2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：奇偶性、對(duì)稱(chēng)性與周期性（解析版）

專(zhuān)題08奇偶性、對(duì)稱(chēng)性與周期性（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................12

【考點(diǎn)1】函數(shù)的奇偶性......................................................12

【考點(diǎn)2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用................................................16

【考點(diǎn)3】函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性......................................................22

【考點(diǎn)4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用................................................28

【分層檢測(cè)】...............................................................33

【基礎(chǔ)篇】.................................................................33

【能力篇】.................................................................40

【培優(yōu)篇】.................................................................42

考試要求：

1.理解函數(shù)奇偶性的含義.

2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.

3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.

融知識(shí)梳理

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

一般地，設(shè)函數(shù)加0的定義域?yàn)?,如果Vx?/,

偶函數(shù)都有一X?/，且x)=/U),那么函數(shù)人x)就關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)加0的定義域?yàn)?,如果Vx?/,

奇函數(shù)都有一X?/，且外一■=-—X),那么函數(shù)兀0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

就叫做奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

⑴周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，

都有<x+T)=/(x),那么就稱(chēng)函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)五x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就

叫做兀t)的最小正周期.

|常用結(jié)論

1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對(duì)/(X)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

(1)若Hx+a)=一火%),則T=2a(a>0).

(2)若於+a)=]([),則T=2a(a>0).

(3)若危+a)=-1([),則T=2a(a>0).

2.對(duì)稱(chēng)性的四個(gè)常用結(jié)論

(1)若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng).

(2)若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)團(tuán)，0)中心對(duì)稱(chēng).

(3)若函數(shù)y=/(x)滿足x)，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；特別地，當(dāng)a

=人時(shí)，即_/(a+x)=/(a—x)或7(x)=/(2a—x)時(shí)，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng).

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足式x)+7(2a—龍)=20,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,切對(duì)稱(chēng).特別地，當(dāng)人=0

2

時(shí)，即五a+x)+*a—x)=O或火x)+y(2a—x)=0時(shí)，則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。，0)對(duì)稱(chēng).

.真題自測(cè)

一、單選題

1.(2023?全國(guó)?高考真題)已知/(%)=」以是偶函數(shù)，則。=()

e以-1

A.-2B.-1C.1D.2

Oy—1

2.(2023?全國(guó)?高考真題)若〃x)=(尤+a)ln^石為偶函數(shù)，貝陷=().

A.-1B.0C.yD.1

22

3.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/Xx+y)+f(x-y)=/?(x)f(y)J⑴=1,則￡f(k)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

4.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,Mf(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

22

y=g(x)的圖像關(guān)于直線X=2對(duì)稱(chēng)，g⑵=4,則￡〃左)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

5.(2021?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)f(無(wú))的定義域?yàn)镽,〃x+2)為偶函數(shù)，〃2尤+1)為奇函數(shù)，則()

A.(J。B.〃-1)=0C."2)=0D./(4)=0

6.(2021?全國(guó),高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，

fM=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,則()

9375

A.——B.——C.-D.—

4242

二、多選題

7.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則().

A./(0)=0B./(1)=0

C.〃x)是偶函數(shù)D.元=0為了⑺的極小值點(diǎn)

8.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)AM及其導(dǎo)函數(shù)1(X)的定義域均為R,記g(x)=/(x),若

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.gMj=0C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

3

三、填空題

9.(2023?全國(guó)?高考真題)若〃x)=(x-l)2+ax+sin[x+T為偶函數(shù)，貝lja=

10.(2021?全國(guó)?高考真題)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(X)：.

①〃人馬戶〃%])〃9)；②當(dāng)尤e(0,+co)時(shí)，f\x)>0；③/'(x)是奇函數(shù).

11.(2021?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)〃%)=/,.2工-2-*)是偶函數(shù)，則。=.

