2025年高考數學壓軸題訓練：一元函數的導數及其應用（利用導數研究函數圖象及性質）（全題型壓軸題）（學生版+解析）

專題10一元函數的導數及其應用

（利用導數研究函數圖象及性質）

目錄

一、圖象識別題............................................1

二、函數切線條數問題......................................3

三、不等式整數解問題.....................................15

四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題...............4

五、不等式恒成立問題......................................6

一、圖象識別題

1.（2024湖北?模擬預測）函數/（尤）=3_1-1!?：2的圖象大致為（）

2.（2024?寧夏固原,一模）已知函數”尤）的部分圖像如圖所示,貝U/（x）的解析式可能為（

x

?心濟e_

A7(3E

?。?后

c-?。?3D-

3.（2024?天津?一模）如圖是函數〃x）的部分圖象，則〃尤）的解析式可能為（)

cos5x

B.〃x)=

2X+2-X

sin5x

D.〃x)=

2~X-2X

e'-e-J

4.（2024?全國?模擬預測）函數〃元）=的大致圖象是（

41n|x|+l

O

5.（2024?全國?模擬預測）函數〃尤）=1^.1中|的大致圖像是（）

二、函數切線條數問題

1.（23-24高三上?廣東汕頭?階段練習）若過點（加,〃）（〃7>0）可作曲線y=/-3x三條切線,

則()

A.n<—3mB.n>m3-3m

C.幾=m3—3m或〃=—3mD.—3m<n<n^-3m

2.（23-24高三上?廣東佛山?階段練習）已知函數/（%）=（x-3）ex,若經過點（0,“）且與曲線

>=/（元）相切的直線有三條，則（）

A.—3<aV—eB.a>-eC.Qv-3D.av_3或Q>—e

3.（23-24高二下?安徽安慶?期末）若過點（a,6）（a>0）可以作曲線y的三條切線，則

()

A.0<a<bebB.-aea<b<0

C.0<ae1<b+4D.—(Q+4)〈加2Vo

4.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）過直線丁=%-1上一點尸可以作曲線〃％）=龍-丘的

兩條切線，則點尸橫坐標/的取值范圍為（）

A.0<t<lB.l<t<e

1?

C.Q<t<eD.-<t<l

四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題

1.(23-24高二下?四川樂山?期末)已知函數/(x)=e*-ox和g(x)=ox-lnx有相同的最小

值.

⑴求。；

(2)若直線y=b與y=和y=g(x)的圖象共有四個不同的交點，試探究：從左到右四個

交點橫坐標之間的等量關系.

2.(23-24高二下?廣東深圳?階段練習)用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之"美現

代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率

定義如下：若義(X)是“X)的導函數,是㈤是尸⑺的導函數,則曲線在點

處的曲率為3

（1+八）3

(1)已知函數/(X)=sinx+COST,

①求函數在點(0,1)處的曲率的平方K：；

②求函數的曲率K的最大值.

(2)函數g(x)=(x-2)e*+［下一---lark2,若g(無)在兩個不同的點處曲率為0,求實數小

的取值范圍.

3.(2024?北京房山?一模)已知函數/(幻=y+、

X

(1)當。=0時，求曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程;

⑵設g(x)=/'(x)-x2,求函數g(x)的極大值；

(3)若a<-e,求函數Ax)的零點個數.

4.(23-24高三下?上海?階段練習)已知函數=和g(x)=ox-lnx(aeR)

⑴若函數y=g(x)是定義域上的嚴格減函數，求。的取值范圍.

(2)若函數/(x)=e，-ax和g(x)=辦-Inx有相同的最小值，求。的值

⑶若。=1,是否存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,

并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列

5.（2023?黑龍江?模擬預測）已知函數〃％）=*,尤eR.

（1）求函數〃x）=xe，單調區(qū)間；

（2）若過點P（1，OG?R）可以作曲線,=/（x）的3條切線，求實數t的取值范圍.

五、不等式恒成立問題

1.（2024?湖南?一模）若不等式e'T-〃1-2〃-320對VxeR恒成立，其中〃入0,則一的

m

取值范圍為（）

（ln3eIn3e

A.一叫———B.--------,+oo

2

In3eIn3e)

D.

