2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（解析版）

專題46直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】...............................................................11

【考點11直線與圓的位置關(guān)系................................................11

【考點2】圓的切線、弦長問題................................................17

【考點3】圓與圓的位置關(guān)系..................................................22

【分層檢測】...............................................................27

【基礎(chǔ)篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................35

【培優(yōu)篇】.................................................................39

考試要求：

1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.

?知識梳理

L直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(%—〃)2+(、一力2=戶，直線/：Ax-\-By+C=O,圓心C(Q,6)到直線/的距離為d,由

(x-6z)2+(y—b)2=戶，

41nl「八消去y(或X),得到關(guān)于％(或y)的一元二次方程，其判別式為/.

[Ax+B_y+C=O

位置關(guān)系相離相切相交

圖形

方程觀點J<0/三0J>0

量化

幾何觀點d>rd三rd<r

2.圓與圓的位置關(guān)系

已知兩圓Ci：(%—xi)2+(y—yi)2=T

C2：(%—X2)2+(y-")2="，

則圓心距d=|CiC2I=、/(11-12)2+(yi-丫2~5~^

則兩圓Ci,Q有以下位置關(guān)系：

位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切

圓心距

In-2|<d〈ri

與半徑d>ri+nd<|ri1]2|。=|門一二|d=ri+r2

+廠2

的關(guān)系

?€)o0?

圖示電

公切線條數(shù)40213

常用結(jié)論

1.圓的切線方程常用結(jié)論

(1)過圓x2+y2=r2上一點P(xo,yo)的圓的切線方程為xox+yoy=r2.

(2)過圓(X—Q)2+(y—力2=/上一點P(xo,yo)的圓的切線方程為(次一〃)(1—Q)+(刈-6)。一力=戶.

(3)過圓外一點M(xo,yo)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為xox+yoy=r2.

2.直線被圓截得的弦長的求法

⑴幾何法：運用弦心距4半徑廠和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形，計算弦長履3|=2后彳.

2

（2）代數(shù)法：設(shè)直線y=履+用與圓/+'2+m+切+/=0相交于點M,N,將直線方程代入圓

的方程中，消去y,得關(guān)于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,則\MN\=

q1+吩7（XM~\~XN）2——4XMFN.

5真題自測

一、單選題

L（2024?全國,高考真題）已知直線分+辦一。+26=0與圓C：尤?+y?+4y-l=0交于兩點，則的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024?全國高考真題）已知》是。,。的等差中項，直線6+勿+。=0與圓/+丁+4丫-1=0交于4,3兩點，

則|4B|的最小值為（）

A.1B.2C.4D.275

3.（2023?全國?高考真題）已知實數(shù)尤,V滿足爐+》2一4》-2》-4=0,則"一丁的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+3丘D.7

4.（2023?全國?高考真題）過點（0,-2）與圓/+/-以-1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝hina=（）

A.1B.—C.巫D.諉

444

二、多選題

5.（2024?全國?高考真題）拋物線C：：/=?的準線為/,P為C上的動點，過尸作OA:d+（y-4『=1的

一條切線，。為切點，過尸作/的垂線，垂足為8,則（）

A./與：A相切

B.當(dāng)尸，A,2三點共線時，|尸Q|=JB

C.當(dāng)|P8|=2時，PA±AB

D.滿足I如月產(chǎn)切的點尸有且僅有2個

三、填空題

6.（2023?全國?高考真題）己知直線/：x-沖+1=0與（C:（x-l）2+y2=43C^A,8兩點，寫出滿足"VABC

面積為|"的根的一個值____.

7.（2022?全國?高考真題）若雙曲線V一工=1（m>0）的漸近線與圓/+/-4〉+3=0相切，貝1]?1=.

m

8.（2022?全國,高考真題）寫出與圓爐+丁=1和（尤-3）2+（丫-4）2=16都相切的一條直線的方

程.

3

參考答案:

題號12345

答案CCCBABD

1.C

【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點尸(1,-2),從而可得當(dāng)尸CLAB時，|4B|的最小，結(jié)合勾股定理

代入計算，即可求解.

【詳解】因為直線ox+6y-a+26=0,gpo(x-l)+/?(y+2)=0,令x-l=O,

則x=l,y=-2,所以直線過定點(1,-2),設(shè)尸(1,一2),

將圓C：x2+y2+4y-l=0化為標準式為X2+(>+2)一=5,

所以圓心C(0,-2),半徑廠=右，\PC\=1

當(dāng)尸CLAB時，|48|的最小，

此時|A卻=2、戶一|PC『=2>后開=4.

