數(shù)學(xué)-2024年高考終極押題猜想（新高考）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)終極押題猜想

［高分的秘密武器：終極密押+押題預(yù)測)

押題猜想一函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、對稱性、周期性、單調(diào)性)的綜合應(yīng)用..............................1

押題猜想二導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題..................................................................5

押題猜想三三角恒等變換求值問題..............................................................15

押題猜想四解三角形中的范圍與最值問題.......................................................18

押題猜想五外接球、內(nèi)切球、棱切球...........................................................24

押題猜想六立體幾何中的不規(guī)則圖形...........................................................30

押題猜想七條件概率背景下概率與實際生活密切聯(lián)系............................................40

押題猜想八圓錐曲線的離心率.................................................................49

押題猜想九圓錐曲線中的面積問題.............................................................54

押題猜想十?dāng)?shù)列新定義........................................................................65

押題猜想一函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、對稱性、周期性、單調(diào)性)的綜合應(yīng)用

政。終極密押。

已知函數(shù)/(到的定義域為R,對于任意實數(shù)x,y滿足/(x+y)+/(x-y)=2/(x+l)/(y),且

/(9)=2,則下列結(jié)論錯誤的是?)

A./(1)=1B./("為偶函數(shù)

C./(x)是周期函數(shù)D.410)=+

【答案】c

【解析】令x=y=0,得2/(0)=2f(0)f(l),因為/(0)=2,所以7(1)=1,A正確;

令x=0,則f(y)+f(-y)=2f(i)f(y)=2f(y),所以y),則f(力為偶函數(shù),B正確;

令:/=0,得2/(%)=2/(x+l)/(0)=4/(x+l),即/(x+l)=1/(x),所以不是周期函數(shù)，C錯誤；

當(dāng)工取正整數(shù)〃時，=…==則/(10)=(gJ=+,D正確.

故選：C.

￡?押題解讀

從近五年的高考情況來看，本部分多以選擇題的壓軸題呈現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是高考的必

考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時

要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和通過合理的賦值解決，抽象函數(shù)問題是今年高考的熱點(diǎn)之一.

戰(zhàn)。押題預(yù)測。

I.已知函數(shù)/a)=e2xT-ee+smCx-：)+l,則不等式〃2計1)+〃2-力22的解集為()

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.[-2,2]D.[-2,+oo)

【答案】D

【解析】因為/(力=金1-ej+sin(/x-；)+1,

所以/(1-力=-e,-2(,-x)+sin-(l-x)--]+1=e'-2x-e2-1-sinf-x--1+1,

.24_\24y

所以〃I)+/(x)=2,即的圖像關(guān)于點(diǎn)(對中心對稱.

=+cosx—

f'(x)=2c2V-1+2C"2'人一>2>/2C2V_|x2u,-7r+cosx—(當(dāng)且僅當(dāng)

X時等號成立).

因為-14COS仔一祚1,所以廣(力之4-裊0,所以/(%)在R上單調(diào)遞增.

由f(1)+/(x)=2,得f(2r)+/(T+x)=2.

由『(2工+1)+/(2-力22可得/(2x+l)+/(2-x)1/(2-x)+/(T+x),即/(2工+1)2/(-1+司，

所以2x+12-1+x,解得x2-2.

故選:D.

2.(多選題)已知函數(shù)y=M1(%+1)為偶函數(shù)，且/(1)=/卜+3),當(dāng)xw[0,l]時,/(x)=2-2\則

()

A.”力的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱B./(力的圖象關(guān)于直線工=2對稱

C./("的最小正周期為2D./(1)+/(2)+-+/(30)=-1

【答案】ABD

【解析】對A：因為)，=0*(x+】)為偶函數(shù)，則必■(工+1)=-V(-x+l)，

即“x+l)=—〃r+l),所以y=/(x+l)是奇函數(shù)，

所以“力的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，故A正確：

對B：因為〃l—x)=/(x+3),所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故B正確；

對C：因為〃1一刈=/(%+3),/(x+l)=-/(-x+l),

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則/(1+3)=—/(x+1),則/(x+5)=-/(x+3)=/(x+l),

所以/(x)的最小正周期為4,故C錯誤；

對D：因為當(dāng)工?0』時，/(x)=2-2\所以/(0)=1,/(1)=0,

因為〃”的圖象既關(guān)廣點(diǎn)(1,。)對稱，又關(guān)于直線x=2對稱，

所以〃2)=-〃0)=-1,/(3)=/(1)=0,

因為〃])的最小正周期為4,

所以f(4)=f(0)=l,所以/⑴+/(2)+/(3)+〃4)=0,

所以/⑴+/(2)+…+〃30)=7[f(l)+/(2)+/(3)+〃4)]+〃l)+〃2)

=7x0+0+(-1)=-l,故D正確.

