2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：橢圓（解析版）

專(zhuān)題47橢圓（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................8

【考點(diǎn)1】橢圓的定義及應(yīng)用..................................................8

【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程....................................................15

【考點(diǎn)3】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)................................................21

【分層檢測(cè)】...............................................................26

【基礎(chǔ)篇】.................................................................26

【能力篇】.................................................................35

【培優(yōu)篇】.................................................................40

考試要求：

1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.

2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

?知識(shí)梳理

1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,仍的距離的和等于常數(shù)(大于尸1仍|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫

做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的鯉I，焦距的一半稱(chēng)為半焦距.

其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P={MI"Bl+|MR2|=2a},=其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：

(1)若心，則集合P為橢圓；

⑵若小口則集合P為線(xiàn)段；

(3)若我,則集合尸為空集.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

1+[=1(?>0)5+胃=1(。泌>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

y1.

B2

圖形烈一

￡^A2X

一aWxWa—bWxWb

范圍

—bWyWb—aWyWa

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)

Ai(~a,0),人2(。，0),Ai(0,~a),A2(0,a),

頂點(diǎn)

性~b),B2(0,b)0),Bz(b,0)

質(zhì)軸長(zhǎng)軸A\Ai的長(zhǎng)為2^；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b

焦距|FIF2|=2C

離心率e=，(0,1)

a,b,c的關(guān)系c2=cfi—b2

|常用結(jié)論

1.若點(diǎn)尸在橢圓上，R為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則

(l)6W|0P|Wa；

(2)a—cW|PF|Wa+a

2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(xo,泗)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PR1R2叫作焦點(diǎn)三角形，n=\PF\\,n

2

=\PF2\,ZFIPF2=0,△PR的的面積為S,則在橢圓,+g=1（。＞。＞0）中：

（1）當(dāng)r1=廠2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大；

（2）S=〃tan?=c|yo|,當(dāng)|yo|=6時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為。c.

2h2

3.焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長(zhǎng)/min=二-.

?2

4.A3為橢圓a+，=1（。＞。＞0）的弦，A（xi,yi）,3（x2,yi）,弦中點(diǎn)M（xo,yo）,則直線(xiàn)A3的斜

真題自測(cè)

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?高考真題）已知曲線(xiàn)C：x2+y2=16（y＞0）,從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)段PP「P為

垂足，則線(xiàn)段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

B.—+^=1(y>0)

(J>0)

168

22

(y>o)D.—+—=1(y>0)

168

r2

2.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)居，&為橢圓C:^+：/=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上,若尸耳J耳=0,則

附|?熙|=（）

A.1B.2C.4D.5

22

3.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，月，耳為橢圓C:二+乙=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上,

96

3

COSZF{PF2=~,貝！J|OP|二()

13R屈14J35

A.——D.-----C.—D.

5252

22

4.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)橢圓￡：=+>2=1(“>1),G:土+y2=1的離心率分別為4,4.若4=氐,則

a4

a=（）

A.正B.72C.百D.76

3

22

5.（2022?全國(guó)?高考真題）已知橢圓C：彳r+斗v=1（〃〉力＞0）的離心率為彳1，。4分別為。的左、右頂點(diǎn),

ab'3

8為C的上頂點(diǎn).若3?%=-!,則C的方程為（）

3

22

6.(2022?全國(guó)?高考真題)橢圓C:之+與=l(a>6>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸,。均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若

cTb"

直線(xiàn)AP,AQ的斜率之積為J,則C的離心率為()

4

A右B&r1D1

A.D.C.—L).—

2223

二、填空題

22

7.(2022?全國(guó)?高考真題)已知橢圓C：A+\=l(a>6>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為五一工，離心

ab

率為過(guò)K且垂直于A工的直線(xiàn)與C交于。，E兩點(diǎn)，1?！陓=6,則V">E的周長(zhǎng)是____________.

