2025年高考數(shù)學一輪復習講義：定值問題（原卷版）

專題52定值問題（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................2

【考點1】長度或距離為定值...................................................2

【考點2】斜率或其表達式為定值..............................................4

【考點3］幾何圖形的面積為定值..............................................6

【分層檢測】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

真題自測

一、解答題

L(2024?全國?高考真題)已知橢圓C：5+，=l(a>6>0)的右焦點為尸，點在C上，且MF口軸.

⑴求C的方程；

⑵過點尸(4,0)的直線交C于A3兩點，N為線段萬的中點，直線N3交直線初尸于點。，證明：軸.

2.(2023?全國?高考真題)已知橢圓C:￡+==l(a>b>0)的離心率是好，點A(-2,0)在C上.

ab3

⑴求C的方程；

⑵過點(-2,3)的直線交C于尸,。兩點，直線AP,A。與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的中點為定

點.

3.(2023?北京?高考真題)己知橢圓E：1+，=l(a>6>0)的離心率為冬A、C分別是E的上、下頂點，

B,。分別是E的左、右頂點，14cl=4.

⑴求E的方程；

(2)設(shè)尸為第一象限內(nèi)E上的動點，直線PD與直線BC交于點直線出與直線、=-2交于點N.求證:

MN//CD.

4.(2022?全國?高考真題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為R點。(p,0),過尸的直線交C于跖N

兩點.當直線垂直于x軸時，\MF\^3.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線M2ND與C的另一個交點分別為A,8,記直線的傾斜角分別為名當a-6取得最大

值時，求直線AB的方程.

考點突破

【考點1】長度或距離為定值

一、解答題

1.(24-25高三上?江西九江?開學考試)已知橢圓C：「+4=l(a>b>0)的離心率為5，右焦點為F,點、

(4當在

⑴求C的方程；

⑵已知。為坐標原點，點A在直線/：、=履+%(左二。)上，若直線/與C相切，且E4，/,求山的值.

22

2.(24-25高三上?江西?開學考試)已知雙曲線C:]-}=l(a>0,b>0)其左、右焦點分別為居，不，若

陽閭=12,點居到其漸近線的距離為4立.

2

⑴求雙曲線C的標準方程;

(2)設(shè)過點F2的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點，且|前|=忸用，若|隹明，忸閭成等

比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為"黃金雙曲線”，并說明理由.

3.(24-25高三上?青海西寧?開學考試)已知橢圓石：5+/=1(°>6>0)的離心率為半，點尸在橢圓E上

運動，且,P月工面積的最大值為百.

⑴求橢圓E的方程；

⑵設(shè)A,8分別是橢圓E的右頂點和上頂點，不過原點的直線/與直線AB平行，且與x軸，'軸分別交于

點M,N,與橢圓E相交于點C,D,。為坐標原點.

(0)求一OCM與△<?用的面積之比；

(回)證明：為定值.

4.(24-25高三上?山東德州?開學考試)已知雙曲線E焦點在x軸上，離心率為耳，且過點(0,4),直線乙

與雙曲線E交于M,N兩點，乙的斜率存在且不為0,直線4與雙曲線E交于只。兩點.

⑴若的中點為直線的斜率分別為左他,。為坐標原點，求發(fā)出；

1\TP\TN

(2)若直線《與直線4的交點T在直線x=巳上，且直線4與直線4的斜率和為0,證明：lM=.

22

5.(24-25高三上?安徽?開學考試)已知橢圓C:1r+}=l(a>b>0)的左右頂點分別為A、B,R是橢圓C上異

于A、8的動點，滿足當R為上頂點時，八旬尺的面積為8.

⑴求橢圓C的標準方程;

⑵過點2)的直線與橢圓C交于不同的兩點(D,E與A、B不重合)，直線AP,AE分別與直線

x=-6交于RQ兩點，求的值.