故選：ABD.

3.(多選題)已知定義城為R的函數(shù)/(".滿足/(x+y)=〃x)/(y)-f("x)f(i-y),且〃。)工。,

"-1)=0,則()

A./(l)=oB./(X)是偶函數(shù)

2024

C.[/⑼+[〃1+”了=1D.

i

【答案】ABC

【解析】對于A項，由/(x+y)=/(%)/(y)-〃iT)/(l-y),

P12「/、-|2

令H=)，=；,W0/(!)=_?'(；)=0'故A項正確；

對于B項，令x=y=0,M/(o)=[/(o)]2-[/(I)]2=[/(0)]2，

因“0)工。，故/(0)=1,

令y=i,則/(x+i)=/(x)/(i)_/(i_4)/(o)=_f(i_x)①,

所以函數(shù)/(X)關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對稱，

令*=y=1,則〃2)-0⑴于-[/(0)]2=-1,

令y=2,則/(x+2)=f(x)〃2)_/(lT)f(—l)=—/(x)②，

由①可得：〃X+2)=—/(T)③，由②?可知：/(-x)=/(x),

且函數(shù)/(力的定義域為R,則函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，故B項正確；

對于c項，令y=-x,則〃0)=f&)/(r)—〃lT)〃l+x),

因為〃0)=1,/(-x)=/(x),=代入上式中得，

C./(2023)+/(2024)+/(2025)=2

D.函數(shù)八數(shù)與函數(shù)y=|ln|x||的圖象有8個不同的公共點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】由/(-3+1)+/(-1-工)=0得函數(shù)/⑸關(guān)于(―2,0)對稱，A正確;

由得函數(shù)關(guān)于I對稱，

以/(-4+幻+/(-A)=0,/(-2+x)=/(-r),

所以f(x-4)+/(x-2)=0,即/(x)+/(x+2)=0,

所以7?(0)-2)=〃j+4),故函數(shù)/⑴的周期為4,

由/(-5)=-2知/(-1)=-2,/(g)=,

所以xw[-1,0]時，/(x)=-x2+x.

所以/(1)=_/(7)=2,B正確；

/(2023)+/(2024)+/(2025)=/(-1)+/(0)+/(1)=0,C錯誤;

畫出函數(shù)/(幻和函數(shù)y=|ln|x||的圖象,如圖：

尸阿砌

O1A/46\

V何6

|ln|-7||=ln7<2=/(-7),觀察圖象可得函數(shù)/3)與函數(shù))，=|ln|x||的圖像有8個不同的公共點(diǎn)，D正確.

故選:ABD.

押題猜想二導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題

：號?終極密押。

已知函數(shù)/(x)=.dnK,^(x)=1.x+-.

⑴若/(x)與g")的圖象有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，求實數(shù)〃的取值范圍；

⑵若人("=M/(力-武刈，〃(力是的導(dǎo)函數(shù)，方程"&)=〃?有兩個不相等的實數(shù)解巧，X2,求

證：XI+X2>2.

【解析】(1)法一：由已知/(“與g(x)的圖象有且僅有兩個不同的交點(diǎn),

則方程=即有且僅有兩個不同的實數(shù)解，

2x2

令p(x)=x2lar--1x2,

則原問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)P(X)的圖象與直線)'=〃有兩個不同的交點(diǎn).

(工)=2xlav+x-3x=2x(lav-1),

令p[x)>0,得x>e,令p<x)vO,得Ovx<e,

故p(x)在(e,xo)上單調(diào)遞增，在(O,e)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)x趨近于0時，p(x)趨近于0,當(dāng)尤趨近于內(nèi)時，p(x)趨近于內(nèi),

〃⑻=_],作出p(x)與>的大致圖象如圖所示，

2/2\

數(shù)形結(jié)合可得上<。<0,即實數(shù)”的取值范圍為-3,0.

