2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：橢圓（原卷版）

專題47橢圓（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1］橢圓的定義及應(yīng)用..................................................4

【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程....................................................5

【考點(diǎn)3】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)................................................7

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................11

【培優(yōu)篇】.................................................................12

考試要求：

1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.

2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

.知識(shí)梳理

1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,仍的距離的和等于常數(shù)(大于尸1仍|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫

做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的鯉I，焦距的一半稱為半焦距.

其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P={MI"Bl+|MR2|=2a},=其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：

(1)若心，則集合P為橢圓；

⑵若小口則集合P為線段；

(3)若我,則集合尸為空集.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

1+[=1(?>0)5+胃=1(。泌>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

y1.

B2

圖形烈一

￡^A2X

一aWxWa—bWxWb

范圍

—bWyWb—aWyWa

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)

Ai(~a,0),人2(。，0),Ai(0,~a),A2(0,a),

頂點(diǎn)

性~b),B2(0,b)0),Bz(b,0)

質(zhì)軸長(zhǎng)軸A\Ai的長(zhǎng)為2^；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b

焦距|FIF2|=2C

離心率e=，(0,1)

a,b,c的關(guān)系c2=cfi—b2

|常用結(jié)論

1.若點(diǎn)尸在橢圓上，R為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則

(l)6W|0P|Wa；

(2)a—cW|PF|Wa+a

2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(xo,泗)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PR1R2叫作焦點(diǎn)三角形，n=\PF\\,n

2

=\PF2\,ZFIPF2=0,△PR的的面積為S,則在橢圓,+g=1(。>。>0)中：

(1)當(dāng)r1=廠2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大；

(2)S=〃tan?=c|yo|,當(dāng)|yo|=6時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為。c.

2h2

3.焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)/min=二-.

?2

4.A3為橢圓a+，=1(。>。>0)的弦，A(xi,yi),3(x2,yi),弦中點(diǎn)M(xo,yo),則直線A3的斜

.真題自測(cè)

一、單選題

1.(2024?全國(guó)?高考真題)已知曲線C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP',P為

垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.—+^=1(j>0)B.—+^=1(y>0)

164168

2222

c.W1(y>0)D.^+―=1(y>0)

164168

2__.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)居，&為橢圓C:彌r+/=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，若所朋二0,貝|

M-\PF2\=()

A.1B.2C.4D.5

22

3.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，月，耳為橢圓C:二+乙=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，

96

3

cos/6尸貝！J|OP|二()

,12R而「匕nV35

A?D.L.L).

252

22

4.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)橢圓G：=+V=l(a>DC:土+y2=1的離心率分別為4,e?.若&=國(guó),

a4

則<7=()

A,巫B.

y/^2,C.y/3D.-\/6

3

r2v21

5.(2022?全國(guó)?高考真題)已知橢圓C：=+、=I(Q>Z?>O)的離心率為彳，A，4分別為。的左、右頂點(diǎn)，

ab3

8為C的上頂點(diǎn).若朗?砥=-1,則C的方程為()

3

B.二1D.—+/=1

982

22

6.（2022?全國(guó)?高考真題）橢圓C:之+與=l（a＞6＞0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.若

a'b'

直線AP,AQ的斜率之積為J,則C的離心率為（）

4

A右B&r1D1

A.D.C.—L）.—

2223

二、填空題

22

7.（2022?全國(guó)?高考真題）已知橢圓C:=+2=1（。＞人＞0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為弓，K,離心

ab

率為過(guò)K且垂直于A工的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，1?！陓=6,則的周長(zhǎng)是_____________.

2

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】橢圓的定義及應(yīng)用

一、單選題

22

1.（23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知耳，F(xiàn),是橢圓工+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則

2516

|尸聞忖國(guó)的最大值是（）

A.—B.9C.16D.25

4

22

2.（2024?陜西西安?三模）已知定點(diǎn)尸（2,0）與橢圓=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,若,則兩.而？

的最小值為（）

823J3

A.-B.13C.-D.—

332

二、多選題

22

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：=+3=1（4＞。＞。）的左、右焦點(diǎn)為K，F(xiàn)2,過(guò)尸2的直線

ab

7

與E交于M,N兩點(diǎn).若cosN隼明=g,|M^=|肛|.則（）

皿」

A.△々MN的周長(zhǎng)為4a

.|N聞2

D.橢圓E的離心率為也

C.MN的斜率為土退

3

4.（23-24高三下?黑龍江?階段練習(xí)）已知A（2,0）、3（4,1）,點(diǎn)M（x,y）為曲線C上動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若C為拋物線y2=8x,貝”（|舷4|+四同％=2+如

4

22

B.若C為橢圓言+右=1,貝！］（|^4|+|腔|）而"=10—質(zhì)

2___

C.若c為雙曲線=則（|肱4|+|MB|）1nhi=a一2

D.若C為圓月+y=1,貝+=岸

V.4zmin乙

三、填空題

22

5.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí)）設(shè)橢圓土+匕=1的左右焦點(diǎn)為片，工，橢圓上點(diǎn)尸滿足

2512

|尸耳|:|尸閶=2:3,則△尸/笆的面積為.

