數(shù)列習(xí)題7（困難）

2015-2016學(xué)年度???學(xué)校3月月考卷

試卷副標(biāo)題

火力為奇數(shù)

<

1.已知函數(shù)f(n)=I一/*為偶數(shù)，且演尸f(n)+f(n+l),則ai+az+a3+…

等于()

A.-2013B.-2014C.2013D.2014

【答案】D

2

【解析】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=f(n)4-f(n+l)=n'—(n4-1)=—(2n+1)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

—J2

an=f(n)+f(n+l)=n+(n+l)=2n+1.所以+a?+a3+…+azoM=2(—1+2—3

+4+…一2013+2014)=2014.

2.如圖是見證魔術(shù)師“論證”64=65飛神奇.對這個(gè)乍看起來頗為神秘的現(xiàn)象，我們

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)不難發(fā)現(xiàn)其中的謬誤.另外，我們可以更換圖中的數(shù)據(jù)，就能構(gòu)造出許多

更加直觀與“令人信服”的“論證”.

請你用數(shù)列知識(shí)歸納：11)這些圖中的數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列:(2)寫出與這個(gè)魔術(shù)

關(guān)聯(lián)的一個(gè)數(shù)列遞推關(guān)系式：________.

【答案】(1)&)+2=&+I+&,cij=1?cb=1

⑵4+2?&-=(一】)I和'618.

【解析】利用推理知識(shí)求解.由圖形可知，圖中的數(shù)構(gòu)成裴波納契數(shù)列，所以(D&+2

=&+1+*,&=1,續(xù)=1；(2)題右圖中間實(shí)質(zhì)上有一個(gè)面積是1的平行四邊形，有時(shí)

空著，有時(shí)重合，所以與魔術(shù)有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系式可能是a+2-&-。：討=(-1)LI

和里」-0.618.

〃向

3.已知數(shù)列｛a｝是公差不為0的等差數(shù)列，｛ZU是等比數(shù)列，其中a=3,A.=l,a=

兒3麴=&,若存在常數(shù)〃，卜對任意正整數(shù)〃都有4=31og,也+/則〃+/=________.

【答案】6

3+d=q,

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列S)的公比為Q,則《”,解

3(3+44)=八

得d=6,Q=9,所以a,=6〃一3,"尸曠飛〃-3=3〃]og09+31og°9對任意正整數(shù)刀

flog“9=2,

恒成立，所以1二八c

[v-31og“9=_3,

解得u=【/=3,故u+r=6.

4.（本小題12分）等差數(shù)列｛%｝中，6=3,其前〃項(xiàng)和為5“.等比數(shù)列｛"｝的各項(xiàng)

均為正數(shù)，4=1,且。2+§2=12,%=4.

（I）求數(shù)列｛%｝與?｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列，」的前〃項(xiàng)和

In

【答案】(I)%=3小a=3"、(II)T=

n3(〃+1)

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式q=q+（〃-1）4和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

4=3,a=1

，由（H+S2=12得到關(guān)于d和夕的方程:q+3+3+d=12

b“二b『'解得d和q的

q?=3+2d

值，進(jìn)而求得｛〃“｝與物,｝的通項(xiàng)公式；（n）根據(jù)（【）求得數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和

二〃(3+3〃),所以數(shù)列J」-的通項(xiàng)公式為

12i1

—=-（--------）,利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前〃項(xiàng)和7；.

S”3n/1+1

試題解析：(I)設(shè)｛/｝公差為d,數(shù)列｛〃“｝的公比為q,由已知可得

鄉(xiāng)+3+3+Q=12

%2=3+2d'

fJ=3

又4>0.二《.

3=3

所以4=3+3(〃-1)=3/7,bn=3"”.

(II)由(I)知數(shù)列｛%｝中，q=3,%=3〃，...S,二〃G：〃),

,122,11、

S”〃(3+3〃)3nn+1

T1?12s1JIJ

7；=，=［（1-）+（）++（

VV'\322-3-7〃+1

,212H

-3VH+r-3（/?+i）

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列和筆比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.裂項(xiàng)相消法對數(shù)列求和.

