hg(s)和hl(s)分別是rg(s)和rl(s)的因式；ZEG(s)和ZEL(s)分別是在網(wǎng)絡(luò)E的其他端口接相應(yīng)負(fù)載時(shí)，從端口G和端口L向均衡器E看去的阻抗函數(shù)，如圖5.1-1所示。網(wǎng)絡(luò)E的端口G和端口L的有界實(shí)反射系數(shù)為式中，Ag(s)和Al(s)是全通函數(shù)之積，它們又分別為

式中，sgk和slm分別是zg(－s)和zl(－s)的開RHS極點(diǎn)。下面證明一個(gè)有用的定理。

【定理5.1.1】總網(wǎng)絡(luò)G-E-L(見圖5.1-1(b))的單位歸一化散射參量Sij(s)，i，j=1，2，與網(wǎng)絡(luò)E在端口G和端口L的有界實(shí)反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)具有如下關(guān)系：

S11(s)=Bg(s)ρg(s)

(5.1.7a)

S22(s)=Bl(s)ρl(s)

(5.1.7b)

式中，Bg(s)和Bl(s)分別是由rg(s)和rl(s)的開RHS零點(diǎn)形成的全通函數(shù)積，其表示式為因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)G、E、L都是無耗的，S(jω)和SE′(jω)具有幺正性，同時(shí)考慮到式(5.1.6)，|Ag(jω)|=1，|Al(jω)|=1，因此，G-E-L網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換功率增益為

上式是分析和設(shè)計(jì)雙匹配網(wǎng)絡(luò)的基本關(guān)系式。(5.1.9)5.1.2尤拉定理

如圖5.1-2所示的電路，其中信號源用一個(gè)理想電壓源與一個(gè)內(nèi)阻抗相串聯(lián)的形式表示。信號源的內(nèi)阻抗z1(s)與負(fù)載阻抗z2(s)在所研究的頻帶內(nèi)是嚴(yán)格無源阻抗。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)最佳無耗雙口網(wǎng)絡(luò)N，使負(fù)載阻抗z2(s)和信號源內(nèi)阻抗z1(s)相匹配，在整個(gè)正弦頻譜內(nèi)實(shí)現(xiàn)預(yù)給的轉(zhuǎn)換功率增益特性G(ω2)，并在通帶內(nèi)得到盡可能大的功率增益。圖5.1-2信號源與負(fù)載之間的匹配網(wǎng)絡(luò)為了討論這個(gè)問題，現(xiàn)在導(dǎo)出有關(guān)的基本關(guān)系式。設(shè)無耗雙口網(wǎng)絡(luò)N的參考阻抗矩陣為

它的準(zhǔn)埃爾米特部分為

則其可分解為

r(s)=h(s)h*(s)

(5.1.12)(5.1.10)(5.1.11)其中，r(s)、h(s)和h*(s)均為對角矩陣。h(s)和h*(s)的元素hi(s)和hi(-s)(i=1，2，…)均為全通函數(shù)。

設(shè)S′(s)是網(wǎng)絡(luò)N的電流基散射矩陣，S(s)是N對參考阻抗矩陣z(s)的歸一化散射矩陣，兩者有以下關(guān)系：

S(s)=h(s)S′(s)h+(s)

(5.1.13)

式中

S′(s)=［Z(s)+z(s)］－1［Z(s)－z*(s)］(5.1.14)

Z(s)是無耗雙口網(wǎng)絡(luò)的開路阻抗矩陣，對于互易雙口網(wǎng)絡(luò)，它是一個(gè)對稱矩陣。由式(5.1.11)~式(5.1.14)，可以導(dǎo)出歸一化反射系數(shù)如下：

為了討論方便，將上面兩個(gè)式子表示為(5.1.15a)(5.1.15b)(5.1.16)其中，hi(s)/hi(－s)是一個(gè)全通函數(shù)，它的極點(diǎn)包括了zi(s)在開LHS內(nèi)的所有極點(diǎn)，它的零點(diǎn)包括了ri(s)在開LHS內(nèi)的所有零點(diǎn)。將這個(gè)全通函數(shù)表示為兩個(gè)全通函數(shù)的乘積，即

它們分別由zi(－s)在開RHS的諸極點(diǎn)sj(j=1，2，…，ν)和ri(s)在開RHS的諸零點(diǎn)sk(k=1，2，…，μ)定義。設(shè)(5.1.17)(5.1.18)則

令(5.1.19a)則

從式(5.1.16)看到Sii(s)在開RHS的極點(diǎn)正是zi(－s)的極點(diǎn)，因而

在閉RHS內(nèi)解析，ρi(s)和Sii(s)都是有界實(shí)函數(shù)。這里ρi(s)稱為有界實(shí)反射系數(shù)。因?yàn)锽i(s)是全通函數(shù)，所以在實(shí)頻率軸上有以下關(guān)系：

|ρi(jω)|=|Sii(jω)|

(5.1.21)(5.1.19b)(5.1.20)根據(jù)無耗雙口網(wǎng)絡(luò)S(s)的幺正性質(zhì)，端口1至端口2的轉(zhuǎn)換功率增益G(ω2)可寫成

G(ω2)=|S21(jω)|2=1－|Sii(jω)|2=1－|ρi(jω)|2

(5.1.22)因此除了研究參考阻抗z1(s)和z2(s)對N的轉(zhuǎn)換功率增益的限制外，還需要研究有界實(shí)反射系數(shù)

式(5.1.22)和式(5.1.23)是尤拉寬帶匹配理論的基礎(chǔ)。式(5.1.23)還可以改寫為(5.1.36)(5.1.24)下面將看到，研究阻抗zi(s)對ρi(s)的制約條件時(shí)，式(5.1.24)是一個(gè)便于應(yīng)用的形式。

設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換功率增益特性是G(ω2)，散射參數(shù)S21(s)可以通過式(5.1.22)以及解析延拓理論表示為

S21(s)S21(－s)=G(－s2)

