數(shù)學(xué)建模習(xí)題集

數(shù)學(xué)一一探求模式

什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。在數(shù)

學(xué)中，我們研究客觀世界中量性的規(guī)律性，也就是說，研究（量化）模式，所

以數(shù)學(xué)也是研究模式的科學(xué)，它涉及模式的觀察，猜測(cè)的檢驗(yàn)以及結(jié)果的估

計(jì)。例如，人們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)過程就經(jīng)過一個(gè)探求模式的過程.在我國(guó)

最早詳細(xì)記載勾股定理的首推《周髀算經(jīng)》，它大約寫于公元前235年至公

元前145年之間。書的開篇就以商高回答周公何題的形式提出：“數(shù)之法出

于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以為勾廣三、股

修四、徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤得三、四、五，兩矩共長(zhǎng)二

十有五是謂積矩。故禹之所以治天下者此數(shù)之所由生也。”他所說的是，

條線段分成3：4:5所構(gòu)成的三角形是直角三隹形，這樣的三角形內(nèi)接于圓

且弦為直徑，同時(shí)還有等式32+42=52成立（見圖1）。這說明商高通過觀察

個(gè)別直角三角形勾、股、弦之間的量值關(guān)系，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了勾股定理的特殊情

況.《周髀算經(jīng)》又在“陳子曰”下說：“若求斜至R者，以H下為勾，日

高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得斜至日?！边@就是說，

科至日（蘢）=府’而（見圖2）

上式就是勾股定理的一般形式。它說明陳子已通過觀察特殊的一些直角

三角形的勾、股、弦之間的量值關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律，從而提出了上述的

勾股定理。

圖1

A勾

在數(shù)學(xué)上，對(duì)于某個(gè)數(shù)學(xué)問題通篇觀察一些特殊情形，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律而

提出的一般性猜測(cè)，必須進(jìn)行驗(yàn)證才能確認(rèn)它成立。對(duì)勾股定理的證明，世

界上有許許多多方法，在我國(guó)是以趙爽（公元3世紀(jì)三國(guó)東吳人）在《周髀算

經(jīng)》注中所撰寫的《勾股圓方圖注》為最早。趙爽畫了一張他所謂的“弦圖”

（圖3）,其中每一個(gè)直角三角形稱為“朱實(shí)”，中間的一個(gè)小正方形叫“中

黃實(shí)”，以弦為邊的正方形ABEF叫“弦實(shí)”。由于四個(gè)朱實(shí)加上一個(gè)黃實(shí)

就等于弦實(shí)，所以有下式成立：

4Xgab+（b-a）1=cl,

即

a2+b2=c2o

這樣，趙爽就用割補(bǔ)法證明了勾股定理。

A

EB3

除了邊長(zhǎng)分別為3、4和5的直角三角形外，是否還有其他的三邊長(zhǎng)都是

整數(shù)的直角三角形呢？

公元三世紀(jì)魏晉時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽進(jìn)一步研究了三條邊長(zhǎng)都是

整數(shù)的直角三角形。他發(fā)現(xiàn)，還有許多直角三角形，它們的邊長(zhǎng)也都是整數(shù),

例如，5、12、13；7、24、25；8、15、17；20、21、

29；…。

若以x、y、z分別表示勾、股、弦，那么用代數(shù)的語言來說，以上各組

數(shù)都是不定方程

x2+y2=z2

的整數(shù)解。滿足這個(gè)不定方程的整數(shù)解(x、y、z)就叫做勾股數(shù)。

劉徽不僅舉出了不少勾股數(shù)，而旦用出入相補(bǔ)原理證明了勾股數(shù)的一般

形式是

2mn,n2-m2,n2+m2.

其中n,m(n>m)是任意整數(shù)(在古希臘差不多與劉徽同時(shí)的數(shù)學(xué)家刁番都也

獨(dú)立地證明了這一結(jié)果)。這就解決了不定方程x?+y2=z?的整數(shù)解問題。然

而，人類對(duì)模式的探求永遠(yuǎn)也不會(huì)中止，1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬對(duì)上述

問題，也就是將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)的問題，發(fā)生了興趣。他進(jìn)一步

地探求，能否將一個(gè)三次方幕分為兩個(gè)三次方易之和，將一個(gè)四次方幕分

為兩個(gè)四次方事之和，或者更一般地將一個(gè)n次方幕分為兩個(gè)n次方察之和？

他在刁番都著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處寫了一段簡(jiǎn)短的筆記，給出一

個(gè)否定的結(jié)論：“不可能把一個(gè)正整數(shù)的二次方幕分成兩個(gè)二次方幕的和，

一個(gè)四次方冢分成兩個(gè)四次方累的和；或者一般地說，不能把任意一個(gè)次數(shù)

大于2的正整數(shù)的方塞分成兩個(gè)同次方幕的和。”接著他又寫道：“我發(fā)現(xiàn)

了這個(gè)論斷的證明，但是書上的空白太窄了，寫不下?！边@就是著名的費(fèi)爾

馬猜想。這個(gè)猜想可以用不定方程表示：設(shè)n>2,不定方程

xn+yn=zn

除了xyz二0外沒有其他整數(shù)解。費(fèi)爾馬關(guān)于這一猜想的證明(如果真有的話)

從未被人找到過。三百多年來，許多數(shù)學(xué)家都曾為求得其證明而努力。人們

開始只能對(duì)于許多給定的n來證明費(fèi)爾馬猜想成立，貝西(1605—1675)利用

費(fèi)爾馬的提示給出了n=4的證明，后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707—1783)又

證明了n=3的情形，1857年德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?1810—1893)創(chuàng)立了理想數(shù)理

論，證明了對(duì)于小于100的奇素?cái)?shù)，費(fèi)爾馬猜想成立。他所建立的理想數(shù)理

論為代數(shù)數(shù)論奠定了基礎(chǔ)，成了許多數(shù)學(xué)分支的重要工具。對(duì)費(fèi)爾馬猜想的

最終證明雖然難度極大，但是，人們相信，隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，這個(gè)

堡壘必將會(huì)被攻破。

1993年夏季，美國(guó)數(shù)學(xué)家威爾斯（Awiles）從橢圓曲線的方向來證明費(fèi)公

馬猜想，論文發(fā)表以后，人們發(fā)現(xiàn)了在他的證明中有一個(gè)小漏洞。1994年9

月威爾斯和另一位數(shù)學(xué)家泰勒（RTaylor）彌補(bǔ)了這個(gè)漏洞，最終完成了費(fèi)爾

馬猜想的證明，數(shù)學(xué)家們夢(mèng)寐以求的目標(biāo)終于達(dá)到了。

由上面的例子可以看到探求模式的過程一般要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題

和解決問題的一種創(chuàng)造性過程。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，不僅要學(xué)習(xí)定義和定

理等基礎(chǔ)知識(shí)，當(dāng)然，它們是十分重要而右.用的，而且還要學(xué)習(xí)探求模式時(shí)

數(shù)學(xué)所提供的有特色的思維方式，以提高創(chuàng)造力（包括發(fā)散性思維能力，集

中性思維能力和人的個(gè)性品質(zhì)等）和調(diào)控能力（包括問題解決時(shí)解題策略的

選擇，整個(gè)過程的組織和思路的調(diào)整等），從而提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和

解決問題的能力。在當(dāng)今的信息時(shí)代，應(yīng)用這些數(shù)學(xué)思維方式的經(jīng)驗(yàn)所構(gòu)成

的能力已成為一種日益重要的智力，它使人們能吸收新的想法，適應(yīng)各種變

化，對(duì)模棱兩可的事件能發(fā)現(xiàn)模式并能解決非常規(guī)的問題。

在學(xué)習(xí)探求模式的過程中，我們也必須注意到，人們探求模式的最終目

的還是為了應(yīng)用。早在《周髀算經(jīng)》中曾記載陳子利用勾股定理求出從地面

一點(diǎn)到太陽的距離。據(jù)傳說古埃及人在建筑宏偉的金字塔時(shí)也用過勾股定

理。當(dāng)今隨著社會(huì)的發(fā)展，生產(chǎn)力的提高，科技的進(jìn)步，數(shù)學(xué)的應(yīng)用更是日

益廣泛，不斷深入。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)還要學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知