故選：C

2.C

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將。代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因為。,瓦。成等差數(shù)列，所以2b=a+c,。=如一。，代入直線方程辦+勿+c=0得

九一1二0X=1

ax+by+2b-a=0,即Q（x-l）+8（y+2）=0,令得

y+2=0y=-2，

故直線恒過(1,-2),設(shè)網(wǎng)1,一2),圓化為標準方程得：C:f+(y+2)2=5,

設(shè)圓心為C,畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)尸CLAB時，|2B|最小，

|PC|=l,|Aq=W=逐,此時|AB|=2|AP|=2jac2-PC2=2>/^T=4.

3.C

4

【分析】法一：令x-y=k,利用判別式法即可；法二：通過整理得（x-2）2+（y_l）2=9,利用三角換元法即

可，法三：整理出圓的方程，設(shè)=3利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.

【詳解】法一：令x-y=k,則彳=左+九

代入原式化簡得2丁+（2左一6）y+/-4左一4=0,

因為存在實數(shù)V，則A20,即（2左一6）2-4X2,2—44-4）20,

化簡得左2-2A:-17V0,解得1-3應(yīng)〈左V1+3衣，

故工一，的最大值是3五+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得（x-2）°+（y-l）2=9,

令x=3cosO+2,y=3sin〃+l,其中640,2可，

貝ij尤一y=3cosO-3sinO+l=30cos[o+：j+l,

，且0,2同，所以6+（號，則6+：=2兀，即0=彳時，無7取得最大值30+1,

法三：由爐+/-4+-2)；-4=0可得(x-2)2+(y-l)2=9,

|2—1|

設(shè)無一y=左，則圓心到宜線x-y=k的距離d

解得1-304左V1+30

故選：C.

4.B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，

結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得公+8左+1=0,利用韋達定理結(jié)合

夾角公式運算求解.

【詳解】方法一：因為丁+/-以-1=0,即（x—2y+y2=5,可得圓心C（2,0）,半徑“右,

過點P（0,-2）作圓C的切線，切點為A,8,

因為|PC|={22+(_21=2五,貝尸A|=,PC『一產(chǎn)=上,

可得sinZAPC差考,cosZAPC簽邛,

貝UsinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x巫x"=姮,

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

5

即ZAPB為鈍角，

所以sina=sin（五一ZAPB）=sinZAPB=；

法二：圓T+y>_4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑廠=行，

過點尸（0,-2）作圓C的切線，切點為連接

可得|PC|=百+①）?=2五,則\PA\=\PB\=J|PCf一產(chǎn)=石，

因為|"「+|尸8「一2怛H.歸卻cosZAPB=|C4「+|c8「-2|04卜|。國cosZACB

且NACB=冗一NAPB,貝U3+3-6cosZAPB=5+5-10cos（7i-Zz4PB）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cos/4P8=-工<0,

4

即,APB為鈍角,貝｝|cosa=cos（it-ZAPB）=-cosZAPB=：,

且a為銳角，所以sina:=Jl-cos?a=；

4

方法三：圓/+尸-以-1=0的圓心C（2,0）,半徑『=6，

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為>=依-2,即b-y-2=0,

則=非,整理得上？+8左+1=0，MA=64-4=60>0

412*+31

設(shè)兩切線斜率分別為匕，左2，則尢+心=-8,左右=1,

可得歸_周=J（k1+&）2-4\（=2屈,

所以tane=t=后,即至巴=厲，可得costz=*器，

1+k1&cosaV15

rn.i.22?2sincc

貝sina+cosa=sina-\---------=1,

15

且a￡（0㈤，則sina>0,解得sina=.

故選：B.

6

【分析】A選項，拋物線準線為x=-l,根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求

出尸的坐標，進而得出切線長；C選項，根據(jù)怛卻=2先算出p的坐標，然后驗證原/例=-1是否成立；D選

項，根據(jù)拋物線的定義，戶同=|尸同，于是問題轉(zhuǎn)化成|必=戶典的尸點的存在性問題，此時考察AF的中垂

線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設(shè)尸點坐標進行求解.

