2025年高考數學一輪復習講義：等差數列及其前n項和（解析版）

專題33等差數列及其前n項和（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................8

【考點1】等差數列的基本運算................................................8

【考點2］等差數列的判定與證明..............................................12

【考點3】等差數列的性質及應用..............................................19

【分層檢測】...............................................................22

【基礎篇】.................................................................22

【能力篇】.................................................................29

【培優(yōu)篇】.................................................................36

考試要求：

1.理解等差數列的概念.

2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.

3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題.

4.了解等差數列與一次函數的關系.

；知識梳理

1.等差數列的概念

(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個

數列就叫做等差數列.

數學語言表達式：外+1—z=d(〃GN*,d為常數).

(2)等差中項：由三個數〃，A,?組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列，這時兒叫做

〃與6的等差中項，根據等差數列的定義可以知道，2A=a+b.

2.等差數列的通項公式與前n項和公式

(1)若等差數列｛〃〃｝的首項是ai,公差是d,則其通項公式為an—a\-\-(n—1)d.

n（幾—1）dn（〃i+斯）

(2)前〃項和公式:Sn=M41+

3.等差數列的性質

(1)通項公式的推廣：an—am-\-(n—m)d(n,

(2)若｛斯｝為等差數列，且左+/=加+幾(左，I,m,幾￡N*),貝!J四+

(3)若｛斯｝是等差數列，公差為d,則以，ak+m,ak+2m,…(k,zn￡N*)是公差為md的等差數列.

(4)若S九為等差數列｛〃〃｝的前〃項和，則數列Sm,Sim~SmyS3加一S2加，…也是等差數列.

(5)若S〃為等差數列｛麗｝的前n項和，則數列［篇也為等差數列.

|常用結論

1.已知數列｛為｝的通項公式是z=p〃+q(其中.，q為常數)，則數列｛斯｝一定是等差數列，且公

差為p.

2.在等差數列｛板｝中，ai>0,d<0,則S存在最大值；若ai<0,d>0,則S存在最小值.

3.等差數列｛麗｝的單調性：當d>0時，｛詼｝是遞增數列；當d<0時，｛服｝是遞減數列；當d=

0時，｛斯｝是常數列.

4.數列｛a〃｝是等差數列QS,=A〃2+B〃(A,3為常數).

.真題自測

一、單選題

1.(2024?全國?高考真題)記S“為等差數列｛%｝的前"項和，已知S5=%,%=1，則％=()

2

2.（2024?全國?高考真題）已知等差數列｛4｝的前〃項和為'，若Sg=l,則%+%=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

3.（2023?全國?高考真題）記S“為等差數列｛q｝的前〃項和.若%+%=1。，。4〃8=45,則=（）

A.25B.22C.20D.15

<?

4.（2023?全國?高考真題）記S,為數列｛q｝的前〃項和，設甲：｛%｝為等差數列；乙：｛1｝為等差數列，則

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

二、填空題

5.（2024?全國?高考真題）記S“為等差數列｛%｝的前九項和，若4+4=7,3a2+a5=5,則兒=.

6.（2024?北京?高考真題）設｛鬼｝與抄“｝是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合

M=kl4=%#cN*｝,給出下列4個結論：

①若｛4｝與也,｝均為等差數列，則M中最多有1個元素；

②若｛4｝與｛2｝均為等比數列，則M中最多有2個元素；

③若｛4｝為等差數列，也“｝為等比數列，則M中最多有3個元素；

④若｛%｝為遞增數列，｛2｝為遞減數列，則M中最多有1個元素.

其中正確結論的序號是.

7.（2023?北京?高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現(xiàn)了類似于祛碼的、用來

測量物體質量的“環(huán)權己知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列｛%｝,該數列的前

3項成等差數列，后7項成等比數列，且％=1,%=12,%=192,則%=；數列也,｝所有項的和

為.