I4r

5.(本小題滿分14分)已知函數(shù)/(x)=——十二，數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)的和為S“，點(diǎn)

gs,址GM)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式明;

（2）令c“+,證明：2〃vq+C2+G+.......+cn<2/?+-.

。，山4~2

【答案】(1)耳=〃+1;(2)證明見解析

【解析】

試題分析:⑴給出S“與可的關(guān)系,求4,常用思路:一是利用S"-S,T=%(〃22)

轉(zhuǎn)化為?！ǖ倪f推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為S”的遞推關(guān)系，先求出S”與〃的

關(guān)系，再求凡；(2)觀測數(shù)列的特點(diǎn)形式，看使用什么方法求和.使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，

要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消

去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和目的.(3)在做題時(shí)注

意觀察式子特點(diǎn)選擇有關(guān)公式和性質(zhì)進(jìn)行化簡，這樣給做題帶來方便，掌握常見求和方

法，如分組轉(zhuǎn)化求和，裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減.

試題解析：⑴由于點(diǎn)(〃$)(〃￡")在函數(shù))，=/3，.?.5〃=，〃2+即

2

13

當(dāng)〃=1時(shí)，a.=S.=—+—=2；

1122

當(dāng)"22時(shí),％=S“-S,E<〃2+?^-(n-l)2+1(n-l)R+l

LLLL

%=2符合上式，「.a”-〃十1

c=J-=W+9>2g.S=2

all+lan〃+2n+l\n+2〃+l

+c2+.......cfl>2+2+........+2=2〃

由...a?〃+l〃+2-11

CN=_?_+_2±L=------+-------=2+-----------------

n+lann+2〃+1n+\n+2

c11+2+"+…/2+」1

G+G+q+…+C”2+------

23I34；〃+1〃+2,

=2c〃H---1-------1--<2r〃+l—

2n+22

因此2〃<C1+。2+???+c“<2〃+—.

考點(diǎn)：1、由S“推明；2、裂項(xiàng)求數(shù)列的和.

6.已知數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為8，若3=10,SI3=91.

（1）求S.；

（2）若數(shù)列｛血｝滿足條件：M=S「當(dāng)〃>2時(shí)-，Mn=Sln-S,ni,其中數(shù)列兒｝

單調(diào)遞增,且4=1,r?eN,.

①試找出一組，2，4,使得MJ二

②證明：對于數(shù)列｛%｝,一定存在數(shù)列｛1〃｝,使得數(shù)列｛M,t｝中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的

平方.

iV+n

S”=

2(2)①‘2=4,4=13②詳見解析

【答案】（1）

【解析】

試題分析：（1）求等比數(shù)列前n項(xiàng)和，一般利用待定系數(shù)法,即求出首項(xiàng)及公差即可:

4%+經(jīng)心K）

2

-空為二4=1

134T91

由邑=1。5,3=91,得2，解得J=1，所以

〃(〃一1),n1+n

s〃=+---------a=--------

22（2）①新定義問題，解題思路就是按定義歸納轉(zhuǎn)化條件:

因?yàn)楸?￡=1,依次設(shè)I?=2"=3,t2=4,驗(yàn)證也2=的.也是否有解弓=4

4=於是第一組滿足題意，②由①知"1,'2=1+3,4=1+3+32,則跖=1

“3=92,本題也是在歸納基俶上探求解法：一般的取

3〃一1

3"-12J

2*4，，~|2

tn=14-3+3H-----F3=—二—S,

2此時(shí)2

3rt-1-l

F

%2則也Sk

，

3"-13i-i3J

1+-------

221222=（3"-I）2

2T'）,所以知〃為一整數(shù)平方.

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列｛（｝的首項(xiàng)為可，公差為d,

旦=1。

4a+

}2

-削3

\3a■+

由$4=10,$=91,得]

22分

4=1

解得"1

2

e,n(n-l),n+n

s“=〃q+^—4:^—

所以224分

(2)①因?yàn)楸?S=1

若，2=2,M2=S「E=3-1=2%=S「S^^1?3

因?yàn)镸?=M,%

G&+1）3.