識(shí)，在解決各種現(xiàn)實(shí)生活問題的過程中，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，進(jìn)一步體

會(huì)數(shù)學(xué)的意義、思想和方法。

第1題檢驗(yàn)臺(tái)最佳位置

n臺(tái)機(jī)器位于一直線上（圖1—1）,它們所生產(chǎn)的零件必須送到一個(gè)檢驗(yàn)

臺(tái)上，經(jīng)檢驗(yàn)合格后，才能送往下一道工序繼續(xù)加工。已知移動(dòng)零件所需的

費(fèi)用與所移動(dòng)的距離成正比，問檢驗(yàn)臺(tái)放在哪里可使移動(dòng)零件所花費(fèi)的總費(fèi)

用最?。?/p>

>>?？"RaiHa

圖1-1

為了求解，我們首先必須理解題意。設(shè)用直線上的點(diǎn)Mi表示第i臺(tái)機(jī)器

的位置，點(diǎn)A表示檢驗(yàn)臺(tái)的位置，因?yàn)閷⒘慵频綑z驗(yàn)臺(tái)所需的費(fèi)用與所移

動(dòng)的距離成正比，所以我們的問題就是要在直線上確定A點(diǎn)的位置使檢驗(yàn)臺(tái)

到各機(jī)器的距離之和

M1A+M2A+-+MnA

最小。

如何解題呢？一下子無法著手。于是，我們先設(shè)計(jì)一個(gè)解題計(jì)劃。我們

設(shè)想，先考察n=2,3,4等特殊情形，再從中尋求其一般規(guī)律，即探求其模

式。

現(xiàn)在考察一些特殊情形：

⑴如果只有2臺(tái)機(jī)器，則易知線段M1M2上任何一點(diǎn)都是檢驗(yàn)臺(tái)的最佳

位置（圖1—2）。

(2)如果有3臺(tái)機(jī)器，則也易知檢驗(yàn)臺(tái)應(yīng)放在中間的機(jī)器M2的位置處(圖

1-3)o

S1-3

(3)如果有4臺(tái)機(jī)器，則對(duì)兩端的機(jī)器Ml和M4來說，線段M1M4上任

何一點(diǎn)都是最佳位置；對(duì)中間的2臺(tái)機(jī)器M2和M3來說，線段M2M3上任

何一點(diǎn)都是最佳位置。因此，對(duì)4臺(tái)機(jī)器來說，線段M2M3(=M1M4A

M2M3)上的任何點(diǎn)都是最佳位置(圖1—4)。

對(duì)于5臺(tái)或6臺(tái)機(jī)器，問題也都容易解決。我們?nèi)菀鬃C明：一般地，如果

機(jī)器的臺(tái)數(shù)是奇數(shù)，則最中間那臺(tái)機(jī)器的位置就是檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置；如果

臺(tái)數(shù)是偶數(shù)，則處在最中間的兩臺(tái)機(jī)器之間的任何點(diǎn)都是最佳位置。

注意，在上述問題中必須假設(shè)各機(jī)器的工作效率都是相同的。如果各機(jī)

器的效率是不同的，例如，在圖1-5中，機(jī)器M1的效率是機(jī)器M2的2倍，

機(jī)器M3的效率是機(jī)器M2的3倍，那么檢驗(yàn)臺(tái)又應(yīng)設(shè)在哪里？

田1-€

如果我們把機(jī)器Ml看作2臺(tái)效率與機(jī)器M2相同的機(jī)器，它們都位于點(diǎn)

Ml上，把機(jī)器M3看作3臺(tái)效率與機(jī)器M2相同的位于同一點(diǎn)M3上的機(jī)器,

那么問題就歸結(jié)為具有6臺(tái)效率相同的機(jī)器的情況，根據(jù)上述問題的結(jié)論，

線段M2M3上任何一點(diǎn)都是檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置。這方法可以推廣到n臺(tái)效率

不同的機(jī)器的情形中去。

注：在解決上述問題的過程中，我們可以看到問題解決的過程一般有4

個(gè)步驟：

(1)理解問題：了解問題的條件、結(jié)論。對(duì)解決問題條件是否足夠？是

否有多余的或矛盾的條件？有時(shí)還可以畫示意圖或列表幫助理解題意。

(2)設(shè)計(jì)計(jì)劃：尋找解題思路，列出解題計(jì)劃(在本題中的解題計(jì)劃是先

考察一些特殊情形，然后尋找一般規(guī)律)。

(3)實(shí)施計(jì)劃：按計(jì)劃進(jìn)行解題(若出現(xiàn)前面未注意到的問題，必須修改

計(jì)劃)。對(duì)實(shí)施過程和所得的結(jié)果必須進(jìn)行檢驗(yàn)。

(4)回顧：對(duì)所用的方法是否能改進(jìn)？能否尋找一個(gè)新的解法？是否能

將所用的方法推廣到新問題中去？

在本題中的回顧是將各機(jī)器的工作效率相同的情形推廣到各機(jī)器效率

可以相差正整數(shù)倍的情形。

理解向魁卜-----

I

|設(shè)計(jì)計(jì)劃卜------

|實(shí)隨計(jì)劃|

我們應(yīng)該充分重視問題解決之后的回顧這一環(huán)節(jié)。因?yàn)橐粋€(gè)問題的解決

并非總是意味著模式探求過程的終結(jié)，可以繼續(xù)思考，是否還有新的解法,

原有的問題是否還能發(fā)展，是否能進(jìn)一步提出新的問題。這種思維訓(xùn)練將對(duì)

創(chuàng)造力的培養(yǎng)，特別對(duì)發(fā)現(xiàn)問題能力的培養(yǎng)，有重大的作用。

下面我們考慮用代數(shù)方法解檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置問題。為了說明思路，我

們先來討論最簡(jiǎn)單的一些情形。

如果已知效率相同的3臺(tái)機(jī)器位于x軸上，且它的所在位置的坐標(biāo)如圖1

—6所示，如何用代數(shù)方法來求檢驗(yàn)臺(tái)的最住位置？

設(shè)x為檢驗(yàn)臺(tái)位置的坐標(biāo)，則機(jī)器M「M?和M；離檢驗(yàn)臺(tái)的距離分別為氐

(-2)|、|x?l|和|x-3|c于是，求檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置實(shí)際上就是求x值，使得由

它所確定的檢驗(yàn)臺(tái)到各機(jī)器的距離之和

|x-(-2)|+|x-l|+|x-3|

為最小。用函數(shù)的語言來說，設(shè)函數(shù)

f(x)=|x-(-2)|+|x-l|+|x-3|,

我們?cè)O(shè)法要從它的函數(shù)圖象上研究x取什么值時(shí).它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值達(dá)

到最小值。

為了畫出函數(shù)f(x)的圖象，我們考慮下面4種情形：

―,那么

f(x)=(2x)+(1?x)+(3-x)=-3x4-2

(2)-2WxWl,那么

f(x)=(x+2)+(1-x)+(3-x)=-x+6

(3)lWxW3,那么

f(x)=(x+2)+(x-l)+(3-x)=x+4

(4)x23,那么

f(x)=(x+2)+(x-l)+(x-3)=3x-2

于是，我們可以把函數(shù)f(x)寫成如下分段函數(shù)的形式：

-3x+2,x<-2

-x+6,-2<x<l

x+4,l<x<3

3x-2,實(shí)x

畫出函數(shù)f(x)的圖象(如圖I—7所示)。由圖1-7可以看到,當(dāng)x=l時(shí)，S

數(shù)f(x)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(l)=5達(dá)到最小值，所以x=1處為檢驗(yàn)分的最佳位置。

