電磁場(chǎng)與電磁波-第五章時(shí)變電磁場(chǎng)

第五章時(shí)變電磁場(chǎng)1本章內(nèi)容5.1麥克斯韋方程5.2時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件5.3

波動(dòng)方程與位函數(shù)5.4

位函數(shù)求解5.5

時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理本章內(nèi)容5.6時(shí)變電磁場(chǎng)的能量及功率5.7正弦時(shí)變電磁場(chǎng)5.8

正弦時(shí)變電磁場(chǎng)的平均能量與功率5.9

從麥克斯韋方程到基爾霍夫電壓定律2引言恒定電磁場(chǎng)與時(shí)變電磁場(chǎng)場(chǎng)的比較1.恒定場(chǎng)的特點(diǎn)涉及的所有物理量?jī)H是空間坐標(biāo)的函數(shù)遵循的定理和定律是麥克斯韋以前的電磁學(xué)說(shuō)，如庫(kù)侖定律高斯定律電荷守恒定律恒定電流連續(xù)性原理3安培環(huán)路定律磁通連續(xù)性原理電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互聯(lián)系成為不可分割的整體。2.時(shí)變場(chǎng)的特點(diǎn)涉及的所有物理量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是時(shí)間的函數(shù)；遵循麥克斯韋方程；電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以共處于一個(gè)空間，但彼此獨(dú)立，服從各自的基本方程。

英國(guó)科學(xué)家麥克斯韋將恒定場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場(chǎng)基本方程組高度概括。電磁場(chǎng)基本方程組是研究宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。4位移電流問(wèn)題的提出

法拉第電磁感應(yīng)定律提出變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，根據(jù)電磁之間的對(duì)偶關(guān)系，那么變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)呢？

麥克斯韋發(fā)現(xiàn)恒定磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定律用于時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)有矛盾，從而提出位移電流的概念，將此定律進(jìn)行修正和完善。安培環(huán)路定律取S1面有取S2面有線積分結(jié)果不同！圖

交變電路用安培環(huán)路定律真空電容器中通過(guò)的時(shí)變電流是什么？5麥克斯韋認(rèn)為電荷與電流連續(xù)性定理符合電荷守恒定律是無(wú)可懷疑的，而安培環(huán)路定律是在恒定情況下得出的需加以修正。麥克斯韋的兩個(gè)假設(shè)靜電場(chǎng)中的高斯定理在時(shí)變情況下仍然是正確的；全電流連續(xù)位移電流6位移電流與傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流一樣具有磁的效應(yīng)；

在時(shí)變場(chǎng)中，不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。這就是麥克斯韋位移電流假說(shuō)；

時(shí)變電場(chǎng)與時(shí)變磁場(chǎng)在空間相互轉(zhuǎn)化，麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的存在。結(jié)論流進(jìn)曲面S1的傳導(dǎo)電流等于流出S2的位移電流位移電流是電流概念的擴(kuò)充，它不是帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)形成的，而是人為定義的，不能直接由實(shí)驗(yàn)測(cè)出。7

綜上所述,電磁場(chǎng)基本方程組(Maxwell方程)為全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定律

5.1

麥克斯韋方程8

?全電流定律——麥克斯韋第一方程,表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)；時(shí)變磁場(chǎng)是由傳導(dǎo)電流，運(yùn)流電流以及位移電流共同產(chǎn)生的。?電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程