所以2-，MG+D=i4,此方程無整數(shù)解;

6分

MTT」一+1)6

若q=3,M?=S3-SI=6-1=5,~2

因?yàn)?MX

以3-6=25",+n62

所以2,從，3+1萬“，此方程無整數(shù)解;8分

+1)

M

若，2=4,M2=S4-SI=I0-1=93=^-S4=—10

因?yàn)椤??=M,%

史1111-10=81/+n=iR2,-13

所以2,，3依十1)-182,解得G-13

所以‘2=4,，3=13滿足題意10分

2

②由①知"1,‘2=1+3,11+3+3;則M[=l,〃2=3\M3=9

邛—I

2

tH=1+3+3H----F3""=-----

一般的取2,13分

3”—3n-\}3"T—(

5=^_1——?_2、二21------LJ

此時(shí)"2,*2,

所以M”為一整數(shù)平方.

因此存在數(shù)列"J,使得數(shù)列｛“〃｝中的各數(shù)均為一人整數(shù)的平方.16分

考點(diǎn)：求等差數(shù)列和項(xiàng)，歸納探求新定義問題

7.（本小題滿分13分）已知｛4｝為等差數(shù)列，且為=14,%=20,數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)

和為S”，且a=2-2s

（1）求數(shù)列｛〃“｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

7

（2）若％=為?",7；為數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和，求證：Tn<-.

【答案】（1）an=3n-l;勿=2?'-；（2）祥見解析.

"3"

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)條件知4=*2也=*2,"=2—2S〃，

I3/9〃〃

bn_b“_i=-2（Sn-Sg）=2";=M=3此可求出數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式.

bi3

（2）數(shù)列｛dn｝為等差數(shù)列，公差4=4（。7一%）=3,可得dn=3.l-l.從而

17

cn=an-bn=2（3n-\y-f由此能證明數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和7；<5.

試題解析：（1）數(shù)列｛而｝為等差數(shù)列，公差d=；（%—%）=3,可得an=3n-l.

由。=2-2S“,令n=l,則b1=2-2Si,又S尸bi,

22

所以&——,b2=2-2（bi+bj）>則I??=§

當(dāng)心2時(shí)，由a一2?2S”，可得a一々一——2(S“—S,i)-2"；?即廣=可

b,i3

所以｛bn｝是以為A=(首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，于是〃“二2?我.

(2)由(1)得n?bn=2(3n-l)?—

3〃

...T=2[2--+5~+8-+---+(3/?-1)—]=---x-——二J.

“332333”223"3N",2

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

8.(本小題滿分13分)

設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，若對任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)加，使得S“二4,

則稱｛%｝是“H數(shù)列二

⑴若數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“二2”(〃￡N)證明：｛凡｝是“H數(shù)列”；

(2)設(shè)｛q｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)4=1,公差d<(),若｛凡｝是“H數(shù)列”，求△的

值；

(3)證明：對任意的等差數(shù)列｛q｝，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”也“｝和｛%｝,使得

an=bn+cn^neN)成立。

【答案】(1)祥見解析：(2)-1；(3)祥見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用“當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sn-u當(dāng)n=l時(shí),a尸S1即可得到劣,再利用“H”

數(shù)列的意義即可得出.

(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出S”，對VnEN*,mm￡N*使S“=a“，取n=2和根據(jù)

dVO即可得出；

(3)設(shè)｛aj的公差為d：構(gòu)造數(shù)列：bn=a-(n-l)ai=(2-n)aHcn=(nT)(a1+d),可

證明｛bj和｛cj是等差數(shù)列.再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其通項(xiàng)公式、“H”的意

義即可得出.

試題解析：(1)首先q=S1=2,當(dāng)〃22時(shí)，a”二S“-S,i=2〃-2"T=2〃T,所以

“"二所以對任意的〃wN*,S“=2”是數(shù)列｛%｝中的〃+1項(xiàng)，因此數(shù)

列｛%｝是“”數(shù)列”.

