2025版新教材高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)三十二異面直線湘教版必修第二冊

課時作業(yè)(三十二)異面直線[練基礎(chǔ)]1．和兩條異面直線都垂直的直線()A．有多數(shù)條B．有兩條C．只有一條D．不存在2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱全部的棱中，和AC垂直且異面的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條3．長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有A．2對B．3對C．6對D．12對4．設(shè)P是直線l外肯定點，過點P且與l成30°角的異面直線()A．有多數(shù)條B．有兩條C．至多有兩條D．有一條5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)6．(多選)a，b，c是空間中的三條直線，下列說法中正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若a與b相交，b與c相交則a與c也相交C．若a，b分別在兩個相交平面內(nèi)，則這兩條直線可能平行、相交或異面D．若a與c相交，b與c異面，則a與b異面7．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線BA1與DD1所成角的大小為________．8．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角為________．9．如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D，E分別是VB，VC的中點，求異面直線DE與AB所成的角．10．如圖所示，在長方體ABCD-EFGH中，AB＝AD＝2eq\r(3)，AE＝2.(1)求直線BC和EG所成的角的大?。?2)求直線AE和BG所成的角的大?。甗提實力]11.如圖，在正四面體ABCD中，P是底面ABC內(nèi)一點，則在平面ABC內(nèi)過點P且與直線AD所成角為60°的直線共有()A．0條B．1條C．2條D．多數(shù)條12.(多選)如圖所示是正四面體的平面綻開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列命題正確的是()A．GH與EF平行B．BD與MN為異面直線C．GH與MN成60°角D．DE與MN垂直13.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中任取兩個點作直線，與直線A1B異面且夾角成60°的直線有________條．14．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中點，則直線AE與BC所成的角為________，直線A1B與AC1所成角的余弦值為________．15．已知A是△BCD平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．[培優(yōu)生]16．如圖，三棱錐A-BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，設(shè)α為異面直線EF和AC所成的角，β為異面直線EF和BD所成的角，試求α＋β的值．課時作業(yè)(三十二)異面直線1．解析：由于異面直線的公垂線只有一條，因此凡與公垂線平行的直線都與兩條異面直線垂直，有多數(shù)條．答案：A2．解析：和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1.答案：B3.解析：如圖所示，在長方體中沒有與體對角線平行的棱，要求與長方體體對角線AC1異面的棱所在的直線，只要去掉與AC1相交的六條棱，其余的都與體對角線異面，∴與AC1異面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有6對．答案：C4．解析：如圖所示，過點P作直線l′∥l，以l′為軸，與l′成30°角的圓錐面的全部母線都與l成30°角．故選A.答案：A5.解析：在正方體ABCDA1B1C1D1中，CD∥AB，所以異面直線AE與CD所成角為∠EAB，設(shè)正方體邊長為2a，則由E為棱CC1的中點，可得CE＝a，所以BE＝eq\r(5)a，則tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5)a,2a)＝eq\f(\r(5),2).答案：C6．解析：由平行線的傳遞性知A正確；若a與b相交，b與c相交，則a與c可能平行、相交或異面，B錯誤；若a與b在兩個相交平面內(nèi)，則a與b可能相交、平行或異面，C正確；若a與c相交，b與c異面，則a與b可能相交、平行或異面，故D錯誤．答案：AC7．解析：在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為AA1∥DD1，所以∠AA1B＝eq\f(π,4)即為異面直線BA1與DD1所成的角，所以異面直線BA1與DD1所成角的大小為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)8．解析：連接BC1，A1C1(圖略)，∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角(或其補角).在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故異面直線A1B與AD1所成的角為60°.答案：60°9．解析：因為D，E分別是VB，VC的中點，所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線DE與AB所成的角，又因為AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，故異面直線DE與AB所成的角為45°.10．解析：(1)連接AC(圖略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角．∵在長方體ABCDEFGH中，AB＝AD＝2eq\r(3)，∴∠ACB＝45°，∴直線BC和EG所成的角是45°.(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角．易知tan∠FBG＝eq\r(3)，∴∠FBG＝60°，∴直線AE和BG所成的角是60°.11．解析：由題意，正四面體ABCD各個面都是正三角形，所以在平面ABC內(nèi)過點P有兩條直線AC，AB與AD成60°的直線，如圖所示，在平面ABC內(nèi)過點P與直線AD成60°的直線僅有2條．答案：C12．解析：如圖，把平面綻開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN垂直，故BCD正確．故選BCD.答案：BCD13．解析：在正方體ABCDA1B1C1D1的八個頂點中任取兩個點作直線，與直線A1B異面且夾角成60°的直線有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4條．答案：414．解析：如圖所示，連接AB1，因為AB＝AC＝AA1，由三棱柱的性質(zhì)可得AC1＝AB1，又因為E是B1C1的中點，所以AE⊥B1C1，又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，即直線AE與BC所成的角為90°.如圖所示，把三棱柱補為四棱柱ABDCA1B1D1C1，連接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性質(zhì)知BD1∥AC1，則∠A1BD1就是異面直線A1B與AC1所成的角．設(shè)AB＝a，∵AA1與AC，AB所成的角均為60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1cos30°＝eq\r(3)a.∴在正方形ABDC中，AD＝eq\r(2)a，∴A1D1＝eq\r(2)a，∴A1Deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋A1B2＝BDeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，∴∠BA1D1＝90°，∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝eq\f(A1B,BD1)＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3).答案：90°eq\f(\r(3),3)15．解析：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD平面外的一點相沖突．故直線EF與BD是異面直線．(2)如圖，取CD的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．因為EG綊eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)AC，且AC⊥BD，AC＝BD，所以EG⊥FG，且EG＝FG.所以△EGF為等腰直角三角形．所以∠FEG