2025年高考數(shù)學一輪復習講義：不等關(guān)系與不等式性質(zhì)（原卷版）

專題03不等關(guān)系與不等式性質(zhì)（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................3

【考點1】比較數(shù)（式）的大小...................................................3

【考點2］不等式的基本性質(zhì)..................................................4

【考點3］不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用..............................................5

【分層檢測】................................................................6

【基礎(chǔ)篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................8

【培優(yōu)篇】..................................................................8

考試要求：

1.理解用作差法比較兩個實數(shù)大小的理論依據(jù).

2.理解不等式的概念.

3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

?知識梳理

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

a—b>O^>a>b,

a-b=。=。三b，

{a—b<O^>a<b.

a

1>1(〃￡R,Z?>0)<^a>b(〃￡R,Z?>0),

(2)作商法<%=\=a=b(mbWO),

7<1(Q￡R,Z?>0)Oa<b(q￡R,Z?>0).

—

2.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：a>bob〈a；

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

(3)同向可加性：〃>b=o+c>Z?+c；a>b,c>d=>a-\-c>b~\-d；

(4)可乘性：a>b,c>O^ac>bc；a>b,c<Q^ac<bc；a>b>0,c>d>Q^ac>bd；

(5)可乘方性：a>b>Q=>an>bn(nN,〃21)；

(6)可開方性：〃>>>0=>勺^之邁(〃￡N,〃22).

|常用結(jié)論

1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

Jb+mbb—m

⑴若a>b>0,m>0,則一-;->----(Z?—m>0).

aa+maa-m

(2)若ab>0,且a>b=：<*.

真題自測

一、單選題

1.(2019,全國?高考真題)若a>b,則

A.In(?-/?)>0B.3a<3b

2

C.a3-b3>0D.|?|>|/?|

2.（2018,全國,同考真題）設(shè)〃=log020.3,b=log20.3,貝Ij

A.a-\-b<ab<0B.ab<aJt-b<0

C.a-\-b<0<abD.ab<0<a+b

3.（2024?上海楊浦?二模）已知實數(shù)。，b,Jd滿足：a>b>0>c>df則下列不等式一定正確的是（）

A.a-\-d>b-\-cB.ad>bcC.a+ob+dD.ac>bd

二、多選題

4.（2022,全國,局考真題）若x,y滿足f+y2一孫=i,則（）

A.尤+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

5.（2024?遼寧?模擬預測）已知。<人<0<c,下列不等式正確的是（）

ba

A.—<—B.a2<c2

ab

C.2"<2。D.logc(-^)<logc(-Z?)

三、填空題

6.(2024?河北石家莊?二模)若實數(shù)尤,y,z20,且x+y+z=4,2x-y+z=5,則Af=4x+3y+5z的取值范

圍是.

電考點突破

【考點11比較數(shù)（式）的大小

一、單選題

1.（21-22高二下?江西九江?期末）已知〃=&，b=-若，c=C-0,則。，b,。的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

2.（2022?廣東廣州?一模）若正實數(shù)a,Z?滿足〃>>，且Inalnb,。，則下列不等式一定成立的是（）

+1a+bblax

A.logab<0B.C.2^<2D.a-<b-

ba

二、多選題

3.（2023?全國?模擬預測）

A.A-//<0B.4—〃N0

c蕓D*

4.（2023?廣東肇慶?二模）已知正數(shù)。,6滿足等式片一。=2（2皿-Ina）,則下列不等式中可能成立的有（）

A.a>〉一B.〃<b?<一

22

3

C.a>b>lD.b<a<\

三、填空題

5.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?一模）已知"等，b=顯,c=四一人金，則“也c的大小關(guān)系是

32n96

6.（2024?吉林?模擬預測）請寫出一個累函數(shù)了⑺滿足以下條件：①定義域為［0,+?0；②/⑺為增函數(shù)；

③對任意的』，x2e［0,+?）,都有,則〃x）=.

反思提升：

1.作差法一般步驟：（1）作差；（2）變形；（3）定號；（4）結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式

分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先

平方再作差.

2.作商法一般步驟：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大??；（4）結(jié)論.

3.函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小

關(guān)系.

4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.

【考點2］不等式的基本性質(zhì)

一、單選題

1.（22-23高一下?云南玉溪?期中）若a,beR,則"（a->）/<0"是"a<6"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?遼寧?一模）設(shè)々=—,b=2-"<?=1一?'貝|（）

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

二、多選題

3.（2021?江蘇揚州?模擬預測）已知兩個不為零的實數(shù)1,>滿足xvy,則下列說法中正確的有（）

A.3r>1B.移<_/C.x|x|<y|y|D.