一般地，設(shè)函數(shù)丫=f(X)在X。處的函數(shù)值是f(X。)。如果不等式f(x)2f(x0)

對(duì)于定義域內(nèi)任意x都成立，那么f(內(nèi))叫做函數(shù)y=f(x)的最小值。實(shí)際上，

上述方法就是利用函數(shù)圖象來達(dá)到求函數(shù)的最小值的目的。

現(xiàn)討論稍復(fù)雜一些的情形，即在圖1—6中機(jī)器Ml的效率是機(jī)器M2的2

倍，機(jī)器M3的效率是機(jī)器M2的3倍。這時(shí)，仍設(shè)x為檢驗(yàn)臺(tái)位置的坐標(biāo)，

那么求檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置歸結(jié)為求x值使得函數(shù)

f(x)=2|x-(-2)|+|x-l|+3|x-3|

取值最小。

由于檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置必在機(jī)器M1和M。之間，所以我們只要畫出函

數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的圖象。于是，只考慮下面2種情形：

(l)?2Wx〈l,那么

f(x)=2(x+2)+(l?x)+3(3?x)=-2x+14

(2)lWxW3,那么

f(x)=2(x+2)+(x-l)+3(3-x)=12

因此，函數(shù)f(x)(x￡L-2,3])可以寫成

-2x+14.-2<x<l

{f(x)-12,Kx<3

畫出函數(shù)f(x)(x￡[-2,3])的圖象(如圖1—8)所示，由圖1—8可以看到,

當(dāng)xG[1,3]時(shí)，函數(shù)f(x)(x[-2,3]所對(duì)應(yīng)的值都達(dá)到最小值12,所以

M2和M3之間的任一點(diǎn)都是檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置。

容易看到，利用代數(shù)方法可以把問題推廣到各機(jī)器的工作效率相差非整

數(shù)倍的情形中去，這里就不詳加討論了。

練習(xí)1

1.已知4臺(tái)位于x軸上的機(jī)器所在的位置如下圖1—9所示：

(1)當(dāng)該4臺(tái)機(jī)器工作效率相同時(shí)，用代數(shù)方法求檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位置。

(2)當(dāng)機(jī)器M1和M3的效率分別是M2的2倍和3倍，M4的效率和M?

相同時(shí)，用代數(shù)方法求檢驗(yàn)臺(tái)的最佳位直。

(3)在(1)和(2)中，不利用函數(shù)圖象，直接通過函數(shù)關(guān)系式求檢驗(yàn)臺(tái)的最

佳位置。

2.(1)在下列方格圖案中，你能分別找到多少正方形？

□田曲瞿

(?)M(c)(d)

田1-10

(2)在7X7的方格圖案中，你能找到多少正方形？

(3)在nXn的方格圖案中，你能找到多少正方形？

3.如圖1一11所示，工廠A2…，A,由小路(細(xì)線)與公路(粗線)相連。

在公路上設(shè)一個(gè)汽車站，要求它到各工廠的路程總和越小越好。問：

(1)車站設(shè)在哪里最好？

(2)如在P地又建一廠，并沿圖上虛線修小路，這時(shí)車站又應(yīng)設(shè)在哪里最

好？

在公路1的一側(cè)從A至B有一排樓房(圖2—l)o想在公路上的任何一處拍

一張正面快照，如何選擇公路上的點(diǎn)，使拍攝的一排樓房的取景角最大。所

謂取景角即為NACB。

用數(shù)學(xué)的語言來說就是已知同一平面上兩點(diǎn)及一直線，(兩點(diǎn)代表一排

樓房的兩端，一直線代表公路)，兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，在已知直線.上求一點(diǎn)C,

使AC與BC的夾角/ACB最大。

分析：兩點(diǎn)在1的同側(cè)，但其位置可能出現(xiàn)三種情形

(1)兩點(diǎn)的連線與1平行。(見圖2—1)

A、B表示一排樓房的兩個(gè)端點(diǎn)的冷線1表示公路，你很自然地會(huì)想到，

作線段AB的垂直平分線交1于C點(diǎn)，連接AC和BC,則夾角NACB最大。點(diǎn)C

由此而得到。

（2）兩點(diǎn)的連線與1垂直。（見圖2—2）

圖2-2

若還是采用上述方法，由于AB的垂直平分線與1是互相平行的，它們

的交點(diǎn)并不存在，所以原有的方法不能采用，下面再看第3種情形。

（3）兩點(diǎn)的連線與1斜交。（見圖2—3）

由圖2—3可以看到，雖然線段AB的垂直平分線與1的交點(diǎn)C是存在的,

但是NACBV/AC〕B,不是最大的夾角。在上述兩種情形中可以看到，利

用線段AB的垂直平分線與1的交點(diǎn)C,找最大夾角的方法并不一定是正確的

方法，它不適合情形（2）和（3）。那么是否在直線1上一定存在一點(diǎn)X,連接AX,

BX,使在這點(diǎn)處有NAXB最大？

讓我們?cè)O(shè)想一邊沿著直線1走，一邊看著線段AB,從直線1與A、B連線

的交點(diǎn)出發(fā)往右行走（如圖2—4）

在起點(diǎn)，面對(duì)AB的角度為0。，即X從起始位置開始向右緩緩移動(dòng)，X

在起始時(shí)的NAXB=0°,而后，角度逐漸增大：到了一定的點(diǎn)后，往后的

趨勢(shì)是當(dāng)X離起始位置越來越遠(yuǎn)時(shí)，角度再次減少，在無窮遠(yuǎn)處，ZAXB=

0°。在角度為0°的兩種極端情形之間。由這樣的變化趨勢(shì)可知，必定在這

兩者之間取得到最天值。因此一定存在點(diǎn)X,使得NAXB的值最大。

由于直線是向兩方無限沿仲，但到底在哪一點(diǎn)可以達(dá)到最大值？不妨在

直線1上任選一點(diǎn)X,該點(diǎn)是我們隨意取的這一息，不一定在我們所要求的最

大值的位置上。

如果這一點(diǎn)是最大值的位置，顯然已經(jīng)求得。

如果這一點(diǎn)不在最大值的位置上，那么必有另一點(diǎn)，在最大值位置的另

一側(cè)，在該點(diǎn)所討論的角度有相同的值，即是否在直線1上有另外一點(diǎn)X',

使/AX'B=ZAXB?

在情形⑶中根據(jù)圓的有關(guān)圓周角的一個(gè)熟知的性質(zhì)，X與X,（如果X'

存在的響。兩點(diǎn)必在通過A、B兩點(diǎn)的同一圓周上。于是讓我們通過己知

點(diǎn)A、B畫若干個(gè)圓。（如圖2—5）。

如果這樣一個(gè)圓與直線1交于兩點(diǎn)X與X,，那么同弦所對(duì)的圓周角相等，

即NAXB:NAX'Bo這個(gè)圓中弦XX,上的任意點(diǎn)Y一定有NAYB>N

AXB（同弦所對(duì)的圓內(nèi)角大于圓周角）。于是NAXB不是最大的角。只有與直

線1相切圓的切點(diǎn)M,才能使觀察AB的角度達(dá)到最大。（即圖2—5中的N

AMB）O

解：（如圖2—6所示）

設(shè)經(jīng)過A、M、B三點(diǎn)的圓的圓心為O,半徑為R；經(jīng)過A.X'、X、B

的圓的圓心為0',半徑為R'。則0與0'必在AB的垂直平分線上。設(shè)AB

的中點(diǎn)為C。

因?yàn)镹AMB、NAXB是圓周角，fftfZAOB,NAO'B是圓心角,

所以NAME=gZAOB.ZAXB=^ZAO/B

在RtAACOflRtAACO;中

1,15A

$in-ZAOB=?-r-.sin-ZAO,B=^7-

4K4K

由于RVR'