8.（2022?全國?高考真題）記S“為等差數列也｝的前〃項和.若2s3=3S?+6,則公差仁.

參考答案：

3

1.B

【分析】由S5=S]0結合等差中項的性質可得〃8=。，即可計算出公差，即可得生的值.

【詳解】由Sl0—S5=。6+。7+。8+“9+”10=5〃8=。，則。8二。，

則等差數列｛%｝的公差d=曳黃=-g,故卬=%一4〃=1-4x1-gJ=(.

故選：B.

2.D

【分析】可以根據等差數列的基本量，即將題目條件全轉化成四和d來處理，亦可用等差數列的性質進行處

理，或者特殊值法處理.

【詳解】方法一：利用等差數列的基本量

QXQ

由Sg=l,根據等差數列的求和公式，S9=9q+-^-d=l=9q+36d=l,

22

3^,/+%=4+2d+q+6d-2q+8d——(9q+36d)=".

故選：D

方法二：利用等差數列的性質

根據等差數列的性質，4+紿=4+%，由Sg=l，根據等差數列的求和公式，

9=9(4；%)=9(。3r7)=1,故%+

故選：D

方法三：特殊值法

19

不妨取等差數列公差"=。，則S9=1=94=>%=§,則〃3+。7=2。1=§.

故選：D

3.C

【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列｛凡｝的公差和首項，再根據前”項和公式即可解出;

方法二：根據等差數列的性質求出等差數列｛q｝的公差，再根據前〃項和公式的性質即可解出.

【詳解】方法一：設等差數列｛q｝的公差為d,首項為生,依題意可得，

%+。6=G+d+"i+5d=10,即q+3d=5,

又能為=(G+3d)(6+7d)=45,解得：d=1嗎=2,

Sx4

所以S5=54+^x1=5x2+10=20.

故選：C.

4

方法___.：%+4=2%=10,〃4〃8=45,所以〃4=5,/=9,

從而d=^^=l,于是生=。4-4=5-1=4,

8-4

所以S5=5%=20.

故選：C.

4.C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前〃項和與第幾項的關系推理判斷

作答.，

【詳解】方法1,甲：｛%｝為等差數列，設其首項為由,公差為d,

r?cn(n-Y),Sn-1,ddS.2=4

貝US=nctyH-------d,—n=qH-----d=—〃+Q],一〃+i

n2n2212〃+1n2

因此｛'｝為等差數列，則甲是乙的充分條件;

n

反之，乙：｛2｝為等差數列，即號詈_&=碼+1:1I電為常數,設為乙

nn+1nn(n+l)〃(〃+l)

na.—S

即~~^=’，貝(IS,,+W=(?-1)??-1-n(n-1),n>2,

n(n+l)

ana

兩式相減得：n=n+i~(n—l)an—2tn,gpan+1-an=2t,對〃=1也成立,

因此｛4｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛氏｝為等差數列，設數列｛%｝的首項為,公差為d,即S“=〃6+”尸d,

則2=弓+色=+因此｛2｝為等差數列，即甲是乙的充分條件；

n222n

qqqq

反之，乙：｛存｝為等差數列，即T-二=O,i=S]+（〃-1）0,

nn+\nn

即S“=+〃（〃一1）0,=（〃一1）百+5—1）（〃一2）0,

當〃22時，上兩式相減得：S“一=S[+2（〃-l）。，當〃=1時，上式成立,

于是。〃=%+2(n—V)D,又an+i—an=ax+2nD-[q+2(n—1)Z>]=2D為常數,

因此｛%｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

5.95

【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出qS,再利用等差數列的求和公式節(jié)即可得到答案.

5

fa+2d+a+3d=7｛n——4

【詳解】因為數列%為等差數列，則由題意得“》＜，解得：,，

[3(%+d)+%+44=5[a=3

1f)xO

貝ij百0=10%+^—d=10x(—4)+45x3=95.

故答案為：95.