C.~2~

b

2.（2024?山東苗澤?一模）關于x的不等式尤e^+bx-lnxNl（a>0）恒成立，則一的最小值

a

為.

3.（23-24高三上?山東臨沂?期末）己知函數〃尤）=卜'一無~一2招式"°,若關于尤的不等式

xlnx,x>0

F（x）>?x-e（e是自然對數的底數）在R上恒成立，則。的取值范圍____.

4.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習）已知函數〃x）=lnx-or2（a>0）

⑴當a=l時，求/（力的單調區(qū)間;

（2）若Inx-or?WZzx恒成立，求。+2A的最小值.

專題10一元函數的導數及其應用

（利用導數研究函數圖象及性質）

目錄

一、圖象識別題............................................1

二、函數切線條數問題......................................3

三、不等式整數解問題.....................................15

四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題...............4

五、不等式恒成立問題......................................6

一、圖象識別題

1.（2024湖北?模擬預測）函數/（尤）=3_1-1!?：2的圖象大致為（）

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】根據x<0時的單調性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

ex-ex-21n(-x),x<0

［詳解］f(x)=ex-^-\nx2=

ex-ex-21ILX,x>0

1

因為當x<0時,y=ex,y=—ex,y=-21n(—%)都為增函數,

所以，y=e、_/_21n(r),x<0單調遞增，故B，C錯誤;

、_1

又因為y(-尤)=b—e*-Inx2，

所以/(x)不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故D錯誤.

故選：A

2.(2024?寧夏固原一模)已知函數/(元)的部分圖像如圖所示,則“X)的解析式可能為(

7(3E

D-4)=力

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】利用/(x)在(1,+s)上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/(無)在

。,+8)上的單調性排除D,從而得解.

【詳解】對于B,當尤>1時，/(%)=-—-—，易知e"-er>0，3-4x<0,

則/(x)<0,不滿足圖象，故B錯誤；

對于C,;常,定義域為~，-飆卜:片+6，

P-XXex+e~x

又/(f)=F+EO=方匚7="幻，則的圖象關于y軸對稱，故C錯誤;

qJC\D4X\D

XxI

對于D,當x>l時，小)=麗=17rl+』，

由反比例函數的性質可知，在(1,+8)上單調遞減，故D錯誤;

-x

檢驗選項A,。滿足圖中性質,故A正確.

4|尤|-3

故選：A.

3.（2024?天津?一模）如圖是函數/（X）的部分圖象，則/（尤）的解析式可能為（）

、cos5x

B.心疔尸

、cos5xr“、sin5x

C-=D-=

z-乙z-z

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】根據函數的奇偶性可排除C,根據在原點附近的函數值的正負可排除BA,

即可求解.

【詳解】由圖可知：/（無）的圖象關于y軸對稱，則為偶函數，

上（、sin（-5x）-sin5x?、

對于A,〃—）=2-2'=_（2,-2-，）="z"）'為偶函數，

但當x取一個很小的正數，例如x=0.0001,選項中的/'（0.0001）＞0,而原圖象中值為負數,

故A不符合，舍去，

對于B,〃—）=冶3，=等當=〃力,為偶函數，但是x=0處有意義，但是原函數在

2I22I2

尤=0處無意義，故B不符合，

對于c,〃-村=學32=T啜=-〃"，為奇函數，故C不符合,

z—zz—Z

故選：D

ex-eTx

4（2024?全國?模擬預測）函數/⑴二…的大致圖象是（

4/

M1U

A-13“卜

小

斗/

C.1D--半―

八4n

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】根據函數解析式,求函數定義域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判斷各

個選項.

【詳解】由題意得41n|x|+lN0,即一I，得彳*±屋八且X*。，

所以/（X）的定義域為卜"土e；且"0"

「，/、e-x-exex-e-x、

又以X）~Al1I1—AA\\1—/（%），所以〃尤）為奇函數，

4ln—x|+l4ln|x|+l

其圖象關于原點對稱，排除B,C；

IIII

又。十

）,所以排除D.

e"J4ln-+l一3

e

故選：A.