,表明電荷和變化的磁場(chǎng)都能產(chǎn)生電場(chǎng)；時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的。?磁通連續(xù)性原理——表明時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無(wú)散場(chǎng),磁力線總是閉合曲線；?麥克斯韋第一、二方程是獨(dú)立方程，后面兩個(gè)方程可以從中推得。四個(gè)方程所反映的物理意義9時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。在電荷及電流均不存在的無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直。10為了完整地描述時(shí)變電磁場(chǎng)的特性，麥克斯韋方程還應(yīng)包括電荷守恒方程以及說(shuō)明場(chǎng)量與媒質(zhì)特性關(guān)系的本構(gòu)方程，即對(duì)于不隨時(shí)間變化的靜態(tài)場(chǎng)，則那么，上述麥克斯韋方程變?yōu)榍笆龅撵o電場(chǎng)方程和恒定磁場(chǎng)方程，電場(chǎng)與磁場(chǎng)不再相關(guān)，彼此獨(dú)立。式中代表產(chǎn)生時(shí)變電磁場(chǎng)外加的電流。11在簡(jiǎn)單的形式下隱藏著深?yuàn)W的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細(xì)的研究才能顯示出來(lái)，方程是表示場(chǎng)的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來(lái)，而是把此處的現(xiàn)在的場(chǎng)只與最鄰近的剛過(guò)去的場(chǎng)發(fā)生聯(lián)系。愛(ài)因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理學(xué)演變”一書(shū)中關(guān)于麥克斯韋方程的一段評(píng)述：“這個(gè)方程的提出是牛頓時(shí)代以來(lái)物理學(xué)上的一個(gè)重要事件，它是關(guān)于場(chǎng)的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。假使我們已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預(yù)測(cè)在空間稍為遠(yuǎn)一些，在時(shí)間上稍為遲一些所發(fā)生的事件”。評(píng)價(jià)12麥克斯韋方程除了對(duì)于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對(duì)于人類歷史的進(jìn)程也起了重要作用。正如美國(guó)著名的物理學(xué)家弗曼在他所著的“弗曼物理學(xué)講義”中寫(xiě)道“從人類歷史的漫長(zhǎng)遠(yuǎn)景來(lái)看──即使過(guò)一萬(wàn)年之后回頭來(lái)看──毫無(wú)疑問(wèn)，在十九世紀(jì)中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對(duì)于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事件相比之下，同一個(gè)十年中發(fā)生的美國(guó)內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會(huì)降低為一個(gè)地區(qū)性瑣事而黯然失色”。評(píng)價(jià)13處于信息時(shí)代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設(shè)備、從雷達(dá)到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動(dòng)通信到宇宙星際通信、從室外無(wú)線局域網(wǎng)到室內(nèi)藍(lán)牙技術(shù)、以及全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)等，無(wú)不利用電磁波作為傳播媒體。無(wú)線信息高速公路更使人們能在任何地點(diǎn)、任何時(shí)間同任何人取得聯(lián)系，發(fā)送所需的文本、聲音或圖象信息。電磁波的傳播還能制造一種身在遠(yuǎn)方的感覺(jué)，形成無(wú)線虛擬現(xiàn)實(shí)。電磁波獲得如此廣泛的應(yīng)用，更使我們深刻地體會(huì)到19世紀(jì)的麥克斯韋和赫茲對(duì)于人類文明和進(jìn)步的偉大貢獻(xiàn)。評(píng)價(jià)14

時(shí)變電磁場(chǎng)中媒質(zhì)分界面上的銜接條件的推導(dǎo)方式與前三章類同，應(yīng)用積分形式的基本方程：5.2時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件法向分量電場(chǎng)的切向分量根據(jù)15磁場(chǎng)的切向分量根據(jù)電場(chǎng)：

即磁場(chǎng)：16兩種特殊情況的分界面（1）兩種理想介質(zhì)的分界面17邊界條件為：結(jié)論:理想導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)時(shí)變電磁場(chǎng)，電磁波入射到其表面發(fā)生全反射，導(dǎo)體表面有時(shí)變的面電荷和面電流。（2）理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面理想介質(zhì)中理想導(dǎo)體中18例已知內(nèi)截面為a

b的矩形金屬波導(dǎo)中的時(shí)變電磁場(chǎng)的各分量為

其坐標(biāo)如圖示。試求波導(dǎo)中的位移電流分布和波導(dǎo)內(nèi)壁上的電荷及電流分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空。

azyxb19解①位移電流為

②在y=0

的內(nèi)壁上在y=b的內(nèi)壁上20在x=0的側(cè)壁上，在x=a

的側(cè)壁上，在x=0

及x=a

的側(cè)壁上，因，所以。zyx內(nèi)壁電流215.3

波動(dòng)方程

電磁波在空間傳播過(guò)程中,電場(chǎng)和磁場(chǎng)特性的表征由求解波動(dòng)方程而得到。設(shè)媒質(zhì)是線性均勻且各向同性，對(duì)于理想介質(zhì)的無(wú)源區(qū)域，對(duì)于電場(chǎng)而22在直角坐標(biāo)系中此方程可分解為三個(gè)標(biāo)量方程，即E的波動(dòng)方程23H的波動(dòng)方程研究電磁波的傳播問(wèn)題都可結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求波動(dòng)方程的解。波動(dòng)方程的解釋在空間中一個(gè)沿特定方向傳播的電磁波。對(duì)于磁場(chǎng)同理可得意義24