6.①③④

【分析】利用兩類數列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的

特征及反證法可判斷③的正誤.

【詳解】對于①，因為｛%｝,｛〃｝均為等差數列，故它們的散點圖分布在直線上，

而兩條直線至多有一個公共點，故M中至多一個元素，故①正確.

對于②，取a“=2"T也=-(-2)",則｛%｝,但｝均為等比數列，

但當〃為偶數時，有4=2"T=〃=-(-2)I,此時M中有無窮多個元素，故②錯誤.

對于③,設勿=Aq"(Aq*0,qw±l),a“=kn+b(k于0),

若加中至少四個元素，則關于〃的方程A/=加+6至少有4個不同的正數解，

若4＞0應力1,貝|由＞=Aq"和y=初+6的散點圖可得關于n的方程Aq-=kn+b至多有兩個不同的解，矛盾;

若q＜0應W±1,考慮關于n的方程Aq"=kn+b奇數解的個數和偶數解的個數，

當Aq-=切+匕有偶數解，此方程即^A\q\'=kn+b,

方程至多有兩個偶數解，且有兩個偶數解時A-n際＞0,

否則女ln|@＜0,因y=A|q「,y=5+6單調性相反,

方程司司"=初+6至多一個偶數解，

當Aq-=kn+b有奇數解,此方程即為-川同"=kn+b,

方程至多有兩個奇數解，且有兩個奇數解時-A6n0＞0即A乂n際＜0

否則A—川同＞0,因y=-則”,y=切+6單調性相反，

方程山城=切+6至多一個奇數解，

因為〃1川同＞0,AZln|q|＜0不可能同時成立，

故A/=初+6不可能有4個不同的整數解，即河中最多有3個元素，故③正確.

對于④，因為｛4｝為遞增數列，｛〃｝為遞減數列，前者散點圖呈上升趨勢，

6

后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】思路點睛：對于等差數列和等比數列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討

論兩者性質關系時，等比數列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.

7.48384

【分析】方法一：根據題意結合等差、等比數列的通項公式列式求解4,，進而可求得結果；方法二：根據

等比中項求生,%,在結合等差、等比數列的求和公式運算求解.

【詳解】方法一：設前3項的公差為d,后7項公比為4>0,

4Qq192

貝i]q=-=—=16,且q>0,可得q=2,

a512

貝|J〃3=l+2d=~即l+2d=3,可得d=l,

q

空1：可得〃3=3,%=%/=48,

…c63（1-27）

仝2：q+4+L+%=l+2+3+3x2+…+3x26=3+；.，=384

方法二：空L因為{%},3<〃<7為等比數列，則〃；=%%=12x192=482,

且4>0,所以%=48；

又因為。；=。3。7，則。3=%=3;

%

空2：設后7項公比為4>0,則屋=%=4,解得q=2,

a3

r/曰3（%+%）工a3-a9q3-192x2OO1匚匚?

可得q+〃2+。3=---------=6,〃3+〃4+〃5+。6+%+。8+%=-=---------------=381,所以

21-q1-2

q+4+L+%=6+381—%=384.

故答案為：48；384.

8.2

【分析】轉化條件為2（4+W）=2q+d+6,即可得解.