參考答案：

1.D

【分析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】

因?yàn)椤靶?為偶函數(shù)，則小)-

又因?yàn)閄不恒為0,可得e「e(E=0,即e'=e("?,

則x=(a-1)兀，即1=々—1,解得Q=2.

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出〃值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)椤ň?為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I)，/.(1+^z)In1=(-1+6z)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=xln^X,(2x-l)(2x+l)>0,解得1或x<-L

2x+122

則其定義域?yàn)棰?或X<-；1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

/(r)=(r)ln|^^=(r)ln答==xln||^=/(x),

故此時(shí)f(尤)為偶函數(shù).

故選：B.

3.A

【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的/⑴,“2),…,46)

的值，即可解出.

4

【詳解】［方法一］:賦值加性質(zhì)

因?yàn)椤▁+y)+/(x—y)=/(x)/(y),令x=l,y=o可得，2〃l)=/(l)/(o),所以〃0)=2,令x=o可得，

/(y)+/(-.y)=2/(y),即〃y)=〃—y),所以函數(shù)為偶函數(shù)，令y=l得，

/(x+l)+f(x-l)=f(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+〃x)=/(x+l),從而可知"x+2)=_"xT),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=〃x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃元)的一個(gè)周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/(1)+/(2)+…+*6)=0.由于22除以6余4,

22

所以住)=/(1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1-2-1=-3.故選:A.

k=l

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由/(x+y)+〃x—y)=〃x)〃y)，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2co&rcosy,可設(shè)=acosox,則由方法一中/(0)=2,〃l)=l知a=2,tzcos<z>=1,

1JT

解得cosa)=-f取0=耳，

所以/(x)=2cos§無(wú)，則

f(x+y)+f(x-y)=2cos^x+^y^+2cos^x-^y^=4cos^xcos^y=f(x)f(y),所以/(x)=2cosgx

T上=6

符合條件，因此了(無(wú))的周期三一，/(0)=2,/(1)=1,且

3

/(2)=-1］(3)=-2,"4)=-1"(5)=1］⑹=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡7伍)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1-2-1=-3.故選：A.

k=l

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，

簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

4.D

5

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和已知條件得到/?+f(x-2)=-2,從而得到/(3)+/(5)+…+/?(21)=—10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=-10,然后根據(jù)條件得到了⑵的值，再由題意得到g⑶=6從而得到〃1)的值即

可求解.

【詳解】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，

所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(無(wú))一/(工—4)=7,所以g(x+2)—“x-2)=7,即g(x+2)=7+f(無(wú)一2),

因?yàn)椤▁)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/(%)+/(%-2)=-2,

所以"3)+”5)+…+/(21)=(-2)x5=—10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5^-10.

因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g⑵=5,即/(0)=1,所以/(2)=—2-〃0)=-3.

因?yàn)間(x)—/(x—4)=7,所以g(x+4)—f(x)=7,又因?yàn)?(x)+g(2-尤)=5,

聯(lián)立得，g(2—x)+g(x+4)=12,

所以＞=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,

所以g(3)=6

因?yàn)椤▁)+g(x+2)=5,所以"1)=5—g⑶=—1.

22

所以2/(左)=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)+...+〃21)[+[〃4)+〃6)+...+〃22)]=-1一3-1。-1。=一24.

k=l

故選：D

【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后

得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

5.B

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出/'(1)=0,結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x+2)為偶函數(shù)，則〃2+x)=〃2-同，可得〃%+3)=〃1-耳，

因?yàn)楹瘮?shù)〃2尤+1)為奇函數(shù)，貝ij〃l—2x)=-〃2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

6

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),BP/(x)=/(x+4),

故函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)P(x)=/(2x+l)為奇函數(shù)，則R(O)=f(l)=O,

故『(-。=-/⑴=。，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.

故選：B.

