2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)與方程（原卷版）

專題13函數(shù)與方程（新高考專用）

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................3

【考點1】函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷............................................3

【考點2】函數(shù)零點個數(shù)的判定................................................4

【考點3】函數(shù)零點的應(yīng)用....................................................5

【分層檢測】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.

2.理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

M知識梳理

1.函數(shù)的零點

(1)概念：對于一般函數(shù)y=/(x),我們把使色包的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

(2)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系:

聒工軸有公共點<有實數(shù)解

2.函數(shù)零點存在定理

(1)條件：①函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3，勿上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②腦)?他)<0.

(2)結(jié)論：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間伍，切內(nèi)至少有一個零點，即存在cG(a,b),使得底)=0,這個

c也就是方程火x)=0的解.

|常用結(jié)論

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)Hx)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則1%)至多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個

“點”，而是方程兀0=0的實根.

2.由函數(shù)y=/(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a,加上有零點不一定能推出月㈤

卜卜、

汽.)次。)<0,如圖所示，所以火。)負(fù)。)<0是y=/(x)在閉區(qū)間［a,上有零點的充O?i

分不必要條件.

3.周期函數(shù)如果有零點，則必有無窮多個零點.

：真題自測

一、單選題

COS(2?%-2%Q).x<a

1.(2021?天津?高考真題)設(shè)QER,函數(shù)/(%)=,若/(九)在區(qū)間(。,+8)內(nèi)恰有

f—2(a+l)x++5,x>a

6個零點，則〃的取值范圍是()

二、多選題

bc

2.(2023?全國?高考真題)若函數(shù)+1+既有極大值也有極小值，則().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

三、填空題

2

3.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)〃x）=cosox-1（。>0）在區(qū)間［0,2可有且僅有3個零點，則。的取值范

圍是?

4.（2023?天津?高考真題）設(shè)aeR,函數(shù)〃尤）=爾-2%-卜2一G+/若“力恰有兩個零點，則〃的取值范圍

為.

5.（2022?北京?高考真題）若函數(shù)/（x）=Asinx-6cosx的一個零點為g,則A=；-

6.（2022?天津?高考真題）設(shè)aeR,對任意實數(shù)x,記〃x）=min{|x|-2,x2-依+3。-5}.若〃尤）至少有3

個零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

E考點突破

【考點1】函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷

一、單選題

1.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）設(shè)方程3"1。83萬|=1的兩根為毛，馬（不<9），則（）

1

A.0<^<1,X2>3B.%>一

X2

C.0<XjX2<1D.演+%2>4

2.（2023嚀夏銀川?三模）函數(shù)〃力=1。82%+爐+機在區(qū)間（2,4）上存在零點，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.(-oo,-18)B.(5,+oo)

C.（5,18）D.（-18,-5）

二、多選題

3.（2022?廣東廣州?三模）已知函數(shù)/（x）=cos2x+acosx（aeR）,貝！|（）

A.當(dāng)a=-2時，函數(shù)/（x）在乃］上單調(diào)遞增

B.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于直線尤=萬對稱

C.函數(shù)的最小正周期為萬

D.若函數(shù)〃x）在］。，3上存在零點，則。的取值范圍是（-L+8）

4.（2023?安徽馬鞍山?三模）已知函數(shù)/（幻=（/+耳注+1U的零點為%,下列判斷正確的是（）

11

A.B,xo>-

C.+lnx0<0D.x0+Inx0<0

三、填空題

3

I—JQ—］YV0

5.(2021?四川成都三模)已知函數(shù)/(無)=2'J一八，若〃石)=/(動，且玉工馬，則上-司的最

I—x+2羽x>U

大值為.

6.(2023?浙江紹興二模)已知函數(shù)/(x)=lnx+依2+6，若外力在區(qū)間［2,3］上有零點，則成的最大值

為.

反思提升：

確定函數(shù)五x)的零點所在區(qū)間的常用方法：

(1)利用函數(shù)零點存在性定理：首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［用句上的圖象是否連續(xù)，再看是否有

汽a)次。)<0.若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間伍，力內(nèi)必有零點.

(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，

如7(x)=g(x)—/i(x),作出y=g(x)和y=/z(x)的圖象，其交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)I/(x)的零點.