解法二：若/(M與g(x)的圖象有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，

則方程川2=]工+且,即x2\n.x-x2=。有且僅有兩個不同的實數(shù)解，

2x2

令〃(力=/瓜.蕓2―4,則原問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)〃3有兩個不同的零點(diǎn).

(工)=2xlnv+x-3x=2.v(lnx-l),

令p[x)>0,得x>e,令"(x)<0,得0cx<e,

故P(X)在(。,侄)上單調(diào)遞增，在(0,c)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)X趨近于。時，p(x)趨近于-4,當(dāng)X趨近于+8時，p(x)趨近于+8

p(e)=_：_a,作出p("的大致圖象如圖所示，

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。＜0,即實數(shù)〃的取值范圍為

3

(2)//(%)=x2lav--x2-a,則”(x)=2x(hir-1),

令夕(x)=2x(lnx-l),則(p'{x}=2(lnx-1)+2=21nv,

當(dāng)xe(0,1)時，"(x)vO,*(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)H￡(l,+8)時，\x)>0,0(X)單調(diào)遞增,

且夕(e)=0,當(dāng)“趨近于。時,/(力趨近于0,

當(dāng)X趨近于+8時，趨近于+力,夕(1)=-2,

作出e(x)的大致圖象如圖所示.

不妨令內(nèi)<%，則由〃(內(nèi))="(七)，^0<.r1<l<x2<e,

令尸(x)=e(x)-e(2-x),0<X<1,

貝I」尸'(X)=0'(x)+0'(2-x)=2lnj+2ln(2-x)

=2ln(2x-x2)=2In[-(x-1)2+1]

當(dāng)()<xvl時，-(X-1)2+1G(0,1),所以F(X)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以歹(_￥)>/⑴=夕(1)一夕(2—l)=0,所以3(X)>W(2—X),0<A<I.

因為所以O(shè)(XJ>0(2TJ,

又。(%)=*(%)，故*(%)>0(2-百),

X1<x2<e,2-A-1>I,且w(x)在(1,+功上單調(diào)遞增，故工2>2-玉，即芭+々>2.

￡?押題解讀

木部分多以解答題呈現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)壓軸題以零點(diǎn)問題為主，重點(diǎn)關(guān)注由函數(shù)的零點(diǎn)生成的各類問題(結(jié)合不等

式、雙變量問題、恒成立與有解問題、極值點(diǎn)偏移問題等)的求解思路，本質(zhì)是如何構(gòu)造函數(shù)以及變形函

數(shù)求解難題，導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題與不等式結(jié)合是今年高考的熱點(diǎn)之一

戰(zhàn)。押題幅測?

1.已知/a0,函數(shù)/("=(x+a)ln(x+》)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為xln2-y—ln2=0.

⑴求m5的值；

⑵若方程(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個實數(shù)根％%且再<%，證明：9―%<1+1+工

eeeln2

【解析】(1)因為r(x)=:鰲-ln(x+9,所以r(l)=*+ln(l+A)=ln2,

由題意知/(1)=0,所以/(l)=(l+a)ln(l+?=0,

(l+fl)ln(/?+l)=0

聯(lián)立方程組1+a一，解得。=一1,〃=1.

-j—+In(!+/?)=In2

(2)由(1)可知/(x)=(I)g+l),x>-l,/(0)=0,/(1)=0,

門力=1--—+ln(x+l),設(shè)/'(?￥)="(X),

人?1

所以3)即r{x)在(T+O。)上單調(diào)遞增.

又「(0)=—l<0J'⑴=ln2>0,所以存在%e(0,l),使得尸(芻)=0,

故f(x)在(-1,小)上單調(diào)遞減，在(?卬笆)上單調(diào)遞增，

設(shè)力(x)=(x-l)?ln2,令產(chǎn)(x)=/(x)-/z(x)=(x-l)ln(x+l)-(A-l)ln2,

貝IJ9(x)=M+ln(x+l)-ln2=1n(x+l)-M+l-ln2,

因為尸(x)在上單調(diào)遞增，

所以尸⑺在(T”)上單調(diào)遞增.

又尸(1)=0,所以當(dāng)一1VXV1時，r(x)<0,當(dāng)X>1時，F(xiàn)r(x)>0.

所以產(chǎn)(x)在上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增.

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故尸（x）2尸⑴=0,即（x-l）ln（x+l）“xT>ln2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立.