【詳解】由283=382+6可得2（%+%+%）=3（4+。2）+6,化簡得2%=4+。2+6,

即2（q+2^Z）=2q+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

7

■考點突破

【考點1】等差數列的基本運算

一、單選題

1.（2024?四川攀枝花三模）數列｛q｝的前〃項和為S“，6=-1,也=S,+w（“-l）（〃eN*）,設么=（_1）"風,

則數歹!）｛"｝的前51項之和為（）

A.-149B.-49C.49D.149

2.（2024?陜西安康?模擬預測）已知在正項等比數列｛4｝中，?4=16,且名』0e成等差數列，貝U-

（）

A.157B.156C.74D.73

二、多選題

3.（2024?貴州畢節(jié)三模）已知等差數列｛q｝的前〃項和為S“，且邑=4S2，%,=2a.+l（"eN*）,則（）

2

A.an=2n-lB.Sn=n

c.數列的前〃項和為￡D.數歹U｛%+2"｝的前〃項和為2向+/一2

4.（2024?湖北武漢?模擬預測）已知各項都是正數的數列｛〃“｝的前〃項和為S“，且S"=4+A，則下列結

論正確的是（）

A.當〃？>"（桃〃eN*）時，am>anB.Sn+Sn+2<2Sn+i

C.數列席｝是等差數列D.S“-gzln〃

三、填空題

5.（2024?湖北襄陽?模擬預測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關，如圖為某

校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段A8,作一個等邊三角形

ABC,然后以點5為圓心，A3為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點。（第一段圓?。僖渣cC為

圓心，。為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧......

以此類推，當得到的"蚊香”恰好有15段圓弧時，"蚊香"的長度為.

蚊香

8

6.(2024?內蒙古?三模)假設在某種細菌培養(yǎng)過程中，正常細菌每小時分裂1次(1個正常細菌分裂成2個

正常細菌和1個非正常細菌)，非正常細菌每小時分裂1次(1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌).若1

個正常細菌經過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細菌的個數為.

參考答案：

1.B

【分析】由〃〃與S”的關系，結合等差數列的通項公式求得4=2〃-3,即可得到a=(—1)〃(2幾-3),再由并項

求和法計算可得.

【詳解】因為〃牝=5,+〃(〃一1)(〃￡N*),

當〃>2時，nan=n(Sn-Sn_1)=Sn+<n-l),

即5-1)S“-nSn_x=n(n-1),

可得2-辿=1，又學=%=-!,所以是以-I為首項，1為公差的等差數列，

nn-11InJ

w

所以，=—1+〃—1=〃-2,貝(〃—2),

n

當2時=仇-1)(〃-3),

所以4=一S〃T=n(ji-2)-(w-l)(n-3)=2n-3,當〃=1時4〃=2〃—3也成立,

所以2=(T)"a“=(-1)"(2〃-3),

可得數列也｝的前51項之和為(1+1)+(-3+5)+...+(-95+97)-99=2X25-99=T9.

故選：B.

2.D

【分析】由等比中項性質求得名=4,由等差中項性質得%=32,根據等比數列通項公式基本量運算求得

。=2,進而求解%+%+%即可.

【詳解】由等比中項性質知名=m2=4.

由生/吟成等差數列，得20=%+，，所以%=32,

所以等比數列｛%｝的公比=2,所以%=1|=1,%=434=8,出=%</=64,

所以％+2+%=73.

故選：D.

3.ABD

【分析】由等差數列的性質和前〃項和公式可求出"=20=1,可判斷A；由等差數列｛%｝的前〃項和公式

9

可判斷B；由裂項相消法可判斷C；由分組求和法可判斷D.

【詳解】對于A,設等差數列｛4｝的首項和公差為q,d,

4x31

所以S4=44H—-—d=4S2=4(2%+d),化簡可得：=—d9

又因為%〃=2%+1,則%=2q+l,

所以a1d—a1+2q—2〃]+1,所以d—2,a1—1,

所以為=6+(〃一l)d=l+2(〃-1)=2〃-1,故A正確；

2

對于B,Sn=nax+—^―-d=n+n(n-l)=n,故B正確；

1_1_1(1______]

對于C，anan+l(2n-l)(2n+l)212〃一12n+1j

所以數歹]的前〃項和為:自一-n

故C錯

aa

[??+lJ2(335572n+l

誤;

對于D,令2=4+2"=(2〃-1)+2",

所以數列｛%+2'｝的前"項和為：(1+3+5+……+2?-1)+(21+22+23+...+2")

」(1+2〃-1)+2(1-2")=〃2+2用_2,故D正確.

21-2

故選：ABD.