6.(24-25高三上?廣西階段練習)橢圓及]+，=l(a>b>0)的離心率為半，過點尸(。⑼的直線/與

橢圓E交于M,N兩點.當直線/過坐標原點。時，|MN|=2巡.

⑴求橢圓E的方程.

(2)設(shè)A,2分別是橢圓E的右頂點和上頂點，過點M作無軸的平行線分別與直線AB,交于C,。兩點.試

探究。，C,M三點的橫坐標是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由.

反思提升：

探求圓錐曲線中的定線段的長的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長公式把要探求的線段

3

表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長表達式中的相關(guān)量之間的關(guān)系

式，把這個關(guān)系式代入弦長表達式中，化簡可得弦長為定值.

【考點2】斜率或其表達式為定值

一、解答題

r221

1.(24-25高三上?北京?開學考試)已知橢圓C:5+「v=l(a>6>0)的離心率為二，左、右頂點分別為A、

ab2

B,左、右焦點分別為月、F2.過右焦點尸2的直線/交橢圓于點V、N,且△片"N的周長為16.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)記直線AM、BN的斜率分別為。k2,證明：?為定值.

22

2.(24-25高三上?陜西?開學考試)已知雙曲線C:1—}=1.>0/>0)的左焦點為尸，左頂點為E,虛軸

的上端點為尸,且忸同=3,|尸耳=右.

⑴求雙曲線C的標準方程；

(2)設(shè)M、N是雙曲線C上不同的兩點，。是線段腦V的中點，。是原點，直線MN、的斜率分別為《、"

證明：々「心為定值.

229

3.(24-25高三上?遼寧鞍山?開學考試)已知橢圓C：A+與=l(a>b>0),右焦點為網(wǎng)2,0)且離心率為彳，

ab3

直線/：x=6,橢圓c的左右頂點分別為A、4，P為/上任意一點，且不在X軸上，PA與橢圓C的另一個交點

為聞,尸&與橢圓c的另一個交點為N.

⑴直線MAt和直線MA的斜率分別記為kM^kMAi,求證：34?為定值;

(2)求證：直線MN過定點.

4

22

4.（23-24高二上?云南昆明?階段練習）已知雙曲線C:鼻-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為

片（-石,0）,巴（右,0）,左、右頂點分別為M,N,且經(jīng)過點尸［向,！

⑴求C的方程；

（2）動點A在圓/+產(chǎn)=02上，動點B在雙曲線c上，設(shè)直線AM,MB的斜率分別為勺,網(wǎng),若N,A,B=

點共線，試探索勺,質(zhì)之間的關(guān)系.

5.（2024高二上?江蘇?專題練習）已知圓C的圓心坐標為C（3,0）,且該圓經(jīng)過點A（0,4）.

（2）直線相交圓C于M,N兩點，若直線AM,AN的斜率之和為0,求證：直線式的斜率是定值，并求出該

定值.

22

6.（2024?廣東佛山?模擬預測）已知雙曲線C:5-2=l（a>0,6>0）的離心率為近,右焦點到雙曲線C的

ab

一條漸近線的距離為1,兩動點在雙曲線C上，線段的中點為M（2〃?,77Z）（77件0）.

（1）證明：直線A3的斜率后為定值；

2

（2）。為坐標原點，若△OA3的面積為求直線A3的方程.

反思提升：

第一步求圓錐曲線的方程

第二步特殊情況分類討論

第三步聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程

第四步應用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點的坐標

第五步根據(jù)相關(guān)條件計算推證

第六步明確結(jié)論

【考點3］幾何圖形的面積為定值

一、解答題

22

1.（2024高二上?江蘇?專題練習）在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓C：A+當=1（。>6>0）的左頂點為A,

ab

上頂點為5,右焦點為死連接8廠并延長交橢圓。于點橢圓P.

5

⑴若尸|I，-竽）|BP|=y,求橢圓C的方程；

s

⑵若直線42與直線AP的斜率之比是-2,證明：產(chǎn)為定值，并求出定值.