5.（2024?全國?模擬預測）函數/（x）=±「的大致圖像是（）

11

:一

yt

【優(yōu)尖升-分析】由奇偶函數的定義可判斷A,C；由特值法可判斷B,D.

【詳解】函數f(x)的定義域為{x|xwO},關于原點對稱，

又/(x)=(e*-b).In禺，/(-%)=-ex)-In|-x|=-(eA-)-In|x|=-/(x),

所以函數/(x)為奇函數，其圖像關于原點對稱，排除選項A,C.

因為/⑴=Oj[g)=[八一排除選項B.

(另解：當0<x<l時，1皿0?-心〉0,所以〃x)<0,排除選項B).

故選：D.

二、函數切線條數問題

1.(23-24高三上?廣東汕頭?階段練習)若過點(〃2,〃)(加>0)可作曲線了=/-3》三條切線，

則()

A.n<—3mB.n>m3—3m

C.H=m3-3m或〃=—3mD.-3m<n<m3-3m

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】設出切點〃(X0,幾)，求導，得到切線方程，將("Z,")("?>0)代入切線方程，

得至—3/n片+3，"+”=。，故一3〃此：+3〃2+力=0有三個實數根，令

g(x0)=2W-3*+3〃7+〃，求導，得到其單調性和極值點情況，從而得到不等式，求出答

案.

【詳解】設切點為〃您，兀)，則%=〃％)=尤；-3%,

制x)=3d-3,故〃x°)=3君—3,且切線方程為丫一%=(3/一3)(x-x0),

因為(M7,〃)("?>0)在切線上，故”-(X；-3%)=(3x；-3)(m-/)，

整理得2xg-3mx；+3m+〃=0,

因為過點(肛〃)(相>0)可作曲線y=V-3x三條切線,

故2丸一3mX；+3根+〃=0有三個實數根，

設g(%o)=2/一3mX：+3m+n,則g'(九0)=6片-6mx0=6x0(x0-m),

由g'H。得，/=?；蚣?，

因為加>。，由8’(%0)=6%0(%0-加)>0得兀0>機或%o<。，此時g(%o)單調遞增，

由^(xo)=6xo(xo-w)<O^O<xo<wt,此時8優(yōu))單調遞減，

所以8(%)=2鵬-3溷+3/+〃的極大值點為％=°,極小值點為飛=機，

故2年-3,欣+3m+?=0要有三個實數根的充要條件為19)：:,

g㈣<0

f3m+n>0

即<3c八，解得—3m<n<4—3m.

[-m+3m+n<0

故選：D

【點睛】應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：

(1)己知切點人(%,/(%))求斜率h即求該點處的導數左=「(為)；

(2)己知斜率k求切點4(%,〃網)),即解方程尸(可)=左；

⑶已知切線過某點加(占,〃西))(不是切點)求切點，設出切點4(%,〃%)),利用

k="6"/)=f'M求解.

%-玉)

2.(23-24高三上?廣東佛山?階段練習)己知函數“r)=(x-3)ex,若經過點(0，。)且與曲線

y=/(尤)相切的直線有三條，則()

A.-3<a<-eB.a>-eC.a<-3D.av-3或。>一。

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】設切點為(天,(%-3)爐>),再根據導數的幾何意義結合兩點間的斜率公式可

得。=(一片+3x0-3)e?有3個解，構造函數g(x)=(f2+3x-3)e，,求導分析單調性與極值

可得”的取值范圍.

【詳解】尸(x)=(x-2)e”,設經過點(0,°)且與曲線y=/⑶相切的切點為-3)e』)，

,i

則/(x0)=(x0-2)e'>,又切線經過(0,“)，故由題意a-3)__4=伍_2)打有3個解.

xo

化簡有4=(%—3)爐>—/(5—2)e*,即a=(-xj+3xo-3)e&有3個解.