又因?yàn)?NAOB與-ZAO?B都是銳角

所以g/AOB〉gNAO,B

由此可得NAMB>NAXB

這是第3種情形下的解題證明過程。而對(duì)于第2種情形同樣可以通過此題

來證明。但也可推廣到用解析幾何的解題方法來加以證明。

以直線I為x軸，A、B的連線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖2—7）所示。

設(shè)A點(diǎn)到x軸的距離（即為到直線1的距離）為a、B點(diǎn)到x軸的距離為b,X即為］

上的任一點(diǎn)，NAXB即為所求的最大的角。

設(shè)NAXO=a,NBXOB,則NAXB=B-a,0X=x

tgZ.ccB=tg(P-a)

tgB-tga

ab

x+一

因?yàn)閤+—>2*7^當(dāng)且僅當(dāng)x■—BPx■4E時(shí)

XX

x+—有最小值=2>/ab

x

所以tgNAXB==有最大值=急

X

即當(dāng)*=疝時(shí).tg/AXB有最大值=搟言

NAXB有最大值=arctg

注：我們知道在地圖上或質(zhì)形圖上的一條等高線是連接圖上所表示地面

海拔高度相同的點(diǎn)而成的一條曲線。如果你想象海平面升高100米，那么漫

入海灣的一條新海岸線將隨這個(gè)新海平面的上升而出現(xiàn)，這條新的海岸線就

是高度為100米的等高線。繪圖者僅需畫幾條相等間隔的等高線，例如100

米，200米，300米，……；可以認(rèn)為，在每一高度上都有一條等高線。

這樣，利用等高線就可以知道地圖上每一點(diǎn)的海拔高度。

類比方法：類比是比較某種類型的相似性，可以說佗是一種更確定的和

更概念性的相似。問題中的圓弧相當(dāng)于“等高線”。除此之外，在足球場(chǎng)上,

足球運(yùn)動(dòng)員帶球射門(如圖2—8所示)把門框的兩邊可以看作是兩端點(diǎn)A、B,

運(yùn)動(dòng)員帶球前進(jìn)所站的位置即為所求的點(diǎn)C,使得NACB這個(gè)射角盡可能

大。當(dāng)然在比賽中運(yùn)動(dòng)員不可能去具體地計(jì)算這個(gè)角度的大小，只不過是相

類似的問題而已。

Q2-8

練習(xí)2

1.兩人坐在長(zhǎng)方形桌旁，并且兩人相繼輪流往桌上平放一枚同樣大小

的硬幣，條件是硬幣一定要平放在桌面上，不能使后放的硬幣壓在先前的硬

幣上。這樣繼續(xù)下去，最后桌面上只剩下一個(gè)位置時(shí)，誰放下最后一枚，誰

就算勝了。錢就歸誰。設(shè)兩個(gè)人都是能手，先放的勝還是后放的勝？為什么？

第3題足球甲A聯(lián)賽

中國(guó)足球甲A聯(lián)賽共有12個(gè)隊(duì)參加主客場(chǎng)制的雙循環(huán)賽，請(qǐng)你回答下列

問題：

(1)一年的聯(lián)賽中共需進(jìn)行幾輪比賽？

(2)一年的聯(lián)賽中共需進(jìn)行幾場(chǎng)比賽？

(3)若每周只進(jìn)行一輪比賽，要保證年內(nèi)完成聯(lián)賽，甲級(jí)隊(duì)最多可達(dá)到

多少個(gè)？

分析：所謂主客場(chǎng)制的雙循環(huán)賽是指任何兩個(gè)參賽的隊(duì)之間都要分別在

自己的主場(chǎng)與對(duì)手打一場(chǎng)比賽，即任何兩隊(duì)之間要比賽兩場(chǎng)。所以參加甲A

聯(lián)賽的每個(gè)球隊(duì)都要參加22場(chǎng)比賽，由于每輪中每隊(duì)最多踢一場(chǎng)比賽，可

知至少需22輪比賽才能完成一年的聯(lián)賽，事實(shí)上，中國(guó)足球甲A聯(lián)賽恰好22

輪完成，每輪12個(gè)甲A足球隊(duì)之間共比賽6場(chǎng)，所以共需進(jìn)行22X6=132場(chǎng)

比賽。

一般地，每年有52個(gè)完整的星期，所以一年中共可進(jìn)行52輪比賽，要考

慮甲A足球隊(duì)最多可達(dá)到多少個(gè)，需要知道參賽球隊(duì)數(shù)與比賽輪數(shù)間的關(guān)

系。根據(jù)比賽規(guī)則，若有n個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)都要與其余的(n-1)個(gè)球隊(duì)分別

比賽2場(chǎng)，所以至少2(n?l)輪比賽才能完成，下面考慮是否對(duì)于任意的自然

數(shù)n,都恰好能在2[n-l)輪完成。我們先對(duì)一些特殊情況進(jìn)行分析：當(dāng)n=12

時(shí)，恰好需要2(12-1)=22輪比賽,也容易驗(yàn)證n=4,或6時(shí)分別能在6輪、10

輪比賽中完成整個(gè)賽程；而當(dāng)n=5時(shí)，每一輪只能有4個(gè)隊(duì)參加比賽，而必

然有一個(gè)隊(duì)輪空，且為了保證賽程順利進(jìn)行，每輪輪空的球隊(duì)在一個(gè)單循環(huán)

中不同，所以在一個(gè)單循環(huán)中，每個(gè)球隊(duì)恰好輪空一次，共需5輪比賽，即

整個(gè)聯(lián)賽共需10輪。下面是n=5時(shí)一種賽程安排表，從中可得到一些啟發(fā)，

設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五隊(duì)參加比賽，隊(duì)名排在前的球隊(duì)為主場(chǎng)。

第一輪：甲與乙；丙與丁(戊輪空)

第二輪：甲與丙；乙與戊(丁輪空)

第三輪：甲與戊；乙與丁(丙輪空)

第四輪：甲與??；丙與戊(乙輪空)

第五輪：乙與丙；丁與戊(甲輪空)

以上為第一循環(huán)，第二循環(huán)只需改變主客場(chǎng)進(jìn)行比賽即可。

由以上的特例，容易看到，一般地，當(dāng)參賽球隊(duì)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，每輪中

每個(gè)球隊(duì)均能參加比賽，且每隊(duì)均需比賽2(n-1)場(chǎng)，所以需2(n-1)輪比賽；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，每輪中必有一隊(duì)輪空，每個(gè)隊(duì)在整個(gè)聯(lián)賽中輪空2次，所以共

需2(n-1)+2=2n輪比賽才能完成一年的聯(lián)賽進(jìn)程。

根據(jù)上面的結(jié)論，25個(gè)或26個(gè)球隊(duì)參加聯(lián)婁均需50輪，而27個(gè)球隊(duì)比賽

則需54輪才能完成，因此，甲級(jí)隊(duì)最多只能為26個(gè)，否則一年內(nèi)將不能完成

聯(lián)賽。

解:略。

回顧：參加比賽的球隊(duì)數(shù)與比賽輪數(shù)間的關(guān)系也可以通過分析比賽的總

場(chǎng)次與每輪能夠進(jìn)行比賽的場(chǎng)次得到：

設(shè)n個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)都將在自己的主場(chǎng)踢(n-I)場(chǎng)比賽，所以整個(gè)聯(lián)賽

中共需進(jìn)行n(n-I)場(chǎng)比賽，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，每輪可進(jìn)行

酒比賽.比賽輪數(shù)為n(n-1)-弓)=2(n-1).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí).

