2025屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的新定義問(wèn)題（含答案）

2025屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)創(chuàng)新性新題型-圓錐曲

線中的新定義問(wèn)題

圖雄曲鐵中的新定義同敢

新定義題目簡(jiǎn)介

題型特點(diǎn)

“新定義”題型內(nèi)容新穎，題目中常常伴隨有“定義”、“規(guī)定”等字眼，題目一般都是用抽象的語(yǔ)言給出新的

定義、運(yùn)算或符號(hào)，沒(méi)有過(guò)多的解析說(shuō)明，要求考生自己仔細(xì)揣摩、體會(huì)和理解定義的含義，在閱讀新定義后要

求馬上運(yùn)用它解決相關(guān)問(wèn)題，考查考生的理解與運(yùn)算、信息遷移的能力。

解題策略

求解“新定義”題目，主要分如下幾步：

（1）對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號(hào)；

（2）對(duì)新定義所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法和相近的知識(shí)點(diǎn)，明確它們的相同點(diǎn)和相似點(diǎn)；

（3）對(duì)定義中提取的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換、提取和轉(zhuǎn)換，這是解題的關(guān)鍵，如果題目是新定義的運(yùn)算、法則，直接

按照法則計(jì)算即可;若新定義的性質(zhì)，一般要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義的外延，可用特質(zhì)排除,注意新

定義題目一般在高考試卷的壓軸位置，往往設(shè)置三問(wèn)，第一問(wèn)的難度并不大，所以對(duì)于基礎(chǔ)差的考生也不要輕

易放棄。

V/

一、單選題

【題目■已知曲線「的對(duì)稱中心為O,若對(duì)于r上的任意一點(diǎn)A,都存在「上兩點(diǎn)B,使得O為/XABC的

重心，則稱曲線r為“自穩(wěn)定曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：

①任意橢圓都是“自穩(wěn)定曲線”;②存在雙曲線是“自穩(wěn)定曲線”.

則（）

A.①是假命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①②都是假命題D.①②都是真命題

^■3數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率e="（其中。=名口）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃

金橢圓方程為W+￡=l,（a>b>0）,若以原點(diǎn)O為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作O為黃金橢圓上除頂點(diǎn)

arb2

外任意一點(diǎn)，過(guò)P作。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B，直線AB與工,夕軸分別交于MN兩點(diǎn),則法產(chǎn)

\ON\2

A.---B.u>C.—u>D.---

coco

【題目區(qū)小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問(wèn):平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之

積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上

法國(guó)天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老

師的鼓勵(lì)下，小明決定先從特殊情況開(kāi)始研究，假設(shè)月（-1,0）、月（1,0）是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個(gè)定

點(diǎn)，滿足|P網(wǎng)HPEI=2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,從而得到以下4個(gè)結(jié)論:①曲線。既是軸對(duì)稱圖形，又

是中心對(duì)稱圖形;②動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是［—遍,述］；③QP|的取值范圍是［1,遍］;④月月的

面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

A.1B.2C.3D.4

題目⑷在平面直角坐標(biāo)系中，定義d{A,B)=max{|a;1—?2|,|yi—y2|}為兩點(diǎn)4%%)，及電,紡)的“切比雪夫

距離”，并對(duì)于點(diǎn)P與直線Z上任意一點(diǎn)Q,稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P與直線/間的“切比雪夫距離”，記作

d(P,Z),給定下列四個(gè)命題：

加：對(duì)于任意的三點(diǎn)A,B,C,總有d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

的：若點(diǎn)P(3,1),直線Z:2c—沙—1=0,則d(P,Z)=弓；

P3：滿足d(O,M)=C(C>0)的點(diǎn)河的軌跡為正方形；

口：若點(diǎn)E(—c,O),￡(c,0),則滿足|d(P出)一d(P,￡)|=2a(2c>2a>0)的點(diǎn)河的軌跡與直線y=為常

數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn);則其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

「題目可定義:若直線Z將多邊形分為兩部分，且使得多邊形在，兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線Z的距離之和相等，則稱Z

為多邊形的一條“等線”.已知雙曲線—4=l(a，b為常數(shù))和其左右焦點(diǎn)E,月，P為。上的一動(dòng)

ab

點(diǎn)，過(guò)P作。的切線分別交兩條漸近線于點(diǎn)A,已知四邊形AEB鳥與三角形P月月有相同的“等線”Z.