因為方程/"）=■!■有兩個實數(shù)根不占，且%<%，

e

也就是/（乂）=〃m）=,>〃1）=/（0）=0,且注意到/（力在（1，+8）上單調(diào)遞增,

e

所以E<0</<1<工2，

所以（七一1）1|1（文2+1）>（七一1）卜12,即（毛）.

設(shè)力（刈=’的根為："，則9'=1+土，

eein乙

又4（X）在（一1,/）上單調(diào)遞增，所以/?卜2'）=/（工2）>"（工2），

故W①.

易知/（"的圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程為g（"=-A，

^T（x）=f（x）-g（x）=（x-l）ln（A+l）+xf

貝ijr（x）=^+ln（x+l）=2--j+ln（x+l）,

因為:（x）在（T”）上單調(diào)遞增，

所以r（x）在（-L+OO）上單調(diào)遞增.

又r（o）=o,

所以當(dāng)—ic<o時，r（x）<o,當(dāng)x>o時，r（x）>o,

所以?。ā霸冢?1,0）上單調(diào)遞減，在（O,y）上單調(diào)遞增.

所以?。?7（0）=。，（x-l）ln（x+l）N-x,當(dāng)且僅當(dāng)工=0時，等號成立.

因為％<。，所以（大一1）111（電+1）>—內(nèi),即/（xJ>g（N）.

設(shè)8（力=1的根為M，則父=一L

ee

又g（x）在（T,y）上單調(diào)遞減，

所以義［；）=/（內(nèi)）>雇43所以M<x，

從而-父>-X1②.

由①②可知：工2一%<乂—％=1+c+—?

eln2e

2.己知函數(shù)/（x）=/+L

x

（1）當(dāng)。=0時，求曲線）=/。）在點(diǎn)（IJ。））處的切線方程;

(2)設(shè)g(x)=f(x)x2,求函數(shù)g(x)的極大值;

⑶若a<-e,求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個數(shù).

【解析】⑴當(dāng)。=0時，./Wf+L=

Xx-

貝l」r(l)=T，〃l)=2,

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為)」2二-(工一1),即y=-x+3；

(2)八力=叱-,,Mg(x)=f\x).x2=-1(x^0),

則&'(x)=2ore'"+u2x2eaK=co?9"+2)e"，(xw0),

當(dāng)4=。時，g(“)=-l,此時函數(shù)g(x)無極值；

當(dāng)a>0時，令g'(x)<0,則x>0或x<——，令g'(x)<0,則一一<x<0,

所以函數(shù)g(x)在卜2-§，(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-|，0)上單調(diào)遞減，

所以g(x)的極大值為=

22

當(dāng)“<0時，令g'(x)<0,則XV?；騲>—,，令g'(x)<0,則0<x<一,,

所以函數(shù)g(x)在(-巴()),(一?|,+8)上單調(diào)遞增，在(0,一目上單調(diào)遞減，

而函數(shù)g(X)的定義域為(79,0)5°，+8)，

所以此時函數(shù)g(x)無極值.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)g(x)無極大值：

當(dāng)〃>0時，8(力的極大值為*T；

(3)令/(x)=e"+L=0,則e"，=—L

xx

當(dāng)”>0時，eat>0,--<0,

X

所以x>0時，函數(shù)/")無零點(diǎn)：

當(dāng)工<。時，由得"=?一》所以嗎-用，

則工<0時，函數(shù)/(“零點(diǎn)的個數(shù)即為函數(shù)y=a,y=-蛆二。圖象交點(diǎn)的個數(shù),

X

令人但=_半D(/<0),則/3=電與二1,

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當(dāng)力<—e時，//z(x)>0,當(dāng)YVX<0時，/7*(x)<0,

所以函數(shù)〃(x)在(y,-e)上單調(diào)遞增,在(-e,0)上單調(diào)遞減,

所以g)2=，(Y)=：，

乂當(dāng)時，力(工)>0且(),當(dāng)x->o時，

如圖，作出函數(shù)的大致圖象，

又av-e,由圖可知，所以函數(shù)),=?〃")=一12匕。的圖象只有1個交點(diǎn),

X

即當(dāng)XV。時，函數(shù)/(X)只有1個零點(diǎn)；

綜上所述，若a<-e,函數(shù)/(X)有1個零點(diǎn).

3.已知函數(shù)/(刈=(1-奴)e'(aeR).

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的不等式無整數(shù)解，求〃的取值范圍.