22

6.（23-24高二上?山東青島?期末）如圖所示，已知橢圓C:=+與=l（。>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為月,￡,

ab

點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8在y軸上，耳4_LG3,|%|=4|A圖，則C的離心率為.

反思提升：

橢圓定義的應(yīng)用技巧

（1）橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及弦長(zhǎng)、最值和

離心率等.

（2）通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.

【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、單選題

22

1.（2024?遼寧?二模）已知方程占+占=1表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

k—48—k

A.（4,6）B.（6,8）C.（4,8）D.（4,6）u（6,8）

2.（2024?廣西桂林?三模）已知橢圓C：工+上=1的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線與C交于A、8兩點(diǎn)，其中

43

點(diǎn)A在無(wú)軸上方且荏=2麗，則8點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

1377

A.-B.-C.----D.一

2244

二、多選題

22

3.（2021?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知加為3與5的等差中項(xiàng)，”為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線C:二+乙=1

mn

5

描述正確的是（）

A.曲線c可表示為焦點(diǎn)在y軸的橢圓

B.曲線C可表示為焦距是4的雙曲線

C.曲線C可表示為離心率是正的橢圓

2

D.曲線C可表示為漸近線方程是〉=±0天的雙曲線

22

4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知耳,耳分別為橢圓C:=+多=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，直線/:y=g（x-l）過(guò)

a'b

C的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，且與C交于兩點(diǎn)，則（）

A.△邛WN的周長(zhǎng)為8

B.△￡加的面積為％8

8

C.該橢圓的離心率為:

2

D.若點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，設(shè)尸到直線x=4的距離為d,則四=工

d2

三、填空題

22

5.（2023?廣東?二模）已知耳，F(xiàn)?分別是橢圓C：二+m=1（。>匕>0）的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且M鳥(niǎo)

ab

與X軸垂直，直線加月與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.若直線MN在y軸上的截距為3,且麗=4而，則橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

6.（2024?上海?三模）舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，。是滑槽A3的

中點(diǎn)，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處的較鏈與ON連接，MN上的栓子?？裳鼗跘3滑動(dòng)，當(dāng)

點(diǎn)。在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為C一點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)軌跡為若ON=0N=1,MN=3,且AB24,過(guò)Q上的點(diǎn)p向G作切線，則切線長(zhǎng)的最大值為_(kāi)

反思提升：

（1）利用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意條件2a>|八乃|;利用待定系數(shù)法要先定形（焦點(diǎn)位置）,

再定量，也可把橢圓方程設(shè)為加^十“產(chǎn)=1（機(jī)>0,n>Q,mW”）的形式.

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用

6

①方程5+為=1與5+3=刈>0）有相同的離心率.

C4-UCU

7272

②與橢圓a十%=1（。>6>0）共焦點(diǎn)的橢圓系方程為消仄+g裒=l（a>6>0,k+b2>0）,恰

當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

【考點(diǎn)3】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

一、單選題

22

1.（2024?山西太原?一模）設(shè)雙曲線「一斗=1（a、b均為正值）的漸近線的傾斜角為。，且該雙曲線與

ab

橢圓工+二=1的離心率之積為1，且有相同的焦距，貝Usina=（）

43

AS'R甘rV3nV2

713213

22

2.（2024?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的方程為工+匕=1,過(guò)橢圓中心的直線交橢圓于A、8兩點(diǎn)，F(xiàn),是

94

橢圓的右焦點(diǎn)，則8的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.8B.6+2石C.10D.8+2y/3

二、多選題

3.（2024?江西南昌?三模）將橢圓G：5+/l（a>6>。）上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)40<。<口角，得到橢圓

G的方程：V+y2一沖=6,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.a=2y/3B.橢圓C2的離心率為必

3

JT

C.（2,2）是橢圓G的一個(gè)焦點(diǎn)D.

4

4.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，長(zhǎng)、短軸所在直線不與坐標(biāo)軸重合的橢圓稱為

“斜橢圓"，將焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓繞著對(duì)稱中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,即得“斜橢圓"C:V+y2+沖=],設(shè)

「（七，%）在C上，則（）

A."斜橢圓”的焦點(diǎn)所在直線的方程為y=xB.C的離心率為亞

3

/y2

C.旋轉(zhuǎn)前的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為了+了=1D.一型V%4型

三、填空題

22

5.（2025?黑龍江大慶?一模）已知產(chǎn)是橢圓C:三+仁=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)，直線y=自化片0）交橢圓C于

ab

MN兩點(diǎn).若|尸=33=千，則橢圓C的離心率為.

6.（2023?廣西?一模）如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)片,月的橢圓C與雙曲線C'構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)

發(fā)出，依次經(jīng)過(guò)C'與C的反射，又回到點(diǎn)外.，歷時(shí)機(jī)秒；若將裝置中的C'去掉，則該光線從點(diǎn)匕發(fā)出，

7

經(jīng)過(guò)C兩次反射后又回到點(diǎn)我|歷時(shí)"秒，若C'的離心率為C的離心率的4倍，則竺=.

