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廣東省東莞市翰林實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題中錯(cuò)誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則2.已知函數(shù),,且在上是單調(diào)函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱3.函數(shù)fxA. B.C. D.4.運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.5.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.6.己知,,,則()A. B. C. D.7.自2019年12月以來(lái),在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級(jí)政府反應(yīng)迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種8.第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行,為了解奧運(yùn)會(huì)會(huì)旗中五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積之和的比值P,某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn):通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬在長(zhǎng)為10,寬為6的長(zhǎng)方形奧運(yùn)會(huì)旗內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn),經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為n個(gè),已知圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為()A. B. C. D.9.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.10.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.11.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)F,若,則____.14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),,的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為,則雙曲線的離心率為________.15.設(shè)直線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),且與的一條對(duì)稱軸垂直,與交于兩點(diǎn),為的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則雙曲線的離心率為.16.已知非零向量的夾角為,且,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點(diǎn),且過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)且.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.19.(12分)第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)召開期間,某校舉行了“冰上運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽”,為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:(1)求、、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績(jī)不低于70分的概率;(2)若從成績(jī)較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識(shí)”志愿活動(dòng),并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計(jì)1.0020.(12分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且、、成等比數(shù)列,.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;(2)令,證明:.21.(12分)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形,且平行四邊形的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)在以線段為直徑的圓上時(shí),求直線的方程.22.(10分)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系,我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo),請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線方程分析,2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸,問(wèn)是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項(xiàng)A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項(xiàng)B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項(xiàng)C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項(xiàng)D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.2、B【解析】
根據(jù)函數(shù),在上是單調(diào)函數(shù),確定,然后一一驗(yàn)證,A.若,則,由,得,但.B.由,,確定,再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計(jì)算是否為0.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),在上是單調(diào)函數(shù),所以,即,所以,若,則,又因?yàn)?,即,解得,而,故A錯(cuò)誤.由,不妨令,得由,得或當(dāng)時(shí),,不合題意.當(dāng)時(shí),,此時(shí)所以,故B正確.因?yàn)椋瘮?shù),在上是單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤.,故D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于較難的題.3、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→04、C【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)平面向量基本定理,用來(lái)表示,然后利用數(shù)量積公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】
先將三個(gè)數(shù)通過(guò)指數(shù),對(duì)數(shù)運(yùn)算變形,再判斷.【詳解】因?yàn)椋?,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.7、C【解析】
先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識(shí),解此類題時(shí)一般先組合再排列,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)比例關(guān)系求得會(huì)旗中五環(huán)所占面積,再計(jì)算比值.【詳解】設(shè)會(huì)旗中五環(huán)所占面積為,由于,所以,故可得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的問(wèn)題求解,屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10、D【解析】
利用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,由,解得,即函?shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時(shí),增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用,使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),難度較易.11、A【解析】
首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,連接,,可知,,同時(shí)易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
過(guò)點(diǎn)做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,由題意作出是解題的關(guān)鍵.14、2【解析】
由題意畫出圖形,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺(tái)雙曲線的定義,求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式,即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,連接,則,故四邊形為正方形,邊長(zhǎng)為圓的半徑,由,,得,與重合,,,即——①,——②聯(lián)立①②解得:,又因圓心的縱坐標(biāo)為,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】
不妨設(shè)雙曲線,焦點(diǎn),令,由的長(zhǎng)為實(shí)軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線,焦點(diǎn),對(duì)稱軸,由題設(shè)知,因?yàn)榈拈L(zhǎng)為實(shí)軸的二倍,,,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率,屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái),再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式,從而求出的值.16、1【解析】
由已知條件得出,可得,解之可得答案.【詳解】向量的夾角為,且,,可得:,
可得,
解得,
故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模,關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方,利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解即可,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)設(shè)出的坐標(biāo),代入,結(jié)合在拋物線上,求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,結(jié)合,求得的表達(dá)式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】(1)可知,設(shè)則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設(shè)則①②因?yàn)樗郧覍ⅱ偈狡椒匠寓谑降盟杂纸獾糜?,所以令,則所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)令,,利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法求得,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)令,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則,故;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查利用求通項(xiàng),同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消法求和,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),,,;(2)【解析】
(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出,根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出,進(jìn)而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根據(jù)分層抽樣原則,分別從抽出2人,2人,1人,并按照所在組對(duì)抽出的5人編號(hào),列出所有2名負(fù)責(zé)人的抽取方法,得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的抽法數(shù),由古典概型概率公式,即可求解.【詳解】(1),,,由頻率分布表可得成績(jī)不低于70分的概率約為:(2)因?yàn)榈?、4、5組共有50名學(xué)生,所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生,每組分別為:第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3、4、5組分別抽取2人,2人,1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、,第4組的2位同學(xué)為、,第5組的1位同學(xué)為,則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負(fù)責(zé)人有7種抽法,故所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全頻率分布表、古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.20、(1),(2)證明見解析【解析】
(1)利用首項(xiàng)和公差構(gòu)成方程組,從而求解出的通項(xiàng)公式;由的通項(xiàng)公式求解出的表達(dá)式,根據(jù)以及,求解出的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法求解出的前項(xiàng)和,根據(jù)不等關(guān)系證明即可.【詳解】(1)設(shè)首項(xiàng)為,公差為.由題意,得,解得,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),∴,.當(dāng)時(shí),
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