2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習講義：隨機事件、頻率與概率（原卷版）

專題61隨機事件、頻率與概率（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1】隨機事件的關(guān)系....................................................4

【考點2】隨機事件的頻率與概率..............................................5

【考點3］互斥事件與對立事件的概率..........................................7

【分層檢測】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

考試要求：

1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.

2.T解兩個互斥事件的概率加法公式.

.知識梳理

1.概率與頻率

一般地，隨著試驗次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率加A）會

逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A）.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用

頻率加4）估計概率P（A）.

2.事件的運算

定義表示法圖示

事件A與事件B至少有一個發(fā)生，

并事件稱這個事件為事件A與事件B的AU/或A+5)

并事件（或和事件）

事件A與事件8同時發(fā)生，稱這

交事件樣一個事件為事件A與事件B的AA3(或AB)

交事件（或積事件）

3.事件的關(guān)系

定義表示法圖示

若事件A發(fā)生，事件3一定發(fā)

包含關(guān)系生，稱事件3包含事件4或事324或A^B)（O

件A包含于事件3）

如果事件A與事件3不能同時

若AnB=0,則A

互斥事件發(fā)生,稱事件A與事件5互斥

與B互斥

（或互不相容）

如果事件A和事件B在任何一

若AAB=0,且

次試驗中有且僅有一個發(fā)生,

對立事件AUB=Q,則A

稱事件A與事件3互為對立，

與3對立

事件A的對立事件記為A

|常用結(jié)論

1.從集合的角度理解互斥事件和對立事件

⑴幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.

⑵事件A的對立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補

2

集.

2.概率加法公式的推廣

當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即

P（AiUA2U???UA?）=P（Ai）+P（A2）H-----PP（A?）.

■真題自測

一、單選題

1.（2024?上海?高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三

種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國結(jié)，事件B：所選盒中有記事本，事件C：

所選盒中有筆袋，則（）

A.事件A與事件8互斥B.事件A與事件8相互獨立

C.事件A與事件BuC互斥D.事件A與事件3cC相互獨立

2.（2022?全國?高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手

與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為P”P2，P3,且記該棋手連勝兩盤的概率為p,則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

二、解答題

3.（2024?上海?高考真題）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學生中

抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時間范圍學業(yè)成績[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

⑴該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？

⑵估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）

⑶是否有95%的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)?

（附：/2=7TV；K----、/八，、，其中九=a+b+c+d,>3,841）^0.05.）

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）v'

4.（2022?北京?高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以

上（含9.50m）的同學將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽

成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

3

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

⑴估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；

⑶在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

.考點突破

【考點11隨機事件的關(guān)系

一、單選題

1.（2024?寧夏銀川,二模）2024年的高考數(shù)學將在6月7日下午進行，其中數(shù)學有12道單項選擇題，如果

每道選擇題的答案是從A,B,C,。四個選項中隨機生成，那么請你運用概率統(tǒng)計的知識，推斷分析下列

哪個選項最有可能成為2024年高考數(shù)學選擇題的答案分布（）

A.AA4A4AWL4A4B.ABCDABCDABCD

C.CDABACADCBDBD.DBCCCDCDBDBD

2.（23-24高一上?廣東梅州?開學考試）兩名同學在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻

率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗是（）

A.拋一枚硬幣，正面朝上的概率；

B.擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率；

C.轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；

D.從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率.

二、多選題

3.（2024?浙江?三模）已知A,B,C是一個隨機試驗中的三個事件，且0<P（A）<l,0<P（B）<l,下列

說法正確的是（）

A.若A與8互斥，則可與后不相互獨立

B.若A與8相互獨立，則A與3不互斥

4

C.若P（A⑻-P（網(wǎng)A）=P（AB）,且尸（AB）wO,則A與B相互獨立

D.若P（ABC）=P（A）.尸（3）P（C）,則A,B,C兩兩獨立

4.（2024?江西宜春?三模）同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件4甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件8：

乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點數(shù)相同.下列說法正確的有（）

A.事件A與事件8對立B.事件A與事件8相互獨立

C.事件A與事件C相互獨立D.P（C）=P（AB）

三、填空題

5.（23-24高三下?云南昆明,階段練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件A表示“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，

事件8表示"向上的點數(shù)不超過4",則P（AUB）=.