【詳解】A選項，拋物線丁=以的準線為x=-L,

A的圓心(0,4)到直線x=-l的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準線/和(A相切，A選項正確；

B選項，P,A,B三點共線時，即則P的縱坐標力=4,

由熄=4%,得到與=4,故尸(4,4),

此時切線長|尸2|=，|/＜一＞="2一12=岳，B選項正確;

C選項,當(dāng)1pBl=2時,xp=l,此時近=4琴=4,故先(1,2)或P(l,-2),

4-24-2

當(dāng)尸(1,2)時，A(0,4),B(-l,2),k=---=-2k=-----=2,

PA0—1fAB0—(—1)

不滿足左PAG=T；

4(

當(dāng)尸(1,一2)時，A(0,4),B(-l,2),kPA=~~^=-6,勉=：??？=6,

0—10—(—1)

不滿足kPAkAB=-1；

于是上4LAB不成立，C選項錯誤；

D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|尸耳=|尸尸這里"1,0),

于是=\PB\時p點的存在性問題轉(zhuǎn)化成|P4|=|尸同時P點的存在性問題,

A(0,4),F(l,0),瓶中點(：,211

47中垂線的斜率為一廠=了,

kAF4

7

于是AF的中垂線方程為：y與拋物線y2=4x聯(lián)立可得y2T6y+30=0,

o

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂線和拋物線有兩個交點，

即存在兩個尸點，使得|R4|=|PP|,D選項正確.

方法二：（設(shè)點直接求解）

，由可得又A(0,4),X|PA|=|PB|,

設(shè)尸U

根據(jù)兩點間的距離公式，、乙+?-4）2==+1，整理得6+30=0,

V164

A=162-4X30=136>01則關(guān)于t的方程有兩個解,

即存在兩個這樣的尸點，D選項正確.

故選：ABD

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長|AB|,以及點C到直線A3的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線A3的距離為d,由弦長公式得|小|=2,4-磨,

所以5=3x2”-笛=!，解得：［=述或1=遞，

2555

由d=11+112所以方2\=4受出或2半2亞，解得：加=±2或加=±白1.

J1+■Jl+mJl+m5J1+-52

故答案為：2（2,-2，!，-：中任意一個皆可以）.

22

7.B

3

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓

8

心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

丫2Y

【詳解】解：雙曲線丁―j=lW〉O）的漸近線為y=±±，即％±沖=0,

mm

不妨取X+股=0，圓/+/一4>+3=0,即X2+（,一2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑r=1,

一/、一|2m|

依題意圓心（0,2）到漸近線工+切=0的距離d==1,

Vl+m

解得根或機=（舍去）.

33

故答案為：旦.

3

35725

8.y=——％+—或,=——x--^x=-l

442424

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］：

顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為％+勿+。二。，

于是荷=1，=4

故。2=1+/①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4Z?+c=4c或3+48+c=4,

724

b=---

b=07或，

再結(jié)合①解得c=l或

25空工，

c=---

73

所以直線方程有三條，分別為％+1=0,7%-24y-25=0,3x+4y-5=0.

（填一條即可）

［方法二］：

設(shè)圓/+y2=1的圓心。（0,0）,半徑為4二1,

圓（x—3）2+（>—4）2=16的圓心。（3,4）,半徑々=4,

則|0。|=5=彳+小因此兩圓外切，

9

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=O符合題意；

又由方程(％-3y+(,一4)2=16和x2+y2=1相減可得方程3%+4y-5=。,

即為過兩圓公共切點的切線方程,

又易知兩圓圓心所在直線。。的方程為4尤-3y=0,

4

直線OC與直線x+l=0的交點為(T-§),

7

設(shè)過該點的直線為y+g=Wx+i),則7

=1-解得左=五，

從而該切線的方程為7x-24y-25=0.(填一條即可)

［方法三］：

圓/+,2=1的圓心為。(0,0),半徑為1,

圓(%—3)2+(y—4)2=16的圓心。1為(3,4),半徑為4,

兩圓圓心距為+4?=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖，

10

當(dāng)切線為/時，因為/所4以勺=-31,設(shè)方程為y=-；3x+/?>0）

__!=]CQC

。到/的距離忑一,解得"“所以/的方程為卜=-“+"

當(dāng)切線為加時，設(shè)直線方程為h+y+p=。，其中。>。，k<o,

當(dāng)切線為幾時，易知切線方程為尤=-1,

35725

故答案為：'=一；%+：或>或％=—1?