恒定場(chǎng)中，電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電場(chǎng)中，磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在磁場(chǎng)中，能量密度分別為問(wèn)題的提出時(shí)變場(chǎng)中，電場(chǎng)磁場(chǎng)同時(shí)存在，電磁能量密度為多少？麥克斯韋假設(shè)時(shí)變場(chǎng)中任何時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁能量密度為

5.6

時(shí)變電磁場(chǎng)的能量及功率25說(shuō)明電磁能量隨時(shí)間變化，即電磁場(chǎng)的相互作用導(dǎo)致電磁波動(dòng)，電磁波動(dòng)伴隨電磁能量在空間的流動(dòng)（傳播）。任何時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁能量是如何傳播的？電磁場(chǎng)中任一體積V內(nèi)儲(chǔ)存的總電磁能量為1.坡印廷定理

坡印亭定理給出了電磁能流和電磁場(chǎng)量之間的一般關(guān)系，反映了電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律。26麥克斯韋方程兩式相減27

體積V內(nèi)，單位時(shí)間電磁能量的增加率加上焦耳熱功率等于單位時(shí)間進(jìn)入閉合面S的電磁功率。坡印亭定理坡印亭定理的物理意義坡印亭定理是電磁場(chǎng)的能量守恒表達(dá)式是宏觀電磁現(xiàn)象的一個(gè)普遍定理；坡印亭定理適用于時(shí)變場(chǎng)也適用于恒定場(chǎng)；注意28

表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量（垂直穿過(guò)單位面積的功率）

，亦稱為功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。2.坡印亭矢量W/m2

定義坡印亭矢量電磁波的傳播29例

一長(zhǎng)L，流有恒定電流I的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)外半徑分別為b,c，上端內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為V，導(dǎo)體間為真空，求同軸線中傳輸?shù)墓β省?、同軸線內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體時(shí)：內(nèi)外導(dǎo)體間：高斯定理能流只在內(nèi)外導(dǎo)體間存在，功率流密度為：流過(guò)上端面的功率為：安培環(huán)路定理導(dǎo)體中及電纜外E=H=0302、同軸線內(nèi)外導(dǎo)體為良導(dǎo)體時(shí)：內(nèi)外導(dǎo)體間：電纜外無(wú)功率流。內(nèi)導(dǎo)體中：流入內(nèi)導(dǎo)體中的功率密度：流入內(nèi)導(dǎo)體的總功率：31流入下端面的功率為：外導(dǎo)體中：流入外導(dǎo)體中的功率密度：流入外導(dǎo)體的總功率：流出上端面的功率為：32正弦時(shí)變電磁場(chǎng)的概念如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦時(shí)變電磁場(chǎng)。

研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。

任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅里葉分析方法展開(kāi)為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。

5.7

正弦時(shí)變電磁場(chǎng)33時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析得以簡(jiǎn)化。

設(shè)是一個(gè)以角頻率

隨時(shí)間t作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成

其中時(shí)間因子空間相位因子利用三角公式式中的Am為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示34復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)。照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式。由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫(xiě)出來(lái)，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。35實(shí)際中，通常測(cè)得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值），以表示正弦量的有效值，即即最大值表示復(fù)矢量和有效值表示復(fù)矢量的之間的關(guān)系為則電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)矢量與復(fù)矢量的關(guān)系為只有頻率相同的正弦量之間才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行運(yùn)算。36例

將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為最大值表示的復(fù)矢量形式。（2）解：（1）由于（1）所以37（2）因?yàn)楣仕?8

例

已知電場(chǎng)強(qiáng)度最大值表示的復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量39以電場(chǎng)旋度方程為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對(duì)任意t

均成立。令