每輪只能送行亨輪比賽,總場(chǎng)次除以每輪場(chǎng)次的商為2n,所以苻

要2n輪比賽才能完成。

練習(xí)3

1.若參賽隊(duì)只有8個(gè)時(shí)，共需多少場(chǎng)比賽才能完成主客場(chǎng)制的雙循環(huán)賽,

列出一種比賽安排表，并與同學(xué)比較你們的賽程表是否一致。

2.列出參賽隊(duì)為9個(gè)時(shí)的一種雙循環(huán)賽程表。

第4題網(wǎng)球比賽

11名選手將要參加網(wǎng)球單打比賽，組委會(huì)決定采用不設(shè)種子選手的淘汰

賽方式?jīng)Q出冠軍，但對(duì)于比賽中必然會(huì)出現(xiàn)的輪空問題卻有不同的意見，

種意見認(rèn)為每一輪都要保證盡可能多的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，而另一種意見認(rèn)為

只允許第一輪中有運(yùn)動(dòng)員輪空，請(qǐng)你就以下的三個(gè)問題分析這兩種意見的異

同點(diǎn)：

（1）比賽的總場(chǎng)次；

（2）比賽的輪數(shù);

（3）輪空人次。

分析：淘汰賽即參加比賽的選手通過抽簽，配對(duì)比賽，勝者進(jìn)入下一輪,

負(fù)者則失去了比賽資格；若一輪中將要參賽的選手?jǐn)?shù)為奇數(shù)，則必然有人輪

空，所以11人參加的比賽必然會(huì)出現(xiàn)輪空現(xiàn)象，并且輪空人次與比賽規(guī)則有

關(guān)。以下為了敘述方便，將第一種意見稱為“規(guī)則I”，將后一種意見稱為

“規(guī)則H”。

根據(jù)規(guī)則I,每一輪比賽最多只有一名運(yùn)動(dòng)員輪空，即當(dāng)參加某輪比賽

的選手為奇數(shù)個(gè)時(shí)，只需選擇一名選手直接進(jìn)入下一輪比賽即可，因此按規(guī)

則【進(jìn)行比賽的流程圖（圖4一1）大致如下所示：

0>

0口

0口

0>

0

0>0

0

0>U

0

0=二*

0

E）4-1

由以上流程圖可看出，若采用規(guī)則I組織比賽，比賽總場(chǎng)次、輪數(shù)、輪

空人次分別是10、4、2。

若采用規(guī)則n組織比賽，需解決的關(guān)鍵問題是保證從第二輪起不能再出

現(xiàn)輪空現(xiàn)象。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在所有的體育比賽中，均為決賽中有2人

（隊(duì)）參加，半決賽時(shí)應(yīng)有4人（隊(duì)）參加比賽,而9決賽應(yīng)是8人（隊(duì)）

參加角逐，依此類推，在淘汰賽中若不出現(xiàn)輪空運(yùn)動(dòng)員，參賽人數(shù)可以表示

為2n（n￡N）的形式。因此，從第二輪起，每輪參賽人數(shù)均是2的某次幕。由

于23V11V24,所以第二輪應(yīng)有23=8人參加比賽,而第一輪應(yīng)有2J11=

5人輪空，并決出8人參加第二輪比賽，第三輪有22=4人參賽，最后第四輪

有2=2人參賽決出冠軍。由以上的分析可知，采用規(guī)則II的比賽流程圖（圖

4—2）可寫為如下形式：

因此，本問題的結(jié)論為：

總場(chǎng)次就數(shù)輪空人次

OJ!to42

OJI11045

解：略。

回顧：以上分析了11人參賽的情況，從結(jié)論可知，不論采用哪種規(guī)則,

比賽的總場(chǎng)次及比賽的輪數(shù)均相同，是否能得到以下更具一般性的結(jié)論：無

論多少人參賽，組委會(huì)關(guān)于輪空問題的意見分歧不能改變比賽的總場(chǎng)次及輪

數(shù)。

顯然上面的結(jié)論時(shí)于參賽人數(shù)為2n的情況成立，因?yàn)樵谶@種情況下不

產(chǎn)生輪空運(yùn)動(dòng)員，關(guān)于輪空的分歧不對(duì)賽程產(chǎn)生影響，其中將共進(jìn)行n輪比

賽,每輪比賽的場(chǎng)次分別為2e，2n-2,…，4,2,1場(chǎng)，所以無論采用哪種

規(guī)則，總場(chǎng)次均為+29+…+4+2+1=2%］場(chǎng)，即場(chǎng)次比參賽人數(shù)少

1,而這一結(jié)論也可由淘汰制的特點(diǎn)得到：淘汰賽中，每場(chǎng)比賽必有1人（隊(duì)）

因失利而失去比賽資格，并且只有冠軍獲得者一場(chǎng)未敗，所以無論多少人參

賽，總要有（參賽人數(shù)?1）個(gè)運(yùn)動(dòng)員被淘汰，即需要進(jìn)行（參賽人數(shù)?1）場(chǎng)比賽,

因而比賽的場(chǎng)次與參賽人數(shù)有關(guān)，與輪空的安排無關(guān)。

若參賽人數(shù)P不為2n（n￡N）的形式，則一定能找到某個(gè)自然數(shù)n使2向＜

PV2n,若采用規(guī)則II,第一輪比賽后將有2句個(gè)運(yùn)動(dòng)員參加第二輪比賽，

所以需要進(jìn)行n輪的比賽；若采用規(guī)則I,將要參加第二輪比賽的運(yùn)動(dòng)員數(shù)

在（2酎2,2nd］內(nèi)，第三輪時(shí)有資格參賽的人數(shù)在區(qū)間（2『3,2n］］內(nèi)，因?yàn)?/p>

最后一輪總是2人參加比賽.可以推得只需且必須n輪才能完成比賽.

由以上的分析可知，組委會(huì)的意見分歧對(duì)比賽的輪數(shù)及場(chǎng)次不產(chǎn)生影

響，因此選用哪一規(guī)則應(yīng)根據(jù)它們遇到輪空問題時(shí)的合理性。在本問題中，

由于11人參賽，規(guī)則I與規(guī)則H相比，合理性體現(xiàn)在輪空運(yùn)動(dòng)員少于規(guī)則H,

但缺點(diǎn)在于半決賽時(shí)還有一名選手輪空，增加了參加冠亞軍決賽運(yùn)動(dòng)員的偶

然性。因此，我們很容易提出下面的問題：是否有這樣的參賽人數(shù)，使得在

采用規(guī)則I時(shí)輪空運(yùn)動(dòng)員的人次比采用規(guī)則H的多。

要回答上面的問題，應(yīng)首先注意到，采用規(guī)則I組織比賽，每一輪最多

一人輪空，最后一輪時(shí)不會(huì)有人輪空，因此，輪空的總?cè)舜慰偸遣淮笥冢ū?/p>

賽輪數(shù)-1）,當(dāng)且僅當(dāng)每輪的參賽人數(shù)均為奇數(shù)時(shí)，輪空人次才能達(dá)到（比賽

輪數(shù)-1）。例如：共17人參賽，第二輪時(shí)乘IJ9人，第三輪時(shí)剩5人，第四輪時(shí)

剩3人，第五輪時(shí)2人參加決賽，除去最后一輪，前4輪中均有一人輪空；但

采用規(guī)則H,第二輪時(shí)應(yīng)有16人參賽，所以第一輪共有15人輪空。為了得到

更一般的規(guī)律，下面考察參賽人數(shù)分別為9,10,11,12,13,14,15,

16時(shí)的輪空情況：

由上表，當(dāng)參賽人數(shù)位于123,2勺時(shí)，采用規(guī)則I產(chǎn)生的輪空數(shù)不

會(huì)多于采用規(guī)則0。一般地，若有P名選手參賽，且＜P^2n(nGN),

則采用規(guī)則I,最多產(chǎn)生(n-1)人次輪空，而采用規(guī)則H,將有(2n?P)名選

手在第?輪輪空，要說明采用規(guī)則I不會(huì)產(chǎn)生比規(guī)則II多的輪空，只需考察

P=2n,2n-I,2n?2,…，2n?n+2即可，即只需考慮不大于2n且與2n最

接近的(n?l)個(gè)數(shù)。又因?yàn)镻-2叩寸，兩種規(guī)則均不產(chǎn)生輪空現(xiàn)象，P-2n-1

時(shí)，兩種規(guī)則均為在第一輪有一人輪空，比賽流程圖完全一樣，所以只要考

慮P為從(2廠2)到⑵-n+2)的這(n-3)個(gè)數(shù)。當(dāng)n=5時(shí),只要考慮P為29,30

這兩種情況，n=6時(shí)，只需考慮P為62,61,60三種情況，n=7時(shí)，只需

考慮P為126,125,124,123四種情況，…。下面是以上各種情況的結(jié)