?APF

22

2.（2024?江蘇蘇州?模擬預測）已知橢圓？:三+2=1（。>6>0）,7與圓產(chǎn)+產(chǎn)=房一爐在第一、第二象

ab

jr

限分別交于0、P兩點，且滿足ZPOQ=~,PQ=\,

⑴求橢圓》的標準方程；

（2）4是橢圓上的一點，若存在橢圓的弦BC使得OA//BC,OA=BC,求證:四邊形OABC的面積為定值.

3.（23-24高二上?福建泉州?期中）已知圓A：（X+1）2+/=16,直線1過點4（1,0）且與圓A交于點8,C,

BC中點為。，過&C中點￡且平行于4。的直線交AC于點P,記P的軌跡為「

⑴求r的方程；

（2）坐標原點。關(guān)于4,4的對稱點分別為耳，層，點4,4關(guān)于直線y=x的對稱點分別為G，c2,過4

的直線4與r交于點M,N,直線4M,與N相交于點。.請從下列結(jié)論中，選擇一個正確的結(jié)論并給予證

明.

①△℃的面積是定值；②B耳星的面積是定值；③△QGCz的面積是定值.

4.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C的中心是坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過4（-2,0）,B（T,3）兩

點.

⑴求C的方程；

（2）設(shè)P,M,N三點在C的右支上，BM//AP,AN//BP,證明：

（回）存在常數(shù)X,滿足OM+ON=XOP;

（回）一MNP的面積為定值.

22

5.（2024?全國?模擬預測）已知橢圓C：n=l，A，4分別為橢圓C的左、右頂點，斗鳥分別為橢圓C的

左、右焦點，斜率存在的直線/交橢圓c于p,Q兩點，記直線AP，尸4,AQ,Q\的斜率分別為%、月上3，院.

r3

⑴證明：k3a=-“

（2）若勺+&=g（左2+&），求S^PQ的取值范圍.

22

+

6.（2024jWj三,全國,專題練習）如圖所不，已知橢圓系方程。〃：［+4=〃（6/>Z?>0,MGN）,K、F2

ab

是橢圓的焦點，A（跖⑹是橢圓上一點，且月=0.

6

⑴求C"的離心率，求出C1的方程.

（2）尸為橢圓C3上任意一點，過尸且與橢圓g相切的直線/與橢圓C6交于M、N兩點，點尸關(guān)于原點的對稱

點為。求證：-QMN的面積為定值.

反思提升：

探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式

（如果是其他凸多邊形，可分割成若干個三角形分別求解）把要探求的幾何圖形的面積表示出來,

然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個關(guān)系式代入

幾何圖形的面積表達式中，化簡即可.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

22

1.（2024?全國?模擬預測）已知橢圓C：訝+|r=i（a>b>0）的上、下頂點分別為A，4,P是橢圓c上

異于A，劣的一點，直線24和尸&的斜率分別為尢，k2,則滿足左#2=-3的橢圓c的方程是（）

八％2y2□光2y2C.」=1D.3=1

A.—+—=1B.—+—=1

36456284

2

2.（2024?江西鷹潭?二模）雙曲線E：/-21=1的左，右頂點分別為A3,曲線E上的一點C關(guān)于X軸的

3

對稱點為。，若直線AC的斜率為根，直線5。的斜率為〃，則相〃=（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

3.（23-24高三上?湖北?期末）拋物線C的方程為無2=4%過點尸（0,2）的直線交C于42兩點，記直線

的斜率分別為匕,&，則上色的值為（）

11

A.-2B.—1C.—D.