6.D

【分析】通過(guò)/(X+1)是奇函數(shù)和“X+2)是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式〃同=-2爐+2,進(jìn)而利

用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】［方法一］：

因?yàn)?(x+1)是奇函數(shù)，所以/(—x+l)=-/(x+l)①；

因?yàn)椤▁+2)是偶函數(shù)，所以〃x+2)=〃r+2)②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=-(4。+6),由②得：f(3)=f(l)=a+b,

因?yàn)?（。）+/（3）=6,所以一（4。+b）+a+Z?=6na=—2,

令x=0,由①得：〃l）=_〃l）n〃l）=0n/7=2,所以/（力=—2/+2.

思路一：從定義入手.

13

2

2-；+一

所以/

［方法二］:

因?yàn)?(X+1)是奇函數(shù)，所以/(—X+l)=-/(X+1)①;

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以，(x+2)=/'(-尤+2)②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=-(4。+6),由②得:f(3)=f(^=a+b,

因?yàn)?（。）+/⑶=6,所以-（4a+b）+a+b=6=a=—2,

7

令x=0,由①得：=—了(1)=/(1)=0=6=2,所以/(尤)=_2/+2.

思路二：從周期性入手

由兩個(gè)對(duì)稱(chēng)性可知，函數(shù)/'(x)的周期7=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，我們通常可以借助一些二級(jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)

算的效果.

7.ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC,舉反例/(尤)=。即可排除選項(xiàng)

D.

fx2]nIY|尤w0

方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)〃X)=八進(jìn)行判斷即可.

[0,尤=0

【詳解】方法一：

因?yàn)?⑶)=y"(x)+x2/(y),

對(duì)于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),貝廳(-1)=0,

令y=-L/(-x)=/(%)+x2/(-l)=f{x),

又函數(shù)人無(wú))的定義域?yàn)镽,所以〃盼為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令/(尤)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)Ax)無(wú)極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)?(xy)=//(%)+X2f(y),

對(duì)于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令尤=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則八1)=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0,

令，=T"(-x)=/(尤)+x2/(-l)=/(x)，

又函數(shù)/(無(wú))的定義域?yàn)镽,所以為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，對(duì)/⑶)=y2/(x)+x2/(y)兩邊同時(shí)除以,得至|J?：)=,

8

故可以設(shè)坐^=1中|(尤片0),則/(x)=<:嗎4°,

x[0,x=0

當(dāng)x>0肘，/(x)=x2Inx,則/,(x)=2xlnx+x2?—=x(21nx+l),

令/?'("<O,得0<x<e*4f^)>0,得x>￡；

故/(x)在[0,上單調(diào)遞減，在fA,+/上單調(diào)遞增，

因?yàn)槿伺螢榕己瘮?shù)，所以/⑺在-e”,0上單調(diào)遞增，在-%彳上單調(diào)遞減,

\7V7

顯然，此時(shí)x=0是/(x)的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

8.BC

【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)

判斷即可得解.

【詳解】[方法一]:對(duì)稱(chēng)性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/⑴，因?yàn)椤癐-2d為偶函數(shù)，所以-2“=/(T+2x)即/||-x)=/[|+x)①，所以

〃3T)=/(X),所以/⑺關(guān)于尤=]對(duì)稱(chēng)，則/(-1)=/(4),故C正確；

對(duì)于g(x),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+無(wú))=g(2-尤)，g(4-x)=g(x),所以g(尤)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，由①求

導(dǎo)，和g(x)=/，(x),得了]!一d=/1+*)[0一/[1一gCT=g1+x),所

以g(3—x)+g(x)=O,所以g(x)關(guān)于§,0)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g1|j=O,結(jié)合g(x)關(guān)于x=2對(duì)

稱(chēng)，從而周期T=4X(2-|]=2,所以g(一￡|=g0=O,g(—l)=g(l)=—g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(無(wú))滿足題設(shè)條件，則函數(shù)"x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定了(無(wú))的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

9

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(無(wú))周期為2,關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)g(x)=cos(7tx),則〃x)=1sin(7ix)+c,顯然A,D錯(cuò)