【解析】(I)f\x)=(\-a-ax)e,

當(dāng)f(x)=O,=—,

a

當(dāng)a>()時，％《一8,1^)時，>0,/(x)單調(diào)遞增，

xe(g3+8)時，/z(x)<0,/(力單調(diào)遞減，

當(dāng)〃<0時，入｛一8,一^)時，/(^)<0,/(x)單調(diào)遞減，

公(寧,+8)時，/r)>°，/("單調(diào)遞增，

1-

,單調(diào)遞增區(qū)間是,+8

。=0時，函數(shù)/⑺的增區(qū)間是(YO,E),無減區(qū)間.

(2)不等式(I一依)廿>。(1一刈，即。［一色)<1,

.1I./、％—1,/、.2—xel+x—2

設(shè)力⑺…『//(x)=l--=>

cVV

設(shè)?x)=e'+x—2,r(x)=e'+l>O,所以《力單調(diào)遞增，

Hz(O)=-l,r(l)=c-2>0,

所以存在與e(O,l)，使1小)=0,即力'(毛)=0,

當(dāng)xe(fy)時,/f(x)<0,力⑴單調(diào)遞減，當(dāng)(如+oo)時,”(工)>0,人(力單調(diào)遞增,

所以蛇)之力優(yōu))「盧：:+1

V

因為e-x+1,所以刈入"刈/)=叱:}+1>Xo(Xo［)J'o"=上丑>0,

eee

當(dāng)xMO時,力(x)N〃(O)=l,當(dāng)心1時，//(x)>/z(l)=l,

不等式(1-詞e'>〃(17)無整數(shù)解，即。卜-?卜1無整數(shù)解，

若“W0時，不等式恒成立，有無窮多個整數(shù)解，不符合題意，

若421時，即-5，因為函數(shù)，?(力在(-，()］上單調(diào)遞減，在［1，內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以162時-，A(.r)>min{A(O),/?(l))=1>1,所以無整數(shù)解，符合題意，

當(dāng)0<〃<1時，因為40)=人(1)=1</顯然°，1是。人(“〈1的丙個整數(shù)解，不符合題意，

綜上可知，a>\.

4.已知函數(shù)〃x)=e'-2x-cosx.

⑴討論函數(shù)g(x)=/(x)+cosx的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)〃力在(一泉+8)上的零點(diǎn)個數(shù).

【解析】(1)Vg(x)=f(x)+co3x=ex-2x,故g'(x)=e'-2(x￡R),

令g'(x)<0=>.V<In2,g'(.K)>0nx>In2,

所以g。)在(-oo,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+c。)上單調(diào)遞增；

/\

(2)因為/(x)=e'-2x-cosx,xe--,+OG,

IZ/

則f(x)=e'+sinx-2.

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①當(dāng)xe（-：,oj時，因為r（x）=（e'-l）+（sinx-l）vO,

所以/（力在（-泉。）上單調(diào)遞減.所以〃力>/（。）=。.

所以“力在（一泉。）上無零點(diǎn).

②當(dāng)xe[o，W]時，因為/（幻單調(diào)遞增，且/'（0）=-1<0,/^l=e'-l>0,

所以存在外使小飛）=0.

/一

當(dāng)工?0,天）時，/”（工）<0；當(dāng)xw/,5時，f（x）>0.

所以/（X）在口飛）上單調(diào)遞減，在卜。仁上單調(diào)遞增，且"0）=0.

所以/（與）<。.設(shè)力（x）=e、-2x,r?=O,y,

■乙.

由（1）知力（X）在（0,In2）上單調(diào)遞減，在（ln2，S上單調(diào)遞增.

所以〃（可曲=/7（ln2）=2—21n2>0.

所以嗚卜:—乃〉0,得?。?。一兀>0.

所以“.?！比什贰?所以/（力在卜1）上存在?個零點(diǎn).

所以〃力在。段有2個零點(diǎn).

③當(dāng)x咱，+00）時，/,（x）=er+sinx-2>c^-3>0-

兀所以/（X）在（方，+8）上無零點(diǎn).

上單調(diào)遞增.因為/->0.

\乙）

綜上所述,上的零點(diǎn)個數(shù)為2.

5.已知函數(shù)/（x）=31ar-ar.

⑴討論f（x）的單調(diào)性.

⑵己知N，&是函數(shù)/（"的兩個零點(diǎn)（、v馬）?