則對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

①\PA\=\PB\；

②等線Z必過(guò)多邊形的重心；

③，始終與岑—普-=1相切；

ab~

④，的斜率為定值且與a,6有關(guān).

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

二、多選題

題目引古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來(lái)研究圓錐曲線.后經(jīng)研究發(fā)現(xiàn):當(dāng)圓錐軸截

面的頂角為2a時(shí)，用一個(gè)與旋轉(zhuǎn)軸所成角為6的平面/(不過(guò)圓錐頂點(diǎn))去截該圓錐面，則截口曲線(圓錐

曲線)的離心率為e=〃.比如，當(dāng)a=6時(shí)，e=L即截得的曲線是拋物線.如圖，在空間直角坐標(biāo)系

COS。

Oxyz中放置一個(gè)圓錐,頂點(diǎn)S(0,0,2),M(0,1,1),底面圓。的半徑為2,直徑AB,GD分別在①，9軸上，則

A.已知點(diǎn)N(0,0,1),則過(guò)點(diǎn)河,N的平面截該圓錐得的截口曲線為圓

B.平面M4B截該圓錐得的截口曲線為拋物線的一部分

C.若E(—2,0),F(2,2,0),則平面截該圓錐得的截口曲線為雙曲線的一部分

D.若平面7截該圓錐得的截口曲線為離心率是方的雙曲線的一部分，則平面7不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

題目0法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué),推動(dòng)了空間解析幾何

學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ).根據(jù)他的研究成果，我們定義橢圓。:冬+4=l(a>

ab

6>0)的“蒙日?qǐng)A”的方程為/+才=a?+/,已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為e=^,P為蒙日?qǐng)A上任一

點(diǎn),則以下說(shuō)法正確的是()

4過(guò)點(diǎn)P作橢圓。的兩條切線24,PB,則有2,PB.

B.過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)4BQ為原點(diǎn)，則OP,AB的斜率乘積為定值kOP-kAB^-^-.

C.過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,則S4ApB的取值范圍住，明?

D.過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則S^OB的最大值為V3.

題目回小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問(wèn):平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之

積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上

法國(guó)天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老

師的鼓勵(lì)下，小明決定先從特殊情況開(kāi)始研究，假設(shè)月(-1,0)、^(1,0)是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個(gè)定

點(diǎn)，滿足「用HP網(wǎng)=2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,從而得到以下4個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的為()

A.曲線。既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形B.動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是［-

C.\OP\的取值范圍是［1,2］D.△PEE的面積的最大值為1

題目回如圖，已知圓錐PO的軸PO與母線所成的角為過(guò)4的平面與圓錐的軸所成的角為6(0>a),該

平面截這個(gè)圓錐所得的截面為橢圓,橢圓的長(zhǎng)軸為4A2,短軸為BA,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為6,橢圓的

中心為N,再以BB為弦且垂直于PO的圓截面,記該圓與直線PA,交于&,與直線PA2交于&，則下列說(shuō)

法正確的是()

A.當(dāng)時(shí)，平面截這個(gè)圓錐所得的截面也為橢圓

B.|NGHNa=a2sin("a)sin("a)

cosa

C.平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率e=空底

COSdf

D.平面截這個(gè)圓錐所得橢圓的離心率6=嗎

sinp

題目叵〕2021年3月30日，小米正式開(kāi)始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo.設(shè)計(jì)師的靈感來(lái)源于曲線

22

C：國(guó)"+|引”=1.其中星形線E：=1常用于超輕材料的設(shè)計(jì).則下列關(guān)于星形線說(shuō)法正確的是

()

A.右關(guān)于沙軸對(duì)稱B.E上的點(diǎn)到。軸、沙軸的距離之積不超過(guò)春

O

C.E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為)D.曲線E所圍成圖形的面積小于2

4

題目QT)曲率半徑是用來(lái)描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度的量，已知對(duì)于曲線名+4=

一a2b2

l(a>0,6>0)上點(diǎn)P(g，9o)處的曲率半徑公式為R=，則下列說(shuō)法正確的是)