71

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因?yàn)間(2+x)均為偶函數(shù)，

所以d|-2”=d|+2xj即=,

g(2+x)=g(2-x),

所以〃3-力=/(力，g(4-x)=g(x),則〃-1)=/(4),故C正確;

3

函數(shù),⑺，g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=卞x=2對(duì)稱(chēng)，

又g(x)=/'(x),且函數(shù),⑺可導(dǎo)，

所以g［J=°，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-iJ=g(lJ=O，g(T)=g(l)=—g(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)Ax)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/Q)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定Ax)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

9.2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到=從而求得a=2,再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)閥=/(x)=(x-iy+辦+$苗［尤+5)="-1)2+"+3尤為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

所以/

10

則714=1]+1]一一1]=2兀，故4=2,

此時(shí)/（x）=（x-l）2+2x+COSX=尤2+1+cosX,

所以/（—X）=（一尤）~+l+cos（-x）=x2+l+cosx=/（x）,

又定義域?yàn)镽，故F（X）為偶函數(shù)，

所以。=2.

故答案為：2.

10./（x）=x4（答案不唯一,/（x）=均滿足）

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可得所求的/（X）.

【詳解】取〃X）=X4,則/（占犬2）=（卒2）4=只只=/（%）/（*2），滿足①，

/（%）=4%3,尤＞0時(shí)有用勾＞0,滿足②，

廣（力=4/的定義域?yàn)镽,

又〃_力=心=_尸（龍）,故尸（x）是奇函數(shù)，滿足③.

故答案為："x）=d（答案不唯一，"x）=x2"（〃cN*）均滿足）

11.1

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)椤ā罚?丁（4.2-2-）故〃一》）=-丁32-工一2，）,

因?yàn)椤癤）為偶函數(shù)，故f（T）=〃X），

時(shí)丁,.2工-2f)=-丁(°.2T-2*),整理得到(a-：Q(2*+2-')=0,

故。=1,

故答案為：1

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】函數(shù)的奇偶性

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）設(shè)函數(shù)〃x）=W，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

11

A.尤-2)+1B.2)+2

C./(x+2)+2D./(x+2)+l

2.(2024廣東佛山?一模)已知/(力=(尤+1)(X+。)(％+。)為奇函數(shù),則丁=〃%)在兀=0處的切線方程為()

A.x+y=OB.x-y=O

C.3x+y=0D.3x—y=0

二、多選題

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(幻及其導(dǎo)函數(shù)八功的定義域均為&記8(%)=/6)，若/(1-1),抵2+X)

均為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是()

A./(O)=OB.g(O)=O

C.g⑵=8⑷D./(1)=/(-2)

4.(2024?湖南邵陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，“X+2)為偶函數(shù)，且對(duì)

任意的和馬41,2),x產(chǎn)馬，都有"'-"%)>0,則()

玉-x2

A.是奇函數(shù)B.7(2023)-0

C.〃x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)D./(7t)>/(e)

三、填空題

5.(2024?河南三門(mén)峽?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)無(wú)20時(shí)，/(%)=―-3x+a-l,

則，(-a)的值為.

6.(2024?廣東佛山?二模)己知定義在R上的偶函數(shù)/(x)在［0,+。)上單調(diào)遞減，且/(1)=2,則滿足

〃刈+〃一司>4的實(shí)數(shù)苫的取值范圍為.

參考答案：

1.A

【分析】首先推導(dǎo)出『(T-x)+/(x)=-2,即函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為(-2,-1),再根據(jù)函數(shù)的平移只需將

函數(shù)f(x)向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x-2)+1,則該函數(shù)關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng)，即可

判斷

【詳解】因?yàn)椤▁)===衛(wèi)+生^=-1+/一定義域?yàn)閧X|XN-2},

貝廳(-4-x)+〃尤)=-1+上^一l+ln-za#-2),所以函數(shù)“X)的對(duì)稱(chēng)中心為(一2,-1),

—X—2%+2

12

所以將函數(shù)“X)向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x-2)+l,

該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),故函數(shù)y=/(尤-2)+1為奇函數(shù).