【考點2】函數(shù)零點個數(shù)的判定

一、單選題

修戶加

1.(2024?山東濰坊二模)已知函數(shù)〃x)=則〃尤)圖象上關(guān)于原點對稱的點有()

-|x2+2x|,x<0,

A.1對B.2對C.3對D.4對

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)將函數(shù)/(X)=sinx的圖象向左平移看個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有

2

點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼臑?gt;。)倍,X+2x,x<0

縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)0(尤)=<g(x),尤>0在

(-8,3可上有5個零點，則。的取值范圍是()

「1723)(Y123］「H17)(1117-

A?［百制B.［百句C.［口,制D.血，以

二、多選題

3.(2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(工)=小皿30)53-3(：0528皿>0,則下列結(jié)論正確的是()

JTJT

A.Voe(0,l)J(x)在上單調(diào)遞增

B.若0=1且|〃占)-〃彳2)|=2,則忱―x21mhi=兀

C.若|〃到=1在［0,兀］上有且僅有2個不同的解，則。的取值范圍為|,|^|

D.存在。e(O,l),使得f(x)的圖象向左平移g個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)

O

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=sin|x|+cosk|,則下列結(jié)論正確的是()

4

A.〃x）是偶函數(shù)B.””的最大值為收

C./'（“在\,予］上單調(diào)遞增D.在［T4］上有2個零點

三、填空題

5.（2024?青海西寧?二模）記方⑺是不小于尤的最小整數(shù)，例如加.2）=2/（2）=2,方（-1.3）=-1,則函數(shù)

“X)=r⑺-x-2T+1的零點個數(shù)為.

O

，若方程/（x）+肅石=。有三個不相等的實數(shù)解，則實

6.（2024?山東濟(jì)南?二模）已知函數(shù)〃力=尤

數(shù)a的取值范圍為.

反思提升：

函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法

⑴直接求零點：令人x）=0,如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.

（2）零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在［凡加上是連續(xù)不斷的曲線，且五0次。）＜0,還

必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有多少個零點.

（3）畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個

不同的零點.

【考點3】函數(shù)零點的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?浙江麗水?二模）已知正實數(shù)玉,工2，%滿足x；+2X|+l=w2*',龍；+3%+1=馬3*，考+4鼻+1=三平，

則占，尤2,無3的大小關(guān)系是（）

A.x3<x2<B.x1<x2<x3

C.苔<%3<九2D.

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)-金g(x)滿足g(l+3x)+g(3-3x)=0,

G(x)=/(尤-2)-g(x),若G(x)恰有2"+l(〃eN*)個零點，則這2力+1個零點之和為()

A.2nB.2〃+1C.4〃D.4〃+2

二、多選題

3.(2024?廣東佛山?二模)已知函數(shù)〃x)=sinx+cos2%與g(x)=sin2x+cosx,記/z(x)=4f(%)+〃g(x),

其中X,且外+〃2。0.下列說法正確的是（）

A.//（x）一定為周期函數(shù)

B.若外〃＞。，則“⑺在（0。上總有零點

5

C.力（無）可能為偶函數(shù)

D.刈力在區(qū)間（0,2元）上的圖象過3個定點

4.（2023?山東荷澤?二模）已知毛，巧分別是函數(shù)/（x）=e'T和g（x）=hw—的零點，則（）

X|

A.0VxiB.irvc{+lnx2=0C.elnx2=1

135

D.—<玉+x?v—

62

三、填空題

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）=（尤2-or+a）ln（x+l）,aeR的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)”的取

值范圍是.

卜+機<0,

6.（2024?北京豐臺?二模）設(shè)函數(shù)=<42mr->給出下列四個結(jié)論:

①當(dāng)根=0時，函數(shù)/'（X）在（y,心）上單調(diào)遞減;

②若函數(shù)/'（X）有且僅有兩個零點，則〃2>0;

③當(dāng)加<0時，若存在實數(shù)a,b,使得則,-4的取值范圍為（2,+8）；

④已知點P（-m,0）,函數(shù)〃x）的圖象上存在兩點0（4乂）◎（%，%）&<々<°），Q，2關(guān)于坐標(biāo)原點。的

對稱點也在函數(shù)/（x）的圖象上.若|尸0+|尸。』=半，則%=L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

反思提升：

（1）已知函數(shù)的零點求參數(shù)，主栗方法有：①直接求方程的根，構(gòu)建方程（不等式）求參數(shù)；②數(shù)

形結(jié)合；③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

（2）已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問

題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.