(5.1.25)在網(wǎng)絡(luò)理論中，將雙口網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換功率增益或傳輸函數(shù)為零的點(diǎn)稱為傳輸零點(diǎn)。在傳輸零點(diǎn)處，從信號源到負(fù)載不存在能量傳輸?shù)倪^程。由式(5.1.22)和式(5.1.25)可知，此時(shí)散射參量S21(s)=0，端口1的歸一化反射系數(shù)S11(s)=1，這意味著在端口1出現(xiàn)全反射，信號源不可能通過雙口網(wǎng)絡(luò)向負(fù)載提供能量。由此很容易推斷從端口1向負(fù)載方向看的策動點(diǎn)阻抗Z11(s)為一純電抗，即Z11(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分為零，即這里，Z11(s)由雙口網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及負(fù)載阻抗z2(s)確定。以上的討論也適用于端口2，在傳輸零點(diǎn)處，S22(s)=1，故端口2向信號源方向看的策動點(diǎn)阻抗Z22(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分為零，即當(dāng)負(fù)載與信號源均為電阻性時(shí)，傳輸零點(diǎn)由雙口網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定，因此將這樣的傳輸零點(diǎn)稱為網(wǎng)絡(luò)的傳輸零點(diǎn)。如果網(wǎng)絡(luò)的串臂中含有LC并聯(lián)電路，或者在并臂中含有LC串聯(lián)電路，如圖5.1-3所示，那么將分別是它們的傳輸零點(diǎn)。若網(wǎng)絡(luò)的并臂中含有RC串聯(lián)電路，那么是網(wǎng)絡(luò)的傳輸零點(diǎn)。圖5.1-3討論網(wǎng)絡(luò)傳輸零點(diǎn)的圖例當(dāng)信號源的內(nèi)阻抗或負(fù)載不是純電阻時(shí)，端口1到端口2的功率傳輸還受到信號源的z1(s)和負(fù)載阻抗z2(s)的影響。因而在考慮傳輸零點(diǎn)時(shí)，要計(jì)入z1(s)和z2(s)的作用。為了說明這一點(diǎn)，試看圖5.1-4(a)，其中負(fù)載是RC的并聯(lián)組合?？梢钥吹疆?dāng)ω=∞時(shí)，負(fù)載不吸收功率，這時(shí)不論雙口網(wǎng)絡(luò)具有何種結(jié)構(gòu)，端口1至端口2的傳輸功率增益均為零，所以ω=∞是一個(gè)傳輸零點(diǎn)。和圖5.1-2所示的情況不同，這個(gè)傳輸零點(diǎn)不是由網(wǎng)絡(luò)N而是由負(fù)載阻抗z2(s)決定的。又如圖5.1-4(b)，信號源的內(nèi)阻抗為RC并聯(lián)組合，無論N具有何種結(jié)構(gòu)，當(dāng)ω=∞時(shí)，端口1至端口2的轉(zhuǎn)換功率增益均為零，所以ω=∞是由信號源內(nèi)阻抗z1(s)決定的傳輸零點(diǎn)。圖5.1-4說明參考阻抗傳輸零點(diǎn)的圖例為了與網(wǎng)絡(luò)的傳輸零點(diǎn)相區(qū)別，將由阻抗z1(s)或z2(s)所決定的傳輸零點(diǎn)稱為參考阻抗z1(s)或z2(s)的傳輸零點(diǎn)。這一類傳輸零點(diǎn)由尤拉在研究負(fù)載阻抗對有界實(shí)反射系數(shù)約束時(shí)首先提出，所以也稱為尤拉傳輸零點(diǎn)。當(dāng)研究電阻性信號源與任意負(fù)載z2(s)相匹配時(shí)，尤拉零點(diǎn)僅僅由負(fù)載決定，故稱為負(fù)載的傳輸零點(diǎn)。現(xiàn)在根據(jù)已知的參考阻抗z1(s)或z2(s)來確定尤拉零點(diǎn)。從直觀上看，似乎z1(s)或z2(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分的零點(diǎn)，以及z1(s)或z2(s)的極點(diǎn)將構(gòu)成尤拉零點(diǎn)。然而下面將看到，只是z1(s)或z2(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分在閉RHS的零點(diǎn)與z1(s)或z2(s)在實(shí)頻率軸上的極點(diǎn)才構(gòu)成尤拉零點(diǎn)。由式(5.1.13)和式(5.1.14)可以導(dǎo)出歸一化散射參數(shù)參考阻抗的關(guān)系如下：

或(5.1.26a)(5.1.26b)其中，z11(s)、z22(s)和z12(s)分別是網(wǎng)絡(luò)的開路阻抗矩陣的元素。根據(jù)式(5.1.12)，上兩式可寫成

從上式可見，h1(s)和h2(s)的零點(diǎn)，即z1(s)和z2(s)的準(zhǔn)埃爾米特部分在開RHS內(nèi)的零點(diǎn)是尤拉傳輸零點(diǎn)。再看上式的分母，z1(s)和z2(s)開LHS的極點(diǎn)與h1(s)和h2(s)開LHS的極點(diǎn)相抵消。h1(s)和h2(s)在實(shí)頻率軸上無極點(diǎn)，因而z1(s)和z2(s)在實(shí)頻率軸上的極點(diǎn)也是尤拉傳輸零點(diǎn)。當(dāng)然，有時(shí)z1(s)在實(shí)頻率軸上的極點(diǎn)也是r1(s)的零點(diǎn)。這樣證實(shí)了以上結(jié)論，即z1(s)的尤拉零點(diǎn)是r1(s)在閉RHS的零點(diǎn)與z1(s)在實(shí)頻率軸上的極點(diǎn)。從式(5.1.26b)也可以得到同樣的結(jié)論。(5.1.26c)以上的討論也完全適用于z2(s)的尤拉零點(diǎn)。為了計(jì)算方便起見，用以下簡潔的方式來定義參考阻抗的尤拉零點(diǎn)。

對給定的參考阻抗zi(s)，定義函數(shù)

式(5.1.28)的左側(cè)決定于阻抗zi(s)，因而這個(gè)等式表示了參考阻抗zi(s)對有界實(shí)反射系數(shù)的約束。Ai(s)是全通函數(shù)，若尤拉零點(diǎn)在實(shí)頻率軸上，即si0=jωi0，則|ρi(jωi0)|=|Sii(jωi0)|=1。正如前面已指出的那樣，在端口i處將出現(xiàn)全反射。(5.1.27)為了討論方便，尤拉將參考阻抗的傳輸零點(diǎn)按它們在閉RHS的位置和zi(s0)的值分為以下四類：