2

參考答案：

題號(hào)123456

答案ABBABA

1.A

【分析】設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸(羽2丫)，代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x，y),則尸?%),P'(x,0),

因?yàn)椤盀镻P的中點(diǎn)，所以為=2y,即P(x,2y),

又尸在圓/+：/=16(>>0)上，

所以X?+4y2=16(>>0),R=l(y>0),

164

即點(diǎn)M的軌跡方程為一+二=Ky>0).

164

故選：A

2.B

【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出「月心的面積，即可解出；

方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)槭?盟=0,所以/期乙=90,

從而5研=62121145=l=1x|Pf；|.|PK|,所以歸耳HPE|=2.

故選：B.

方法二：

2

因?yàn)槠?6=0,所以/尸片月=90,由橢圓方程可知，C=5-1=4^C=2,

4

所以I咫「+歸用2=但閭2=42=16,又歸耳|+|尸q=2.=2有，平方得:

|尸球+|尸球+2|尸制尸周=16+2|尸耳歸閭=20,所以|「耳卜|尸閭=2.

故選：B.

3.B

【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出P月外的面積，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出|OP|的值;

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|P制尸段周2,再結(jié)合中線(xiàn)的向量公式以及數(shù)量積即

可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸國(guó)2+|尸周:即可根據(jù)中線(xiàn)定理求出.

【詳解】方法一：設(shè)/片2工=2&0＜，＜曰,所以S兩&=廿tan=吩tan。,

由。“伊――喘治二之31

=一，解得：tan6>=-,

52

由橢圓方程可知,。2=94=6,02=〃2一。2=3,

2

所以，S=gx|￡G|x|yj=gx2gxbj=6xg,解得：yp=3,

即$=91斕*因止匕|。尸|=7^=網(wǎng)=等.

故選:B.

方法二：因?yàn)閨尸￡困尸閶=2a=6①,歸片『+|「同『-2|尸川尸鳥(niǎo)區(qū)甲遲=閨耳『，

即+L=12②，聯(lián)立①②，

1599

解得：閥廳閶=5,閥|+\PF2\=21,

而PO=+桃），所以依=|叫=+PF2\,

即|叫=:摩+「■=4附1+2P吊尸居+,[=]21+2X泮=學(xué).

乙乙"乙Yj乙乙

故選：B.

方法三：因?yàn)閨P4|+|P6|=2a=6①,歸周2+歸閱2一21朋陀閶?os/耳尸耳=|耳周2,

即?「+附%卜]2②，聯(lián)立①②，解得：附『+附「=21,

22

由中線(xiàn)定理可知，（2|OP|）+|f；f；|=2^PFf+\PF2^=42,易知閨司=26，解得：|OP|=§.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常

5

規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線(xiàn)問(wèn)題的方式解決，還可以直接用中線(xiàn)定理解決，難

度不是很大.

4.A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.

【詳解】由e2=gq,得e；=3e；,因此上l=3x",而所以。=友.

4/3

故選：A

5.B

【分析】根據(jù)離心率及外?%=-1，解得關(guān)于〃2,從的等量關(guān)系式，即可得解.

【詳解】解：因?yàn)殡x心率=L解得與=!，。2=>,

A-4分別為c的左右頂點(diǎn)，則4(一40),4(a,0),

2為上頂點(diǎn)，所以8(0,6).

所以網(wǎng)=(一。，一力，B&=(a,—b),因?yàn)榫W(wǎng)?%=—1

O

所以-/+62=一1,將廿=\"代入，解得"=9方=8,

22

故橢圓的方程為土+匕=1.

98

故選：B.

6.A

【分析】設(shè)尸a，%),則。(F,%),根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得—尤=；，再根據(jù)］+/=i,將％用

4表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

【詳解】［方法一］：設(shè)而不求

設(shè)尸(%,%),則Q

則由原p?怎。=J得：kAP'kAQ=T-----=一變

4石+a-石+a_%■

fe2(?2-v)

得短

6

/ST)及1

所以一滔—1,即勺」，

——一玉2~+4—=74a4

所以橢圓C的離心率=故選A.

a\a22

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點(diǎn)為B,連接PB,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：kPB=-kAQ

故k：Ap?鐮=kpA?(-kpB)=

h2

由橢圓第三定義得：kpA-kpB=—\,

a

故!」

a24

所以橢圓C的離心率e小廠故選A.