A.對(duì)于半徑為五的圓，其圓上任一點(diǎn)的曲率半徑均為R

B.橢圓4+4=l(a>6>0)上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為a

a2b2

C.橢圓￡+%=l(a>6>0)上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為今

D.對(duì)于橢圓5+婿=上點(diǎn)(｝，%)處的曲率半徑隨著a的增大而減小

三、填空題

［題目12］在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,_B)=同―/2I+I%—仍|為點(diǎn)人(為1，%)到點(diǎn)_B(62,g2)的“折線距

離”.點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在圓/+#=1上，點(diǎn)。在直線2力+"一2斯=0上.在這個(gè)定義下，給出下

列結(jié)論：

①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為一號(hào)，則d(O,P)=3②d(O,P)的最大值是V2

55

③d(O,Q)的最小值是2；④d(Q,P)的最小值是乎

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

題目應(yīng)卵圓是常見(jiàn)的一類曲線，已知一個(gè)卵圓C的方程為：—+與=1(,>—2),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A

(1,0),點(diǎn)P為卵圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是.

①卵圓。關(guān)于Z軸對(duì)稱

②卵圓上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線C=/對(duì)稱

③線段FO長(zhǎng)度的取值范圍是［1,2］

④△O4P的面積最大值為1

￥tQTl城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達(dá)目的地，只能按直角

拐彎的方式行走.在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(P,Q)=山一溝+\yi-y2\為兩點(diǎn)。(刈,%)、Q3,紡)之間

的“出租車距離

給出下列四個(gè)結(jié)論:①若點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)4(1,2),則d(O,A)=3；

②到點(diǎn)。(0,0)的“出租車距離”不超過(guò)1的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是兀；

③若點(diǎn)力(1,2),點(diǎn)B是拋物線/=，上的動(dòng)點(diǎn)，則d(4B)的最小值是1：

④若點(diǎn)力(1,2),點(diǎn)B是圓/+才=1上的動(dòng)點(diǎn)，則d(AB)的最大值是3+2.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

「題目I15〕已知點(diǎn)41,-1).若曲線G上存在兩點(diǎn)B、。,使△ABC為正三角形，則稱G為9型曲線,給定下

列四條曲線：

①沙=c+3(—3WcW0)；②夕=；

③y=J2-a?；@y——(a：<0).

其中，屬于甲型曲線的是(寫出序號(hào)即可)

題目CassinE卵形線是由法國(guó)天文家Jecm-_Domin，queCassin/(1625—17⑵引入的.卵形線的定義

是：線上的任何點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)S、,S2的距離的乘積等于常數(shù)b2.b是正常數(shù)，設(shè)8,S2的距離為2a,如果a

<b,就得到一個(gè)沒(méi)有自交點(diǎn)的卵形線;如果a=6,就得到一個(gè)雙紐線;如果a>b,就得到兩個(gè)卵形線.若

5x(-1,0),52(1,0).動(dòng)點(diǎn)P滿足|PSJ?IPS2I=1.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為；若4和A是軌跡C

與①軸交點(diǎn)中距離最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，則△AR4'面積的最大值為.

四、解答題

［題目|17)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l-.ax+by+c=0和點(diǎn)國(guó)0,%),以狽紡)，記〃=

(<13；1+%1+<：)((13；2+%2+。),若〃<0,則稱點(diǎn)呂，B被直線，分離，若曲線C與直線Z沒(méi)有公共點(diǎn),且曲線C

上存在點(diǎn)H,呂被直線I分隔，則稱直線Z為曲線C的一條分隔線.

(1)求證:點(diǎn)—(1,2),B(—1,0)被直線x+y—1—O分隔；

(2)若直線y=m是曲線"—4才=1的分隔線,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q(0,2)的距離與到9軸的距離之積為1,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E,求證:通過(guò)原點(diǎn)的直線

中,有且僅有一條直線是E的分隔線.

題目□可設(shè)直線功=9儂)，曲線S：?/=F3).若直線，與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①直線，與曲線S

相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn);②對(duì)任意①CR都有g(shù)(x)>F(x).則稱直線，為曲線S的“上夾線”.