(2)由題意q=1+(〃-1)4,N二〃+〃(；功,數(shù)列｛%｝是“，數(shù)列”，則存在

keN*,使〃+-------d=\+(k-\)d,k=-----4---------------F1,由于-------sN*,

2d22

又kwN木,則上」wZ對一切正整數(shù)〃都成立，所以4二一1.

d

⑶首先，若4,=加”是常數(shù))，則數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為s”,〃(；一1/?是數(shù)列(<)

中的第〃項(xiàng),因此是“”數(shù)列”,對任意的等差數(shù)列｛%｝,4=%

（d是公差）,設(shè)4=叫,%=（d_q）（__1）,則q=〃“+c”，而數(shù)列｛〃｝,｛%｝都

是“”數(shù)列”，因此命題得證.

考點(diǎn)：1.數(shù)列的應(yīng)用：2.等差數(shù)列的性質(zhì).

3

9.（本題滿分10分）已知數(shù)列⑸｝中，a】=1,a0“=2-a”（n￡N>

（1）求證：數(shù)列｛-1｝是等差數(shù)列，并求｛aj的通項(xiàng)公式;

4

（2）設(shè)以+aE（nGN）,S=b1b2+b2b3+-+bnb?H,試比較a0與8stl的大小.

【答案】（I）a=212（〃WN'）;（H）〃W2時(shí)，2>8S“；當(dāng)”23時(shí)，

〃+3

【解析】

試題分析：（I）利用數(shù)列成等差數(shù)列的定義，用后項(xiàng)減前項(xiàng)得一個(gè)常數(shù)則該數(shù)列為等

差數(shù)列，然后求等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差代即得通項(xiàng)公式，題目得解；（II）由（I）得

出凡的通項(xiàng)公式，把瓦，通項(xiàng)公式算出來，由于得到的式子"=」-,所以用裂項(xiàng)

〃+3

的方法可以得〃也川=」-------,從而求得與,然后用作差比較，即可得解；

…n+3〃+4

試題解析：解：（I）因—!_______!_=_!________!_=2-q_______!_=_i

%Ta〃T_J____1a“-l1-（2-?！埃?-1

2-

故數(shù)列」-是首項(xiàng)為-4,公差為一1的等差數(shù)列，

所以一-=-4-(n-1)=-〃-3，即an=〃+2(〃eN*l?

a,,-1n+3

(Il)因勿n+。“rin=1,故-n〃+1則->.

n+3n+3

于是s“=bxb2+b2A+…+對=而高，

n+2In-n2+8

從而?！?8S〃

〃+3n+4(〃+3)Qz+4)

所以，當(dāng)〃W2時(shí)，a”>8S”；當(dāng)〃23時(shí)，4<8S,t.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和、比較大??；

】（）.（本小題12分）已知數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和S“=h"一左（其中為常數(shù)），且0=4

%=8%?

（1）求;

（2）求數(shù)列｛皿J的前也項(xiàng)和

【答案】(】)*=2"；(2)S.=(〃-1)2向+2.

【解析】

試題分析：(1)由0=4,。6=8。3并運(yùn)用公式%=S,「S“T可得，關(guān)于&,c的方程組,

根據(jù)已知判斷Z:/O,CHO,CW1,即可計(jì)穿出A,c的值，進(jìn)而求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)更接運(yùn)用裂項(xiàng)求和法，將所求的前〃項(xiàng)和7；兩邊同乘以2,然后將兩式子相減并

化簡即可得出結(jié)果.

2

試題解析：(1)由S〃=kc”一k得,a2=S2-S1=kc-k-(kc-k)=kc(c-\)=4；

652

a6=S6-S5=kc-k-(kc—k)=k(?(c-\),8a3=8(S3-S2)=Skc(c-1),

所以Z/(C-1)=8ZC2(C-1),由題意知，上工0,。子0,。=1,所以c=2次=2,所

以S〃=2*2"-2=2向-2,當(dāng)〃22時(shí)，《，=S”-=2向-2"=2"；又因?yàn)?/p>

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2符合上式，所以=2"：

(2)因?yàn)椤ㄉ?〃2",所以7；=1x2+2x22+L+%2",①

2T?=lx22+2X23+L+H2N+,②

兩式相減②YD可得到：Tn=(〃-1)2.+2.