442424

考點突破

【考點1】直線與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知直線/:x+（l+a）y=2—a,0C:x2+_y2-6.x+4_y+12=0,則該動直線與圓

的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C,相交D.不確定

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知點P是直線尤-〉-機=。上的動點，由點P向圓。：/+丁=1引切線，切點分

別為M,N且/〃PN=90,若滿足以上條件的點P有且只有一個，則切=（）

A.72B.±72C.2D.±2

二、多選題

11

3.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知A倒,夜）,仆0,彳J,動點P（x,y）滿足四=0阿，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.點P的軌跡圍成的圖形面積為兀

B.|即的最小值為1

112

C.兒巴是尸的任意兩個位置點，貝|/匕4ew]

D.過點的直線與點P的軌跡交于點M,N,則MN的最小值為近

4.（23-24高三上?河北廊坊,期中）如圖,有一組圓C*化eN+）都內(nèi)切于點P（—2,0）,圓G：（x+3）2+（y_l）2=2,

設(shè)直線x+y+2=0與圓C&在第二象限的交點為A-若％4/=逝，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓C#的圓心都在直線無+y+2=0上

B.圓的方程為。+52）2+（y-50）2=5000

C.若圓C.與y軸有交點，則上38

D.設(shè)直線工=-2與圓6在第二象限的交點為紇，則囚/J=1

三、填空題

5.（2022?全國?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，過點4。,-3）的直線/與圓C:尤?+（y-2了=9相交于

N兩點，若打…3…，則直線/的斜率為——

6.（19-20高一下?江蘇無錫?階段練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，已知直角AABC中，直角頂點A在直線

x-y+4=0上，頂點B,C在圓/+/=10上，則點A橫坐標的取值范圍是.

參考答案:

題號1234

答案CDABDABD

1.C

【分析】根據(jù)題意可得直線/表示過定點4（3,-1）,且除去y=-l的直線，點A在圓上，可判斷直線/與圓C

12

相交.

【詳解】因為直線/：尤+(1+々))=2—Q,即x+y—2+a(y+l)=0,

(x=3

當(dāng)y+l=O時，％+y—2=0,解得

[y=-l

所以直線/表示過定點A(3「l),且除去y=-l的直線，

將圓C的方程化為標準方程為(尤-3)2+(y+2)2=l,因為|AC|=1,點A在圓上,

所以直線/與圓C可能相交，可能相切，相切時直線/為了=-1,不合題意，

所以直線/與圓C相交.

故選：C.

2.D

【分析】連接O"，CW,結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點尸在以點。為圓心，&為半徑的圓C上，再由題意可

知該圓與直線尤-y-相=。相切，利用點到直線的距離公式，即可求得答案.

【詳解】連接OM,ON,則RW_LOM,RV_LON.

又NMPN=9QQM=ON,所以四邊形MPNO為正方形，二|尸。|=夜|次|=0,

于是點尸在以點。為圓心，血為半徑的圓C上.

又由滿足條件的點尸有且只有一個，則圓C與直線x-y=。相切,

所以點。到直線x-y=0的距離〃=及，，工=應(yīng)，解得機=±2.

故選：D.

3.ABD

【分析】由1PAi=夜戶同得V+y2=l,計算面積可判斷A；結(jié)合圖象可知，當(dāng)O,B,P共線的時候忸耳取值

最小值，可判斷B；過A向圓引切線，用兩條切線夾角來可判斷C；分別用斜率存在和不在兩種情況寫出過

點的直線方程，然后由圓的幾何性質(zhì)求IMM，進而結(jié)合基本不等式可得|MN|的最小值，即可判斷D.

目2

【詳解】由|尸山=拒|尸即得：=2/+＞一9即冗2+y2=],

27

13

點尸的軌跡為圓心0（0,0）,半徑r=l的圓.

對于A：面積為兀產(chǎn)=無，故A正確；

對于B：點8在圓內(nèi)，由圖知忸性O(shè)P,當(dāng)。,B,尸共線的時候等號成立，

所以忸尸|最小值為1-乎，故B正確，

對于C：因為|OA|=&,r=l,所以過A向圓引切線，切線長等于1,則兩條切線夾角為故C不正確.