第Ⅰ類：σi0>0，包括開RHS的所有的尤拉零點(diǎn)。

第Ⅱ類：σi0=0，且zi(jωi0)=0。

第Ⅲ類：σi0=0，且0<zi(jωi0)<∞。

第Ⅳ類：σi0=0，且zi(jωi0)=∞。

以上Ⅰ~Ⅳ類尤拉零點(diǎn)均位于實(shí)頻率軸上且阻抗z(jωi0)具有不同值。

【例5.1.1】求圖5.1-5所示阻抗的尤拉傳輸零點(diǎn)，并確定其類別。

解圖5.1-5的阻抗為

它的準(zhǔn)埃爾米特部分是(5.1.29)(5.1.30)圖5.1-5例5.1.1的阻抗z(s)根據(jù)前面的討論，尤拉傳輸零點(diǎn)包括r(s)的閉RHS的零點(diǎn)及z(s)在實(shí)頻率軸上的極點(diǎn)。r(s)在閉RHS的2階零點(diǎn)是

由式(5.1.29)可知，z(s)在實(shí)頻率軸上的1階極點(diǎn)為

s03=0若按照尤拉傳輸零點(diǎn)的定義，求得函數(shù)

則得到相同的結(jié)果。對于s01和s02，阻抗值為

對于s03，有

|z(s03)|=∞

因此s01和s02是第Ⅱ類2階尤拉傳輸零點(diǎn)，s03是第Ⅳ類1階尤拉傳輸零點(diǎn)。(5.1.31)

【例5.1.2】求圖5.1-6所示阻抗的尤拉傳輸零點(diǎn)，并確定其類別。

解(1)圖5.1-6(a)的阻抗z(s)以及r(s)、ω(s)分別為(5.1.32)(5.1.33)(5.1.34)圖5.1-6例5.1.2的阻抗故在閉RHS上，ω(s)具有1階零點(diǎn)

s0位于RHS的實(shí)軸，因而是第Ⅰ類1階尤拉傳輸零點(diǎn)。因?yàn)閦(s)在開RHS不可能有極點(diǎn)，所以這樣的零點(diǎn)只能是r(s)在RHS的零點(diǎn)。

(2)圖5.1-5(b)的z(s)以及r(s)、ω(s)分別為(5.1.35)(5.1.36)(5.1.37)

于是求得唯一的1階尤拉傳輸零點(diǎn)s0=∞，且z(s0)=0，故s0是第Ⅱ類1階零點(diǎn)。

接下來，討論任意負(fù)載阻抗與電阻性信號源的匹配問題，這是一類最簡單的，也是實(shí)際中常遇到的寬帶匹配問題。尤拉通過對這一類問題的研究，提出了以復(fù)數(shù)歸一化理論為基礎(chǔ)的新理論，給出了在負(fù)載傳輸零點(diǎn)處，負(fù)載阻抗與有界實(shí)反射系數(shù)的基本約束條件，并指出這些基本約束條件是實(shí)現(xiàn)雙口匹配網(wǎng)絡(luò)的必要與充分條件。這就是在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)著名的尤拉定理。(5.1.38)在以下討論中，假定信號源內(nèi)阻抗z1(s)=r0，負(fù)載阻抗z2(s)=zl(s)是嚴(yán)格無源阻抗，G(ω2)是所要求的轉(zhuǎn)換功率增益，通常可以表示為解析形式。還假定均衡器是互易的無耗雙口網(wǎng)絡(luò)。由于信號源是電阻性的，所以將注意力集中在端口2。用rl(s)、h(s)、A(s)與B(s)分別表示與負(fù)載阻抗zl(s)有關(guān)的函數(shù)，ρ(s)表示輸出端口的有界實(shí)反射系數(shù)。

按照解析延拓理論，式(5.1.22)無耗雙口網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換功率增益G(ω2)與有界實(shí)反射系數(shù)ρ(jω)在整個(gè)s平面有以下關(guān)系式：

ρ(s)ρ(－s)=1－G(－s2)

(5.1.39)為了使ρ(s)在閉RHS內(nèi)解析，由ρ(s)ρ(－s)決定ρ(s)時(shí)，將ρ(s)ρ(－s)在開LHS的極點(diǎn)歸屬于ρ(s)。在分配ρ(s)ρ(－s)零點(diǎn)時(shí)，按ρ(s)是最小相移函數(shù)的原則，將ρ(s)ρ(－s)開LHS的零點(diǎn)歸屬于ρ(s)。ρ(s)ρ(－s)在實(shí)頻率軸上沒有極點(diǎn)，它的零點(diǎn)具有偶次階，將這些零點(diǎn)平均分配給ρ(s)和ρ(－s)。

為了討論方便，將與負(fù)載阻抗有關(guān)的函數(shù)重列如下，它們是(5.1.40)

令

F(s)=2rl(s)A(s)

(5.1.42)

為了研究在負(fù)載傳輸零點(diǎn)處，上述各函數(shù)與有界實(shí)反射系數(shù)ρ(s)之間的約束條件，分別將ρ(s)、A(s)和F(s)在負(fù)載傳輸零點(diǎn)s0=σ0+jω0附近展開成羅朗級數(shù)，然后通過這些系數(shù)來表達(dá)它們的約束條件。(5.1.41)設(shè)ρ(s)、A(s)和F(s)的羅朗級數(shù)的表達(dá)式分別為(5.1.43)(5.1.44)(5.1.45)尤拉定理給定任意嚴(yán)格無源阻抗zl(s)和從電阻性信號源到負(fù)載的轉(zhuǎn)換功率增益G(ω2)，G(ω2)所確定的有界實(shí)反射系數(shù)ρ(s)能實(shí)現(xiàn)一個(gè)無耗雙口網(wǎng)絡(luò)的必要和充分條件是，在zl(s)的每一個(gè)k階傳輸零點(diǎn)s0，根據(jù)它所屬的類型，必須滿足以下基本約束條件之一：

(1)第Ⅰ類傳輸零點(diǎn):

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1(5.1.46a)

(2)第Ⅱ類傳輸零點(diǎn):

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1，且

(Ak－ρk)/Fk+1≥0

(5.1.46b)

(3)第Ⅲ類傳輸零點(diǎn):

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1，且

(Ak－1－ρk－1)/Fk≥0，k≥2

(5.1.46c)

(4)第Ⅳ類傳輸零點(diǎn):

Ax=ρx，x=0，1，2，…，k－1，且

Fk－1/(Ak－ρk)≥a－1

(5.1.46d)

其中，a－1是zl(s)在極點(diǎn)jω0處的留數(shù)。若負(fù)載阻抗zl(s)和有界實(shí)反射系數(shù)ρ(s)滿足尤拉定理，那么可以由式(5.1.24)導(dǎo)出網(wǎng)絡(luò)N的末端阻抗，即輸出端的策動點(diǎn)阻抗為