故選：A.

2.A

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)定義求出函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和切線相關(guān)知識(shí)求解切線方程即可.

【詳解】因?yàn)?+=(兄+1)[%2+(4+8)元+"]

=d+(a+b+l)%2+(Q+b+")%+",

所以/(一％)=—尤3+(々+人+1)%2一,

因?yàn)椤癤)為奇函數(shù)，所以〃一力+〃％)=2(。+)+1)x2+2必=0對(duì)?！陞^(qū)恒成立，

(a+Z?+l=0/、o

所以而=0，代入函數(shù)表達(dá)式得了(x)=x%，

所以尸(犬)=3f—1,貝U/(0)=0，r(0)=—1,

所以y=〃x)在x=o處的切線方程為丁=一%，即尤+y=o.

故選：A

3.BC

【分析】利用/(1-x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，進(jìn)而可得-"-%)=/(%+2),求導(dǎo)可得，結(jié)合g(2+%)為奇函

數(shù)，計(jì)算可判斷B；進(jìn)可可得函數(shù)g(x)的周期為4,計(jì)算可判斷C；/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(L0)成中心對(duì)稱(chēng)，取

/(%)=2cos攵二也可判斷AD.

n2

【詳解】因?yàn)?(1-元)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

所以〃1一天)=一/(1+尤)，

BP-/(-X)=/(X+2),

所以[―/(—x)]'=7(x+2),

即r(-x)=/v+2),

所以g(-x)=g(x+2).

又因?yàn)間(2+x)為奇函數(shù)，

所以g(2+x)=-g(2-x),

當(dāng)x=0時(shí)，g(2)=-g(2)=g(0),

13

即g(2)=0,g(0)=0,所以選項(xiàng)B正確.

又因?yàn)間(-x)=gQ+2),

所以g(x)=g(-x+2)=-g(2+x),

即函數(shù)g(助的周期為4,所以g(4)=g(0)=0.

因?yàn)間(2)=0,所以g(2)=g(4),

所以選項(xiàng)C正確.

由/(1-x)為奇函數(shù)可知/(1-x)=-/(1+x),

即〃幻的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng)，

一ah,c，、2(X-2)TT

不妨取/U)=—cos-~--,

712

則g(x)=-sin宜”滿足周期為4,關(guān)于(2,0)成中心對(duì)稱(chēng)的條件，

22

因?yàn)椤ā?=--,/(1)=0,/(-2)=-,可知選項(xiàng)A,D錯(cuò)誤.

7171

故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的考查，注意合理運(yùn)用題中的條件，如本題中，由函數(shù)為奇函數(shù)，可得函數(shù)

的對(duì)稱(chēng)中心，判斷結(jié)論不成立，可舉反例，是一種有效的方法.

4.BC

【分析】根據(jù)函數(shù)人幻的奇偶性和題設(shè)條件，推得Ax)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求值，

利用單調(diào)性比較大小，逐項(xiàng)判定即可求解.

【詳解】因?yàn)?(X+D為奇函數(shù)，所以

/(-尤+1)=-/(+1),即函數(shù)“力關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng),C正確；

由函數(shù)〃元)關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)可知;'(一力=一〃2+"，

又因?yàn)椤▁+2)為偶函數(shù)，所以

/(-x+2)=/(x+2),即函數(shù)/(x)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，

貝"(r)=〃x+4),

所以〃x+4)=-〃x+2),即〃x+2)=-〃x),

所以/(x+4)=-/(x+2)=〃x),所以是“X)周期為4的周期函數(shù)，

所以/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=-〃1),又"3)="1),

所以/'(1)=-7(1),所以/'(1)=0,所以/(2023)=0,B正確；

14

〃一%)=-〃2+句=一〃2_司=/[2_(2-切=〃力是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤;