對于D：斜率不存在時，過點的直線方程為x=；,此時

斜率存在時，過點的直線方程為=即履一八,+；=0,

則圓心到該直線的距離d=-55=T+1,

J1+:2241+—

由圓的幾何性質(zhì)，\MN\=2=』4一〃-2受b+,

11\lbTiTFjvi+廿Vi+r

當(dāng)％=0時，|MV|=g；

當(dāng)上＞0時，|腦7|=』"||^＞道；

I2k2

當(dāng)左＜0時，河=++17^=「一一］’,/應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng);=%即左=—1時取等號，

V7（-左）k

綜上所述，MN的最小值為a,故D正確.

故選：ABD.

4.ABD

【分析】求出連心線所在直線方程判斷A；求出圓C?的方程判斷B；求出圓C上的圓心到了軸的距離，結(jié)合

直線與圓相交判斷C；求出點線的縱坐標判斷D.

1-0

【詳解】圓G的圓心G（-3,l）,直線尸C1的方程為丁=?+2）,即x+y+2=0,

由兩圓內(nèi)切連心線必過切點，得圓Ck的圓心都在直線PG上，即圓c?的圓心都在直線無+y+2=0上，A正

14

確;

14+%=-2

顯然1%=應(yīng)（左+1）,設(shè)點4（無&,然）,則|V12+12^+2|=V2(^+D，而4<-2,

解得4=-"3,%=上+1,因此圓C1的圓心Q（-警，與3,半徑為^^』=正（左+1）,

2222

c2

圓Ck的方程為（》+與）2+（y-9）2=&F，貝U圓99的方程為（x+52）+（y-50）2=5000,B正確;

圓Ck的圓心到v軸距離為卓，若圓C*與y軸有交點，則到0w向卜+1），

222

解得424忘+3y8.6，而左eN+，因此左29,C錯誤;

在（》+^^）2+“一個）2=%等中，令了=一2,得點紇的縱坐標為無+1,因此I4為+"=1,D正確.

故選：ABD

【點睛】結(jié)論點睛：直線/：y=fcv+b上兩點44%）,3襄2，%）間的距離記?|x「X2l；

直線/：x=my+t上兩點A（無1，%）,8（%，%）間的距離|AB|=J1+療.I%%I-

5+血

7

【分析】設(shè)N（w，%）,直線MN的方程為>3,聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，

根據(jù)根的判定式A>0,求出人的取值范圍，根據(jù)以4.=^5》0”，即可得到％=2%,即可求出儲

【詳解】解：由題意得C（0,2）,直線"N的斜率存在，設(shè)N（%,%），直線MN的方程為>=依-3,

與》2+（>_2）2=9聯(lián)立，得（左2+1）尤2_10履+16=0,A=100Z:2-64（^2+1）=36k2-64>0,,

%+%=V+1,網(wǎng)無2=武[因為"的=：SAACM，所以;x3x"|=|x；x5x卜|,則岡=2㈤，于是無2=2占,

（由點A及C在y軸上可判斷出X],%同號）

3x-10k_

所以1￡1，兩式消去4,得左2=電，滿足A>o,所以左=±組.

2x；=T77

I'k2+\

故答案為：土組

7

6.[-2-^,-2+76]

【分析】由題意畫出圖形，畫出以原點為圓心，以26為半徑的圓，結(jié)合圖形分析推理，點A在這個圓截直

線x-y+4=0所得弦上時，滿足要求，列出不等式求解即得.

【詳解】如圖所示，顯然直線x-y+4=0與圓/+丁=10相交，

15

當(dāng)點A為直線上的定點且在圓外，直線4氏AC與圓相切時，SBAC最大，

點A是直線被圓所截弦上的點（除弦的端點外）時，點A對圓上兩點所張角在（0,加，

點A在直線上從弦端點開始遠離圓方向運動時，SBAC逐漸變小，點A移動到某位置A使得直線AB,AC為

圓的切線，aBAC就為直角，再沿著此方向移動，SB4C將小于直角，則A為點A的邊界位置，

當(dāng)點A在4處時，ABOC為正方形，則。4=2岔，

則點A是以。為圓心，2石為半徑的圓截直線x-y+4=0所得弦上的點時符合要求，即直線上的點A在該圓及

內(nèi)部，

|04區(qū)25/5,A（x,x+4）,則+（x+4>V20n%2+4x—2V0=>—2—>/6VxV—2+y/6,

點A橫坐標的取值范圍是［-2-后,-2+而］.