它是一個(gè)正實(shí)函數(shù)。根據(jù)達(dá)林頓理論，任何正實(shí)函數(shù)都可以實(shí)現(xiàn)為終端接1Ω電阻的無耗雙口網(wǎng)絡(luò)的策動點(diǎn)阻抗。當(dāng)終端的電阻不是1Ω時(shí)，可以在網(wǎng)絡(luò)與實(shí)際終端之間插入一個(gè)理想變壓器。(5.1.47)

【例5.1.3】設(shè)計(jì)一個(gè)無耗均衡器，使圖5.1-7所示的負(fù)載與內(nèi)阻為0.5Ω的信號源相匹配，要求獲得具有最大直流增益的3階Butterworth變換器功率增益，截止角頻率ωc=1rad/s。圖5.1-7例5.1.3的電路解給定的阻抗zl(s)和轉(zhuǎn)換功率增益G(ω2)分別為

和

其中，K是小于或等于1的常數(shù)。為了應(yīng)用尤拉定理，首先寫出由負(fù)載阻抗決定的一些函數(shù):(5.1.48)(5.1.49)(5.1.50)

由式(5.1.51)可見，zl(s)在無窮遠(yuǎn)處有3階零點(diǎn)，在零點(diǎn)處的負(fù)載阻抗值|zl(jω0)|=∞，所以是第Ⅳ類3階尤拉傳輸零點(diǎn)?，F(xiàn)在根據(jù)zl(－s)開RHS的極點(diǎn)來定義全通函數(shù)A(s)，由式(5.1.48)得

它在開RHS的極點(diǎn)為s=1，故全通函數(shù)為(5.1.51)(5.1.52)(5.1.53)有界實(shí)反射系數(shù)ρ(s)由轉(zhuǎn)換功率增益決定，由式(5.1.49)和式(5.1.22)可得

式中

δ=(1－K)1/6(5.1.55)

現(xiàn)在按最小相移的原則分解ρ(s)ρ(－s)，得(5.1.54)(5.1.56)分別將ρ(s)、A(s)和F(s)展開成羅朗級數(shù)：(5.1.57a)(5.1.57b)(5.1.57c)尤拉定理對第Ⅳ類3階傳輸零點(diǎn)的基本約束條件如下：

A0=ρ0(5.1.58a)

A1=ρ1(5.1.58b)

A2=ρ2(5.1.58c)

和(5.1.58d)現(xiàn)將式(5.1.57)中有用的系數(shù)羅列如下：

A0=1，A1=－2，A2=2，A3=－2

F2=－2，ρ0=1，ρ1=2(δ－1)，ρ2=2(δ－1)2

ρ3=(δ－1)(δ2－3δ+1)

則可解得有界實(shí)反射系數(shù)為

從端口2看到的策動點(diǎn)阻抗為(5.1.59)(5.1.60)將Z22(s)作連分式展開:

由它實(shí)現(xiàn)的終接電阻為1Ω的無耗梯形網(wǎng)絡(luò)如圖5.1-8(a)所示?？紤]到信號源內(nèi)阻為0.5Ω，需要在信號源與匹配網(wǎng)絡(luò)之間插入一個(gè)匝比N=∶1的理想變壓器，如圖5.1-8(b)所示。(5.1.61)圖5.1-8例5.1.3所實(shí)現(xiàn)的匹配網(wǎng)絡(luò)

【例5.1.4】設(shè)負(fù)載阻抗zl(s)如圖5.1-9所示，其中r1=1Ω，r2=3Ω，C=2/3F。試設(shè)計(jì)一個(gè)無耗均衡器，使zl(s)與內(nèi)阻為1Ω的信號源相匹配，并獲得2階Butterworth轉(zhuǎn)換功率增益特性。截止頻率ωc=1rad/s。圖5.1-9例5.1.4的負(fù)載zl(s)解給定的阻抗zl(s)和轉(zhuǎn)換功率增益G(ω2)分別為

和

其中K是小于或等于1的常數(shù)。(5.1.62)(5.1.63)(5.1.64)(5.1.65)可見，s0=1是zl(s)的第Ⅰ類1階傳輸零點(diǎn)。

式中

δ=(1－K)1/4

現(xiàn)在按最小相移的原則分解ρ(s)ρ(－s)，得(5.1.66)(5.1.67)(5.1.68)分別將ρ(s)、A(s)展開成羅朗級數(shù)：

其中

尤拉定理對第Ⅰ類1階傳輸零點(diǎn)的基本約束條件如下：

A0=ρ0

即(5.1.69)(5.1.70a)(5.1.70b)

由此得方程式

它的解是δ=0.09164和δ=-1.506。舍去不合理的解，得δ=0.09164，故直流增益K為

K=1－δ4=0.999929

(5.1.71)

則可解得有界實(shí)反射系數(shù)為(5.1.72)從端口2看到的策動點(diǎn)阻抗求得為

將Z22(s)作連分式展開:

實(shí)現(xiàn)Z22(s)的梯形網(wǎng)絡(luò)如圖5.1-10(a)所示。最后的均衡器電路如圖5.1-10(b)所示，其中理想變壓器的匝比為(5.1.73)(5.1.74)(5.1.75)圖5.1-10例5.1.4所實(shí)現(xiàn)的匹配網(wǎng)絡(luò)5.1.3雙匹配網(wǎng)絡(luò)的物理實(shí)現(xiàn)