論：

由上面的結(jié)論可知：在比賽人數(shù)不多于128人時(shí)，采用規(guī)則［將在輪空

人次上體現(xiàn)出其合理性，而采用規(guī)則II,將在比賽的偶然性上體現(xiàn)出其合理

性，也就是說這兩種比賽規(guī)則各有利弊。在通常的淘汰制比賽中，一般是通

過設(shè)立種子選手的方法解決問題，即讓種子選手在第一輪輪空，非種子選手

參加第一輪比賽，種子選手人數(shù)的多少按下列原則確定：第一輪中的非種子

選手為偶數(shù)，且非種子選手?jǐn)?shù)的一半與種子選手?jǐn)?shù)的和為2n的形式。

注：在本問題中，用到了兩種解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法，即由特殊

到一般的推理思想和小型模擬實(shí)驗(yàn)與理論分析相結(jié)合的方法。當(dāng)遇到一個(gè)全

新的數(shù)學(xué)問題而對(duì)問題的解決束手無策時(shí)，運(yùn)用這兩種方法可以使解題思路

逐漸打開，并在分析中不斷擴(kuò)大問題空間，最終達(dá)到解決問題、引申問題的

目的。希望你能在完成練習(xí)3和練習(xí)4時(shí)，再次體會(huì)到運(yùn)用這兩種方法所能甘

給你的幫助。

練習(xí)4

1.若22人報(bào)名參加淘汰制的網(wǎng)球單打比賽，設(shè)多少名種子選手比較好。

2.若參賽人數(shù)在129到256之間時(shí)，為了證明采用規(guī)則I不會(huì)產(chǎn)生更多

的輪空人次，應(yīng)考察哪幾個(gè)數(shù)。

3.在黑板上隨意寫1995個(gè)“+”或，按以下規(guī)律擦去：每次隨

意擦去2個(gè)符號(hào)，然后按擦去同號(hào)添一個(gè)“+”，擦去異號(hào)添一個(gè)”號(hào)

的原則操作。問：(1)經(jīng)過多少次操作后不能再次進(jìn)行下去。(2)最后的操作

結(jié)果與操作過程有元關(guān)系，為什么？(3)最后結(jié)果與原始狀態(tài)的“+””

符號(hào)的多少有何關(guān)系，為什么？

4.已知線段AB的端點(diǎn)A為紅色，B為藍(lán)色，在AB間添上n個(gè)紅或藍(lán)色

的點(diǎn)，將AB分成n+1條小線段，若定義一條兩端顏色不同的線段為標(biāo)準(zhǔn)線

段，問標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)的奇偶性與n的大小有無關(guān)系，與添加點(diǎn)的顏色有何關(guān)

系？

第5題猜數(shù)游戲

古代烽火臺(tái)是戰(zhàn)爭(zhēng)中通訊的工具，修建一人烽火臺(tái)，可以報(bào)告有無敵人

來犯及來犯敵人的數(shù)目。假如修建6個(gè)烽火臺(tái)，以1000人為單位，6個(gè)烽火

臺(tái)可報(bào)告1000人?63000人之間的數(shù)目。報(bào)告方法如下：

如圖所示有A、B、C、D、E、F6座烽火臺(tái)，烽火臺(tái)下面依次標(biāo)上數(shù)碼

32、16、8、4、2、1,現(xiàn)在是B、D、F3個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃了烽火，就

把這3個(gè)烽火臺(tái)下面的數(shù)目相加，16+4+1=21。說明有1000X21=21000名

敵人來犯。假如把A、D、E、F四個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃，由32+4+2+1=39

可知有1000X39=39000名敵人來犯。你知道以上作為發(fā)出信號(hào)的一方是

加何根據(jù)敵人來犯的人數(shù)點(diǎn)燃烽火臺(tái)？而作為接受信號(hào)的一方，又是如何根

據(jù)烽火臺(tái)點(diǎn)燃的情況來計(jì)算敵人數(shù)目的？

分析：從這6個(gè)烽火臺(tái)下面的數(shù)字可以看出，只要是1到63之間的任何

數(shù)，都能使A、B、C、D、E、F6個(gè)烽火臺(tái)的下面的數(shù)字加起來找到。烽

火臺(tái)傳數(shù)的道理是使用了二進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制數(shù)的最大優(yōu)點(diǎn)是可以用兩個(gè)動(dòng)作

表示任何數(shù)字。用點(diǎn)燃烽火表示“1”，用熄滅表示“0"。二進(jìn)制數(shù)每一位

都固定表示十進(jìn)制的一個(gè)數(shù)(見表格)

二遺室的求位

R1M數(shù)某一

(￡±MulH

表示十進(jìn)貌案

把十進(jìn)制數(shù)化成二進(jìn)制數(shù)往往采用連續(xù)用2短除，一直除到商等于0為

止。例如將47化成二進(jìn)制數(shù)，連續(xù)用2短除。

.??????

…二1

2|3……1

得47=25+23+22+2'+2。，即47各鶯成二進(jìn)制數(shù)101111,即

47([o)=lOllll2),其中下角(10)表示十進(jìn)制，(2)表示二進(jìn)制。

就拿此例來看，以1000人為單位，只點(diǎn)燃F臺(tái)，則表示的二進(jìn)制數(shù)是

00000^)=1,即有1000名敵人；若把6座烽火臺(tái)全部點(diǎn)燃，則表示的二進(jìn)制

數(shù)是111111(2尸32+16+8+4+2+1=63。即有63000名敵人。因此，6座烽

火臺(tái)能傳出前敵人數(shù)是1000人至IJ63000人。

回顧：有一種猜姓或猜年齡的游戲，也可以利用二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的

轉(zhuǎn)換而得。下面介紹猜年齡的游戲。

現(xiàn)有A、B、C、D、E5張卡片，上面有被猜人的年齡數(shù)。當(dāng)你把5張卡

片依次給被猜人看，當(dāng)他看到卡片上有自己年齡時(shí)，就回答“有"你就記下

“1”，當(dāng)他回答“無”時(shí)，你就記下“0”。若對(duì)方回答是“無有無無有”

你相應(yīng)記下01001,這時(shí)你就可以按二進(jìn)制數(shù)化十進(jìn)制數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算得:

0X16+1X8+0X4+0X2+1X1=9歲，說明被猜人是9歲。若又有被猜人回

答是“有有無有有"。你相應(yīng)地記下11011。計(jì)算得1X16+1X8+0X4+1

義2+1義1=27歲。

13579

1113151719

2123252729

31

這5張卡片實(shí)際上是一種編碼，將年齡數(shù)按二進(jìn)制數(shù)中的“1”和“0”

分別放在5張卡片中。例如15(⑼=01111.則將15分別寫在B、C、D、E4張

卡片內(nèi)即可。第一位是“0”，則在A卡片中不用寫，由此即可編出A、B、

C、D、E5張卡片中的數(shù)字了。接著，我們自然要問這5張卡片能猜到最大

年齡是幾歲？因?yàn)檫@5張卡片所

能表示的最大的二進(jìn)制數(shù)是11111⑺=2溫2,?1=31.所以這身長(zhǎng)