故答案為：［-2,-2+峋

【點睛】（1）直線上的動點與圓的關(guān)系類問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形的幾何特征是解題的關(guān)鍵；

⑵圓相外的定點向圓引的兩條切線夾角是該點對圓上兩點所張的角中最大的.

反思提升：

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

（1）幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

（3）點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

【考點2】圓的切線、弦長問題

一、單選題

1.（23-24高二下?廣東茂名?階段練習(xí)）已知圓C:（x-3y+（y-4）2=9,直線/:（〃z+3）x—（〃z+2）y+〃2=O.

則直線/被圓C截得的弦長的最小值為（）

A.2幣B.710C.2.x/2D.娓

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）過點尸（。⑼作圓尤2+丁=2的切線，A為切點，1pAl=1,則2”人的最大值是（）

A.V15B.V13C.4D.3

二、多選題

3.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測）已知點M在直線/：y—4=Mx-3）上，點N在圓。:尤2+,2=9上，則下列說

16

法正確的是（）

A.點N至心的最大距離為8

B.若/被圓。所截得的弦長最大，則上=4]

c.若/為圓。的切線，則上的取值范圍為，0,11

D.若點M也在圓。上，則。至!|/的距離的最大值為3

4.（23-24高二上?湖南常德?期末）已知圓M:（尤+1了+丁=2,直線/：x-y-3=0,點P在直線/上運動，直

線P4,尸3分別與圓M切于點A,5.則下列說法正確的是（）

A.|尸山最短為?

B.|上4|最短時，弦A3所在直線方程為y=x

C.存在點P,使得".尸8=0

D.直線A3過定點為（一于-彳）

三、填空題

5.（2022?四川成都?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，已知直線“x-y+2=。與圓C:/+y2一2彳-3=0交

于A,8兩點，若鈍角VABC的面積為右，則實數(shù)a的值是

6.（2024?全國,模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，P的坐標滿足Qj+2）,reR,已知圓。:（％-3丫+y?=1,

過尸作圓C的兩條切線，切點分別為A8,當(dāng)NAP3最大時，圓C關(guān)于點P對稱的圓的方程為

參考答案:

題號1234

答案AAABDABD

1.A

【分析】先求出直線/所過的定點*2,3）,數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)CP，/時，直線/被圓C截得的弦長最小，再由

垂徑定理得到最小值.

【詳角軍】直線/:（根+3）%—（根+2）y+機=%（工一丁+1）+3尤一2,=。，

fx—y+1=0fx=2/、

令I(lǐng)」2y=0'解得「=3’所以直線/恒過定點尸（2,3），

圓C:（x-3）2+（y-4）2=9的圓心為C（3,4）,半徑為r=3,

且|PC『=（2一3了+（3_4）2=2<9,即尸在圓內(nèi)，

17

當(dāng)CP，/時，圓心C到直線I的距離最大為d=\PC\=y[2,

此時，直線/被圓C截得的弦長最小，最小值為2護工7=2近?

2.A

【分析】先根據(jù)切線長度求出|0P|為定值，即。2+/=3,設(shè)2a-6一,兩個方程聯(lián)立，禾煙△對求

的取值范圍.

【詳解】由題意：|OP『=|OA「+|AP『,即4+匕2=3.

設(shè)2a-b=f,則b=2a-t,+b2=3）+（2a—Z）"=3=>5a2—4at+t2—3=0.

因為關(guān)于。的一元二次方程一定有解，

所以A=1）2-4*5*（『-3"0"415n-店4/4上.

故選：A.

3.ABD

【分析】求出圓心。到直線/距離的最大值，可求得N至！|/的最大距離，可判斷A選項的正誤；將圓心的坐

標代入直線/的方程，求出左的值，可判斷B選項的正誤；利用圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合點到直線

的距離公式求出后的值，可判斷C選項的正誤；分析可知當(dāng)直線/與圓。相切，求出。至心的距離的最大值，

18

可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，由題意可知，直線/過定點P（3,4）,

圓。的圓心為原點。，半徑為3,設(shè)圓心。到直線/的距離為d.

當(dāng)時，d=\OP\=y/32+42=5,

當(dāng)OP與直線/不垂直時，d<\OP\=5.