尤拉定理表明：在給定的轉(zhuǎn)換功率增益特性0≤G(ω2)≤1下，如果負(fù)載端口的有界實(shí)反射系數(shù)ρl(s)滿足負(fù)載zl(s)的尤拉傳輸零點(diǎn)所加的約束條件，則負(fù)載口的策動點(diǎn)阻抗Z22(s)(見圖5.1-11)必然是正實(shí)的。匹配網(wǎng)絡(luò)或均衡器E在物理上就一定能夠?qū)崿F(xiàn)。對于圖5.1-1所示雙匹配網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來說，由于電源阻抗是復(fù)阻抗，均衡網(wǎng)絡(luò)E的兩個(gè)端口都受到約束，即在它的電源和負(fù)載端口的有界實(shí)反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)，分別受到zg(s)和zl(s)的尤拉零點(diǎn)的約束。在這些約束下，均衡器網(wǎng)絡(luò)E能否實(shí)現(xiàn)？其條件是什么？這是在雙匹配系統(tǒng)的綜合與設(shè)計(jì)中首先遇到的問題。圖5.1-11單匹配網(wǎng)絡(luò)下面研究均衡網(wǎng)絡(luò)E在物理上可實(shí)現(xiàn)的條件。為了不使問題過于復(fù)雜，假設(shè)G、L網(wǎng)絡(luò)沒有RHS內(nèi)公共零點(diǎn)。首先將圖5.1-1(b)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)繪成圖5.1-12(a)的等效系統(tǒng)，它類似于圖5.1-11單匹配系統(tǒng)。根據(jù)尤拉理論，在負(fù)載端口滿足尤拉約束條件的反射系數(shù)ρl(s)必然是物理上可實(shí)現(xiàn)的。相應(yīng)的阻抗ZEL(s)必然是正實(shí)函數(shù)。因此，由ZEL(s)可綜合出左邊的G-E網(wǎng)絡(luò)。在雙匹配系統(tǒng)中，網(wǎng)絡(luò)G是給定的，由此而產(chǎn)生的問題是，從ZEL(s)所綜合的G-E網(wǎng)絡(luò)中分出給定的網(wǎng)絡(luò)G是否可能？或者說在什么條件下，從所得G-E網(wǎng)絡(luò)分出網(wǎng)絡(luò)G后，余下的網(wǎng)絡(luò)E是物理上可實(shí)現(xiàn)的？為了討論這個(gè)問題，轉(zhuǎn)向圖5.1-12(b)，它是在圖5.1-12(a)中將網(wǎng)絡(luò)L移去后，在負(fù)載口只接1Ω的電阻所形成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。注意，因?yàn)樵陔娫纯趯Ζ裧(s)的尤拉約束條件只與網(wǎng)絡(luò)G的參數(shù)有關(guān)，所以負(fù)載網(wǎng)絡(luò)L的存在與否，并不影響原網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)5.1-1(b)電源口對ρg(s)的尤拉約束條件。從電源口來看，圖5.1-12(b)是典型的單匹配系統(tǒng)。根據(jù)尤拉理論，在電源口的有界實(shí)反射系數(shù)ρg(s)如果滿足尤拉約束條件，則ρg(s)必然是物理上可實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)的阻抗ZEL(s)必然是正實(shí)函數(shù)。因而，網(wǎng)絡(luò)E必然是物理上可實(shí)現(xiàn)的。而且，尤拉約束條件是ρg(s)和ρl(s)可實(shí)現(xiàn)性的必要且充分的條件。這就是說，如果ρg(s)和ρl(s)不滿足尤拉約束條件，它們就是不可實(shí)現(xiàn)的。因此，從ZEL(s)綜合出來的網(wǎng)絡(luò)分出給定的網(wǎng)絡(luò)G，并使余下的均衡網(wǎng)絡(luò)E可實(shí)現(xiàn)的必要且充分的條件是：ρg(s)滿足尤拉約束條件。

綜上所述，可以得出結(jié)論：對于圖5.1-1的雙匹配網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在給定轉(zhuǎn)換功率0≤G(ω2)≤1的情況下，網(wǎng)絡(luò)E在物理上可實(shí)現(xiàn)的必要且充分的條件是，在電源口和負(fù)載口的有界實(shí)反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)同時(shí)滿足各自的尤拉約束條件。圖5.1-12雙匹配網(wǎng)絡(luò)的等效

5.2具有簡單傳輸零點(diǎn)的雙匹配網(wǎng)絡(luò)

本節(jié)討論電源阻抗zg(s)和負(fù)載阻抗zl(s)只有jω軸零點(diǎn)的雙匹配系統(tǒng)。

因?yàn)閦g(s)和zl(s)沒有RHS零點(diǎn)，在式(5.1.8)中RHS零點(diǎn)sgj=0，因而全通函數(shù)Bg(s)=Bl(s)=±1，于是式(5.1.7)變成

S11(s)=Bg(s)ρg(s)=±ρg(s)

(5.2.1a)

S22(s)=Bl(s)ρl(s)=±ρl(s)

(5.2.1b)式中±號的確定見后面的討論。傳輸零點(diǎn)對ρ(s)的尤拉約束條件，也同樣施加于網(wǎng)絡(luò)G-E-L的單位歸一化反射系數(shù)Sii(s)(i=1，2)上。這樣，就可以直接在圖5.1-1(b)的端口1和2上研究zg(s)和zl(s)的尤拉零點(diǎn)對Sii(s)所施加的約束條件。然后，由Sii(s)所對應(yīng)的策動點(diǎn)阻抗Zii(s)來綜合雙匹配網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。因?yàn)樘幚淼木W(wǎng)絡(luò)具有單位電阻終端，所以可利用網(wǎng)絡(luò)散射矩陣的別列維奇表示法，使網(wǎng)絡(luò)的綜合得到簡化。從上節(jié)的討論可知，圖5.1-1的雙匹配網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可繪成圖5.1-12(a)的等效單匹配系統(tǒng)，只要它的ρg(s)和ρl(s)同時(shí)滿足各自的尤拉約束條件，就可按照單匹配網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)程序?qū)㈦p匹配均衡網(wǎng)絡(luò)E綜合出來。因此，在zg(s)和zl(s)具有jω軸傳輸零點(diǎn)的情況下，圖5.1-1雙匹配均衡網(wǎng)絡(luò)的基本設(shè)計(jì)方法如下：給定增益函數(shù)后，在雙匹配系統(tǒng)的電源口和負(fù)載口分別求出對ρg(s)=±S11(s)和ρl(s)=±S22(s)的尤拉約束條件，如果這些條件有解，則可確定物理上可實(shí)現(xiàn)的S11(s)或S22(s)，進(jìn)而確定系統(tǒng)端口的策動點(diǎn)阻抗Z11(s)或Z22(s)(ZEG(s)或ZEL(s))，并由此進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)綜合，然后從所得出的網(wǎng)絡(luò)分出電源網(wǎng)絡(luò)G和負(fù)載網(wǎng)絡(luò)L，就可求得所要求的均衡網(wǎng)絡(luò)E。

5.2.1系統(tǒng)的散射特性和增益函數(shù)