設g(x)=(—尤2+3x-3)e*,貝lJg〈x)=(-x2+x)eX,令g'(x)=0有尤=0或x=l,故當

xe(y,O)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減;當xe(O,l)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;當

xe(l,+oo)時,g[x)<0,g(無)單調遞減.

又g（O）=—3,g（l）=-e,且=g（2）=-e2Vg（0）,故要a=（_x；+3x°_3）e0

有3個解，貝

故選：A

【點睛】已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法求解

3.（23-24高二下?安徽安慶?期末）若過點>0）可以作曲線y=的三條切線，則

（）

A.0<a<bebB.-aefl<b<0

C.0<ae2<b+4D.-（a+4）<Z>e2<0

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】設切點為（％,彳/'。），利用導數的幾何意義及條件可得關于修的方程

（片-叫，-有三個不同的解，構造函數〃x）=（尤2-6-小，，利用導數研究函數

的性質利用數形結合即得.

【詳解】由題可得了=（*+1）/,

設切點（尤o,尤oe"0）,則小+1）6%=；:,整理得（X；-啄一。k演=一匕，

由題意知關于看的方程（x；-冰。-。）田=-6有三個不同的解，

設/⑺=（12_改_々）爐,r⑺=（%+2）（九一,

由/,1）=0，得了=-2或1=〃，又a>0,

所以當xv—2時，/^x）>0,/（x）單調遞增，當—2vx<4時，/^x）<0,f（x）單調遞減，

當x>。時第x）>o,/（x）單調遞增,

當Xf-co時0,

當xf+8時，〃x)f+co,且/(_2)=與好，〃a)=—ae"<0,

函數〃x）的大致圖像如圖所示,

因為〃x）的圖像與直線>=有三個交點，

所以0<—6<^^,gp-（a+4）<Z7e2<0.

e

故選：D.

【點睛】利用導數研究零點問題：

（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可

用導數知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖像；

（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問

題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；

（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利

用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.

4.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）過直線>=x-l上一點P可以作曲線〃x）=x-Inx的

兩條切線，則點P橫坐標f的取值范圍為（）

A.0<Z<1B.l<t<e

C.0</<eD.—<.t<.1

e

【答案】C

【優(yōu)尖升-分析】根據導數的幾何意義得出切線方程，再將方程r=2x0-尤。In%的根的個數問

題轉化為函數y=，與函數g（x）=2x-xlnx的圖象的交點個數問題，結合圖象，即可得出答案.

【詳解】解：由題意得尸億一D,設切點為%>0,

?.?r(x)=i」，ru)=i--=—,

X%%0

則過點P的切線方程為y-Xo+ln/=也一(x-毛)，整理得>='-x-lnx0+l,

%x0

1

由點尸在切線上，貝1]，-1=也一'，一lnxo+l,gp?=2x0-x0lnx0,

不

因為過直線y=x-l上一點P可以作曲線“r)=x-lnx兩條切線，

所以關于%的方程/=2%-％In%有兩個不等的實數根，

即函數y=，與函數g(x)=2x-xlnx的圖象有兩個交點，

g'(x)=2-lnx-l=l-lnx,

g'(x)>OnO<尤<e,g'(尤)<0=>尤)e,

則函數g(x)在(O,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，且g(e)=e,

x-0時，g(x)f0；xf+8時，g(x)-—co,

則函數y=，與函數g(x)=-xlnx+2x的圖象如下圖所示：

由圖可知，0<t<e,

故選：C.

三、不等式整數解問題

1.(23-24高一上?上海嘉定?期末)已知函數〃幻=|3、-1|,若關于的x的方程

|/(尤)-4+|/(x)-a-1|=1有且僅有兩個不同的整數解，則實數。的取值范圍是()

A.[TO]B,T,-jC.[0』D.gl)

【答案】B

【優(yōu)尖升-分析】根據絕對值的應用尋找方程成立的條件，再利用數形結合求解參數即可.