4.BCD

【分析】計算數列首項及第二項可判定A,利用等差數列的定義及S“,％的關系可判定C,從而求出S”的通

項公式結合基本不等式、函數的單調性可判定B、D.

【詳解】對A,由題意可知％=爭5=d=1,所以4=1,

21

則…=5+五=>蠟+2%-1=0,所以%=0-l<q,故A錯誤;

對C,由s〃=++/-=>S,1

nS；-S3=l(〃22),故C正確;

22(Sfj

對C,所以S；=l+(〃-l)="=>S"=?,

則s.+S“+2=〃■+舊工<2『號2=2s用，故B正確；

1/-11

對D,易知S〃一T一至，令/(%)=%----21nx(x>l),

10

貝U/'(x)=1+3-2=(工—20,貝I]/(X)單調遞增，

所以/(%)之/⑴=0n?一~，之ln〃，即S〃一/之In*故D正確.

7幾?〃

故選：BCD

5.80兀

兀

【分析】根據題意分析可得：每段圓弧的圓心角為2莖，半徑5滿足/1=5+1,6=1,結合等差數列的通項

公式和求和公式分析運算.

【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為三，

設第〃段圓弧的半徑為5，則可得*=5+1北=1,

故數列上｝是以首項4=1,公差d=l的等差數列,

貝房=1+〃T=〃，

則"蚊香"的長度為

2兀2K27r27r/\27r15x(1+15)

-----KH-------K.+…H-------片=石(/+0+…+電)="yx=80K

313232

故答案為：807t.

6.217/131072

【分析】設經過"小時，有?！皞€正常細菌，2個非正常細菌，則〃用=24,,bn+l=an+2bn,由等比數列的

性質求出｛見｝的通項公式，再證得|與｝是與首相和公差均為g的等差數列，即可求出抄“｝的通項公式，進

而求出答案.

【詳解】設經過“小時，有凡個正常細菌，2個非正常細菌,

則%+i=2%,bn+1=an+2bn.

又％=2,4=1,所以%=2”，bn+1=2bn+2",

AZ?1h1

則"=2+_L,所以也一組=_L,

7J2n+iT2”2〃討2n2

所以［上:是首項和公差均為3的等差數列，

LL..b11/t\〃

所以=一~F—(〃-1)=一,

T22V72

所以么="?2"-1,所以％+%=04+14X2”=16X213=217.

故答案為：2。

反思提升：

11

1.等差數列的通項公式及前〃項和公式共涉及五個量m,an,d,n,S”，知其中三個就能求另

外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.

2.數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而ci和d是等差數列的兩個基

本量，用它們表示已知和未知是常用方法.

【考點2】等差數列的判定與證明

一、解答題

1.（2024?四川自貢?三模）已知數列｛%｝的前項和為S“，且

⑴證明：數列｛%｝為等差數列；

（2）若%,均，知成等比數列，求S,的最大值.

2.（2024?重慶?三模）已知在數列｛q｝中，“產14+1=3].

⑴求證：數列是等差數列，并求數列｛%%+J的前W項和S.；

（2）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且——-,bcosC+ccosB=-2acosA,求AAFC面

%+ian

積的最大值.

4111cp,

3.（2024?四川綿陽?模擬預測）已知---+---+…+------=2--------（WGN<H>1,〃為常數）.

a\a2。2a3anan+l〃〃+1

⑴數列｛4｝能否是等比數列？若是，求生的值（用P表示）；否則，說明理由；

（2）已知q=。=1,求數列｛4｝的前〃項和S..

4.（2024?全國?模擬預測）已知數列也,｝的前幾項和為S,，，且滿足a“+l=d,〃eN*,a5=9.

n

⑴求數列｛%｝的通項公式；

（2）已知4包=（a?+*）?2",求數列也｝的前“項和】.

5.（2024?廣東深圳一模）設S”為數列｛見｝的前〃項和，已知％=4/=20,且為等差數列.