圖5.1-12(a)中G-E-L網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的兩個(gè)端口連接的都是單位電阻，它的散射矩陣是單位歸一化矩陣S=［Sij(s)］。又由于G-E-L是由無耗互易網(wǎng)絡(luò)組成的，因此它的單位歸一化散射參量可用別列維奇表達(dá)式來表示：由上式可見，已知S11(s)就可確定S22(s)。在后面確定均衡器兩個(gè)端口的約束條件時(shí)，要用到這一關(guān)系。

散射參量Sii(s)前的正負(fù)號，可由它們所對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的第一個(gè)元件的電抗性質(zhì)來確定。例如在圖5.2-1中，網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)散射參量可直接求得如下：

可見，S11(s)取+號，而S22(s)?。?，這是因?yàn)镾11(s)所對應(yīng)的策動點(diǎn)阻抗，為了使它所綜合出來的網(wǎng)絡(luò)第一個(gè)元件是電感L，Z(s)的分子多項(xiàng)式應(yīng)比分母多項(xiàng)式高一次，因此S11(s)應(yīng)取+號。反之，S22(s)對應(yīng)的第一個(gè)元件是電容，則它應(yīng)取負(fù)號。在雙匹配理論中，轉(zhuǎn)換增益特性通常采用Butterworth和Chebyshev等逼近函數(shù)。雖然許多實(shí)例指出這些增益逼近函數(shù)都不是“最佳”的，但對某一特定的電源和負(fù)載阻抗，如何選擇所需的“最佳”增益逼近函數(shù)是一個(gè)困難問題。因此，這里只討論Butterworth和Chebyshev增益函數(shù)的綜合。圖5.2-1雙口網(wǎng)絡(luò)的散射參量

n階Butterworth特性的表示式為

式中，Kn是直流增益，0≤Kn≤1，經(jīng)過解析延拓后，上式變?yōu)?/p>

式中

δ=(1－Kn)1/2n

(5.2.5b)

式(5.2.5a)的最小相移分解式為

式中

q(s)=1+a1s+…+an-1Sn-1+sn

(5.2.6c)

是赫維茨多項(xiàng)式，系數(shù)an－1的計(jì)算式為(5.2.5c)

在圖5.2-1中端口1和2的阻抗分別為

在計(jì)算Z11(s)和Z22(s)時(shí)，注意S11(s)和S22(s)所應(yīng)具有的正負(fù)號，如前所述。

n階Chebyshev函數(shù)的表示式為

式中Tn(ω)是第一類n階Chebyshev多項(xiàng)式，ωc是網(wǎng)絡(luò)的截止角頻率，等波紋系數(shù)ε可由下式計(jì)算：

10log(ε2+1)=通帶內(nèi)波紋分貝數(shù)(5.2.8b)

增益函數(shù)式(5.2.8a)所對應(yīng)的最小相移反射系數(shù)(宗量y=s/ωc)為式中

多項(xiàng)式p(y)的系數(shù)用下列公式計(jì)算：在式(5.2.10)中，用替代α，即可求得的系數(shù)

而α和的計(jì)算式為5.2.2全通因子

前面回顧了Butterworth和Chebyshev函數(shù)的綜合問題，從式(5.2.4)的Butterworth函數(shù)可看出，待定參數(shù)只有一個(gè)直流增益Kn，而在式(5.2.8a)的Chebyshev函數(shù)中，待定參數(shù)是Kn和ε，有時(shí)ε也是給定的。從尤拉理論可知，對于第Ⅰ、Ⅲ類k階尤拉零點(diǎn)，各有k個(gè)關(guān)系，對于第Ⅱ、Ⅳ類k階零點(diǎn)，各有k+1個(gè)關(guān)系。如果電源網(wǎng)絡(luò)G和負(fù)載網(wǎng)絡(luò)L的零點(diǎn)k≥1，G-E-L網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的零點(diǎn)階數(shù)至少為2。一般來說，負(fù)載電源阻抗零點(diǎn)階數(shù)較高時(shí)，在雙匹配系統(tǒng)中，傳輸零點(diǎn)產(chǎn)生的約束條件數(shù)往往超過待定參數(shù)。因此，有必要在S21(s)中插入全通因子以滿足約束條件。插入的全通因子是任意的實(shí)全通函數(shù)，它的表示式如下：

η(s)具有右半s平面的零點(diǎn)，λi由尤拉傳輸零點(diǎn)約束條件所確定，它是待綜合匹配網(wǎng)絡(luò)E的零點(diǎn)。在滿足約束條件下，可選擇λi之值，使直流增益Kn為最大。在雙匹配系統(tǒng)中，還可以通過引入全通因子來改善Chebyshev響應(yīng)的等波紋系數(shù)。由式(5.2.11)可直接得出下列等式:

η(s)η(－s)=1

(5.2.12a)

令

可以導(dǎo)出下列關(guān)于在散射參數(shù)中分配全通因子的引理：

設(shè)S21(s)具有全通因子，它的定義見式(5.2.12b)，則S11(s)必然具有因子，S22(s)必然具有因子，且k1+k2=2k。

應(yīng)用散射參量的幺正性和式(5.2.12a)就可以導(dǎo)出上述結(jié)論。(5.2.12b)這個(gè)引理說明，如果在S11(s)中引入一個(gè)全通因子，而在S22(s)中引入一個(gè)，那么在S21(s)中應(yīng)當(dāng)引入一個(gè)全通因子，其中，k=(k1+k2)/2。

根據(jù)上述討論，給出網(wǎng)絡(luò)G和L只具有jω軸傳輸零點(diǎn)的雙匹配系統(tǒng)設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)選定轉(zhuǎn)換增益函數(shù)和增益函數(shù)的階數(shù)n：

G(ω2，α1，α2，…)

(5.2.13)

其中αi是增益函數(shù)的待定參數(shù)。例如，如果選用Butterworth響應(yīng)特性，則待定參數(shù)是直流增益Kn;如果選用Chebyshev響應(yīng)特性，則直流增益Kn和等波紋系數(shù)ε是待定參數(shù)。

(2)確定最小相移反射系數(shù)和。對于Butterworth響應(yīng)，和由式(5.2.6)確定；對于

Chebyshev響應(yīng)，和由式(5.2.9)確定。

(3)插入全通因子，構(gòu)成有界實(shí)反射系數(shù)ρg(s)和ρl(s)(或S11(s)和S22(s))。

式中，ηg(s)和ηl(s)是任意的實(shí)全通因子。通常ηg(s)和ηl(s)是相同的全通因子。實(shí)際上常用最低階的全通因子，即取ki=1或ki=2。