【詳解】若關于的x的方程|/(x)-。|+|/(x)-a-1=1有且僅有兩個不同的整數解，

貝I必、有/(x)之。且/(x)〈a+l同時成立，即Ax)圖象夾在丫=。和>=〃+1之間，

2Q

易知/(0)=0,/(-1)=-,"1)=2,/(-2)="函數/*)的圖象大致如圖,

結合圖形可知。</（力4。+1的整數解只有兩個，則其中一個為x=0,另一個為x=-l,

2Q

所以aVO,且+

解得ae_g，_g），

故選：B

2.（23-24高一上?遼寧沈陽?階段練習）已知函數〃無）=尸::無若關于x的不等

式"（x）f-時（x）-"2<0恰有兩個整數解，則實數機的最小值是（）

A.-21B.-14C.-7D.-6

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】畫出函數的圖像，然后對于不等式"GV-時（力-*<0,分"=0和

以及根<0和機>0進行分析說明得實數小的最小值.

【詳解】函數仆）J*：：*'的圖像如下：

e-l,x<0

???不等式"（x）F-時（x）-"<0恰有兩個整數解，

①當〃=0時，"（尤）］2_〃礦（x）<0,即

當/<0時，m</（x）<0,

由于"（切2—時㈤<0恰有兩個整數解,又于（4）=0J（5）<0,<⑹<0J⑺<0,

則整數解為5和6,X/（6）=-62+4X6=-12,/（7）=-72+4X7=-21,

因為求最小值，此時機＞0就不用考慮了，機的最小值為-21,

②當"0時，對于"(切2—時(x)—/<0,

A=m2+>0

只考慮m＜0,

貝wz-J/+4見2〈0〈機+J//+4〃2

22

又/'（力=。時有兩個整數解，則不等式的解集中含有多于2個整數解，故舍去，

綜上，實數〃z的最小值是-21.

故選：A.

3.（2024?全國?模擬預測）已知關于x的不等式Inx-履4+日3＞o恰有一個整數解，則實數

上的取值范圍為（）

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】第一步：將不等式進行合理變形，關于x的不等式學＞左。-1）恰有一個

整數解.

第二步：構造函數，研究新函數的性質，作出函數的圖象，根據圖象求解；

【詳解】設/（尤）=華，y=k（x-v）,貝

XX

當0＜x＜消時，八無）＞°，

當尤時，/（x）＜°，

.?./（元）在區(qū)間0,”上單調遞增，在區(qū)間5,+"上單調遞減.

I）\）

當x〉l時，/（%）＞0,當x趨近于+8時，/（九）趨近于0,/（I）=0,

直線＞1）過點（1,。），在同一坐標系中作出直線y=1）和函數/（尤）的圖象如圖所示.

由圖象知，要使關于X的不等式？＞心-1)恰有一個整數解，則

“2)-＞左(2一1)

力口ln3,7In2

解得

〃3)=與4M3T

故選：D.

4.(23-24高二下?河南鄭州?期末)若關于x的不等式區(qū)＞|尤-2|恰好有4個整數解，則實數

上的范圍為()

22](231(32](2:

A-t5jB.白1C仁」

【答案】C

【優(yōu)尖升-分析】數形結合可知0＜左＜1,進而可得4個整數解分別為2,3,4,5,所以

x=--e(5,6],即可解得人的取值范圍.

1-K

【詳解】

函數y=履與y=|x-2|的圖像如圖所示，

可知當左＜-1時，兩函數的圖像有1個交點，不等式有無數個整數解,

當-1W左＜0,兩函數的圖像無交點，不等式無整數解，

當％=0時，兩函數的圖像有1個交點，不等式無整數解，

當人時，兩函數的圖像有1個交點，不等式有無數個整數解，

所以0＜女＜1,則%＞1,

所以不等式的4個整數解分別為2,3,4,5,

\[y=kx°,解得一?-e(5,6],

[y=x-21-k

32

解得k

故選：c.

5.(23-24高二下?江蘇揚州?期末)已知偶函數〃尤)滿足〃4+x)=〃4r),/(0)=-1,

且當xe(0,4］時，〃尤)=弓.若關于x的不等式/■(x)>。在［T8,48］上有且只有60個整數解,

則實數。的取值范圍是()

In2ln3

A.(-1,0]

B.C.D.HE

【答案】B

【優(yōu)尖升-分析】分析可知，函數〃力是周期為8的周期函數，由題意可得關于x的不等式

〃￡)>。在［0,8)上有且只有5個整數解，數形結合可得出實數〃的取值范圍.