卡片最多能猜到31歲。一般地，n張卡片能表示的最大年齡是多少？應(yīng)該是

2n?1歲。

由此可見，要給別人猜年齡，首先你應(yīng)確定編好幾張卡片。這是由最大

年齡所決定的。設(shè)最大年齡為a,n為滿足不等式的最小自然數(shù)，見

應(yīng)編n張卡片。至于每張卡片上的年齡數(shù)，則是將此十進(jìn)制位數(shù)化為二進(jìn)制

數(shù)有“1”的就必須將年齡數(shù)寫在卡片上。是“0”的位數(shù)就不用寫在卡片上。

注：二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換在現(xiàn)代科學(xué)中應(yīng)用相當(dāng)廣泛。例如，在

計(jì)算機(jī)中通常采用二進(jìn)制數(shù)。一方面是由于二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算簡(jiǎn)單，另一方面

是由于任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)都是由0和1兩個(gè)數(shù)碼組成，這很容易用電子元件

來實(shí)現(xiàn)，這因?yàn)樵诘W(xué)中我們可以用兩種穩(wěn)定的狀態(tài)來分別表示0和1,例

如，電燈的亮和滅，脈沖的有和無，晶體管的導(dǎo)通和截止等，而要找出一種

具有10種穩(wěn)定狀態(tài)的元件來表示10種不同的數(shù)字卻很困難，由于二進(jìn)制數(shù)在

計(jì)算機(jī)中容易實(shí)現(xiàn)，所以在目前幾乎所有的計(jì)算機(jī)都采用二進(jìn)制數(shù)。

練習(xí)5

1.通過猜年齡游戲的卡片編制過程,你能動(dòng)腦筋編出百家姓的卡片嗎？

第6題加油站加油排隊(duì)

某個(gè)加油站每次只能對(duì)一種車輛加油。各種車輛的加油時(shí)間如下:

車型：大型卡車中型卡車小汽車

時(shí)間(分)：754

如果這三種車輛同時(shí)到達(dá)加汕站加汕，問加油站應(yīng)該怎樣安排加油順

序，才能使總共需要的時(shí)間(加油及等候時(shí)間最??？

分析：由于加油站一次只能對(duì)一種車輛加油，所以三種車輛同時(shí)到達(dá)，

必定產(chǎn)生有兩種車輛要等候。要節(jié)省時(shí)間，必須盡量減少等候時(shí)間，而讓加

油時(shí)間短的車輛先加油，就能節(jié)省總的加油及等候時(shí)間。我們不妨計(jì)算一下

按大型卡車、中型卡車、小汽車加油順序所需總的等候時(shí)間：

7+7+7+54-5+4=35(分)

如果按大型卡車、小汽車、中型卡車的加油順序計(jì)算總的等候時(shí)間為：

7+74-7+4+4+5=34(分)

顯然，第二種方案比第一種方案好一些。如果我們把所有的加油方案一

一列舉出來，通過計(jì)算，就能找到最優(yōu)方案。對(duì)于這樣的問題是否有規(guī)律性,

利用它還能解決更一般的情形嗎？

解：由于加油時(shí)間分別為7分、5分和4分鐘，所以合理的方案是安排加

油時(shí)間短的車輛先加油，這樣其他兩種車輛的等候時(shí)間就較短，因此按小汽

車、中型卡車、大型卡車的加油順序計(jì)算總的等候時(shí)間為最少。

4+44-4+5+5+7=29(分)

回顧：如果有幾種不同類型的車輛同時(shí)到達(dá)加油站，加油的時(shí)間分別為

“、T2-Tn,則等候的總時(shí)間T為：

T=nT[+(n-1)T2+(n-2)T3-|--+Tn

要使T最少，只有當(dāng)T|WT?W…W，時(shí)，T取到最小，因此必須安排加

油時(shí)間短的車輛先加油，加油房間長(zhǎng)的車輛放在后面。

下面我們考慮將上述問題從加汕站的加汕能力方面加以推廣：

如果加油站能夠同時(shí)對(duì)兩種車輛加油，對(duì)各種車輛的加油所需時(shí)間為：

車型：重型車大卡車中型卡車小汽車微型車

時(shí)間(分)：107543

車型：摩托車

時(shí)間(分)：2

如果有上述六種不同類型的車輛同時(shí)到達(dá)，又應(yīng)該如何安排加油順序

呢？

首先必須考慮分成二組，分組和編排加油順序仍然以盡量減少等候時(shí)間

為原則。第一種方案是每組各三輛車設(shè)第一組，加油時(shí)間分別為、T2、

T3,則總共需要時(shí)間為：

T(+(T)+T2)+(T)+T2+T3)=3T]+2T2+T3

同理，另一組為3L+2G+t3,六種車輛所需的總時(shí)間T為：

T=3(Tj+h)+2⑴+匕)+(13+t3)

從式子中可以看出，7+L盡可能小。因此，摩托車、微型車安排在最

前，小汽車、中型卡車其次，而大卡車及重型車安排在最后。即分成的兩組

為：

第一組：摩托車、小汽車、大卡車

第二組：微型車、中型卡車、重型車

所需總時(shí)間T為：

T=3(2+3)+2(4+5)+(7+10)=50(分)

如果按另一種方案編成四輛和二輛的兩組又如何呢？顯然時(shí)間為：

(4T|+3T2+2T3+T4)+(21)+^)=T1+3(T)+T2)

4-2(T3+t1)+(T4+t2)

與第一種方案作同樣的各析，多了一個(gè)T1,不是最節(jié)省。同樣以五輛與一輛

為兩組的所需時(shí)間更不節(jié)省了。

注：下面我們不加證明地介紹一個(gè)不等式的結(jié)論，上述問題也可看作它

的一個(gè)應(yīng)用。

假設(shè)有兩組數(shù)：a-a2,???,an；b,,b2,bn,滿足：

aj^a2W…b|Cb2W…這6,我們稱：

a1b|+a2b2+a3b34-----Fanbn為順序和；

albn+a2bn—1+,,,+anbl為逆序和;

%即+%242+…+編4式1〈4i2,…，in^n,1可1，…，

jnWn)為亂序和。

在不等式中有：順序和、亂序和、逆序和。(證明從略)

在上述問題中的總時(shí)間T=nT]+(n-1)T2+…+1；的情況下，要使T最

小，取其逆序和即可,即有T|WT?W…W%

練習(xí)6

1.某加工廠加工某一批零配件，需要加工后才能送到下一道工序繼續(xù)

加工，否則只能等待。已知各種類型的零件加工時(shí)間如下：

零件類型：12345

加工時(shí)間：5540308060(單位：分)

問如何安排加工順序才能使總的等待時(shí)間最短？

2.如果這5種零件需要先后兩種工序加工，加工時(shí)間如下表，又應(yīng)該如

何安排加工順序呢？

零件類型：12345

加工工序1：5040302040

加工工序2：3020608060(單位：分)

完成先后兩道工序總用了多少時(shí)間呢？

第7題蔬菜運(yùn)輸方式的選擇

某公司欲將一批易壞蔬菜從A地運(yùn)往B地，共有汽車、火車、直升飛機(jī)

三種運(yùn)輸工具可供選擇，三種運(yùn)輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如下：

運(yùn)輸工具途口速度途中費(fèi)用裝卸時(shí)間裝卸費(fèi)用

(千米/小時(shí))(元/千米)(小時(shí))(元)