⑴求證：數列｛氏｝為等差數列；

（2）若數列也｝滿足伉=6,且駕=詈，設1為數列也｝的前〃項和，集合V=KM，eN*｝,求M（用列

舉法表示）.

6.（23-24高三上?北京東城?期末）若有窮數列A：…>4）滿足：at+=c（ceR,z=1,2,???,n）,

則稱此數列具有性質R.

12

(1)若數列A：-2,4,%，2,6具有性質月,求的，4，。的值；

(2)設數列A具有性質《，且4</<???<〃”,”為奇數，當4，%>0(lWi,1/W〃)時，存在正整數3使得

%一生=飆,求證：數列A為等差數列；

⑶把具有性質R，且滿足|%1+%力=〃2為常數)的數列A構成的集合記作4(〃M).求出

所有的"，使得對任意給定的北。，當數列AeZ5，〃z)時，數列A中一定有相同的兩項，即存在

o;=aj(/wj,l<i,j<n).

參考答案：

L(1)證明見解析

(2)78

【分析】(1)根據%=5"-5"_"〃之2)作差得到為-%7=-1,結合等差數列的定義證明即可；

(2)根據等比中項的性質及等差數列通項公式求出生,即可得到｛4｝的通項公式，結合｛%｝的單調性及求

和公式計算可得.

【詳解】(1)數歹￡%｝滿足5"一"q=3"5-1)①，

當“22時，有S,T-(〃-1)%-=：(〃一1)(〃一2)②，

(J)—(2)可得：S”-S,T-na“+(〃-l)a“_]=-n(n—1)--(n—1)(>?—2),

即(l-n)a?+(/7-l)a?_1=1(n-l)[n-(n-2)],

變形可得4-④4=-l(M>2),

故數列｛4｝是以-1為等差的等差數列；

(2)由(1)可知數列｛凡｝是以-1為等差的等差數列，

若生,a9,0n成等比數列,則有4=%一%1，

即(q-8)2=(%-4)(q-10),解得％=12,

所以+(〃_l)d=13_〃，

所以｛%｝單調遞減，又當"〃<13時，an>0,當”=13時，%=0,當九>13時，an<0,

故當”=12或13時，S.取得最大值,

13

且⑸L=幾=%=12X12+智X(-1)=78.

n

2.⑴證明見解析,—

(2)T

【分析】（1）根據已知條件，由等差數列的定義寫出｛,｝的通項公式，進而可得｛q，4+J的通項公式，應用

an

裂項相消法求前”項和S“即可；

（2）根據題設三角恒等式，結合正弦定理得sinA=-2sinAcosA,由三角形內角性質求角A,由余弦定理

及基本不等式求品的范圍，應用三角形面積公式，求AABC面積的最大值.

11+2。1c11-

【詳解】（1）由題意，一=——-=—+2,即-------=2

%an4+i4

為等差數列：首項工=1,公差d=2,

11

二.一=2n-lf貝ijan=------,

2n—l

.二由正弦定理，有sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA,.

即sin(B+C)=sinA=—2sinAcosA,又A￡(0,兀),sinA>0,

.1PA2%

/.cosA=—,即mA=—

23

11c

由。=-------=2,

%+lan

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bc-cosA=b2+c2+bc，.

.-.a2=4>3bc,即當且僅當b=c=時取等號，

33

5ABe=—^c-sinA=^-bc<^---=，即0ABe面積最大值為.

“ABC244333

3.(D{%}不可能是等比數列，理由見解析

⑵=”eN,且〃21.

14

【分析】（1）利用。，與s”的關系計算可得。向-?！?’力0（〃分2）,結合等差、等比數列的定義即可下結論;

P

[1,n=l

（2）由（1）可得見=,,結合等差數列前“項求和公式計算即可求解.