6.（2024?重慶?模擬預(yù)測）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法調(diào)

查了10000人，已知非吸煙者占比75%,吸煙者中患肺癌的有63人，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的

概率是未吸煙者患肺癌的概率的4.2倍，則估計本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是.

反思提升：

1.準確把握互斥事件與對立事件的概念：（1）互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時

不發(fā)生；（2）對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅

有一個發(fā)生.

2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事

件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.

【考點2】隨機事件的頻率與概率

一、單選題

1.（22-23高一下?福建莆田?期末）某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示：

射擊次數(shù)501002004001000

射中8環(huán)以上的次數(shù)4478158320800

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

2.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每

天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了

下列結(jié)論，其中正確的是（）

5

頻率/組距

「、

。1：532：5g3%：4%g完嬴乍業(yè)時間/小時

A.估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天

B.估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3

C.估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時

D.估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）某校高三年級有（1）,（2）,（3）三個班，一次期末考試，統(tǒng)計得到每班學生的

數(shù)學成績的優(yōu)秀率（數(shù)學成績在120分以上的學生人數(shù)與該班學生總?cè)藬?shù)之比）如表所示:

班級(1)(2)(3)

優(yōu)秀率80%85%75%

則下列說法一定正確的是（）

A.（2）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高

B.（3）班的學生人數(shù)不一定最少

C.該年級全體學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率為80%

D.若把（1）班和（2）班的數(shù)學成績放在一起統(tǒng)計，得到優(yōu)秀率為83%,則（1）班人數(shù)多于（2）班

人數(shù)

4.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）為了保證擲骰子游戲的公正性，可以用正〃面體的骰子來進行游戲.下列數(shù)

字可以作為〃的取值的是（）

可能用到的公式：多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為匕及尸，則V-E+尸=2.

A.4B.12C.16D.20

三、填空題

5.（2024?廣東廣州?三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇

一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個箱

子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打開了另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以便

增加中獎概率.現(xiàn)在已知甲選擇了1號箱，用A,表示i號箱有獎品（，=1,2,3,4）,用片表示主持人打開i號箱

6

子（i=2,3,4）,則P（國A）=，若抽獎人更改了選擇，則其中獎概率為.

反思提升：

1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用

概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.

2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于

某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.

【考點3】互斥事件與對立事件的概率

一、單選題

1.（2024?上海?三模）在一個有限樣本空間中，假設(shè)尸（A）=尸（B）=P（C）=g,且A與2相互獨立，A與C

互斥，以下說法中，正確的個數(shù)是（）

①P（AUb）=：②尸?A）=2尸（A?③若P（C|8）+P（C同二，則B與C互斥

JZ

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?山東煙臺?三模）一袋子中裝有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個黑球，從中不

放回的每次取出1個小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個小球顏色不同的概率為（）

二、多選題

3.（2024?云南大理?模擬預(yù)測）假設(shè)42是兩個事件，且P（A）=；,P（B|A）=P（B）,則（

171

A.P（AB）=-B.尸（A8）=dC.P（A+B）=|D.P（A|B）=|

4.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測）隨機投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點數(shù)之積為X,擲出的點

數(shù)之和為丫，則（）

A.事件"X=2"和"y=4"相等B.事件"X=4"和"丫=6"互斥

153

C.X為奇數(shù)的概率為gD.Y<17的概率為三

854

三、填空題

5.（22-23高二下?天津?期末）天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相

聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點之一.某位北京游客經(jīng)常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高

鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4,高鐵和大巴準點到達的概率分別為0.9和0.8,則他準點到達天津的概率

是（分數(shù)作答）.若他已準點抵達天津，則此次來天津乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率

高（分數(shù)作答）.