(4)求得尤拉零點(diǎn)對ρg(s)和ρl(s)的基本約束條件，并確定ρg(s)和ρl(s)的表達(dá)式。

由給定的電源阻抗zg(s)和負(fù)載阻抗zl(s)可確定它們的傳輸零點(diǎn)類型，然后按單匹配設(shè)計(jì)步驟得出對ρg(s)和ρl(s)的基本約束條件。根據(jù)zg(s)和zl(s)的零點(diǎn)類型和階數(shù)，可求得對ρg(s)和ρl(s)(或S11(s)和S22(s))的約束條件，將它們求解后，就可確定所要求的ρg(s)和ρl(s)。如果約束條件不能同時(shí)得到滿足，說明滿足要求的均衡網(wǎng)絡(luò)E不存在，此時(shí)可改變階數(shù)n或另選增益函數(shù)進(jìn)行試探，如仍不滿足，則設(shè)計(jì)不能成功。(5)確定雙匹配均衡器的策動點(diǎn)阻抗:

或(5.2.15a)(5.2.15b)根據(jù)上兩式之一就可以將G-E-L網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)綜合出來，并使系統(tǒng)滿足給定的增益特性。需用理想變壓器來變換終端阻抗以達(dá)到實(shí)際的阻抗水平。

也可以由下式計(jì)算均衡器E在端口G或L的阻抗：

式中，za(s)的±號由增益帶寬約束條件確定。然后用式(5.2.16)綜合網(wǎng)絡(luò)E-L或E-G。(5.2.16)5.2.3具有簡單傳輸零點(diǎn)的雙匹配系統(tǒng)的綜合

本節(jié)列舉幾個(gè)例題以說明所述設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用。

【例5．2.1】設(shè)計(jì)一個(gè)無耗雙口網(wǎng)絡(luò)E，使圖5.2-2所示的負(fù)載阻抗與電源內(nèi)阻抗相匹配，并實(shí)現(xiàn)具有最大直流增益的2階Butterworth轉(zhuǎn)換功率增益(歸一化截止角頻率ωc=1)。然后驗(yàn)算所實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換功率增益。圖5.2-2雙匹配網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)解(1)由式(5.2.4)和n=2，ωc=1，有

(2)由式(5.2.6)計(jì)算端口1和2的最小相移反射系數(shù):(5.2.17a)(5.2.17b)式中(5.2.17c)(5.2.17d)

(3)插入全通因子，求得有界實(shí)反射系數(shù)

(4)求電源阻抗zg(s)和負(fù)載阻抗zl(s)的尤拉零點(diǎn)，及其對有界實(shí)反射系數(shù)ρ(s)的約束條件。

①在電源端口的基本約束條件。

因?yàn)橛墒?5.2.19)可確定，在s0=∞處有一階傳輸零點(diǎn)，因?yàn)閦g(s0)=∞，因此s0是第Ⅳ類尤拉零點(diǎn)且k=1。其約束條件由上節(jié)設(shè)計(jì)步驟(4)為

從A(s)和F(s)的羅朗級數(shù)展開可求得

Ag0=1，Ag1=0，F(xiàn)g0=－2，F(xiàn)g1=0

(5.2.21a)

此外有式中

因?yàn)锳g0=1，ρg0=1，所以ρg(s)需取負(fù)號。由式(5.2.20)和式(5.2.21)可求得電源口的基本約束條件為

②在負(fù)載端口的基本約束條件。

一般并聯(lián)RC負(fù)載的基本關(guān)系式如下：

由上式可見，負(fù)載網(wǎng)絡(luò)在s0=∞上具有一階傳輸零點(diǎn)。因?yàn)閦l(s0)=0，所以它屬于第Ⅱ類尤拉零點(diǎn)，且k=1。其約束條件為(5.2.23a)從Al(s)、Fl(s)和±ρl(s)=η(s)(s)的羅朗級數(shù)展開式可求得

Al0=ρl0=1，Al1=－2τ，F(xiàn)l2=－2τ

(5.2.23b)

因?yàn)锳l0=ρl0=1，所以ρl(s)取+號。由此可求得負(fù)載口的基本約束條件為式(5.2.22)和式(5.2.24)就是網(wǎng)絡(luò)E的基本約束條件，它們的解不是唯一的。例如，在兩式都取等號的情況下，其解為:λ1=0.293，K2=1；在兩式都是不等式的情況下，其解為:(i)λ1=0，K2=1;(ii)λ1<0.293，K2=1。不同的解對應(yīng)不同的網(wǎng)絡(luò)E的拓?fù)?。為了使網(wǎng)絡(luò)E的拓?fù)渥詈唵?，選用其中最簡單的一組解，即λ1=0，K2=1。它不需引入全通因子，又可使直流增益達(dá)到最大值。由式(5.2.17)和式(5.2.18)得到(5.2.25)

(5)求圖5.2-3端口1的策動點(diǎn)阻抗Z11(s)，并進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)綜合。

將Z11(s)展開成連分式，就可綜合出G-E-L合成網(wǎng)絡(luò)的參量和。從中抽出負(fù)載電容和電源電感，就可得出均衡網(wǎng)絡(luò)E的電感和電容，如圖5.2-3所示。(5.2.26)圖5.2-3例5.2.1所要求的均衡網(wǎng)絡(luò)由此可看出，當(dāng)ρg(s)和ρl(s)同時(shí)滿足各自的尤拉約束條件時(shí)，網(wǎng)絡(luò)E是物理上可實(shí)現(xiàn)的，從而保證合成網(wǎng)絡(luò)G-E-L是可以分開的。關(guān)于這一點(diǎn)再作一些說明。以λ1=0，K2=1代入式(5.2.22)和式(5.2.24)，可將兩個(gè)端口的基本約束條件表示為式中，，是從式(5.2.26)綜合得出的合成網(wǎng)絡(luò)G-E-L的參量。如果兩個(gè)基本約束條件同時(shí)得到滿足，則式(5.2.27)成立，于是L－Lg≥0，C－Cl≥0。從L中一定可以分出電源電感Lg，從C中一定可以分出負(fù)載電容，而網(wǎng)絡(luò)E一定能夠?qū)崿F(xiàn)。如果兩個(gè)約束條件有一個(gè)不能成立，則網(wǎng)絡(luò)G-E-L就不能分開，網(wǎng)絡(luò)E就不是物理上可實(shí)現(xiàn)的。例如，設(shè)負(fù)載阻抗變?yōu)镃l=2F，Rl=1Ω，而電源阻抗仍然不變。在此情況下，在電源口ρg(s)仍然滿足約束條件式(5.2.27a)，Z11(s)必然是正實(shí)函數(shù)，從它得出的G-E-L網(wǎng)絡(luò)參量仍然是