對(duì)任意的占,x,e(l,2),且刀片々,都有>0,不妨設(shè)再>1,

%-x2

則〃石)-〃龍2)>。,由單調(diào)性的定義可得函數(shù)〃x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

又由函數(shù)“X)關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)，所以“X)在(0,2)上單調(diào)遞增

X/W=/(^-4)=/(4-7r),/(e)=/(e-4)=/(4-e),4-7t<4-e,

所以f(4—兀)<〃4—e),得了㈤<〃e),D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)，解題關(guān)鍵是合理利用抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性周期性分析題

意，然后逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.

5.4

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得。的值，結(jié)合/(-。)=-/(a)計(jì)算即可.

【詳解】由題得〃0)=。-1=。，解得a=L

所以當(dāng)尤20時(shí)，/(X)=-X5-3%,

所以〃-a)=/(-I)=—〃1)=一(一1一3)=4.

故答案為：4.

6.(-1,1)

【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得/(力>2,再結(jié)合單調(diào)性計(jì)算即可得.

【詳解】由/(X)為偶函數(shù)且在[0,+8)上單調(diào)遞減，故/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

又/⑴=2,故當(dāng)〃x)>2,可得xe(-M),

又/(r)=/(x)，故/(x)+=(r)>4等價(jià)于/(x)>2,

故x的取值范圍為(-M).

故答案為：(-U).

反思提升：

1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

15

(2)判斷五x)與八一x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等

價(jià)等量關(guān)系式(/(x)+<-x)=0(奇函數(shù))或兀0一/(—X)=0(偶函數(shù)))是否成立.

2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)

間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

3.畫(huà)函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)

問(wèn)題.

【考點(diǎn)2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用

一、單選題

1.(2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)“力滿足〃尤+3)=-〃力，g(x)=7(x)-1為奇函

數(shù)，則/。98)=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(21-22高三上?四川攀枝花?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)Ax)滿足了(x-3)=/(x+l),且

"x)=上:一二:㈠工，則下列說(shuō)法正確的是()

^2-2|x-2|,xe(l,3]

A./(x)的值域?yàn)閇0,1]

B./(尤)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線》=必(后eZ)

C.當(dāng)xe(-3,-2)時(shí)，f(x)=2x+6

D.方程3/(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解

二、多選題

3.(2024嘿龍江大慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),g(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(力，g'(x)的定義域均為R,若/(2x-l)

的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，〃x)+g(x+l)=尤+1,〃尤+l)=g(—x)+無(wú)，且g(2)=l,則()

A.為偶函數(shù)B.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,3)對(duì)稱(chēng)

99

C.g'(202)=lD.2g1)=4950

Z=1

4.(2024?廣西?二模)己知定義在R上的函數(shù)滿足〃2+x)-〃2-x)=4x.若〃2x-3)的圖象關(guān)于點(diǎn)

(2,1)對(duì)稱(chēng)，且/(0)=0,則()

A.的圖象關(guān)于點(diǎn)(U)對(duì)稱(chēng)

B.函數(shù)g(x)=〃"-2x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)g(x)=/(x)-2x的周期為2

16

D./(l)+/(2)+...+/(50)=2499

三、填空題

5.(2024?山東棗莊?一模)已知/(x+2)為偶函數(shù)，且〃尤+2)+f(x)=-6,則“2027)=.

6.(2024?寧夏銀川?一模)若定義在R上的函數(shù)滿足y=/(x+l)是奇函數(shù)，/(4+x)=/(-%),"2)=2,

貝IJf(l)+/(2)+/(3)+…+f(30)=.