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列；2、錯(cuò)位相減法.

11.(本小題滿分12分)數(shù)列儲(chǔ)“｝中，已知q-1,心2時(shí)，卬=L+±-2.數(shù)

列｛2｝滿足:bn=31a+1)(/7€N*).

(I)證明：｛2｝為等差數(shù)列，并求｛2｝的通項(xiàng)公式；

(H)記數(shù)列［上口1的前〃項(xiàng)和為S”，是否存在正整數(shù)機(jī),〃，使得Si＜上-

I〃/5'+「機(jī)3'"+1

成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(〃?,〃)；若不存在，說明理由.

【答案】(【)詳見解析，0=2+2(…l)=2〃,〃wN*；(1【)(1,1),(2,1),(2,2).

【解析】

試題分析：(I)本題的落腳點(diǎn)在也｝上，所以首先從條件“=3"7(4+1)(〃￡/7")的

特征入手，里面有因式(見+1),提示我們可以考慮在條件擊-1中構(gòu)

造(4+1),從而使條件特征顯現(xiàn)出米，成為解題的突破口；(II)充分利用(I)中

的結(jié)論并結(jié)合已知求出J&J[〔的通項(xiàng)，從而求得力,將之代入題設(shè)中的不等式，通

n

過一系列推理、化簡、變形即可得出所求，變形過程應(yīng)特別注意不等號(hào)兩邊的結(jié)構(gòu)相似

性.

試題解析：(I)當(dāng)〃22時(shí)，

由

12212

%§'*+F一『"〃+1=3&-1+1)+F=3,,(%+D=3"-2(/_]+1)+2,

???”,=3〃T(4+1)(〃€N“),即n>2時(shí)，b“=b,i+2nbn-bz=2，又

b、=31-1卜]+1)=1x(1+1)=2,

???數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得：2=2+2(〃—1)=2〃,〃GN*；

6+1=2

(n)由(I)得2=3%+1)=2〃=所以

n3M_,

2(1-:)i

——7-=3(1--),

/_11_1

則2岑#上》］——?—

S.+L〃3-^-13-^-1(3一M3―1

3〃3〃

得

<1=>=------->--------

(3-6)3〃-1-------3'"+1-----(3—〃7)3"-13"'+1

/.(3-iri)y'—1>0,/neTV*,:.m=1,2

2171

當(dāng)〃2=1時(shí)，-------->—=>/?=1；當(dāng)機(jī)=2時(shí)，----->—=>〃=1,2

2?3”一143”一110

綜上，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(孫〃)為：(1,1),(2,1),(2,2).

考點(diǎn)：①根據(jù)遞推公式，構(gòu)造性求解數(shù)列通項(xiàng)；②等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式；③等比

數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式；④不等式的基本性質(zhì)；⑤變形、運(yùn)算、比較的能力和技巧.

12.數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為若3匕=1一(；)"(n￡FO,數(shù)列｛況｝滿足2b0+尸況+也

+2(n￡N*),且b?=7,bs=22.

(1)求數(shù)列｛4｝和依｝的通項(xiàng)公式&,和bn；

(2)設(shè)數(shù)列Cn=a>bn,求｛cJ的前FI項(xiàng)和Sn.

【答案】(])冊=，)〃；bn=3n-2；(2)5,1=|-^y^x(lr,(nG/V*)

【解析】試題分析：(1)利用a產(chǎn)PLP1(n>2),且&=B求須，依｝是等差數(shù)列,

直接求出通項(xiàng)；(2)使用錯(cuò)位相減法可求出Sn.

試題解析：(1)數(shù)列｛b』是等差數(shù)列，公差=1分

8-3

2=4+("-3)d=3n-22分

???3^r=l-(If

當(dāng)n=l時(shí)，得q=[二,，1分

當(dāng)n22時(shí)，得明=鳥一2_1=……=(；)〃1分

當(dāng)n=l時(shí)，也滿足上式.