7.13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為?+3=1，即31+49-12,2=0,根據(jù)離心率得到直線(xiàn)的斜

率，進(jìn)而利用直線(xiàn)的垂直關(guān)系得到直線(xiàn)DE的斜率，寫(xiě)出直線(xiàn)DE的方程：尤=6y-c,代入橢圓方程

1a1Q

3y+49-12，=0,整理化簡(jiǎn)得到：13/-6V3cy-9c2=0,利用弦長(zhǎng)公式求得c=上，得。=2c=」,根據(jù)對(duì)

■"84

稱(chēng)性將7ADE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△鳥(niǎo)DE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4。=13.

c1

【詳解】回橢圓的離心率為e=—=彳，0?=2c,0Z>2=a2-c2=3c2,回橢圓的方程為

a2

22

券+云=1,即3V+4y2-i2c2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為f；,右焦點(diǎn)為招，如圖所示，回Ag=a,OF2=c,a=2c,

-TT

0ZA/^O=j,回△AG鳥(niǎo)為正三角形，回過(guò)月且垂直于人居的直線(xiàn)與C交于D,E兩點(diǎn)，DE為線(xiàn)段AF2的垂

直平分線(xiàn)，回直線(xiàn)DE的斜率為乎，斜率倒數(shù)為岔，直線(xiàn)。E的方程：x=6y-c,代入橢圓方程

3f+4戶(hù)12c2=0,整理化簡(jiǎn)得到：13y2—6百cy-9c2=0,

判另|J式A=(6&『+4xl3x9c2=62x16x02,

叫。閭=J+(⑹,IM-y2卜2x=2x6x4x-=6,

1313

13c13

團(tuán)c——,zna=2c=—

84

團(tuán)OE為線(xiàn)段人工的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，AD=DFVAE=EF2,團(tuán)VAO石的周長(zhǎng)等于△修足的周長(zhǎng),

利用橢圓的定義得到△修組周長(zhǎng)為

7

\DF2\+\EF2\+\DE\=^DF2\-i-\EF2\+\DF1\+\EFl\^DFi\+\DF2\+\EFi\+\EF^=2a+2a=4a=13.

故答案為：13.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】橢圓的定義及應(yīng)用

一、單選題

22

1.（23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知大，尸2是橢圓工+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓上一點(diǎn)，則

|「聞忖閭的最大值是（）

A.—B.9C.16D.25

4

22

2.（2024?陜西西安?三模）已知定點(diǎn)尸（2,0）與橢圓,于=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,若PMLPN,她PM?NM

的最小值為（）

823J3

A.-B.13C.一D.—

332

二、多選題

22

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：=+2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)為打，左,過(guò)F2的直線(xiàn)

ab

7

與E交于N兩點(diǎn).若cosN隼*=§,.則（）

A\MF2\1

A.的周長(zhǎng)為4〃B.=-

口均2

C.MN的斜率為±6D.橢圓E的離心率為必

3

4.（23-24高三下?黑龍江?階段練習(xí)）己知4（2,0）、3（4,1）,點(diǎn)"（x,y）為曲線(xiàn)C上動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確

8

的是（）

A.若C為拋物線(xiàn)y?=8x,貝可|肱4|+|〃6|）.=2+&7

22

B.若C為橢圓言+4=1,貝|（|^4|+|腔|）而"=1。一回

2

C.若c為雙曲線(xiàn)尤2一1_=1,則+1nhi=歷一2

D.若C為圓Y+y』，貝|心胸+照）=等

、~乙）min乙

三、填空題

22

5.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí)）設(shè)橢圓工+乙=1的左右焦點(diǎn)為片，工，橢圓上點(diǎn)尸滿(mǎn)足

2512

「耳|:|尸名|=2:3,則PG外的面積為.

22

6.（23-24高二上?山東青島?期末）如圖所示，已知橢圓C:j+與=1（。>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為片

ab

點(diǎn)A在。上，點(diǎn)5在y軸上，耳4,用氏忸閶二川4閶，則。的離心率為.