參考答案：

1.C

【分析】先根據(jù)〃x+3)=-〃力得出函數(shù)的周期；再根據(jù)g(x)為奇函數(shù)得出八必+八-尤)=2,利用

賦值法求出/(0)；最后利用/(%)的周期即可求解.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ?3)=-f(x),

所以/(X+6)=-〃X+3)=〃X),

所以的周期為6.

又因?yàn)間(x)=/(x)-l為奇函數(shù),

所以g(x)+g(-x)=0,即x)-1=0,BP/(x)+/(-x)=2,

令x=0,2/(0)=2,BP/(O)=l.

所以/(198)=〃6x33+0)=〃0)=l,

故選：C.

2.C

【分析】由給定條件可得“無(wú))的周期為4,并探討函數(shù)/(x)的奇偶性，舉例說(shuō)明判斷A；由x=2是對(duì)稱(chēng)軸判

斷B；求出xe(-3,-2)時(shí)的解析式判斷C；畫(huà)出函數(shù)的部分圖象判斷D作答.

【詳解】因/(2)=2,則“尤)的值域?yàn)椋?,1］不正確,A不正確；

R上的函數(shù)fM滿足/(x-3)=以x+1),即+4)=/(%),又/(%)=::二:v

［2—2—2|,xG(1,3J

則函數(shù)了⑴是最小正周期為4的周期函數(shù)，7(-1)=/(3)=0,當(dāng)尤e時(shí)，/(x)=7n，有=/(X),

當(dāng)一1時(shí)，2Wx+4V3,且IV—xV2,f(x)=/(x+4)=2—2|x+4—2|=-2—2x=/(—x),

于是有xe[-2,2],/(-x)=f(x),即函數(shù)/(x)在[-2,2]上是偶函數(shù),又是x)周期為4,則是x)是R上的偶函

數(shù)，

17

由/(4-x)=f(-x)=f(x)知，直線x=2是函數(shù)y=/(x)的圖象對(duì)稱(chēng)軸，不滿足x=4代teZ),B不正確;

當(dāng)xe(-3,-2)時(shí)，1<彳+4<2,貝1|/。)=/(尤+4)=2-2|彳+4-2|=2-2|*+2|=2》+6,C正確；

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)/(力的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變

形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.BC

【分析】首先根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，判斷函數(shù)外力的對(duì)稱(chēng)性，以及周期，并結(jié)合條件轉(zhuǎn)化，判斷函數(shù)g(x)

的對(duì)稱(chēng)性，利用抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及周期性，求g'(202),最后利用函數(shù)〃尤)與g(x)的關(guān)系求和.

【詳解】由的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，可得/。-1)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，

即于⑺的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則"2+x)=〃-尤)

由/(x)+g(x+D=x+l,nJW-1)+g(~x)=-x,又/(x+l)=g(-x)+無(wú)，

所以f(-x-l)+/(x+l)=O,所以"x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，即/(尤)為奇函數(shù)，

所以〃2+x)=〃—x)=-/(x),即〃4+x)=/(x),即函數(shù)的周期為4,

由/(x)+g(x+l)=x+l,可得/(x+5)+g(尤+6)=尤+6,因?yàn)?(X)的周期為4,

所以/(x+5)"(x+l),

貝!Jg(-尤)+x+g(x+6)=x+6,即g(-x)+g(x+6)=6,

所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,3)對(duì)稱(chēng)，故B正確；

因?yàn)橐虎说膱D象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，則〃2-元)=/(x),

所以-7'(2-x)=7'(x),所以(⑴=0,

因?yàn)椤癤)的周期為4,所以/‘⑺的周期也為4.由/(x)+g(x+l)=x+l,

可得尸(x)+g'(x+l)=l，所以g'(202)=l-/(201)=1-/⑴=1,故C正確；

由/(x)+g(x+l)=x+l,可得g(x)=x-/(x-l),所以g(2)=2-/⑴，

即即)1=1,/(2)=即0)=0,/(3)=-1,

18

99

Zg⑴=(1+2+3+…+99)-"(0)+/⑴+…+/(98)]

1=1

=4950-/(0)-/(I)-/(2)=4949,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是以條件等式為橋梁，

發(fā)現(xiàn)函數(shù)〃尤)與g(x)的性質(zhì)關(guān)系，以及解析式的關(guān)系.

