2023年山西省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題（ 含解析）

2023年山西省普通高中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)試題

說明：

1.答卷前考生務(wù)必將自己的座位號(hào)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考點(diǎn)名稱、考場號(hào)等信息填寫在相

應(yīng)位置.

2.答卷時(shí)考生務(wù)必用藍(lán)、黑墨水筆或圓珠筆作答(作圖可用黑色鉛筆).答案直接寫在試卷

上，密封線內(nèi)不要答題.

3.本試卷共5頁，答題時(shí)間90分鐘，滿分150分.

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填寫在下列表格中.

1,已知集合A=MC),B={x∣7<x≤3},則4B=()

A.{%∣-5<x<4}B.{x∣-5<x≤3}

C.{x∣O≤x≤3}D.{x∣3≤x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)?≤2*<16,即2°W2*<23所以0≤X<4,所以

A={x∣l≤2*<16}={x∣O≤x<4},因?yàn)?={x∣—5<x≤3}

所以AB={x∣0≤x≤3}

故選：C

2.復(fù)數(shù)Z滿足∣z(l+i)∣=2,則目=()

/7

A.2B.√2C.ID.?

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)z=α+沅(α,0eR),根據(jù)條件找出。力的關(guān)系，然后計(jì)算目

【詳解】設(shè)z=α+歷(0,A∈R),則z(l+i)=(α+bi)(l+i)=(?)+(α+b)i,

由∣z(l+i)∣=2=∣3—〃)+3+h)i∣,根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式，7(6∕-?)2÷(tι÷?)2=√2(6i2+?2)=2,

即J〃2+及=行，IZl=JQ2+82=血

故選：B

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+a)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.y=-X2+4B.y=3-x

C.y=：D.y=∣χ∣

【答案】D

【解析】

【分析】A.由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.由一次函數(shù)的性質(zhì)判斷；C.由反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷；D.由

,fx,x≥0

y=χ=l<八判斷；

[―%,XVO

【詳解】A.y=-V+4由二次函數(shù)的性質(zhì)得，該函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤:

B.y=3-x由一次函數(shù)的性質(zhì)得，該函數(shù)不是偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；

C.y=：由反比例函數(shù)的性質(zhì)得，該函數(shù)不是偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；

XX≥0

D.y=∣x∣=<設(shè)/(x)=k∣,定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(T)TTTR=/(x),

則該函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，故正確；

故選：D.

4.某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率是99.99%,這說明()

A.該廠生產(chǎn)的IOOOO件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件

B.該廠生產(chǎn)的K)OOO件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件

C.該廠生產(chǎn)的IOOOO件產(chǎn)品中沒有不合格的產(chǎn)品

D.該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%

【答案】D

【解析】

【分析】由概率的定義逐一分析即可.

【詳解】對(duì)于A：該廠生產(chǎn)的IO(M)O件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品不一定有1件，

可能是多件或者沒有，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：該廠生產(chǎn)的IoOoO件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品不一定是9999件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：該廠生產(chǎn)的IOOoo件產(chǎn)品中可能有不合格產(chǎn)品，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%,故D正確；

故選：D.

5.設(shè)α=1.7°?3,?=log43.1,C=IogO,3,則“，b,C的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別比較4,b,C與中間量0,1的大小，從而可比較出

b,C的大小關(guān)系

【詳解】解：因?yàn)閥=17v在R上單調(diào)遞增，且0.3>0,

所以ITS〉］.7。=1，即α>l,

因?yàn)閥=Iog4X在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且1<3.1<4,

Iog41<Iog43.1<Iog44,即0<匕<1,

因?yàn)閥=iog°?7尤在(0，+8)上單調(diào)遞減，且3>1,

所以logo”<l0gtλ7l=0,即c<0,

所以α>b>c,

故選：A

6.已知向量a=(/〃,-2),b=(3,m+l),且2,則()

A.m=3B.b=(3,2)

C.∣α-?∣=√26D.卜+可=5

【答案】C

【解析】

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求加，判斷AB,根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求ɑ-4。+匕，再由向量的

模的坐標(biāo)表示求.一4，,+0,判斷CD.

【詳解】因?yàn)棣?(/〃—2),∕7=(3,m+l),aIb

所以∕nχ3+(-2)χ(m+l)=0,

所以m=2,b=(3,3),A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，

所以α—〃=(―1,-5),α+b=(5,1))

所以卜一4=J丞,卜+0=,C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.中國運(yùn)動(dòng)員谷愛凌在2022北京冬奧會(huì)自由式滑雪女子大跳臺(tái)決賽中以188.25分奪得金牌.自由式滑

雪大跳臺(tái)比賽一般有資格賽和決賽兩個(gè)階段，比賽規(guī)定：資格賽前12名進(jìn)入決賽.在某次自由式滑雪大

跳臺(tái)比賽中，24位參加資格賽選手的成績各不相同.如果選手甲知道了自己的成績后，則他可根據(jù)其他

23位同學(xué)成績的哪個(gè)數(shù)據(jù)判斷自己能否進(jìn)入決賽()

A.中位數(shù)B.極差C.平均數(shù)D.方差

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合中位數(shù)的定義，即可判斷和選擇.