【詳解】因為偶函數滿足〃4+x)=〃4-x),則〃x+4)=〃x—4),即/(%+8)=/(x),

所以，函數/'(x)是周期為8的周期函數，

當xe(O,4］時，尸⑺=上詈，令'(引=0,可得x=e.

由用尤)>?？傻?<x<e,由/'(x)<0可得e<xW4.

所以，函數”尤)在(O,e)上單調遞增，在(e,4］上單調遞減，

因為關于x的不等式/(》)>。在［T8,48］上有且只有60個整數解，

則關于x的不等式〃x)>。在［0,8)上有且只有5個整數解，如下圖所示：

又因為〃3)>/(4),所以，要使得不等式在［0,8)上有且只有5個整數解,

則這五個整數解分別為3、5、2、4、6,

所以，/(2)>a>/(l),即ova〈殍，

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用不等式的整數解的個數求參數的取值范圍，解題的關鍵

在于作出函數的圖象，明確整數解是哪些整數，再結合圖形求解.

四、函數零點，方程根，兩個函數圖象交點問題

1.(23-24高二下?四川樂山?期末)已知函數/(x)=e*-ox和g(x)=ox-lnx有相同的最小

值.

⑴求。；

(2)若直線y=b與y=和y=g(x)的圖象共有四個不同的交點，試探究：從左到右四個

交點橫坐標之間的等量關系.

【答案】(1)。=1

(2)答案見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)根據導數可得函數的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相

等可求。，注意分類討論.

(2)根據(1)可得〃x)=e;x,g(x)=x-lnr,結合大致圖象分兩種情況進行分析探究

即可.

【詳解】(1)因為〃x)=e-or,所以_f(x)=e-a.

若。40,貝U/'(x)>0,此時無最小值，故a>0.

當x<lna時，/(力<0,故/(X)在(YO,Ina)上為減函數,

當x>lna時，f^x)>0,故在(Ina,+oo)上為增函數，

故〃x)min=〃lna)=a-alna.

因為g(x)=axTnx的定義域為(0,+8),而g〈X)=a-L"L

當0<x<：時，g'(x)<0,故g(x)在10,［上為減函數，

當x>：時，g<x)>0,故g(無)在&?,+<?］上為增函數，

故g(x)m,n=g［：］=lTn：.

VC4-JCt-

因為/(X)=e'-依和g(x)=?x-l?x有相同的最小值，

1n—1

故1—In—=a—alna,整理得到---=lna其中a〉0,

a1+a9

T§：h(a)=^—^-\na,a>0,則〃⑷=八~_，

1+a(1+a)aQ(1+Q)

故場(a)為(0,+e)上的減函數,而項)=0,

故/z(a)=O的唯一解為a=l,故E=lna的解為a=l.

綜上，a=l.

(2)由(1)知,<7=1,故/(x)=e*—x,g(x)=x-\nx,

且〃尤)在(-8,0)上為減函數，在(0,+向上為增函數，

g(x)在(0,1)上為減函數,在(1,+8)上為增函數，且〃o)=g⑴=1,

所以直線y=b與y=和y=g(x)的圖象有四個不同的交點，存在以下兩種情況:

設直線y=6與y=/(力的圖象交點橫坐標從左到右依次為玉,三，

直線y=6與y=g(x)的圖象交點橫坐標從左到右依次為

由圖可知/(5)=/(彳2)=8(*3)=8(匕)=》且再<。<無2<%<1<匕.

/(lnx3)=x3-lnx!=g(&)=占)且Inw<0.

/.lnx3=石.

同理，/(In%)：龍4-lnx4=g(X4)=/(N)且In%>0.

/.lnx4=x2.

/.玉+/=ln%3+%,x2+x3=Inx4+x3,

又g(w)=g(x4),即：x3-lnx3=x4-lnr4.