4.ABD

【分析】對(duì)A,根據(jù)函數(shù)圖象的變換性質(zhì)判斷即可；對(duì)B,由題意計(jì)算g(2+x)-g(2-x)=0即可判斷；對(duì)C,

由A可得g(￡)=g(r),由B可得g(-x)=g(x+4),進(jìn)而可判斷C；對(duì)D,由〃2+x)—/(2-x)=4x結(jié)合

〃。)=。與的對(duì)稱(chēng)性可得了⑼"⑴，〃2)"(3),進(jìn)而g(0),g(l),g(2),g(3),結(jié)合c中g(shù)(x)的周期

為4求得g(l)+g(2)+…+g(50),進(jìn)而可得〃l)+〃2)+L+/(50).

【詳解】對(duì)A,因?yàn)閺V(2x-3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng),則“x-3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,1)對(duì)稱(chēng),

故的圖象關(guān)于點(diǎn)(L1)對(duì)稱(chēng)，故A正確；

對(duì)B,g(2-x)=/(Z-x)-2(2-x)=/(2-x)+2x-4,

g(2+x)=/(2+%)-2(2+尤)=〃2+x)-4-2x,

又〃2+x)-〃2-x)=4x,^g(2+x)-g(2-x)=/(2+x)-/(2-x)-4x=0.

即g(2+x)=g(2r),故g(x)=〃x)—2x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，故B正確；

對(duì)C,由A,/(2+x)=2-/(-x),且"2—x)=2-〃x),

又因?yàn)椤?+x)_〃2_x)=4x,^[2-/(-x)]-[2-/(x)]=4x,

即“x)-/(T)=4x,/(x)-2x=/(-x)-2(-x),QPg(x)=g(-x).

由B,g(-x)=g(x+4),故g(x)=g(-x)=g(x+4),故g(x)=f(x)-2x的周期為4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由〃0)=0,的圖象關(guān)于點(diǎn)(U)對(duì)稱(chēng)，且定義域?yàn)镽,則〃1)=1,/(2)=2,

又〃2+x)-/(2-x)=4x,代入彳=1可得/⑶―"1)=4,則43)=5,

又g(x)=〃x)-2x,故g(0)"(0)=0,g(l)=/(l)-2=-l,g(2)=/(2)-4=-2,g(3)=/(3)-6=-l,

又g(x)的周期為4,g(4)=/(0)=0.

19

貝Ijg⑴+g⑵+-.+g(50)=12x[g⑴+g⑵+g⑶+g⑷]+g⑴+g(2)

=12x(^4)-l-2=-51.

即〃l)_2+〃2)-4+…+〃50)-100=-51,

則〃1)+〃2)+…+〃5。)=2+4+..+1。。-51=迎”四^一51=2499,故D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出g⑴,g(2),g(3),g(4),結(jié)合周期性以及g(x)的定義即可

順利得解.

5.-3

【分析】由條件結(jié)合偶函數(shù)定義可得由〃x+2)+〃x)=-6結(jié)合周期函數(shù)定義證明

/(x)為周期函數(shù)，利用周期性及賦值法求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?(x+2)為偶函數(shù)，

所以〃x+2)=〃f+2),又〃x+2)+〃x)=-6,

所以x+2)+〃x)=-6,

因?yàn)?(x+2)+〃x)=—6,所以/(x+4)+/(x+2)=-6,

所以〃x+4)=〃x),

所以函數(shù)/(X)為周期函數(shù)，周期為4,

所以1(2027)="3)=/(—1),

由〃r+2)+〃x)=-6,可得/⑴+/。)=-6