【詳解】其他23位參賽同學(xué)，按成績從高到低排列，這23個(gè)數(shù)的中位數(shù)恰好是第12位選手的成績.

若選手甲的成績大于該選手的成績，則進(jìn)入決賽，否則不能進(jìn)入決賽，

因此可根據(jù)中位數(shù)判斷選手甲是否能進(jìn)入決賽.

故選：A.

8.已知三條不重合的直線加，n,I,三個(gè)不重合的平面α,夕，/,則()

A.若mlln,〃uα,則mlIa

B.若,,/_!_/〃，則a〃4

C.若a?L∕,βLy,acβ=l,貝iJ/_Ly

D.若WUa,〃ua,mllβ,n∕∕β,則a〃尸

【答案】C

【解析】

【分析】由空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系可判定A、B項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面

垂直的判定定理，可證得C正確；由面面平行的判定定理，可判定D不正確.

【詳解】對(duì)于A中，若加//〃，〃ua,則m∕∕a或6ua,所以A項(xiàng)不正確；

對(duì)于B中，若Ila,mu0,ILm,則a〃夕或a與夕相交，所以B項(xiàng)不正確；

對(duì)于C中，設(shè)α?γ=a,β'?γ=b,在平面，內(nèi)任取一點(diǎn)p,作PA_La,P8J_a,垂足分別為A,5,

由面面垂直的性質(zhì)定理，可得PA_L/,PBL/,

又因?yàn)楱M?PB=P,可得/J?y,所以C項(xiàng)正確；

對(duì)于D中，若加uα,〃ua,m/∕β,nllβ,只有以〃相交時(shí)，才有α〃夕，所以D項(xiàng)不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明，其中解答中熟記空間中的直線與直線，直

線與平面，平面與平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力，屬

于中檔試題.

9.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“="作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈

利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若

α,",c∈R,則下列命題正確的是()

A.若a>6>O，貝IJaC2>hc2

B.若α<h<O,則αH—<b-?—

ba

hb+C

C.若0<QVb<C,則一<——

aa+c

A~Z7~

D.若α>0,8>0,則2-+y-≤α+∕7

ab

【答案】B

【解析】

【分析】A選項(xiàng)可以舉反例說明，BC選項(xiàng)可以通過作差法來說明，D選項(xiàng)可以通過基本不等式來說明.

【詳解】A選項(xiàng)，若C=O,則“c2=z√=0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，+++———=(α-?)f1+?,

bJ?a)ab'ab)

由于故Q-bvO,l÷-y>0,故(α+?)-[θ+;)<O,

即Qd---<。~1----,B選項(xiàng)正確；

ba

bb+cc(b-a)ιbb-?-cc(b-a)C

C選項(xiàng)，--------=-------,由于O<α<h<c,故---------=------->0,

aa+ca(a+c)ao+cα(o+c)

hhΛ-C

即2＞空工，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

aa+c

D選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式，^-a+-+b≥2.

+—a+2J^-?b=2a+2b'

當(dāng)生=ɑ且土=/,,即。=人時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)匕+±zα+o,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B

10.在三棱錐A—BQD中，AB1平面BCD,AB=Cr)=4,則三棱錐A—BCD的外接球的表面積的最

小值為()

A.16πB.32兀D.64π

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)底面6C。的外接圓的半徑為r,/CBD=θ,由正弦定理表示出，?，確定外接球球心位置,

求得其半徑的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得外接球半徑的最小值，即可得答案.

【詳解】設(shè)底面8。的外接圓的半徑為r,NcBo=ae∈(o,m,

42

則在ABCD中，Co=4,可得2r=-所以r=-

sinΘs?nΘ

設(shè)底面三角形的外心為。I,過01作底面BCD的垂線，

N°

7?^'^J°I

C

由于AB上平面BC￡),故所作垂線與AB的中垂線的交點(diǎn)即為三棱錐A—88外接球的球心,

則外接球的半徑為R=JqO2+*24+-?≥2√2，

即當(dāng)Sine=I即BC，BD時(shí)，三棱錐的外接球的半徑取得最小值2五，

此時(shí)三棱錐A-BCD的外接球表面積取得最小值：4πX(2√2)2=32π,

故選：B

二、填空題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)請(qǐng)將答案填在題中橫線上.

11.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，不放回地任意取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是.

【答案】?

6

【解析】

【分析】利用古典概型的概率求解.