（i）求實數(shù)”的取值范圍.

（n）4《0,；）/'⑺是的導(dǎo)函數(shù).證明：f'U再+（1—RxJvO.

【解析】⑴

①當(dāng)a40時，f(x)>0,/(.v)在(O,+e)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)。>0時，令/(力>()得0</<3,即/(工)在佗)上單調(diào)遞增；

同理，令/'(“<0得即在(*+8]上單調(diào)遞減.

(2)(i)rh(1)可知當(dāng)。<0時，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點(diǎn).

(3A、

當(dāng)“〉()時，/力在0,-上單調(diào)遞增，在三,+8上單調(diào)遞減，

若便有兩個零點(diǎn),則/閆即3哈3>0,解得0<”|,

且f⑴=一〃<0,當(dāng)XTE時，則有內(nèi)￡(1，3),工265什8)，

所以〃的取值范圍為(。，|).

(ii)和毛是函數(shù)/(x)的兩個零點(diǎn)，則有31nX]=3①，31nx?=”②，

①.②得3(皿一1聞=49一%)，即「喧,

為一為

31n%

33百，

尸(有+(1-2)X)=

2AXj+(1一人)圣/ix1+(1—%)X?X2一為

因為“X)有兩個零點(diǎn)，所以/(“不單調(diào),

因為王<工2，得0<%<3<%，

所以W-X]>0,4玉+(l-z)x2>0.

若要證明/'(曰+(1-4)巧)<0成立，

只需證-一31n包<0,

XX]+(\-A)X2X]

強(qiáng)-1

即證------------In上<0,令仁上，則C1,

2+(l-A)^-苦E

則不等式只需證芾為一血<。,

第14頁共72頁

即讓"l-[a+(l-2)/]lmv。，

令力(/)=/—1—[義+(1—./>I,

/f()=(2-l)lnz+zfl-y

r,令/0)=/?(/)=(4-l)ln/+2(1--),

口）=（1戶”

令夕⑺=（尤-1）/+人因為%得9。）在（1,+8）上單調(diào)遞減,

得夕（。<0（1）=2/1_1<0,得/即〃（f）在（1,+8）上單調(diào)遞減,

得力'?）<〃（1）=0,得〃（，）<（）,即/??）在（1,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞減,

所以有〃S<Mi）=o,

故有f—1—［4+（lT），］hv<0,不等式得證.

押題猜想三三角恒等變換求值問題

旃。終極密打。

sinIp,則（加+尸+：

己知,2tana=cos)

sin/y+sin2/y

B-4c.5D-4

【答案】B

【解析】因為如藍(lán)X夕

2sina2sin/?cos/?2cos/?

所以

cosasin/?+sin2p1+sin

所以sina+sinasin/3=cosacos。,

所以sina=cosacos〃一sinasin￡=cos(o+〃),

所以cos=cos(a+/?),

因為以作（0段、LLi、I兀/八兀］

,所以/一。6［。，］J,a+匹（o,冗），

2

所以]-a=a+/，所以2a+/=],

5兀

月亍以cos12a+夕+g=cos—=

62

故選:B.

押題解讀

在近幾年的高考中，本部分多以選擇題或者填空題形式呈現(xiàn)，三角恒等變換是三角函數(shù)部分考查頻率最高

的一個知識點(diǎn)，考查題目靈活多變。在學(xué)習(xí)時，公式特別多，難度非常大，學(xué)好的首要條件是熟練掌握三

角函數(shù)誘導(dǎo)公式，然后主要是理解掌握兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，進(jìn)而推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余

弦、正切公式。在三角函數(shù)求值題目當(dāng)中，常常會出現(xiàn)已知條件中給出兩個或者一個三角函數(shù)值，求問題

中的三角函數(shù)值，解決此類問題的關(guān)鍵在于用“已知角”來表示“未知角”，因此三角恒等變換求值問題是今

年高考的熱點(diǎn)之一.

戰(zhàn)。押題預(yù)測e

,1+tan1902cos70/、

I-----------T----------=（）

1-tan370sin40

A.tan20B.tan70C.-tan10D.-tan40

【答案】A

sinlO

.1+tan1902cos701+tanlO2sin20*coslO2sin20

【解析】由；----------------=-----------------=—四更里----------------

1-tan37sin401-tanlOsin40sinlO2sin20cos20

I--------

coslO

(coslO+sinlO)1l+sin20

-——=tan20,

cos21()-sin210cos20cos20cos20

故選:A.