參考答案:

題號(hào)1234

答案DCABDBCD

1.D

【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.

【詳解】因?yàn)閨W|+|P閭=10,所以|尸團(tuán).［尸封［幽土四］=25,

I2J

當(dāng)且僅當(dāng)|尸制=|尸閶=5時(shí)，|尸耳卜|尸閭?cè)〉阶畲笾?

故選：D.

2.C

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示，列出函數(shù)關(guān)系并求出最小值.

22

【詳解】設(shè)橢圓土+工=1上的點(diǎn)M（6cos0,3sine）（6eR）,而PM口N,

369

9

因止匕PM?NM=PM(NP+PM)=PMNP+PM?=PM?

=(6cos。-2)2+(3sin6))2=36cos20-24cos^+9sin26

423234

=27cos2，-24cos6>+13=27(cos6--^2+—>—,當(dāng)且僅當(dāng)cos0=§時(shí)取等號(hào)，

23

所以尸的最小值為

故選：C

3.ABD

【分析】利用橢圓的定義可得△6MN的周長(zhǎng)，可判斷A選項(xiàng)；沒(méi)/NMD=a,由cos2a得sina,而

sino=卡就可得局=],設(shè)|岫|=2相，得|NM|=|M|=3相，進(jìn)而由橢圓的定義可得|崢卜相，

\NF^=2m,從而可判斷B選項(xiàng)；在△與M入中用正弦定理可得,=半加，進(jìn)而求tanZFJKN可得直線(xiàn)MN

的斜率，可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算離心率可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：過(guò)尸2的直線(xiàn)與E交于"，N兩點(diǎn)且COSN耳=

連接片N,/不吟的平分線(xiàn)交6N于點(diǎn)。，如圖所示：

則△4MN的周長(zhǎng)等于|阿|+|AW|+\NF]=\MF\+\MF2\+|Ng|+|叫|=4a

故A正確；

對(duì)于B：設(shè)ZNMD=a,

711

貝Ucos2a=l-2siij2a=—nsin2?=—=>sina=-,

993

而sina」3=^=幽二

3\NM\\NM\\NM\3

設(shè)卜2m(m>0),貝=|町|=3m,

于是|g|+|MW|+|Aff；|=8M=4a,即a=2?i.

+\MF^=2a=4m,得|蟠|=機(jī)，

10

又W司+\NFt\=2a=4m,得|遇|=2根,

所以黑

5,故B正確;

|N聞2m

對(duì)于C：在△邛"，由余弦定理可得：山閭2=照娟2+M閭2一2陷用MK|cos2a,

則222即

4c=9m+m-2x3m—=c=2Gm.

933

在△稗心中，=\NF2\=2m,又。是耳工中點(diǎn),

所以NO，耳鳥(niǎo)，則|NO|=JN琢一M=當(dāng)小

于是tan/片gN=網(wǎng)''

所以MN的斜率為點(diǎn)N在x軸上方時(shí)一應(yīng)，在x軸下方時(shí)也，故C錯(cuò)誤;

2y

M

對(duì)于D：e=—c=-~-^--=—A/3,故D正確.

a2m3

故選：ABD.

4.BCD

【分析】利用拋物線(xiàn)的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；利

用雙曲線(xiàn)的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；利用圓的方程以及數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖所示:

拋物線(xiàn)/=8x的焦點(diǎn)為A(2,0),準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2,

設(shè)點(diǎn)M在直線(xiàn)尤=-2上的射影點(diǎn)為E,由拋物線(xiàn)的定義可得|阿|=\MA\,

所以，|M4|+|MB|=|ME|+|A?|,

由圖可知，當(dāng)E、M、8三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，卜W閩+W叫取最小值,

且其最小值為點(diǎn)8到直線(xiàn)x=—2的距離，即(1^41+131)訕=6,A錯(cuò)；

11

對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示:

22_________

對(duì)于橢圓3+5=1,。=5,b=A/21，則c=yja2—b2-V25-21=2，

22

則點(diǎn)A為橢圓合+卷=1的右焦點(diǎn)，取。(-2,0)為該橢圓的左焦點(diǎn)，

由橢圓的定義可得|他4|=2。-|加0|=10-|加0|,

所以，網(wǎng)+眼同=10+|班-|岫210-幽=10-44+2)2+1=10-收,

當(dāng)且僅當(dāng)M為射線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，|初4|+|血8|取最小值10-厲，B對(duì);

2__________

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于雙曲線(xiàn)f一］_=1,a=l,8=6，則c=+/=J1+3=2,

2

所以，點(diǎn)4(2,0)為雙曲線(xiàn)尤2一(_=1的右焦點(diǎn)，

2

取0(-2,0)為雙曲線(xiàn)/-5=1的右焦點(diǎn)，如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)的右支時(shí)，由雙曲線(xiàn)的定義可得|九洲=2。=2,則|M4|=|ME>|-2,

所以，|MA|+|MB|=|MD|+|MB|-2N|SD|-2=歷-2,

當(dāng)且僅當(dāng)“為線(xiàn)段3D與雙曲線(xiàn)右支的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立;

當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)的左支時(shí)，由雙曲線(xiàn)定義可得|M4|TME?|=2a=2,

貝！］|M4|=|MD|+2,所以，|M4|+|MB|=|MD|+|Affi|+2上忸0+2=厲+2,

當(dāng)且僅當(dāng)M為線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)左支的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，(|他4|+|〃同)向「1方-2,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，記點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)M(x,y),易知一-1<y<1,

12

22

|A/A|=—+J=yjx-4x+4+y=Jx?-4x+1+y?+3（尤，+?。?/p>

所以，^\MA\+\MB\=\MH\+\MB\>\HB\=^4-1j+12

當(dāng)且僅當(dāng)M為線(xiàn)段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

即］:=半，口對(duì)-

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用二次曲線(xiàn)的定義求解線(xiàn)段和的最小值，有如下方法：

(1)求解橢圓、雙曲線(xiàn)有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)度和、差的最值，都可以通過(guò)相應(yīng)的圓錐曲線(xiàn)的定義分析問(wèn)題；

(2)圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過(guò)連接圓外的點(diǎn)與圓心來(lái)分析求解；

(3)在拋物線(xiàn)中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線(xiàn)為

直線(xiàn)解決最值問(wèn)題.

5.12

【分析】結(jié)合橢圓定理、勾股定理的逆定理與三角形面積公式計(jì)算即可得.

【詳解】由橢圓定義可得|正司+|尸閭=2a=10,

\ppIo

則有右耳=$則叫=4,附1=6,

又但鳥(niǎo)|=2c=2,25-12=2岳,

由42+62=52=（2而『，故/居P耳=90。,

故S乎&=gx4x6=12.

故答案為：12.

6.叵~/上回

55

13

【分析】

設(shè)出根，利用橢圓定義和圖形對(duì)稱(chēng)性，借助于耳4,耳5求得。與機(jī)的數(shù)量關(guān)系，接著在RtZ\03U中

求得COSNO^B,從而得到cos/人工耳，最后在A巴耳中運(yùn)用余弦定理即可求得.

【詳解】設(shè)|A&|=m,依題意，|AEI=2a—加，因點(diǎn)5在V軸上，貝力3耳|=|3笈|=4m，\AB\=5mf

又因624_1月氏則（2〃一加）2+（4冽）2=（5m）2,化簡(jiǎn)得a=2根，在RtZXOB居中，cosZOF2B=-^—,故

4m

cosNAK月=--^―,

Q1

在4ABK中由余弦定理，（2〃-m）2=（2c）2+m2-2-2c-mcosZAFF-a2=4c2+-a2-2ac\——r）,

2X442a

解得：2a2=502,即e?==，則離心率為叵.

55

故答案為：亞.

5

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由橢圓的焦半徑想到橢圓定義式，由垂直想到求三邊利用勾股定理，由邊的數(shù)量關(guān)系

想到設(shè)元替換，遇到三角形的邊角關(guān)系，要考慮能否用正、余弦定理.