**??！?(!)"(〃eN*)1分

4

(2)由(1)知，，c〃=(3〃-2)xd)”,(〃eN*).1分

4

S“=1x—+4x(―)~+7x(―)^+…+(3"—5)x(―)M+(3/7—2)x(―)n*①

于是-5=1x(-)2+4x(-)3+7x(--)4+...+(3M—5)x(―)n+(3w-2)x(-)rt+l②

4n44444

2分

兩式①一②相減得《S”=；+3[(()2+(；)、???+(；)"]-(3n-2)x((嚴(yán)

，

=l_(3z:+2)x(lr.7.S.=g—即：*(；)〃,(〃￡*)3

分

考點(diǎn)：等差數(shù)列，等比數(shù)列，通項(xiàng)公式,，前n項(xiàng)和，錯(cuò)位相減法

13.已知在正項(xiàng)數(shù)列｛a“｝中，Sn表示前n項(xiàng)和且2后=④+1,數(shù)列

低｝滿足"—Z為數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和，

4S”-1

⑴求4“，S”；

(2)是否存在最大的整數(shù)t,使得對任意的正整數(shù)n均有TH>—總成立?若存在,求出

t;若不存在,請說明理由，

【答案】(1)a?=2n-l,S”=〃2；(2)存在[=11符合題意.

【解析】

試題分析：(1)利用數(shù)列的前〃項(xiàng)與通項(xiàng)凡的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式右，并進(jìn)而由通

項(xiàng)公式求出S“；

(2)由(1)知，于是可以用裂項(xiàng)法求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和7；.

試題解析：（1）由2厄=&I1,得機(jī)=,當(dāng)n=1時(shí)，a)=S

得ai=l；

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn—Sn-i=f—i―-1一""一十］),整理，得(an+ai)㈤一2「-1-2)

=0,

;數(shù)列｛aj各項(xiàng)為正，.'?an+an-i>（）.，an-an-1-2=0.

，數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.；.an=ai+（n—1）X2=2n—1.

〃（由+凡）=〃口十

S”=

(2)由(1)知包=---

“4/r-l212〃-12〃+1

7+.??+

于是>5135)2n-\2/7+1；2〃+1

易知數(shù)列憶）是談增數(shù)列，故T尸」是最小佰，只需1>/-,即1<12,因此存在，=1I

3336

符合題意。

考點(diǎn)：1、數(shù)列的概念；2、等差數(shù)列；3、裂項(xiàng)法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

14.已知數(shù)列｛%｝滿足2卬+22+…+2”%=（2〃—1）-2向+2.

（1）求可及通項(xiàng)公式與；

G卡丁11I?

（2）求證：——H+…T<-?

4：冠44

【答案】（1）d?=2n+l；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）可將等式2%+22%+…+2%”=（2"l）-2Z+2的左端看成某數(shù)列

的前〃項(xiàng)和，利用其與通項(xiàng)的關(guān)系求出Tan,再進(jìn)一步求出?！钡谋磉_(dá)式.

⑵利用；TEkkT小丁市即或

試題解析：（1）解：n=l時(shí)，有2q=2?+2,解得卬=3

2

〃N2時(shí)，由2q+2a2+…+2%〃=(2n-1)-2M+2

得26+2%2+…+2"-&T=(2〃-3)?2”+2,兩式用減得

2"?！?(2〃-1)?2”"—{2〃-3)-2"=2"(4〃-2-2〃+3),解得/=2/7+1,3分

滿足=3,故?！?2〃-17分

111111

------------------------—(-------1（）分

4/72+47?+14(7/2+7?)4n〃+1

111I

所以--<一[(1—)+(----)+???+(?)]=-(!--—)<-14

a：4223nn+14n+\4

分

考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；2、不等式的證明.

15.是否存在一個(gè)等比數(shù)列｛4｝同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:

①q+。6=11且=?；

③至少存在一個(gè)〃（2〃7EN*且機(jī)>4）,使得2%一%2,4"+3依次構(gòu)成等差數(shù)

3

列？若存在，求出通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由.

【答案】小存在這樣的數(shù)列.

【解析】

試題分析：（1）等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)

鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)

列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換的思想簡化運(yùn)算過

程；（2）與數(shù)列有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)

出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出

明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).