汽車50821000

火車100442000

飛機(jī)2001621000

若這批蔬菜在運(yùn)輸過程中的損耗為300元/小時(shí)，問采用哪種運(yùn)輸方式比較

好，即運(yùn)輸過程中的費(fèi)用與損耗之和最小。

分析：商品的運(yùn)輸過程是增加成本的過程，要想在商品的營(yíng)銷中獲利最

高，必然盡可能降低其成本。對(duì)于本問題而言，若采用飛機(jī)運(yùn)輸可以減少途

中時(shí)間，即減少蔬菜損耗，但租用運(yùn)輸工具的費(fèi)用較高；若采用火車運(yùn)輸，

途中費(fèi)用比較節(jié)約，但裝卸不便；而采用汽車運(yùn)輸將增加途中的時(shí)間，因此

作出運(yùn)輸方式的決策，主要是在減少途中費(fèi)用和時(shí)間上找到合理的結(jié)合點(diǎn)，

盡可能減少總支出，控制成本的提高。

解：設(shè)A、B兩地間距高為s千米，則采用三種運(yùn)輸工具的費(fèi)用和時(shí)間可

用下表給出：

運(yùn)輸工具途口費(fèi)用（元）途中時(shí)間（小時(shí)）

汽車8s+1000才2

火車4s4-2000卷”

飛機(jī)16s+1000品*2

分別用5、c2sc3表示用汽車、火車、飛機(jī)運(yùn)輸時(shí)的總支出，則有：

Cj-8*4-1000+(―+2)X300-14s+1600

cr2=p4s+2000+('104。)Yx300=7s+-3200

c,=16s+1000+(-^-+2)X300=1753+1600

由C]、C2、C3的表達(dá)式及S>0可知:

5VC3恒成立；

C]-與<0的解為V—^—^230

C2-C3<0的解為$>挈3150

所以可以有以r結(jié)論：

（1）當(dāng)〈竽時(shí)，即AB間距高不多于

230千米時(shí)，采用汽車運(yùn)輸較合理。

（2）當(dāng)5=與時(shí)，c,=c,<cP即AB間足離大約為230千

米時(shí)，采用火車、汽車均可。

（3）當(dāng)$>竽時(shí)，c]>與且。3〉與，即A、B間距離超過

230千米時(shí)，采用火車運(yùn)輸比較合理。

回顧：由上面解決問題的過程可知，因?yàn)閏l>c3不成立，所以采用直

升飛機(jī)運(yùn)輸不可能成為最合理的運(yùn)輸方式，事實(shí)上，飛機(jī)運(yùn)輸?shù)膬?yōu)勢(shì)體現(xiàn)在

速度上，即由于減少途中時(shí)間而減少損耗，下面探討當(dāng)蔬菜損耗率為多少時(shí),

直升飛機(jī)運(yùn)輸可能成為最佳的運(yùn)輸方式。

設(shè)損耗率為X元/小時(shí)，則

Cj=8$+1000+（―+2）x

ca■4s+2000+（+4）x

C）=16s+1000+（菖^+2）x

要使直升飛機(jī)運(yùn)輸成為最好的運(yùn)輸工具，只需滿足:

fe>-Cj>0

k.，3〉。

即

?8S+.?言

-⑵+1000+（而-研+2）x>0（2）

由Q）新式2x-8）>0

200

乂>】600

由⑵衙小用”明務(wù)■煙（3）

s?400

200+2

褥800（3s-125）、1600

而不等式s+4。。>下

的解為$>竿~170（公里）

所以可以有如K結(jié)論成立

（1）當(dāng)，《殍.竽時(shí)°、最小.即當(dāng)AB兩地間箔離小于

170千米時(shí),只有當(dāng)損耗不小于?元/小時(shí)時(shí),飛機(jī)運(yùn)輸較合理.

⑵當(dāng)〉苧,x>*言時(shí)，避小，即AB兩地間距離

不小于170千米時(shí)，當(dāng)損耗率達(dá)到多少可以采用直升飛機(jī)運(yùn)輸與AB兩地間

距離有關(guān)，其關(guān)系式由（3）式給出。

練習(xí)7

1.某公司準(zhǔn)備將一批貨物用直升飛機(jī)從甲地運(yùn)到乙地，在運(yùn)輸過程中,

有兩種裝卸方式可供選擇，即內(nèi)部裝卸和外部裝卸。其中采用內(nèi)部裝卸方式

可以增加途中速度，減少途中時(shí)間，但裝卸時(shí)間增加I;而采用外部裝卸方式

恰好相反，可以節(jié)約裝卸時(shí)間，下面是兩種方式下的參數(shù)：

裝卸方式平均速度裝貨時(shí)間卸貨時(shí)間

（千米/小時(shí)）（小時(shí)）（小時(shí)）

內(nèi)部裝卸220ii

外部裝卸1601《

請(qǐng)討論如何時(shí)運(yùn)輸方式進(jìn)行決策。

2.某地打算建造一座總跨度為1米的橋梁，現(xiàn)在準(zhǔn)備就造幾個(gè)橋墩問題

進(jìn)行決策。在決策過程中，主要考慮以下兩個(gè)因素：（1）建造橋墩的費(fèi)用，（2）

造橋所需鋼材的費(fèi)用，其中，若橋墩數(shù)減少，隨著兩橋墩間跨度的增大，造

單位長(zhǎng)度的橋梁所需鋼材將增加。如果假設(shè)任意兩個(gè)橋墩間的距離相等，造

一個(gè)橋墩的費(fèi)用為p元，橋梁所用鋼材的單價(jià)為c（元/千克），橋梁的鋼材月

量與兩橋墩間距離（橋孔長(zhǎng)）成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為K,即若橋孔長(zhǎng)為X

米，則鋼材需用量為KX（千克/米）。請(qǐng)你作出正確的決策。

3.某運(yùn)輸公司欲將一批易壞物品從甲地運(yùn)往乙地，其中有三種方式可

供選擇，其主要參考數(shù)據(jù)如下：

運(yùn)輸方式裝卸時(shí)間裝卸費(fèi)用運(yùn)輸速度途中費(fèi)用

（小時(shí)）（元）（千米/小時(shí)）（元/公里）

火車44001004

汽車2200506

直升飛機(jī)22002008

若這批物品的損耗為300元/小時(shí)，甲乙兩地間距離為2000公里，請(qǐng)問:

⑴哪種運(yùn)輸方式比較合理；

（2）若物品損耗率不變，當(dāng)甲、乙兩地間距離為多少時(shí)火車是最好的運(yùn)

輸方式；

（3）若甲、乙兩地相距200公里，損耗率達(dá)到多少時(shí)，直升飛機(jī)運(yùn)輸最好。

第8題庫存

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，為了保證正常的生產(chǎn)和銷售需耍，常常要使原材料或商

品有一定的庫存量。在訂購時(shí)，大量訂購會(huì)使庫存量太多造成資金積壓，乂

要付出較高的保管費(fèi)用；如果是少量訂購，會(huì)導(dǎo)致訂購次數(shù)增多而使訂購費(fèi)

用增加（注：訂購費(fèi)用不是購貨費(fèi)用，只與訂購次數(shù)有關(guān)，如運(yùn)輸次數(shù)增多

而產(chǎn)生的費(fèi)用）。于是，就產(chǎn)生了這樣的問題，如何尋找一個(gè)最優(yōu)的訂購量,

使訂購費(fèi)用及保管費(fèi)用之和最小，我們把這類問題稱為庫存問題。下面我們

給出一個(gè)具體的庫存問題：

某大型商廈一年內(nèi)需要購進(jìn)彩電5000臺(tái)，每臺(tái)彩電的價(jià)格為4000元，每

次訂購彩電的費(fèi)用為1600元，年保管費(fèi)用率為10%,（例如，一年內(nèi)平均庫

存量為150臺(tái)，一年付出的保管費(fèi)用60000元，則

盛蕊=10%為年保者費(fèi)用率）問每次訂購多少臺(tái)彩電，才能使訂

購費(fèi)用及保管費(fèi)用之和最?。?/p>

分析：假設(shè)每次訂購的貨量為X臺(tái)，開始庫存量為X臺(tái)，經(jīng)過一個(gè)周期的

正常均勻銷售后，庫存量變?yōu)榱悖@樣乂開始下一次的訂購，因

此平均庫存量為gx白，所以每年肉保管費(fèi)用為:x?4000?10%元，而