/.lnx3+%=lnx4+x3.

x1+x4=x2+x3,

設直線y=b與y=/(x)的圖象交點橫坐標從左到右依次為西,三，

直線y=b與y=g(x)的圖象交點橫坐標從左到右依次為x3,x4.

由圖可知/(%)=/(々)=8(X3)=8(工4)=＞，占＜0＜無2＜退＜匕，且々＜1，匕＞1,

/(lnx2)=x2-ln%2=g(%2)=/■(%])且In%＜0.

/.lnx2=%.

同理，/。11%4)=無4—In%=g(x4)=/(w)且In%＞0.

lnx4=x3.

/.玉+/=Inx2+x4fx2+x3=Inx4+x2,

又丫g(龍2)=g(xj,即：x2-ln.x2=x4-ln.x4.

Inx2+x4=Inx4+x2.

/.x{+x4=x2+x3,

綜上所述，若直線y=6與y=〃x)和y=g(x)的圖象共有四個不同的交點，從左到右四個

交點橫坐標之間的等量關系為：X1+x4=x2+x3.

【點睛】思路點睛：函數的最值問題，往往需要利用導數討論函數的單調性，此時注意對參

數的分類討論，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.

2.(23-24高二下?廣東深圳?階段練習)用數學的眼光看世界就能發(fā)現很多數學之"美現

代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率

定義如下：若廣⑺是“X)的導函數，尸(x)是廣(%)的導函數,則曲線y=〃x)在點

山(切了

(1)已知函數/(x)=sinx+cosx,

①求函數在點(0,1)處的曲率的平方K：；

②求函數的曲率K的最大值.

(2)函數g(x)=(x-2)e'+1—3—---\wi\x2,若g(無)在兩個不同的點處曲率為0,求實數小

的取值范圍.

【答案】⑴①”；②也

O

(2)(―oo,21n2—2)

【優(yōu)尖升-分析】(1)首先求得/'(x)=cosx—sinx,/"(%)=-sinx-cosx,①代入％=0得

r（o）=i,r（o）=-i,結合曲率公式即可求解；②首先得曲率表達式K、=,［進

（2-sin2x）

一步通過換元法，構造函數求導即可得解；

（2）通過計算得g〃（x）=*+x-2（lnx+x）+7%x>0,從而g（x）在兩個不同的點處曲率為0,

等價于m=2（lm;+x）-6頤+工有兩個大于o的實數解，進一步證明《x）=x+inx在（0,+s）上單

調遞增，從而原問題等價于根=2"eZeR有兩個實數解，利用導數研究函數零點即可求解.

【詳解】(1)/(x)=sinx+cosx,:.f\x)=cosx-sinx,f\x)=-sinx-cosx,

()2

;|ro|?-ip1

①由題意，r（o）=i,r（o）=-i,

°電"…+a8

②由K定義知K為非負數，由題意得

⑴丁—cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-sin2x,

[/〃(x)T=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x,

l+sin2x

令〃=sin2尤G[-1,1],

(1+[-(x)T)(2-sin2x)3'

1+w

K2=I+U令/(")=

(2-")3'(2-M)3

(2-H)3-[-3(2-M)2](1+M)

2t>o在［-1』上恒成立,

則F(M)

(2-M)6（2-w）4

???尸(")=F在[-M]上單調遞增,即(%)="〃)=-1)=2,

7(ZT-W)\/max111as

；.K1mx=及，當且僅當&=5也2*=1時取到，所以曲率K的最大值為0.

3+mx,

(2)-/g(x)=(x-2)e%+--------------]nxx2,x>0

23

/.g'(x)=(K-l)eX+(3+m)x-x2—(元+2xlnx),

/.gn(X)=xex—2(lnx+x)+m=e1nx-2(lnx+x)+m,x>0,

因為g（x）在兩個不同的點處曲率為0,

。g"（x）=0有兩個大于0的實數解，

。機=2（lnx+x）-e欣+*有兩個大于0的實數解.