(1)已知函數(shù)/(2)=x—2sinc.求證：y=x+2為曲線/(2)的‘'上夾線"；

(2)觀察下圖：

題目U已知橢圓。：考■+M=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為國(guó)的

a2b2

⑴設(shè)P為橢圓。上除左右頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，設(shè)NRPE=。，證明：SAPF幽=/ta吟；

(2)若橢圓C'的標(biāo)準(zhǔn)方程為冬+g=k優(yōu)>0),則我們稱。和C'為“相似橢圓”.已知r和。為“相似橢

滔b

圓”，且r的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是c的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的V2倍.“為r上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)初作r的切線交。于A,B兩點(diǎn)，N為

。上異于A,B的一點(diǎn),且滿足說(shuō)=共演+〃礪，問(wèn)A2+”是否為定值？若為定值,求出該定值;若不為

定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目叵在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)_?(如%)、直線l-.ax+她+c=0,我們稱3==。+廝”為點(diǎn)p

Va+b

(%,jo)至！J直線/:。/+如+。=0的方向距離.

(1)設(shè)雙曲線今一才=1上的任意一點(diǎn)P(/,g)到直線l1:x—2y=0,勾：力+2g=0的方向距離分別為必必，

求必必的值；

(2)設(shè)點(diǎn)后(—力0)、網(wǎng)力,0)、到直線l:xcosa+2?/sin(7—2=0的方向距離分別為〃I,小,試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，

對(duì)任意的。都有力〃2=1成立？說(shuō)明理由；

22

(3)已知直線/:小/一g+九=0和橢圓與+號(hào)=l(Q>b>。),設(shè)橢圓石的兩個(gè)焦點(diǎn)R、月到直線Z的方向

ab

距離分別為4、不滿足心力>&2,且直線z與①軸的交點(diǎn)為4與？/軸的交點(diǎn)為B,試比較|/B|的長(zhǎng)與a+6

的大小.

題目叵⑴設(shè)橢圓G：名+￡=1與雙曲線G：9°2—孚=1有相同的焦點(diǎn)后、段朋■是橢圓G與雙曲線

ab"o

G的公共點(diǎn)，且△MEE的周長(zhǎng)為6,求橢圓G的方程；我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線

弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；

⑵如圖，已知“盾圓?！钡姆匠虨椴?優(yōu);7:L一，設(shè)“盾圓?！鄙系娜我庖稽c(diǎn)初到F(1,O)的距離

1―12(劣一V/W4

為必，M■到直線l-.x=3的距離為d2,求證：&+d2為定值；

0、3：IX

I

⑶由拋物線弧用：娟=MoWc.）與第⑴小題橢圓弧星：瓦：，■+K=1信&C）所合成的封閉曲

線為“盾圓E”,設(shè)過(guò)點(diǎn)F（1,O）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，恒刈=n，|FB|=T2,且乙4母=&（0&。

&兀）,試用cosa表示/1,并求”■的取值范圍.

/2

22

題目亙已知橢圓。:3+彳=1（。>6>0）的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為兄、后、6，定義：/\及巡為橢圓。的

ab-

“特征三角形”，如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形,那么稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角

形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點(diǎn)F（遍,0）是橢圓G：4+*=1的一個(gè)焦點(diǎn)，且G上任意一點(diǎn)

ab

到它的兩焦點(diǎn)的距離之和為4

（1）若橢圓G與橢圓G相似，且G與G的相似比為2：1,求橢圓。2的方程.

（2）已知點(diǎn)（nmWO）是橢圓G上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y與拋物線/異于原點(diǎn)

mn

的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)Q一定在雙曲線4a?—4才=1上.

（3）已知直線l:y=x+l,與橢圓G相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為G,，是否存在正方形ABCD,（設(shè)其面積

為S）,使得A、C在直線Z上，B、D在曲線G,上？若存在，求出函數(shù)S=/（b）的解析式及定義域;若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

版目區(qū)已知拋物線「：/=%,P（羯%）為拋物線「上的點(diǎn),若直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且斜率為口,則稱直線I為

點(diǎn)P的''特征直線".設(shè)ah、①2為方程/一ar+b=0（a,feER）的兩個(gè)實(shí)根，記r（a,6）=山卜了.