綜上所述，d<\O^[=5,所以，點N至卜的最大距離為5+3=8,A對；

4

對于B選項，若/被圓。所截得的弦長最大，則直線/過圓心。，可得-3k=T,所以％=§,B對；

對于C選項，若/為圓。的切線，則g望=3,解得笈=三，C錯；

VFTi24

對于D選項，若M也在圓。上，則直線/與圓。相切或相交，

當(dāng)直線/與圓。相切時，。至M的距離取最大值3,D對.

故選：ABD.

4.ABD

【分析】確定當(dāng)MP1/時，盧河|最小，即可求得1PAi的最小值，判斷A；結(jié)合A的分析，設(shè)出的方程，

求出弦心距，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)，即可判斷B；假設(shè)存在點P,使得R4.尸2=0,求出此時

IMP|=2,和M到直線/的最短距離比較，即可判斷C；求出切點弦的方程，結(jié)合點尸在直線/上運動,

求出A3所過定點，判斷D.

【詳解】由題意知，圓M:（x+l『+y2=2的半徑為近,且l:x-y-3=0,

故附=yj\PMf-\MAf=yj\PMf-2,

即當(dāng)1PMi最小時，|出|最短，當(dāng)MP4時，|加|最小，

最小值為?旨L20,故1pAi的最小值為5（2應(yīng)）2一2=痛,A正確;

19

當(dāng)1pAi最短時，MP11,故MP的斜率為-1,

又故A3的斜率為1,設(shè)其方程為x-y+〃?=。，

由于此時|孥="，也刊=2近，故地=改也=學(xué)=",

112\MP\2五2

所以M到A3的距離為J(0)2-(日)=日.

則有J__與絲)=三，解得〃2=0或價=2,

V22

由于AB〃/,結(jié)合圖形可知二者之間的距離應(yīng)小于|MP|=2后，

當(dāng)〃?=2時，無一y+2=0和/間的距離為與豈=述＞2日，

V22

m=0時，AB的方程為尤-V=。和/間的距離為學(xué)=述＜2及，

V22

故|PA|最短時，弦A3所在直線方程為丫=/B正確；

假設(shè)存在點P,使得尸A.尸8=0，則R4_LP3,

此時ABP為等腰直角三角形，則NAPM=45,結(jié)合M4_LX4,

則AM4P為等腰直角三角形，而|肱4|=應(yīng)，故|MP|=2,

由于M到直線/的最短距離為2a＞2,故不存在點P,使得卓?尸2=0,C錯誤；

設(shè)4%,%),8(%,%)/(/，%),由于直線P4,P8分別與圓M相切，

故直線PA,PB的方程分另U為Ui+D(x+1)+=2,(馬+l)(x+1)+y2y=2,

將P(x0,y0)代入，即(Xj+1)(尤0+1)+%%=2,(%+1)(尤0+1)+%%=2,

可得A3的方程為。+1)(%+1)+”0=2,

由于-3=。，即%=/一3,故(尤+1)(無o+l)+y(%-3)=2

1

fx+1+y=0x=——

即%(x+l+y)+(x-3y-l)=。，由于x()eR,故令(\2

[x-3y-l=01

產(chǎn)一5

即直線AB過定點為D正確，

故選：ABD

【點睛】難點點睛：本題綜合考查了直線和圓相切的問題，涉及最值、定點以及切點弦方程問題，綜合性

20

較強，難點在于選項D的判斷，解答時要注意根據(jù)圓的切線方程，推出切點弦方程，進而求解直線過定點

問題.

3_

5.—/—0.75

4

【分析】由鈍角VABC的面積為求得sinNACB=￥，得至=q，進而求得圓心到直線的距離

為1,結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.

【詳解】解：由圓C:Y+y2-2x-3=0,即(x-l『+y2=4,

可得圓心坐標為C(l,0),半徑為廠=2,

因為鈍角VABC的面積為相，可得S曲=gx2X2sinNACB=退，

解得sinNACB=,因為g<ZACB<",所以/AC8=—,

223

可得IA81=VAC2+BC2-2AC-BCcosZACB=273,

設(shè)圓心到直線的距離為d,又由圓的弦長公式，可得2獷9=26,解得4=1,

根據(jù)點到直線G-y+2=0的距離公式d=}^=l,解得0一;

y/a+14

3

故答案為：

4

6.(尤+2)~+(y-5y=1

【分析】求出點尸的軌跡，利用切線的性質(zhì)探討-4P3取最大的等價條件，由此求出點尸的坐標，再由對

稱求出圓方程.

【詳解】依題意，點尸的軌跡為直線/：y=