2025版零基礎(chǔ)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第08講 二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布

第08講二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布知識(shí)點(diǎn)一：伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)的定義①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=Cnp*(1-p)"*,k=1,2,3,…,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p).知識(shí)點(diǎn)二：兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p)知識(shí)點(diǎn)三：超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.知識(shí)點(diǎn)四：正態(tài)分布(1)正態(tài)分布定義：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,(x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù)),稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,o2).(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；它無限靠近.⑤曲線與x軸之間的面積為1;當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由μ確定；如下圖所示，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移。(3)正態(tài)分布的3σ原則：正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值假設(shè)X~N(μ,o2),可以證明：對(duì)給定的k∈N",P(μ-ko≤X≤μ+ko)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.上述結(jié)果可用右圖表示.是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.的值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3o,μ+3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,o2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3o,μ+3o]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3o原則.例題1.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布則P(X=2)=(例題2.某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定：至少正確完成其中2道題便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2(2)求乙正確完成面試題數(shù)7的分布列及其期望.(1)解：由題意得：設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為ξ,則ξ的取值范圍是{1,2,3}.(2)設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為η,則7取值范圍是{0,1,2,3}.應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)7的分布列為70123P題型歸類練1.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,則P(X=4)=【答案】【詳解】依題意，(1)求甲投球2次，命中1次的概率；(2)若乙投球3次，設(shè)命中的次數(shù)為X,求X的分布列.【答案】(1)(2)答案見解析.【詳解】解：(1)設(shè)“甲投球一次命中”為事件則故甲投球2次命中1次的概率為X0123P例題1.如圖，我國古代珠算算具算盤每個(gè)檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，記上珠的個(gè)數(shù)為X,則P(X≥1)=()【詳解】法一：由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,法二：由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,例題2.一個(gè)袋中裝有5個(gè)形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，白球有3個(gè)，從中任意取出3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球的概率；(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.【答案】(1設(shè)取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球?yàn)槭录嗀,則X012P成績轉(zhuǎn)化為百分制，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照(40,50),(50,60),(60,70),(70,80),(80,90),[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.頻率頻率組距0405060708090100成績(分)(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計(jì)這100名學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)在這100名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績?cè)?70,80),[80,90],[90,100]的三組中抽取了10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記X為3人中成績?cè)?80,90)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；【詳解】(1)由題可知，10×(0.006+0.024+0.040+0.015+m+0.006)=1,解得m=0.009.(2)依題意，(70,80),(80,90),[90,100]三組的頻率為0.15,0.09,0.06,所以(70,80),(80,90),[90,100]三組抽取的人數(shù)為5,3,2,所以在這10人成績?cè)?80,90)的有3人，不在的有7人，X0123P題型歸類練現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題者視為合格，若甲能答對(duì)其中的5道題，求：【詳解】(1)設(shè)甲測(cè)試合格為事件A,則(2)甲答對(duì)的試題數(shù)X可以為0,1,2,3,X0123P2.某校高一、高二的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生.推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，最終從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列.高一高二共推薦6名男生和6名女生，所以高一至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為所以X的分布列為X123P1-5315115題型：正態(tài)分布例題1.隨機(jī)變量X的概率分布密度函其圖象如圖所示，設(shè)P(X≥2)=p,則圖中陰影部分的面積為()A.pB.2p【詳解】解：由題意可知X~N(1,o2),則P(X≤0)=P(X≥2)=p,(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在[90,100]的人數(shù)為ξ,試求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布N(μ,o2),其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2,經(jīng)計(jì)算s2=42.25.所有參加知識(shí)競(jìng)賽的2000名學(xué)生中，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少?參考數(shù)據(jù)：P(μ-σ<X≤μ+o)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2o)=0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.99【詳解】(1)解：由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)x=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5.解：參加座談的11人中，得分在[90,100]的有所以ξ的可能取值為0,1,2,所以所以ξ的分布列為ξ012P得分高于77分的人數(shù)最有可能是317.題型歸類練【詳解】解：由題意，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,o2),所以μ=2,即圖象的對(duì)稱軸為x=2,由頻率分布直方圖可知組距=10,第三組頻數(shù)為40,總共有100人，則第三組頻,根據(jù)頻率之和為1,可知第4組的頻率為1-0.1-0.25-0.4-0.1=0.15,s2=(50-69)2×0.1+(60-69)2×0.25+(70-69)2×0.4+(80-69)2×0.15+(90-69)2×0.1=192×0.1+92 A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3),因此有P(X=3)=4P(X=1).故選D.4.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村A.P(X=2)C.P(X=4)5.已知圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線kx+y-1=0(k∈Z)的距離為2√2,若,則使圓心到直線hx+y-1=0(k∈Z)的距離為2√2,解得或k=1.6.(多選題)某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,若罰球10次，各次之間相互獨(dú)立，其中命中的次數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()A.P(X=k)=0.8*×0.21?-kB.P(X=k)=C?0.8*×0.21?-k【詳解】每次罰球之間相互獨(dú)立，則罰球次數(shù)X~B(10,0.8),7.(多選題)下列說法正確的是()A.若隨機(jī)變量7的概率分布列為),則B.若隨機(jī)變量X~N(2,o2)且P(X≤4)=0.8,則P(X≤0)=0.2D.在含有3件次品的9件產(chǎn)品中，任取3件，X表示取到的次品數(shù)，則【答案】AB對(duì)于B選項(xiàng)，若隨機(jī)變量X~N(2,o2)且P(X≤4)=0.8,8.福州紙傘是歷史悠久的中國傳統(tǒng)手工藝品，屬于福州三寶之一.紙傘的制作工序大