五一cosa,則20=(

2.已知Itana+---00s)

cosasina

A.Z8

BC.D

9-49-4

【答案】A

【脩析】由已知可得，期q+!=也二―，顯然sincrcosa工0,

cosacosasina

兩邊同時乘以sina?cosa可得，sin2cr+sina=41cosa-cos2a-

整理可得&cosa-sina=sin?a+cos2a=1,

所以，41cosa=sina+1，

兩邊同時平方可得28s2a=(sina+lj=sin2a+2sina+l=2-2sin2a,

即3sin2a+2sina-l=0，解得sina=；或$而。=一1.

當(dāng)sina=-l時,cos2a=1-sin2a=0,此時cosa=0,不滿足題意，舍去.

7

所以，cos2?=l-2sin2?=l-2x-

\3,9

第16頁共72頁

故選：A.

.I71.5（c兀

3.已知xwsinx——=—,貝tan2x+—）

\6J5\6,

7724

B.C.D.

2424T

【答案】B

【解析】因為xc僥用，所以暇（0片

34

又因為sin所以cos

55

故選:B.

已知/《（）,?，（）

4.a,cos?-/?=|tan?-tan/7=—,則a+〃=（）

4

712兀

C.D.

6T

【答案】A

【解析】因為cos（a-,tanatan〃=1，

64

cosacos/?+sinasinft=—

所”以-〈..6,

sinasin〃R_I

cosacos/74

2

cosacos/7=—

解得；，

sinasinB=一

6

所以cos（a+夕）=cosacos〃一sinasin〃=5,

乂“d（W）,所以a+Qe（O,兀），所以a+夕=g.

\乙）J

故選：A

5.在“WC中，已知s.，=〃sinC,8sA=〃cosC.^tan|A+|=-3,貝ij〃二（）

sin8cos8V47

A.無解B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由3心+力=巖”=-3,即tan4=2,則cosA±0，

V4)1-tanA

,sinA.八cosA八，「八

由----=nsinC,--------=/7cosC,知cosCH0,

sinBcosB

則—4=皿C,則tanA=tan樸tanC=2,

tanB

tanB+tanC

又tanA=tan(n-B-C)=-tan(B4-C)=-=tanB+tanC

1-tanB-tanC

AktanB+tanC=2,設(shè)tan8=7,MtanC=2-r,

有?2—1)=2,即J_2/+2=0,A=4-8=T<0,

即該方程無解，故不存在這樣三角形，即〃無解.

故選：A.

6.已知夕w(t,])lan2e=-4lan(e-^)則信念

【答案】A

【解析】由題意知，標(biāo)%，三%,

,八八，，八5兀、zn2tan?,tanO-l

由tan26=7tan("丁)，得匚就法=_4皿，

整理，得ZtaY。-5tan8+2=()，解得tan0=2或1,

又1<6<力則tan"l，所以tan，=2.

42

所以cos2e+2_cosZe-sinie+Zsire+Zcos*_3cos。8+sin*

sin2^+sin2<7sin?0+2sinOcos0sin，0+2sin0cos0

3cos20sin2<7

_cos?0.cos20_3+tan~6_7

sin*2sin/os?tan?0+2tan08'

cos20cos*0

故選：A

押題猜想四解三角形中的范圍與最值問題

?終極密押.

記銳角A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,。，已知2sin8sinC+cos2c=1+COS2A-COS28.

(1)證明：B+C=2A；

第18頁共72頁

(2)求L的取值范圍.

b

【解析】(I)證明：由2sinBsinC+cos2C=1+8s2A-cos2B,

得2sinBsinC+l-2sin2C=l+1-2sin2A-1+2sin?8,

BPsinBsinC-sin2C=-sin2A+sin2B，

由正弦定理可得〃c-c?=-a2+b2?即/=b2+c2-he

由余弦定理可得=b2+c2-TJiccos.A,故cosA=1，

又Ac。弓｝故A4,由A+A+C=兀，

2兀

故8+C=7i-A=—=2A；

(2)由正弦定理可?得：

.C4R\sin[5+8—sinB+—cosB,底

c_sinC_sin(兀-A—〃J_13)_22_73

bsinBsinBsinBsinB22tanB

又銳角有?！咏獾谩?或

HPtanBe

T,即熹4。,現(xiàn)

木部分多以解答題或者填空題呈現(xiàn)，解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題多位于解答題第一題，主要利用

三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系

進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”、“角轉(zhuǎn)邊解決“最值與范?制問題”的基本方法：①利用正弦定理，邊轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)化為關(guān)于角

的三角函數(shù).②利用余弦定理，角轉(zhuǎn)邊，轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的函數(shù)，通過代入消元或基本不等式求解最值.③

若條件中包含“銳角三角形”，則一般轉(zhuǎn)角.④通過畫圖尋找思路，以及檢查結(jié)果.