（3）函數(shù)零點問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象

間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng).

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?江蘇一模）函數(shù)“SinpY］在區(qū)間（0,2兀）內(nèi)的零點個數(shù)為（）

6

A.2B.3C.4D.5

2.（2023仞川綿陽模擬預(yù)測）記函數(shù)〃力=85（3+m（0>0,0<0<兀）的最小正周期為T,若于夏）=與,

尤=方為的零點，則。的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024?廣東湛江?二模）已知函數(shù)〃尤）=|2"一11匹g（x）=r-4|x|+2-o,則（）

A.當(dāng)g（x）有2個零點時，“X）只有1個零點

B.當(dāng)g（x）有3個零點時，有2個零點

C.當(dāng)“X）有2個零點時，g（x）有2個零點

D.當(dāng)〃尤）有2個零點時，g（x）有4個零點

4.（2024廣東梅州?二模）三個函數(shù)〃0=彳3+x-3,g（x）=lnx+x-3,力（x）=e*+x-3的零點分別為a,b,c,

則a,6,c之間的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

二、多選題

5.（23-24高一上?云南玉溪?期末）已知函數(shù)"x）=sinxx-lg的所有零點從小到大依次記為%,馬,，%，

則（）

A.n=20B.〃=18

C.再+/++%〃=1°D.玉+々+…+無〃=9

6.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)"X）的定義域為R,且在（0,+8）上單調(diào)遞減，若=-2）=1,

則下列命題中正確的是（）

A./⑺有兩個零點B.

C./（-3）<1D.

7.（2022?重慶九龍坡?模擬預(yù)測）下列選項中說法正確的是（）

A.若幕函數(shù)過點■，曰］,則加+&=：

B.用二分法求方程3、+3x-8=0在x?l,2）內(nèi)的近似解的過程中得到/（1.5）>0,/（1.25）<0,

7

則方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)±

C.某校一次高三年級數(shù)學(xué)檢測，經(jīng)抽樣分析，成績&近似服從正態(tài)分布N(95,〃)，且P(91<JW95)=0.3,

若該校1800學(xué)生參加此次檢測，估計該校此次檢測成績不低于99分的學(xué)生人數(shù)為360

D.5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有25種

三、填空題

8.(22-23高一下,河北石家莊?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=sinx+2x+用在區(qū)間回上有零點，則實數(shù)機的

取值范圍是.

9.(2024?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=sin"+f在［-1,加］內(nèi)恰有3個零點，則機的

取值范圍是.

10.(2022,安徽合肥?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的方程M+依+8=0(a*eR)在區(qū)間［2,3］上有實根，那么

/+3-1)2的最小值為.

四、解答題

11.(2024,廣東,一模)已知函數(shù)<(x)=----(xwO).

X

⑴求了(X)的單調(diào)區(qū)間.

(2)討論方程/(無)=a的根的個數(shù).

12.(2023?北京西城?二模)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+0)+cos2x,其中［創(chuàng)<］.再從條件①、條件②、條件③

中選擇一個作為已知，使存在，并完成下列兩個問題.

⑴求夕的值；

(2)當(dāng)時，若曲線y=/(x)與直線y=恰有一個公共點，求也的取值范圍.

_OJ_

條件①：T；

條件②：-1是了。)的一個零點；

條件③：〃0)=巾.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【能力篇】

一、單選題

y<CQ

1.(2024?北京海淀?一模)己知〃x)=；一函數(shù)/(無)的零點個數(shù)為加，過點(。，2)與曲線y=/(x)

lg(x+l),x>0

相切的直線的條數(shù)為“，則〃”的值分別為()

8

A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2

二、多選題

2.（2023?安徽?模擬預(yù)測）已知為R上的奇函數(shù)，且在（0,+?）上單調(diào)遞增，f（-l）=/（3）=2,則下列

命題中一定正確的是（）

A./（-2）＞-2B./（x）有3個零點

C./（2