（1）求點(diǎn)A（2,l）的“特征直線”，的方程；

（2）已知點(diǎn)G在拋物線「上，點(diǎn)G的“特征直線”與雙曲線與一才=1經(jīng)過(guò)二、四象限的漸近線垂直，且與y

軸的交于點(diǎn)H,點(diǎn)Q（a,b）為線段GH上的點(diǎn).求證：r（a,b）=2；

（3）己知。是拋物線「上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)。、D的“特征直線”分別為。、如直線小。相交

于點(diǎn)M（a,b），且與g軸分別交于點(diǎn)E、F.求證:點(diǎn)W在線段CE上的充要條件為r（a,b）=苧（其中如為

點(diǎn)。的橫坐標(biāo)）.

（8他曲線中的新st*同題

K/

新定義題目簡(jiǎn)介

“新定義”題型內(nèi)容新穎，題目中常常伴隨有“定義”、“規(guī)定”等字眼，題目一般都是用抽象的語(yǔ)言給出新的

定義、運(yùn)算或符號(hào)，沒(méi)有過(guò)多的解析說(shuō)明，要求考生自己仔細(xì)揣摩、體會(huì)和理解定義的含義，在閱讀新定義后要

求馬上運(yùn)用它解決相關(guān)問(wèn)題，考查考生的理解與運(yùn)算、信息遷移的能力。

求解“新定義”題目，主要分如下幾步：

（1）對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號(hào)；

⑵對(duì)新定義所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法和相近的知識(shí)點(diǎn)，明確它們的相同點(diǎn)和相似點(diǎn)；

（3）對(duì)定義中提取的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換、提取和轉(zhuǎn)換，這是解題的關(guān)鍵，如果題目是新定義的運(yùn)算、法則，直接

按照法則計(jì)算即可;若新定義的性質(zhì)，一般要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義的外延，可用特質(zhì)排除,注意新

定義題目一般在高考試卷的壓軸位置,往往設(shè)置三問(wèn)，第一問(wèn)的難度并不大，所以對(duì)于基礎(chǔ)差的考生也不要輕

易放棄。

、/

一、單i4a

題目F已知曲線r的對(duì)稱中心為。，若對(duì)于r上的任意一點(diǎn)入，都存在「上兩點(diǎn)B，。，使得。為△48。的

重心,則稱曲線「為“自穩(wěn)定曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：

①任意橢圓都是“自穩(wěn)定曲線”;②存在雙曲線是“自穩(wěn)定曲線”.

則（）

A.①是假命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①②都是假命題D.①②都是真命題

【答案】B

【分析】設(shè)出橢圓、雙曲線方程及點(diǎn)ABC的坐標(biāo)，結(jié)合三角形重心坐標(biāo)公式利用點(diǎn)4的坐標(biāo)求出直線

方程,再與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，判斷是否有兩個(gè)不同解即得.

【詳解】橢圓是“自穩(wěn)定曲線”.

22

設(shè)橢圓方程為3+3=1（Q2WkQ2>0,匕2>。）,令4%%）,則匕2鬲+Q2加_a2b2,設(shè)雙叫,%）,。（力2,紡），

Qb

BC

由O是△ABC的重心，知二°。，直線過(guò)點(diǎn)必―等,一用,

十班—一隊(duì)'22/

1

當(dāng)為=0時(shí)，若4(a,0),直線y=一方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)B,C,符合題意,

若A(—a,0),直線y=￡與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)符合題意,

則當(dāng)％=0,即A(土a,0)時(shí)，存在兩點(diǎn)B,C,使得△ABC的重心為原點(diǎn)O,

同理，當(dāng)g=0,即4(0,±b)時(shí)，存在兩點(diǎn)B,C,使得△ABC的重心為原點(diǎn)

4+a2g；=a2b2

2

當(dāng)看以r0時(shí),年舄+a2g：=a2b2,兩式相減得/(電一電)(0+g)+a?-沙2)(必+仍)=0,

直線及7的斜率空畋=—用，方程為沙+?=—用卜+與)，即夕=—孕/一三，

2v2

力1一力2a'yo2ayQ2，ay02yo

22

(_bX0b22

由a2no2go消去"并整理得：力2+g#+/-----—0,

UV+aV=a2b24b

2--

A—XQ—a+當(dāng)/=—與若+~~^yl—卷%>0,即直線BC與橢圓交于兩點(diǎn)，且O是△4BC的重心,

bb-bb

即當(dāng)xoyo20時(shí)，對(duì)于點(diǎn)A,在橢圓上都存在兩點(diǎn)BC,使得。為△ABC的重心，

綜上，橢圓上任意點(diǎn)A,在橢圓上都存在兩點(diǎn)B,C,使得O為△ABC重心，①為真命題;