給。打題預(yù)測。

1.在..48C中，D為BC邊上一點(diǎn),ZX?=C4=1,且$48面積是△AA力面積的2倍.

(1)若A8=J^4。，求AB的長；

⑵求包上誓的取值范圍.

sin8

【解析】(1)設(shè)BC邊上的高為人石，垂足為E,

因為,48面積是△A8O面枳的2倍，

?-CDAE]A

所以有—-------=2=BD=/BC=+，

'ABDLBDAE2一

2

^HAB=y/2AD=x=>AD=—x,

2

由余弦定理可知：

.92一?：

2222}+xl+1X

廠AC+DC-AB-AC-+DC-AD2~-7

2ACBC~2ACDC3-2x|xl

2

解得x=l或產(chǎn)-1舍去，即AB=1；

(2)由(1)可知BO=1,BC=《，

22

設(shè)Z/W)C=e,由DC=CA=>ZDAC=ZADC=O=>C=n-20Rf)e^)^

由余弦定理可得：AD=712+l2-2xlxl.cos(7C-2<9)=x/2+2cos2<9

=^2+2(2COS2<9-1)=2cos8,

在△A8O中，因為

所以由正弦定理可知：AB_AD"十彳

sinZ.ADBsinBsinBAD2cos0

小gWk

因為同。微

同〒以cos。c(0,1)ncos20G(0,1)=>———>In24H----—>25=./24+———>5，

v7v7cos20cos20Vcos28

下曰七sinZAOB50山sinZAOB.前十―用》(5、

于是有一T-7—>7?因此一F—的取值氾圍為二，+8.

sinB4sinB(4)

A

BDEC

第20頁共72頁

2.已知銳角/8C中，角A,B,C所對的邊分別為,，b,c,其中〃=8,g=i+包過半絲，且

csin'B

(1)求證：B=2C;

(2)已知點(diǎn)M在線段AC上，且N/18W=NC8W,求的取值范圍.

【解析】(1)因為@=1+獨(dú)衛(wèi)/C,

csin/?

即佇￡=包也包工，由正弦定理可得紇￡=—=("改”可,

csin'Bcb'b~

即…。,所葉午整理得從…〃，

由余弦定理得Z?'-CT+c2-2accosB，整理得c=a-2ccos8,

由正弦定理得sinC=siM-2sinG;osB.

故sinC=sin（8+C）-2sinCcos8,

即sinC=sin6cosC+sinCcosB-ZsinCcos^,

整理得sinC=sin（8—C）,

乂因為“BC為銳角三角形，則。個0,3叫0技可得B-Cw

所以C=8-C,即8=2C.

（2）因為點(diǎn)M在線段AC上，且N45M=NC8W.即3M平?分/ABC,

又B=2C,所以NC=NC3M,則/8WC=7i-C-NC8W=7T-2C,

BCBM

在NWCB中，由正弦定理得

sin/BMCsinC

5CsinC_8sinC8sinC=4

所以BM二

sinZBMCsin2C2sinCeosCcosC

0<C<-

2

因為MAC為銳角三角形，且A=2C,所以0<2C<^,解得弓.

264

0<n-3C<-

2

故也<cosCv立，所以還<6M<4X/L

223

/oRA

因此線段8W長度的取值范圍詈,4a.

3.乂8C中，。為8c邊的中點(diǎn)，AD=\.

(1)若一/3。的面積為2右，且乙以)。=丁，求sinC的值；

(2)若8C=4,求cos/BAC的取值范圍.

【解析】(1)因為。為3c邊的中點(diǎn)，所以S他.=?他=行，

X.SAl)c=-ADff)CsinADC=G,即1xQCxsin'=J5，解得QC=4,

223

在AA。。中由余弦