IH-l,n>2

111cp

【詳解】（1）已知—+——+…+-----=2—

111cp

當“22時，——+——+--?+-----=2--,

?1?2a2a3an-\an4

Jp___p1。(q+1-q)

兩式相減得:=

anania“aaaaa

+n+ln?+1n?+l

顯然P*0,所以=3#。（〃力2）.

于是｛%｝可能是等差數列，若又是等比數列，則｛4｝必為非零常數數列，則4+「%=0,

因。向-?！?5片0,故｛%｝不可能是等比數列.

（2）由⑴知—=：=1（心2）,且9=2-1,即％=>]a2=l.

1,n=1

1、c，所以當〃=1時，S1=4=1.

n-1,n>2

、“八c(火1)n(n-l)

當M22,=q+%+/■*---1■%,=1+-----------=-----+1.

一22

n(n—]]

而當〃=1時，&=4=1,所以S”=—-----+1,HGN,且

2

4.⑴%=2〃-1

(2)北=(〃_1>2角+2

【分析】（1）根據題意結合。“與S”之間的關系可得收=（〃-1）%+|+1,利用等差中項可得數列｛4｝為等差

數列，進而求4，d;

（2）由（1）可得%2"，利用錯位相減法運算求解.

2V

【詳解】（1）因為。,+1=--,2S?-na=n,貝I]2s2-（n+l）-="+1,

nn

兩式相減并整理得啊,=（H-l）a?+1+1,則（〃+1）%+1="4+2+1，

兩式相減整理得a?+。,+2=2an+l,

所以數列｛4｝為等差數歹!J.

15

當”=1時，251-％=1,所以4=1.

設等差數列{%}的公差為d,

因為。5=%+4d=9,解得d=2,

所以為=1+2(〃-1)=2〃-1.

(2)由(1)可得42=(%+%+)2"=4分2",則或=〃2,

貝IJ7；=1x2+2x2?+…+小2”,27；=1x22+2x2'+…+〃.2用，

可得-1=2+22+23+―+2"-小2向=^^--n-2"+1=(l-n)-2"+1-2,

所以r=(〃一1)-2角+2.

5.(1)證明見解析

(2)M={6,8,9,10,11}

【分析】（1）設等差數列的公差為d,由題意可得H+3d=5、S]+2d=4,解得。=2,d=l,結合

。“=S「3-求得4=2n[neN*）,即可證明；

Z?,I〃j121c/11、/RT*\

（2）由（1）可得請M^=工，根據累乘法可得么，=7^八=12（———）?eN，結合裂項相消求和法

v7

bnn+2n^n+1）nn+1

計算即可求解.

【詳解】⑴設等差數列[叫的公差為d,則斗=鼻+3（即S[+3d=5,①

[nJ41

因為52=%+g=51+4,所以由'=｝+1，得d+2d=4.②

由①、②解得S1=2,d=l,所以2="+1,即邑=〃m+1）,

當兒22時，an=S〃一Sn_]=n(n+l)-(fz-l)n=2n,

當〃=1時，q=S]=2,上式也成立，所以a〃=2〃（〃￡N*）,

所以數列｛%｝是等差數歹！J.

(2)由(1)可知臥=區(qū)=2n_n

b

?a,+22〃+4n+2

b=紅&…芻也上X三

當時,-x—x6=-----

"b"_\b"_2b\n+1n3n(n+l)

因為4=6滿足上式，所以“=瑞pl2（l±）（〃N）

16

因為當geN*時,"=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}.

6.(1)2；2；4

⑵證明見詳解

(3)〃=4A：+2(Z:eN*)

【分析】（1）由數列A:-2,%,%2,6具有性質金的定義可得；

（2）由數列具有性質R的定義和等差數列的定義可得.

（3）分〃=4左+2,eN*）、〃=4M^eN*）和〃=4左+3,eN*）三種情況討論即得.