反思提升：

橢圓定義的應(yīng)用技巧

（1）橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及弦長(zhǎng)、最值和

離心率等.

（2）通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.

【考點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、單選題

22

1.（2024?遼寧，二模）已知方程4+4=1表示的曲線(xiàn)是橢圓，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

左一48—k

A.（4,6）B.（6,8）C.（4,8）D.（4,6）u（6,8）

2.（2024?廣西桂林?三模）已知橢圓C：三+t=1的右焦點(diǎn)為凡過(guò)尸的直線(xiàn)與C交于A、8兩點(diǎn)，其中

43

點(diǎn)A在尤軸上方且4尸=2尸3，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

1377

A.—B.-C.D.一

2244

二、多選題

22

3.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知〃?為3與5的等差中項(xiàng)，”為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線(xiàn)C:上+）-=1

mn

描述正確的是（）

A.曲線(xiàn)c可表示為焦點(diǎn)在y軸的橢圓

B.曲線(xiàn)C可表示為焦距是4的雙曲線(xiàn)

14

C.曲線(xiàn)c可表示為離心率是交的橢圓

2

D.曲線(xiàn)。可表示為漸近線(xiàn)方程是,=±岳的雙曲線(xiàn)

22

4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知大，工分別為橢圓C:，+與=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)

ab

c的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，且與C交于兩點(diǎn)，則（）

A.△邛WN的周長(zhǎng)為8

B.△月MN的面積為%8

8

C.該橢圓的離心率為!

2

D.若點(diǎn)尸為C上一點(diǎn)，設(shè)尸到直線(xiàn)x=4的距離為d,則㈣=!

d2

三、填空題

22

5.（2023?廣東?二模）已知弓，F(xiàn)?分別是橢圓C：5+2=1（。>。>0）的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且班

ab

與X軸垂直，直線(xiàn)加K與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.若直線(xiàn)MN在y軸上的截距為3,且MN=4F1N,則橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

6.（2024?上海?三模）舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，。是滑槽AB的

中點(diǎn)，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處的錢(qián)鏈與QV連接，上的栓子。可沿滑槽A3滑動(dòng)，當(dāng)

點(diǎn)。在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為G，點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)軌跡為G.若ON=OV=1,MN=3,且過(guò)G上的點(diǎn)p向G作切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最大值為

參考答案:

題號(hào)1234

答案DDACDACD

1.D

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于0且不能相等即可求解.

22

【詳解】因?yàn)榉匠?三+占=1表示的曲線(xiàn)是橢圓，

女一48—左

15

左一4＞0

所以＜8-%〉0,解得4＜女＜8且4w6,

女一4w8—女

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（4,6）U（6,8）.

故選：D.

2.D

【分析】由題意可知：網(wǎng)1,0）,設(shè)4（%,%）,川電,%），根據(jù)向量共線(xiàn)可得，，結(jié)合橢圓方程運(yùn)

算求解即可.

【詳解】由題意可知：c=萬(wàn)=1，可知產(chǎn)（10），

ULHUULL

設(shè)4（和yj,磯22），則A尸=（1一石,-乂）,尸2=（9-1,%）,

M-o,整理得%=-2%

因?yàn)锳F=2FB，可得

再=3-2X2

22

(3-2X2)?(-2y2)

I解得々=：,

將A,8代入方程可得43

X；代_]

143

7

可知5點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

故選：D.

3.ACD

【分析】由已知條件先求出〃?，”的值，從而可得曲線(xiàn)C的方程，然后根據(jù)曲線(xiàn)方程分析判斷即可

【詳解】由沉為3與5的等差中項(xiàng)，得2〃?=3+5=8,即m=4,

由w為4與16的等比中項(xiàng)，得〃2=4x16=64,即〃=±8,

則曲線(xiàn)C:工+反=1的方程為1+?=1或

mn4848

其中I+E=l表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，此時(shí)它的離心率e=￡=、歸n=、「耳="，故A正確，

48a\a2\a2\82

C正確；

22______

其中3一方~=1表示焦點(diǎn)在X軸的雙曲線(xiàn)，焦星巨為2c=2，片+匕2=2,4+8=4#），漸近線(xiàn)方程為、=

±-x=±^x=±y/2x,故8不正確，。正確.

a2

故選:ACD.