24

22

4.（23-24高三上?四川內(nèi)江?期末）橢圓土+匕=1的焦點為瓦、工，點M在橢圓上且班，九軸，則耳到

43一

直線8M的距離為（）

7

611J7

A.—B.3C.—D.3

5311

二、多選題

5.（22-23高三上?湖北咸寧?階段練習）過拋物線y2=2/（p>0）的焦點尸的一條直線交拋物線于AQ,M,

3（%,%）兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.>「必為定值

B.若經(jīng)過點A和拋物線的頂點的直線交準線于點C,則〃了軸

C.存在這樣的拋物線和直線A8,使得。4團。8（。為坐標原點）

D.若直線與x軸垂直，則|AB|=2p

6.（22-23高二下?河南?階段練習）已知橢圓C:；+丁=1（。>1）的兩個焦點為片,且，尸是橢圓C上的動點，

a

且4尸耳鳥的面積最大值是否，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.橢圓C的離心率是:

B.若AB是左，右端點，則1pli+|尸目的最大值為2行

C.若尸點坐標是pf],則過尸的C的切線方程是x+2&y-3=0

D.若過原點的直線交C于兩點，則⑥

2222

7.（22-23高二上?江蘇泰州?期中）已知橢圓￡:工+與=1（%>4>0）與雙曲線C,J-2=1（%>0,6,>0）

ax%b?

有公共的焦點K，F(xiàn)2,設(shè)尸是G，G的一個交點，C與。2的離心率分別是%則下列結(jié)論正確的有

（）

A.|所卜|尸閶=廳+fB.4的面積5=她

兀12）ZFPKb

C.若/RPF2r則F+==4D.tan^^=U2

3G與，"i

三、填空題

22

8.（22-23高二上?全國?期中）若雙曲線C:土-匕=1的左、右頂點分別為A,B,尸是。上的點（異于A,

43

B）,則直線R4與依的斜率乘積等于.

9.（23-24高二上?廣西南寧?期中）已知拋物線C:/=8x,過拋物線焦點產(chǎn)的直線與拋物線交于

4（%,,%）,3（%2，%），貝I]%尤2=.

8

22

10.（22-23高三下?遼寧本溪?階段練習）如圖，已知橢圓C工+上=1的左、右頂點分別為A,8,點尸

1612

是直線x=-8上的一點，直線P8交C于另外一點記直線抬，AM的斜率分別為尤，k2,則派2=.

22

11.（24-25高三上?云南大理?開學考試）已知橢圓C:=+2=l（a>b>0）過點P（3,l）,焦距為4點，斜率

ab

為的直線I與橢圓C相交于異于點尸的M,N兩點，且直線PM,PN均不與x軸垂直.

⑴求橢圓C的方程.

（2）記直線PM的斜率為K，直線PN的斜率為k2,證明:左色為定值.

⑶若|MN|=廂,A為橢圓C的上頂點，求AMN的面積.

12.（20-21高三上?西藏日喀則?階段練習）設(shè)拋物線C:y2=4x,尸為C的焦點，過尸的直線/與C交于4

B兩點.

⑴若/的斜率為2,求|明的值;

⑵求證：0408為定值.

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2024高二上,江蘇?專題練習）已知橢圓E：1r+%?=：!（.>6>0）經(jīng)過點（2,碼,右焦點為“2,0）,A,

8分別為橢圓E的上頂點和下頂點，若過（0」）且斜率存在的直線/與橢圓E交于CD兩點，直線3。與直線

AC的斜率分別為尢和自，則勺的值為（）

2

A.1B.3C.2D.-

3

二、多選題

2.（24-25高三上?江蘇南京?開學考試）拋物線C:/=2py的焦點為￡尸為拋物線上一動點，當尸運動到a2）

時，|尸耳=4,直線/與拋物線相交于A3兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線的方程為：f=8y

B.拋物線的準線方程為：V=-4

C.當直線/過焦點產(chǎn)時，以AF為直徑的圓與x軸相切

9

D.當直線/過焦點/時，以為直徑的圓與準線相切

三、填空題

3.（2024高三?全國?專題練習）已知曲線C的方程為X2-E=1（X21）,設(shè)點T