6.（2024?天津和平?二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動.在

最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響.已

7

知甲回答正確的概率為g,甲、丙兩人都回答正確的概率是:，乙、丙兩人都回答正確的概率是3.若規(guī)定

三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為;若規(guī)定三名同學

搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為:，!，!，則這個問題回答正確的概率為-

263

反思提升：

1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.

2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些

彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接求法，先求此事件的對

立事件的概率，再用公式尸（A）=l—P（A）求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用

間接求法比較簡便.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?江蘇鹽城?一模）已知隨機事件A,B相互獨立，且P（A）=尸（2）=；,則尸（AU0=（）

,2514

A.-B.—C.-D.一

3939

2.（2024?廣東?三模）。為樣本空間，隨機事件A、B滿足P（A）=尸（2）=：,尸（4。8）=1,則有（）

A.AUB=QB.F（AUB）=1C.AB=0D.尸（A|B）=1

3.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學同時到A3,C三個不同的社區(qū)參加公益活動，

每個社區(qū)至少分配一名同學?設(shè)事件4="恰有兩人在同一個社區(qū)"，事件3="甲同學和乙同學在同一個社區(qū)”,

事件C="丙同學和丁同學在同一個社區(qū)“，則下面說法正確的是（）

A.事件A與B相互獨立B.事件A與8是互斥事件

C.事件3與C相互獨立D.事件8與C是對立事件

4.（2024?山西太原?一模）甲，乙兩名同學要從A、B、C。四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選

取的科目不完全相同的概率為（）

3353

A.—B.-C.—D.一

16884

二、多選題

5.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出

2個球.事件A="兩次取到的球顏色相同"；事件2="第二次取到紅球"；事件C="第一次取到紅球下列

說法正確的是（）

8

A.AcBB.事件B與事件C是互斥事件

C.P（A2）=WD.P（5+C）=|

6.（2024?山東?模擬預(yù)測）袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機取出兩個球,

設(shè)事件A="取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)"，事件3="取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)"，事件C="取出的球的數(shù)

字之和為偶數(shù)"，則（）

A.尸（A）=：B.P（B|C）=|

C.事件A與8是互斥事件D.事件8與C相互獨立

7.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?三模）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記"甲正面向上”為事件A,“乙正面向上"

為事件8,“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C,則下列判斷正確的是（）

A.A與3相互對立B.A與B相互獨立

12

C.P（C）=5D.P（B|C）=-

三、填空題

3

8.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）選手甲和乙進行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為X，乙獲勝的概

2

率為：，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進行了三局的概率為.

9.（2024?吉林?模擬預(yù)測）中國成功搭建了國際首個通信與智能融合的6G外場試驗網(wǎng)，并形成貫通理論、

技術(shù)、標準和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項目時遇到了一項技術(shù)難題，由甲、乙兩個團隊

分別獨立攻關(guān).已知甲、乙團隊攻克該項技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7,則該科研院攻克這項技術(shù)難題的

概率為.

四、解答題

10.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）《中華人民共和國未成年人保護法》保護未成年人身心健康，保障未成年人

合法權(quán)益.我校擬選拔一名學生作為領(lǐng)隊，帶領(lǐng)我校志愿隊上街宣傳未成年人保護法.現(xiàn)已從全校選拔出甲、

乙兩人進行比賽，比賽規(guī)則是：準備了5個問題讓選手回答，選手若答對問題，則自己得1分，該選手繼

續(xù)作答；若答錯問題，則對方得1分，換另外選手作答.比賽結(jié)束時分數(shù)多的一方獲勝，甲、乙能確定勝負時

比賽就結(jié)束，或5個問題回答完比賽也結(jié)束.已知甲、乙答對每個問題的概率都是上競賽前抽簽，甲獲得第

2

一個問題的答題權(quán).

⑴求前三個問題回答結(jié)束后乙獲勝的概率；

⑵求甲同學連續(xù)回答了三次問題且獲勝的概率.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面上分別標有數(shù)字1到8,將其隨機拋擲兩次，

9

記與地面接觸面上的數(shù)字依次為X”馬，事件A：%=3,事件B：X2