試題解析：解：假設(shè)存在等比數(shù)列儲(chǔ)“｝

q+%=11

由①可得《32由②可知數(shù)列｛〃”｝是遞增的，所以〃6

3一o

則=>a=23分

32

此時(shí)％=-x2a5分

”3

24)

由③可知2a/-I--

9J

o*x2a^x2m

7分

解得〃?=3,與已知m>4矛盾11分

故這樣的數(shù)列｛%｝不存在.12分

考點(diǎn)：探索數(shù)列存在性的問題.

16.設(shè)數(shù)列｛/｝的前n項(xiàng)和為S”，己知q=a2=\tbn=nSn+(〃+2)atl,數(shù)列｛"｝是公

差為d的等差數(shù)列，〃￡N+.

(1)求d的值；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

22/1+1

(3)求證：(。］生…。"XSa…5")<

(〃+1)(〃+2)

【答案】(1)4;(2)?！?上；⑶詳見解析.

n2〃一

【解析】

試題分析：(1)由q=%=1=>3=1,S2=2,求出〃也，從而得到d的值；

(2)根據(jù)⑴的結(jié)果先求出酊得到關(guān)于atl和S”的關(guān)系式.再利用=S〃(〃>2)

求出數(shù)列{q};

⑶由⑵得：4〃=〃S”+(〃+2)%n4=S“+—q；2J—q.S”

nVn

所以0<qS”《22?」一,顯然可利用不等式的性質(zhì)得到要證的不等式成立.

n+2

試題解?:

解：

⑴???q=%=1,bn=nSn+(n+2)an

:.b}=5]+(l+2)4=抬=4

b2=2s2+(2+2)%=2a2+6%=8

:.d=b2—b]=8—4=43分

(2)因?yàn)閿?shù)列低}是等差數(shù)列

blt=4〃,/.nSn+(〃+2)a”=4〃，

〃+2

即S“+——an=4①

n

當(dāng)〃之2時(shí)，5*+空。2=4②

〃一1

①?②，得：⑸一5與+山?！缚諀%=。

nn-\

〃+2n+\即

an-i,2n-\

則”=L2,2=L2,……,反」上

q21a222q—2n-\

以上各式相乘得：&

ax2"T

因?yàn)閝=l,.?.凡=38分

________$H+2

〃+2/n+2%Han

（3）VS“+----a=4,%>°，S”>0,「.\S"------a<--------/----=2

nn\nn2

則o<《5"」一.

〃+2

17

???岫???凡）（監(jiān)??￡）“”.如而x麗③

因?yàn)楫?dāng)〃=1時(shí)，S,^—a,所以上式等號(hào)不成立.

nn

,2〃+1

則??.（”“）.（監(jiān)…S，，）〈而面可”分

考點(diǎn)：1、數(shù)列的概念，等差數(shù)列；2、不等式的性質(zhì).

17.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足：q川=L（a”+」-）5wM"）.

2%

（1）求q的范圍，使得為+]<%恒成立；

31*

（2）若4=5，證明：〃〃v1+^77T（〃￡N,〃22）;

【答案】（1）q〉l；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）將產(chǎn),（4+'）代入”得,一為<0,由此可得勺>1或

4<-1從而得“的范圍；（2）用數(shù)學(xué)歸納法可證.

試題解析：（1）由。川=;（4+,），得。向由%+1<勺，即

242an

一一凡<0

4

所以《>1或an<一1（舍）

所以q>1時(shí)，〃”+]</6分

31311

（2）證：若4=3,得1<%=,<1+不現(xiàn)假設(shè)/<1+不廣（kwN,k>2）

21222,

構(gòu)造函數(shù)/"）=,（X+4），易知/‘（X）在（1,+8）上單調(diào)增

2x

1112k1

所以%=/（&）</（1+西）=升產(chǎn)+而節(jié)<1+產(chǎn)

即生?<1+與

由以上歸納可知qvl+—!5￡N'/22）14分

“T1

考點(diǎn)：數(shù)列，歸納證明不等式.