和。由于L－Lg≥0，從L中仍可分出電源電感。但在負(fù)載口，因Cl=2F>，ρl(s)不滿足尤拉約束條件(Cl≤C)，從而C－Cl<0，網(wǎng)絡(luò)E包括負(fù)電容(CE<0)，不可能用無源元件來實(shí)現(xiàn)。于是關(guān)于網(wǎng)絡(luò)E可實(shí)現(xiàn)性的結(jié)論得到了具體的證實(shí)。

(6)驗(yàn)算所實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換功率增益系數(shù)。

從圖5.2-3可求得端口1的輸入阻抗函數(shù)為

利用上式可算出網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換功率增益函數(shù)為

從而證實(shí)了上面的設(shè)計(jì)是正確的。

5.3雙匹配網(wǎng)絡(luò)的實(shí)頻CAD技術(shù)

實(shí)頻法(RFM)最早由Carlin于1977年提出，應(yīng)用于任意負(fù)載與電阻性激勵(lì)器之間的寬帶阻抗匹配。1983年Carlin和Yarmin將這種方法擴(kuò)展到應(yīng)用于任意負(fù)載與復(fù)數(shù)阻抗激勵(lì)器的匹配。RFM直接對負(fù)載阻抗zl(ω)的實(shí)頻數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，這些zl(ω)數(shù)據(jù)既可以通過測量獲得，也可以通過計(jì)算獲得。另外，利用RFM僅僅要求執(zhí)行一個(gè)優(yōu)化程序，對被優(yōu)化參數(shù)的控制是極其靈活的，并且它能夠直接生成實(shí)現(xiàn)均衡器阻抗Zq(ω)的無耗LC拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。因此，這種方法獲得了廣泛的應(yīng)用，成為應(yīng)用于寬帶阻抗匹配的一種最為成功的方法。運(yùn)用RFM要得到可實(shí)現(xiàn)的均衡器阻抗Zq(ω)，通常假定其為最小阻抗(導(dǎo)納)函數(shù)時(shí)，Zq(ω)的實(shí)部和虛部必須滿足Hilbert變換，這就意味著一旦實(shí)部和虛部其中一個(gè)確定下來之后，另一個(gè)則通過Hilbert變換得到。如果沒有這個(gè)要求，Zq(ω)可以簡單地選擇為z*l(ω)，這樣Zq(ω)只要滿足共軛匹配就可以實(shí)現(xiàn)無限帶寬設(shè)計(jì)。從這個(gè)角度來說，要求滿足Hilbert變換可看做是寬帶均衡器網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的基本限制。這里考慮了兩種方法，即采用Zq(ω)為非最小電抗和優(yōu)化均衡器帶外阻抗的方法，這就對Hilbert變換增加了附加的自由度，可獲得較好的設(shè)計(jì)效果。但是，直接利用實(shí)頻法的困難之一是策動點(diǎn)阻抗綜合不能控制末端阻抗，當(dāng)綜合Zq1時(shí)，不能控制在其另一端口得到Zq2，反之也一樣。但經(jīng)過適當(dāng)處理后，實(shí)頻法仍能處理雙匹配問題。

5.3.1雙匹配網(wǎng)絡(luò)的簡化處理

考慮圖5.3-1所示的雙匹配系統(tǒng)。其中圖(b)是設(shè)想將圖(a)中的N劈分成兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)N1、N2級聯(lián)的等效結(jié)構(gòu)。由于N、N1、N2都是無耗的，因此系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換功率增益可以表示成

G(ω2)=1－|ρ1(jω)|2=1－|ρ2(jω)|2=1－|ρ(jω)|2(5.3.1)上式中，ρ是級聯(lián)口的反射系數(shù)，它可以由級聯(lián)口分別向源和向負(fù)載看去的策動點(diǎn)阻抗Zg′和Zl′表示，即為

把上式代入式(5.3.1)可得增益表達(dá)式為(5.3.2)(5.3.3)現(xiàn)在假設(shè)N1、N2在級聯(lián)口的單位歸一化反射系數(shù)分別是Γg、Γl，則有

將其代入增益表達(dá)式經(jīng)推導(dǎo)得(5.3.4)(5.3.5)(5.3.6)圖5.3-1雙匹配系統(tǒng)注意，上式分子的兩個(gè)因子分別對應(yīng)于圖5.3-2(a)、(b)兩個(gè)單匹配系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換功率增益，而分母的值則隨著Γg、Γl模值的減小而趨于1。因此，可以通過優(yōu)化圖5.3-2的兩個(gè)單匹配系統(tǒng)的增益而減小Γg、Γl模值來達(dá)到優(yōu)化雙匹配系統(tǒng)增益特性的目的。這種處理方法的物理概念是極為明顯的，當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng)都實(shí)現(xiàn)了匹配時(shí)，級聯(lián)口將不會產(chǎn)生太強(qiáng)的反射。圖5.3-2兩個(gè)單匹配系統(tǒng)5.3.2單匹配實(shí)頻數(shù)據(jù)法原理

如圖5.3-3所示。假設(shè)待設(shè)計(jì)的匹配網(wǎng)絡(luò)由負(fù)載端口向匹配網(wǎng)絡(luò)方向看去的策動點(diǎn)阻抗為Zq(s)，并設(shè)

Zq(jω)=Rq(ω)+jXq(ω)

(5.3.7a)

zl(jω)=rl(ω)+jxl(ω)

(5.3.7b)

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換功率增益為

式中，S22、S22′分別是負(fù)載端口的歸一化反射系數(shù)和電流基反射系數(shù)。容易證明(5.3.8)(5.3.9)將式(5.3.9)代入式(5.3.8)得

Rq(ω)可以用折線逼近的方法加以近似，Rq(ω)和Xq(ω)都可用級數(shù)表示，級數(shù)中的變量稱為電阻差額矢量。由于Rq(ω)和Xq(ω)都是電阻差額矢量的線性組合，所以增益與電阻差額矢量至多是平方依賴關(guān)系，這就使我們能比較容易地優(yōu)化出電阻差