【詳解】解：從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，不放回地任意取兩個(gè)數(shù)基本事件：12,13,14,23,24,

34,共6個(gè)，

其中兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的有：24,共1個(gè)，

所以兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是P=J,

6

故答案為：?

12.已知函數(shù)y=/(χ)用列表法表示如下表，則/[/(2)]=

X012

fW201

【答案】0

【解析】

【分析】由表格給出的數(shù)據(jù)有/(2)=1,則A∕(2)]=/⑴可求出答案.

【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)有/(2)=1

所以TV(2)]=/(I)=O

故答案為：0

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的列表法求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

1ZX0_4

13.(0.064p-l--I+[(-2)3p-16^0-75=.

23

【答案】

16

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)基性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】原式=(0.43)1—1+(—2)7—(24『”5=0.47—1+-?-—，=2_?=豈

?)v716821616

23

故答案為：—

16

14.數(shù)據(jù)7.0,8.2,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是.

【答案】8.4

【解析】

【分析】利用第P百分位數(shù)的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)閕=7χ30%=2.1,

所以第30百分位數(shù)是8.4,

故答案為：8.4

一Lr-2sin2x

15.已知tanx=JΣ，則;----τ-

1+cos2x

【答案】2√Σ

【解析】

2sin2x

【分析】利用二倍角公式對(duì)「一丁化簡后代值求解即可.

l+cos2x

【詳解】因?yàn)閠anX=0，

L…2sin2x4sinΛcos%C∏-

所以------------------——=2tanx=2√2,

1+cos2x2cosX

故答案為：2垃

16...ABC中，M為邊3C上任意一點(diǎn)，N為A”中點(diǎn)，AN=λAB^μAC^則％+〃的值為

【答案】?

【解析】

—>1—?—?—>—>—>—>—>—>—>

【分析】根據(jù)AN=-AM,AM=AB+BM,=xBC,BC=AC-AB即可得

2

A,τN--1xAC?+,?f-1--1X?AB,進(jìn)而得答案.

2<22J

→I→→→→→→→→→

【詳解】因?yàn)锳N=2AM,AM=AB+BM,=XBC(Xe[0,l]),BC=AC-A8,

所以京=g茄=J∣A?+β?)=g(A?+xBb)=gA?+gx]∕?->?)

1T(Il)TT→

=-xAC+l---X∣Λβ=ΛAB+∕∕AC,

所以丸='一]"X,∕Z=QX,所以丸+4=5

故答案為：?

【點(diǎn)睛】本題考查基底表示向量，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于借助

→→、TIT/II、->

BM=XBCz(Xe[0,1])得AN=5xAC+[e-]xjA8,進(jìn)而求解.

17.若f(KT)=x,則f(5)=.

【答案】lg5

【解析】

【詳解】試題分析：令I(lǐng)OX=t,則X=Igf,.?.∕")=lgf,.?.f(5)=lg5

考點(diǎn)：本題考查函數(shù)解析式的求法及求值

點(diǎn)評(píng)：此類問題常常用換元法求出函數(shù)的解析式，然后代入值求解，屬基礎(chǔ)題

18.若/(x)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)“、b都有/(α+h)=∕(α)/9)且/(1)=2,則

“l(fā))+"3)"5)/(2023)_

/(O)/(2)/(4)/(2022)------------

【答案】2024

【解析】

【分析】根據(jù)/(α+3=∕(α)∕S)且/(1)=2,令ZJ=I得到半空=/(1)=2求解.

??a)

【詳解】解：因?yàn)?(X)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)。、b都有"4+b)=∕(α)∕S)且/(1)=2,

令b=l得f(α+l)=∕(α)∕(l),即監(jiān)*=∕(1)=2,

??a)

?(?)-/(?),/(?)-/(2023)_2

所以

/(O)/(2)”4)〃2022廠

/(l)+∕(3)+∕(5)+ι/(2023)

-----------------------------1----------------r+()=1012×2=2024,

Ao)"2)"4)/2022

故答案為：2024

三、解答題(本大題共5小題，共60分)解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

19.某人參與一種答題游戲，需要解答AB,C三道題.已知他答對(duì)這三道題的概率分別為p,p,且

各題答對(duì)與否互不影響，若他全部答對(duì)的概率、為，2.

(1)求〃的值；

(2)若至少答對(duì)2道題才能獲獎(jiǎng)，求他獲獎(jiǎng)的概率.

【答案】(1)P=Z

3

⑵-

3

【解析】

2

【分析】(1)記解答AB,C三道題正確分別為事件。,民尸，則尸(OEb)=P(D)P(E)P(F)=g,從而

可求出P的值；

(2)記事件G為至少答對(duì)2道題，則P(G)=P(OEK)+P(。豆F)+P(萬EF)+P(DEF),然后利用獨(dú)

立事件的概率公式求解即可.