反思提升：

1.求橢圓離心率或其范圍的方法

解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用

方法如下：

(1)直接求出a,c,利用離心率公式e=：求解.

(2)由a與人的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=yj1一攝求解.

⑶構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，

從而求得e.

2.利用橢圓幾何性質(zhì)求值域或范圍的思路

⑴將所求問(wèn)題用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系.

⑵將所求范圍用a,b,c表示，利用a,b,c自身的范圍、關(guān)系求范圍.

聚分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.(2024?江西九江三模)已知橢圓C尤:2\+v22=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳過(guò)月且傾斜角為71g的直

ab6

線交c于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段A片的中點(diǎn)在y軸上,△△月月的面積為26,則C的方程為()

X221X2J2

A.——+y=1B.——+—=1

332

2222

Yvry

9396

2.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為左，焦距為20，則該橢圓的方程為

()

A.—+/=1B.^+>2=i

39?

8

D.JJ

C_i

973628

3.（2024?福建泉州?二模）若橢圓￡+[=1（"0）的離心率為冷，則該橢圓的焦距為（）

A.^/3B.\/6C.2y[^或6D.2^/^或

4.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）若動(dòng)直線儂:+毆=2帆+川（“〃￡R）始終與橢圓。：5+2=1（。>0且〃工有）

a3

有公共點(diǎn)，則。的離心率的取值范圍是（）

D.

二、多選題

22

5.（2024?河南開(kāi)封三模）橢圓C:—二+當(dāng)=l（m>0）的焦點(diǎn)為月，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,直線A耳與C的另

m+1m

TT

一個(gè)交點(diǎn)為8,若N￡A為=§,貝I」（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長(zhǎng)為2道

C.C的離心率為且D.AAB月的周長(zhǎng)為8

2

22

6.（2024?山東濰坊?二模）已知橢圓C：±+匕=1的焦點(diǎn)分別為大，居，尸為C上一點(diǎn)，貝U（）

94

A.C的焦距為2岔B.C的離心率為延

3

C.4月尸乙的周長(zhǎng)為3+拓D.面積的最大值為

7.（20-21高三上?江蘇南通?期末）嫦娥奔月是中華民族的千年夢(mèng)想.2020年12月我國(guó)嫦娥五號(hào)"探月工程"

首次實(shí)現(xiàn)從月球無(wú)人采樣返回.某校航天興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬"探月工程"，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌

道近月點(diǎn)制動(dòng)（俗稱"踩剎車"）后，以vkm/s的速度進(jìn)入距離月球表面〃km的環(huán)月圓形軌道（月球的球心

為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)），環(huán)繞周期為人，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為mkm,則（）

*

遠(yuǎn)月點(diǎn)?

A.圓形軌道的周長(zhǎng)為（2mY）km

9

B.月球半徑為km

C.近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為（加-〃+?卜m

D.橢圓軌道的離心率為巴上

m+n

三、填空題

22

8.（2022?廣東佛山?三模）已知橢圓C:土+匕=1,K、尸2為C的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，貝8

2516

內(nèi)切圓半徑的最大值為.

9.（2024?廣東江門?二模）已知圓4：5+1）2+必=1內(nèi)切于圓尸，圓尸內(nèi)切于圓2：（x-lp+產(chǎn)=49,則動(dòng)圓尸

的圓心的軌跡方程為.

10.（2023?貴州畢節(jié)?一模）勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂

22

點(diǎn)間作圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形（如圖），已知橢圓L+3=i（0<b<2）的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個(gè)

4b

勒洛三角形，則該勒洛三角形的周長(zhǎng)為.

22

11.（2024?陜西榆林,模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：2+方=1（4>6>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳（-c,0）,耳（c,0）,

過(guò)F2的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，且△MNP；的周長(zhǎng)為8,△西耳的最大面積為石.

⑴求橢圓C的方程;

（2）設(shè)匕>1,是否存在x軸上的定點(diǎn)尸，使得APMN的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

221C3、

12.（2024?廣東梅州?二模）已知橢圓C：=+與=1（。>/,>0）的離心率為「且經(jīng)過(guò)點(diǎn)71,彳.

a2b-2I2）

⑴求橢圓C的方程：

⑵求橢圓c上的點(diǎn)到直線/：y=2x的距離的最大值.

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓距》+%=1（4>"0）的左右焦點(diǎn)為右頂點(diǎn)為A,已知點(diǎn)尸

在橢圓E上，若/與尸鳥(niǎo)=90。,/尸48=45。，則橢圓E的離心率為（）

10

A.|B.4C.2-V2D.73-1

二、多選題

3

2.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知人（-2,0）,5（2,0）,C（l,0）,動(dòng)點(diǎn)M滿足叱與A?的斜率之積為動(dòng)點(diǎn)

M的軌跡記為：T,過(guò)點(diǎn)C的直線交「于尸，。兩點(diǎn)，且尸，。的中點(diǎn)為R,貝U（）

A.M的軌跡方程為三+$