【詳解】（1）由已知可得數列A共有5項，所以〃=5,

當i=］時，有。［+。5=_2+6=4,

當，=2時，有%+g=%+2=4,所以4=2,

當i=3時，有。3+%=4,所以〃3=2,

（2）數列A具有性質《，且%<%<…〈?！?〃為奇數，令〃=2左+1,

可得ak+l=。，

設2V.<以+1=0〈%+2<%+3<???〈出心1，

由于當4.嗎>0（1<，"《九）時，存在正整數3使得%?一4?=%,

所以以+3—以+2，4+4—以+2，％:+5—以+2…，。2Z+1—W+2這%—1項均為數列A中的項，

且°<ak+3~%+2<ak+4—ak+2<ak+5~ak+2…<。2左+1-%+2<。2%+1，

因此一"定有%+3—以+2=。左+2，以+4~ak+2=%+3，％+5—%+2=%+4,…，％Z+1一%+2=。2左，

即ak+3~ak+2=ak+2，%+4—%:+3=%+2，以+4—4+3=〃攵+2，…，。2女+1一。2左=4+2，

這說明：％+2，%+3，%+，??，。2"1為公差為以+2的等差數列，再數列A具有性質不，

以及以+1=0可得，數列A為等差數列；

（3）當〃=4女+2（k￡N*）時，

設A：%，〃2，“3，04L，。2"1，〃2左，Q2A+1，〃24+2，02H3，〃2無+4，.-，〃4左+1，〃4k+2

由于數列具有性質E,且滿足|。2"1+%&|=m，

17

ama

由\2k-\+%J=和ik-i+a2k=c,得c=±〃z,

當。=機時，不妨設弓+的=根，此時：a2=m-ai,a4k+l=a1,此時結論成立,

當c=r篦時，同理可證，所以結論成立.

當"=4左（［<N*）時,不妨設c=0,機=1,反例如下：

-2k,2k-l,-2k+2,2k-3,---X~t2,---,-2k+3,2k-2,-2k+l,2k,

當"=4上+3peN*）時，不妨設。=0,機=1,反例如下：

（-1）“,?（4+1）,（-［）??憶???，一1,0,1,_2,?一（_1）人2-（左_1）,（-1）"1上,（_1）°（左+1）

綜上所述，〃=4左+2僅eN*）符合題意.

【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：

（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；

（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；

（3）將已知條件代入新定義的要素中；

（4）結合數學知識進行解答.

反思提升：

1.證明數列是等差數列的主要方法：

（1）定義法：對于〃三2的任意自然數，驗證如一0一為同一常數.即作差法，將關于以一1的a”

代人的；一所-1,再化簡得到定值.

（2）等差中項法：驗證2a,i=a"+a”_2（”N3,”?N*）都成立.

2.判定一個數列是等差數列還常用到的結論：

（1）通項公式：an=pn+q（p,q為常數）Q｛。"｝是等差數列.

⑵前〃項和公式：Sn=An2+Bn（A,3為常數）=｛a〃｝是等差數列.問題的最終判定還是利用定義.

【考點3】等差數列的性質及應用

一、單選題

1.（2024?山西運城?三模）已知數列｛%｝是等差數列，g%-%=2,則%+%（）-4=（）

A.4B.-2C.-4D.-8

2.（2023?吉林白山?模擬預測）若等差數列｛q｝的前“項和為S",且滿足$4043〉034044<0,對任意正整數"，

都有同斗」，則小的值為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

二、多選題

18

3.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習）關于等差數列｛%｝和等比數列也“｝,下列四個選項中正確的有（）

A.等差數列｛%｝,若m+n=p+q,則%

B.等比數列也｝,若4?%=%?%,ljl!|m+n=p+q

C.若5,為數列｛%｝前〃項和，則s”,邑”-5“,邑“-,2,,仍為等差數列

D.若S“為數列也｝前〃項和，則3$,-S“,SM-S2,,仍為等比數列

4.（2024?遼寧?二模）設｛4｝是等差數列，