【小問1詳解】

記解答AB,C三道題正確分別為事件D,E,F,則P(D)=P(E)=p,P(F)=^,

2

因?yàn)楦黝}答對(duì)與否互不影響，且全部答對(duì)的概率為

122

所以P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=-P2=-,解得〃

【小問2詳解】

記事件G為至少答對(duì)2道題，則由題意得

P(G)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

2f,1f,21221

31?j2V3)32332

2112

+++2

一

一9-9-

3

--

所以9他獲9獎(jiǎng)的概率為:2

20.如圖所示，三棱柱ABC-44G，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A4,，底面ABC,點(diǎn)瓦廠分

別是棱CC∣,上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，EC=2FB=2.

（1）求證〃平面AE尸；

（2）求與EE所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）與EE所成角余弦值為史.

5

【解析】

【分析】（1）取AE的中點(diǎn)。，連接OF,OM；證明BMHOF,根據(jù)線面平行判定定理證明BMH平面AEF；

（2）根據(jù)異面直線夾角定義證明NE尸O為直線BM與所所成角，解三角形求其余弦值即可.

【小問1詳解】

取AE的中點(diǎn)。，連接OF,OM,

?.?0,”分別為4瓦4。的中點(diǎn)，,31〃?！?OM=-EC,

2

由BF"CE,且EC=2Fδ=2,

.?.OMHFB,且OM=FB,

，四邊形OMBF為平行四邊形，故BMHOF,

又技0二平面AE戶，。尸U平面AE尸，

.?.BMH平面AEF；

【小問2詳解】

因?yàn)镺尸，

所以NEFO為直線BM與EF所成角，

RjABF中，AF=y∣AB2+FB2=√22+l2=√5>

直角梯形BCE尸中，EC=2,BC=2,BF=1,NCBF=NBCE=9U,過/作FGJ_CE,G為垂足，如

圖所示，

則BF=CG=1,FG=BC=2,GE=I,EF=>jGE2+FG2=√l2+22=√5-

AF=EF,所以aAM為等腰三角形，則FOLAE,

Rm中，AE^y∣AC2+CE2=√22+22=2√2-

所以Ao=EO=血,

RtAOF中，F(xiàn)o=y∣AF2-AO2=*國—(⑸=√3，

/口SFoCA

所Gri以<)cosAEFO==--r==-----

EF√55

所以8W與所所成角的余弦值為—.

5

21.在JWC中，α,dC分別為內(nèi)角A,6,C所對(duì)的邊，若A=］，a2=(c-b↑+4.

(I)求-ABC的面積；

(2)求。的最小值.

【答案】(1)#)

(2)2

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合題干條件可推出hc=4,然后由三角形面積公式求解；

（2）結(jié)合（1）中推出的條件和基本不等式進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

222

由余弦定理，a=b+c-bc>結(jié)合。2=（0一6）2+4可得Z^+c2-％=（c—4+4,

整理可得匕c=4,根據(jù)三角形的面積公式，S4w.=』bcsinA='x4x18=#.

abc222

【小問2詳解】

由（1）知力C=4,根據(jù)基本不等式，a2=b2-^c2-bc^2bc-bc=4^

當(dāng)∕7=C=2時(shí)，。的最小值是2.

22.已知函數(shù)/（x）=ASinWX+4（4>0,口>0,隔<兀）的部分圖像如圖示，且/（。）=7

（1）求函數(shù)/（x）的解析式；

（2）若Xeθ?,求/（X）的最大值和最小值.

【答案】（I）/（x）=2sin（2x+/）

⑵/（x）的最大值為√L∕（x）的最小值為—2

【解析】

【分析】⑴根據(jù)圖像得到A=2,再由"0）=∕（g）,得到函數(shù)/（x）圖像的一條對(duì)稱軸光=1|,

然后再由工=2—&=二和當(dāng)］=-2求得函數(shù)的解析式.

41264<12J

πN兀/兀D兀

(2)根據(jù)Xe0,-,求出2x+τ∈—,結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)求出最值即可.

L2J333

【小問1詳解】

八

由圖像可知因?yàn)?()/(今；5π

A=2,0=I，所以函數(shù)/(x)圖像的一條對(duì)稱軸為直線X_0+——<

.__L=

212

TtTtrrFLL,I271__f?部2所以

設(shè)/(X)的最小正周期為T,則Z=考————9即T=兀，所以。=亍^=2,又J]

即Sin*0

5τrTT4*TΓ7TΓ

所以一+o=2E——,?∈Z,即*=2E------，左eZ.因?yàn)镮OIV兀，所以夕=—，所以

6233

/(x)=2sin2x+

【小問2詳解】

?πC2π2π5π

X∈0,一,.*.2