4.（2023?湖北襄陽?模擬預測）我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)系，如由>=欣在點（0,1）處的切線

y=x-l寫出不等式111r4》一1,進而用一替換x得到一系列不等式，疊力口后有l(wèi)n（〃+l）<l+g+；+…+：這

些不等式體現(xiàn)了數(shù)學之美.運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（）

〃（1）

n\<e2

1111

B.—I--F...H—<ln〃（〃22）

23nv7

4

c.1+M1+

1223

D.I+

23

三、填空題

1712

5.（2023?山西大同?模擬預測）已知a〉0,b>0,a>—+—,b>--\"—,則4+6的最小值為

abba

6.(2024?河北承德?二模)已知等差數(shù)列｛%｝(公差不為0)和等差數(shù)列｛4｝的前〃項和分別為斗?，如果

22

關(guān)于尤的實系數(shù)方程1003X-S1003X+%3=0有實數(shù)解，則以下1003個方程X-平+々=0(i=1,2,,1003)中,

有實數(shù)解的方程至少有個.

反思提升：

解決此類題目常用的三種方法：

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前

提條件；

(2)利用特殊值法排除錯誤答案；

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時，可以利用指數(shù)、對數(shù)、幕

函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.

【考點3】不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.(2023?江蘇南通?模擬預測)已知a-be[0,l],a+bw[2,4],則4a-2)的取值范圍是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

12

2.(2022?浙江杭州?模擬預測)已知a",ce〃且a+Hc=0,a>方>c,則巴a上+cJ的取值范圍是()

ac

A.[2,+oo)B.(田,一2]C.D.(2,1*

二、多選題

3.(20-21高三上,江蘇,階段練習)已知實數(shù)x,y滿足-3<x+2y<2,-1<2元-y<4,則()

A.x的取值范圍為(T,2)B.丁的取值范圍為(-2,1)

C.%+>的取值范圍為(-3,3)D.龍一丫的取值范圍為(T,3)

4.(2023?河南洛陽,模擬預測)設(shè)實數(shù)滿足49,貝|()

b

A.2<|a|<6B.1<|^|<3C.4<a3Z7<144D.l<ab3<4

三、填空題

5

5.⑵-22高三云南昆明?階段練習）已知實數(shù)X,九滿足I-［1<xa+y"<34,,則z=2—y的取值范圍

是.（用區(qū)間表示）

6.（2022?上海普陀?一模）設(shè)二次函數(shù)/（x）=g2-2x+〃（m,〃eR）,若函數(shù)的值域為［0,+動，且

22

/■（1）42,則4—+^^的取值范圍為_________.

n+1m+1

反思提升：

利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性

質(zhì)；二是在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求

范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運算求解范圍.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2023?上海金山?二模）若實數(shù)。、b滿足片,〃〉。，則下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2”

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

2.（2022?湖南長沙?模擬預測）小李從甲地到乙地的平均速度為。，從乙地到甲地的平均速度為伏

他往返甲乙兩地的平均速度為L則（）

a+bi—

A.v=——B.v=y/ab

C.yfab<v<------D.b<v<y［ab

2

3.（2022云南貴州?二模）已知Q=ln（J5e）,〃=-----=——+1,則。，瓦。的大關(guān)系為（）

e5

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

4.（2024陜西西安?模擬預測）若。=0.31",/7=108312,°=10826,1=，］,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

二、多選題

5.（21-22高三上?湖北?階段練習）下列命題成立的是（）

,,,ab

A.右a>b,c>d,貝!j—>一

dc

B.若不等式f+公一b<o的解集是{兀|1v%<2},則a+）=_5

6

C.若a^R,Z?eR,則4+/22(〃+匕一1)

D.若m匕滿足—l<a<b<l,則a-b的取值范圍是(-2,2)

6.（2023?山東?二模）已知實數(shù)滿足，且a+b+c=0,則下列說法正確的是（）

A.--->---B.a—c>2bC.a2>b2D.ab-\-bc>Q

a-cb-c

7.（2023?湖南長沙?二模）已知實數(shù)。也c滿足0<〃<b<c,則下列說法正確的是（）

11bb+c

A.---->----B.->----

c-ab-aaa+c

11

C-D-^+c2>ac+bc

三、填空題

8.（20-21高一上?湖北武漢?期中）購買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價格的升降，甲策

略是每次購買這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，則種購物策略比較

經(jīng)濟.

9.（2022?全國?模擬預測）已知實數(shù)天、丁滿足一2<》+2丫<3,-2<2無一、4。，貝1]3》一4，的取值范圍為.

10.（2022?四川瀘州?三模）已知x,yeR,滿足2*+2>=4，給出下列四個結(jié)論：①x+”2；②孫21；

@2v+y<3；@4r+4v>8.其中一定成立的結(jié)論是（寫出所有成立結(jié)論的編號）.

四、解答題

11.（23-24高一上?江蘇連云港?階段練習）（1）己知-l<x<4,2<y<3,求x-y的取值范圍.

（2）比較（x-lXl+x+l）與（x+lXJ-x+l）的大小，其中xeR.

12.（21-22高三?貴州貴陽?階段練習）已知實數(shù)。，b,c滿足a+b+c=0.

⑴若a<Z?<0,求證：---<；

a-cb-c

（2）若。<0力<0,abc=1,求c的最小值.

【能力篇】

一、單選題

1202320。3

1.（2023?江西?模擬預測）已知。=罰，》=ln考c=log4^1,貝。（）

202220222022

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

二、多選題

2.（21-22高一上?重慶?期末）下列說法正確的是（）

11