18.設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S”，對任意的正整數(shù)〃，都有q=5S”+1成立，記

“聾…八

（1）求數(shù)列｛q｝與數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式;

⑵記c\=b*-瓦SeN*）,設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：對任意正整數(shù)〃

3

都有北<5；

?4+（一；）”

【答案】（1）4=（一一）"，"=------5GN*）；（2）祥見解析.

4

4

【解析】

試題分析：（1）由已知及S”與巴的關(guān)系：??=]‘；（〃=1），令可求得力的

[S-N2）

值，再將已知等式中的n換成n+1得%+i=55e+1,然后與已知式子：見=5S”+1相

減得到：%+1-%=5（5向一5“）=5為+1,從而可得到：子=一;，這說明數(shù)列｛〃“｝

是公比為令=-;的等比數(shù)列，所以就可寫出數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式，再代入

"二巖氣衣”1）就可得到數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果，結(jié)合

'〃二%〃一層,一（〃￡"“）就可得到數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，如果其前n項(xiàng)和可求，則先求

出其前n項(xiàng)和7；再與:比較大?。蝗粢私忧蠛捅容^難辦，則注意思考先用放縮法將數(shù)

列｛%｝的通項(xiàng)公式放大成一個(gè)可求和的數(shù)列，則［小于此數(shù)列的前n項(xiàng)和，而此此數(shù)

列的前n項(xiàng)和恰好是小于或等于3的，因此在放大的時(shí)候一定要注意適當(dāng)放大且能求和

2

是關(guān)鍵.

試題解析：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，％=5工+=—-1分

4

又<%=5sti+1,%=5S“*+1/.*-an=5%即誓=-：3分

,數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為4二一；，公比為q二一；的等比數(shù)列,

4分

4+C)"

6分

i-(-r

74

5

(2)由2=4+得7分

55

=h2n-b2n-l

42M-142,,_|+1

25x16”25x16"25x16"25

10分

(16〃-1)(16〃+4)(16,,)*2+343X16/,-4(16")216"

1343

又優(yōu)=3,包=—,當(dāng)〃=1時(shí)，G=—,7；<—,11分

332

當(dāng)n>2時(shí)

41114

小丁25x(在十后十…十苫)二十25

3

???對任意正整數(shù)〃都有Z,V—。14分

2

考點(diǎn)：1.等比數(shù)列；2.數(shù)列求和；3.不等式的證明.

19.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”，公差d工0,且S3+S§=50,成等比

數(shù)列

(1)求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式；

(2)若從數(shù)列｛%｝中依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第8項(xiàng).....，第2〃項(xiàng),，按原來順

序組成一個(gè)新數(shù)列｛hn｝,且這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和為求7；的表達(dá)式.

n+2

【答案】(1)=2/1+1；(2)Tn=2-4+n.

【解析】

L3x24x5,__

試題分析：(1)依題意，建立的方程組/十三"《十三3”解出

(%+3d甘=(at+12d)

生,d,寫出通項(xiàng)公式

(2)由于包=4”=2><2"+1=2向+1因此，應(yīng)用分組求和法即可得到

+2

TH=T-4+n.

試題解析：(1)依題意，得：

c3x2._4x5.

3al+---d+5a.+----d=5()%=3

「2122分4分

d=2

(q+3d)2=q(q+12d)

/.an=+(/?-1)J=3+2(/1-1)=2H+1即a“=2〃+l6分

W/,+,

(2)bn=ar=2X24-1=2+18分

(=4+d+……+bn

=(22+l)+(23+l)+......+(2w+,+l)

=止史+〃I。分

1-2

=2',+2-4+n12分

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，等比數(shù)列的求和，“分組求和法”.

20.已知數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和S”滿足S“=24+(-1)”(〃>D

(1)寫出數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)4]、4、。3；

(2)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

1117

(3)證明對于任意的整數(shù)機(jī)>4有一+—+…+—<—

對火48

n2

【答案】(1)4=1、%=0、%=2；(2)^=|[2-4-(-ir-'];(3)見解析.

【解析】

試題分析：(I)是考查已知遞推公式求前幾項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題，需注意的是S.=a.,需要

先求出ai才能求出a2,這是遞推公