16

4.ACD

【分析】由題意直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，待定系數(shù)4c,得到橢圓方程.選項(xiàng)A,由橢圓定義△耳MN的周長(zhǎng)為4a；

選項(xiàng)B,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓可得交點(diǎn)〃,N坐標(biāo)，可得的面積；選項(xiàng)c,e=-選項(xiàng)D,設(shè)橢圓上任

a:

一點(diǎn)尸（%,%）,則由橢圓方程可得y；=3x[i-乎],再由距離公式代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)求解四即可.

V47d

【詳解】由題意知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)/過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，

故直線(xiàn)/：y=-1）與x軸的交點(diǎn)（1,0）為右焦點(diǎn)尸2,

與'軸的交點(diǎn)為（0,-石）為頂點(diǎn)，設(shè)為“，

所以b=V3,C=1,貝I」Q=十-2,

22

所以橢圓的方程為土+工=1

43

對(duì)于A由橢圓的定義|耳的|+|取4=|耳N|+優(yōu)兇=2?,

所以△片A/N的周長(zhǎng)為4〃=8,故A正確.

對(duì)于B,由43消y得，5X2-8X=0,解得X=0,或1=]，

由則/='!，代入直線(xiàn)y=石（冗一1）,",

故N點(diǎn)坐標(biāo)為,

所以△KMN的面積

S=；比工卜|加7M=；x2cx1君+當(dāng)）W，故B錯(cuò)誤.

r1

對(duì)于C,因?yàn)椤?2,C=1,所以C的離心率e=—=二，故C正確.

a2

對(duì)于D,設(shè)尸（尤0,%）,則4=4-%.

因?yàn)槭??=1，所以此=3X[T，

則四=匹江^上。T)'31l〃一2%+4

d4—XQ4—XQ4—XQ

17

【分析】根據(jù)給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，再代入橢圓方程求解作答.

【詳解】由對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)”在第一象限，令直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)A,過(guò)N作NBLx軸于8,令

用(-<:,0),乙(c,0),

因?yàn)檩S，則。4//加工，而。為片工的中點(diǎn)，又A為〃耳中點(diǎn)，而1。4|=3,

于是1Ml=2|OA|=6,由MN=44N知，臺(tái)行5=￡，顯型NBUMF”

|Mrx|J

112c5c

因此|A?|=§|MKI=2,|8￡|=§|EK|=w，于是N(-§,-2),又此(c,6),

'25c24,

--2--2=1

則*b，解得廿=54,/=3。2,而。2=從+。2,貝”=27,您=81，

c236,

I.Fa'+Fb~=1

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+乙=10

8154

V2V2

故答案為：土+匕=1

8154

6.V15

【分析】以滑槽A3所在的直線(xiàn)為無(wú)軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出曲線(xiàn)C1和C?的方程,

利用三角換元設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出。尸的最大值，然后利用圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的求解方法，即可求得

18

答案.

【詳解】如圖，以滑槽A3所在的直線(xiàn)為尤軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镃W=1,所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡G是以。為圓心，1為半徑的圓,

則其方程為無(wú)?+y2=i,

設(shè)N(cosasinO),因?yàn)镺N=DN=1,所以￡?(2cos6,0),

因?yàn)殡臯=3,所以NM=3ND，

設(shè)貝(x-cose,y-sin6)=3(cosa-sin。)，得尤=4cos6,y=-2sin6,

22

所以“(48$仇-2$m0，則點(diǎn)M的軌跡a是橢圓，其方程為二+匕=1,

164

設(shè)。2上的點(diǎn)P(4cosa,—2sina),則

OP2=16cos2cif+4sin2cr=4+12cos2a<16,

所以切線(xiàn)長(zhǎng)為yjop2-1<V16-1=715,

所以切線(xiàn)長(zhǎng)的最大值為JF,

故答案為：V15

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查與橢圓有關(guān)的