令（%）=lnx+%（%>0）「,，（兀）=4+1>0,

x

.?.《同在（0,+8）上單調遞增，且值域為R,

二機=2(依+2-6山+”有兩個大于。的實數解om=2-e'/eR有兩個實數解.

令/z(r)=2r-e'jeR,貝lj〃(t)=2-e'，

令〃⑺=0得f=ln2,fe(T,ln2)時，h'(t)>0,即入⑺單調遞增；

fe(ln2,+e)時,/(f)<0,即人⑴單調遞減；

,砥)皿="伽2)=21112-2,

又>YO時，為⑺f-OO；/—>■!<?時，/?⑺f-8；

/7(。圖象如下圖所示：

一

21n2-2r^-^x/

/]\?.?〃7=/1(。有兩個實數解，，7〃?-8,21112-2).

y=h(t)/\

所以優(yōu)的取值范圍為(y,21n2-2).

【點睛】關鍵點點睛：解決(2)的關鍵是通過同構將原問題轉換為加=2,-e'jeR有兩個

實數解，由此即可順利得解.

3.(2024?北京房山?一模)己知函數/(x)=*+L

(I)當a=0時，求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

⑵設g(x)=/'(x)”爐,求函數g(x)的極大值；

(3)若“<-e,求函數的零點個數.

【答案】(1)丁=一無+3

⑵答案見解析

(3)1

【優(yōu)尖升-分析】(1)求導，再根據導數的幾何意義即可得解；

(2)求導，分。=0,。>0和°<0三種情況討論，再結合極大值的定義即可得解；

(3)令/(x)=e"+L=0,則6山=-工，再分x的正負討論，當尤<0時，分離參數可得

XX

a=_皿二0,則函數“X)零點的個數即為函數y=a,y=-12d0圖象交點的個數，構造函

數Mx)=-yg"(x<0),利用導數求出其單調區(qū)間和極值，作出函數的大致圖象，結合圖

象即可得解.

【詳解】(1)當a=0時，/(x)=l+—,/'(x)=--,

xX-

則(⑴=-1,/'⑴=2,

所以曲線>=/(尤)在點(1J⑴)處的切線方程為>一2=—(x-l),即y=-x+3；

(2)/'(幻=“*一二，則80)=/'(力_?=依%6―1(衣0),

X

則8，(%)=2辦/+々2%26"=ov(a￥+2)e"(xw0),

當〃=0時，g(x)=-l,此時函數g(j)無極值；

29

當〃>0時，令g'(x)<0,則x>0或x<——,令g'(x)<0,貝ij一一<x<0,

aa

所以函數g(x)在1雙-1]，(。，+8)上單調遞增，在(-：，0)上單調遞減，

所以g(x)的極大值為g(-j)=，~-1;

29

當時，令g'(%)<0,貝！JxvO或——,令g'(%)<0,貝！JOV尤v——,

aa

所以函數g(x)在上單調遞增，在上單調遞減，

而函數g(元)的定義域為(T?,0)5°，+8)，

所以此時函數g(x)無極值.

綜上所述，當aWO時，函數g(x)無極大值；

當a>0時，g(尤)的極大值為；

〃e

(3)^/(x)=ear+-=0,則6心=-工，

%X

當%>0時，e，">0,—<0,

x

所以x>0時，函數〃%)無零點；

當尤<0時，由e3=-L,得辦=lnjl],所以a=一皿二

貝lJx<0時，函數/(X)零點的個數即為函數y=a,y=一1nt。圖象交點的個數,

X

令〃(司=一^^(》<0),則磯x)」n(：)T,

當％<—e時，當一evxvO時，/iz(x)<0,

所以函數M%)在-e)上單調遞增，在(-e,0)上單調遞減，

所以〃OOmax=M-e)=g,

又當X->—00時，且0,當x.0時，

如圖，作出函數Mx)的大致圖象，

又a<-e,由圖可知，所以函數y=a，Mx)=-#@的圖象只有1個交點,

即當x<0時，函數外可只有1個零點；

綜上所述，若?！?e,函數/(無)有1個零點.

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基

本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與x軸的交點問題，突出導數的工具作用，體

現了轉化與化歸思想、數形結合思想和