雙曲線不是“自穩(wěn)定曲線

由對(duì)稱性，不妨令雙曲線方程為工Y—%=1(?71>0.口>0),令4(3,s),則九出一^^二小?九2,設(shè)

mn

(t,2$2),

假設(shè)O是△ABC的重心，則H,直線過(guò)點(diǎn)(—《,一《)，

(Si+s2=—s'227

當(dāng)s=0時(shí)，直線力=—與或直線x=與與雙曲線=1都不相交，因此sW0,

22mn

nmrrtl22

[2^_f2_22，兩式相減得n(ti-12)(^i+幻—m(?i—s2)(si4-s2)—0,

[7?/t)2斤^S?—TYl>Tb

直線B。的斜率子子=空，方程為沙+得=卒卜+!)，即"=空'+4，

力1一力2ms2ms'%ms2s

(n?tIn222

2

由《后s2s消去"并整理得：/+垃+...-s=0

lnV-mV=m2n24"

ZV=——a?—耳§2=邛$2—?！?=—告邛^〈。，即直線^^與雙曲線不相交，

nnn-n

所以不存在雙曲線，其上點(diǎn)力及某兩點(diǎn)B,C,O為AABC的重心，②是假命題.

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及直線被圓錐曲線所截弦中點(diǎn)及直線斜率問(wèn)題，可以利用“點(diǎn)差法”，設(shè)出弦的兩個(gè)端

點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程作差求解，還要注意驗(yàn)證.

If0數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率e=。(其中”=容口)的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃

22

金橢圓方程為多+?七=1,(a>b>0),若以原點(diǎn)O為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作。QP為黃金橢圓上除頂點(diǎn)

a/H

外任意一點(diǎn)，過(guò)P作。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為43,直線AB與軸分別交于M,N兩點(diǎn)，則

\OM\2

H—()

\ON\2I)

A.-B.u>C.一(i)D.——

a>a>

【答案】A

【分析】根據(jù)題意O、4P、B四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上，可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(g,%),從而得出四點(diǎn)所在圓

的方程為雙/一g)+n(y—y。)=0,利用兩圓方程之差求得切點(diǎn)B所在直線方程，進(jìn)而求得A/、N兩點(diǎn)

坐標(biāo)即可解決本題.

【詳解】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(g,僅))，則該圓的方程為：x(x—xo)+y(y—y0)=0,

22

將兩圓方程：/+才=b?與x—xox+y—yoy=0相減，得切點(diǎn)所在直線方程為

+9物=",解得7Vf(￡,0),,因?yàn)獒?%■=1,所以

萬(wàn)a?_5a?_/曷+。戴_a2&2=口2=1=2=1

\OM\2+一耳十4—b4—/―/―—75-1—3,

城3/0

故選：A

題目區(qū)小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問(wèn):平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之

積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上

法國(guó)天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老

師的鼓勵(lì)下，小明決定先從特殊情況開(kāi)始研究，假設(shè)E(-1,0)、月(1,0)是平面直角坐標(biāo)系cOv內(nèi)的兩個(gè)定

點(diǎn)，滿足|PE卜爐周=2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,從而得到以下4個(gè)結(jié)論:①曲線。既是軸對(duì)稱圖形，又

是中心對(duì)稱圖形;②動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是［―四,6］；③|OP|的取值范圍是［1,，^］；④APE月的

面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】設(shè)P(/,y),由題設(shè)可得曲線。為(X2—I)2+2靖(d+1)+y4=4,將(x,y)>(—x,y)>(—z,—y)代入即

可判斷①;令￡=才>0,由/(t)=t2+2(02+i)t+謬一i)2一4在［o,+oo)上有解,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P

的橫坐標(biāo)的取值范圍判斷②；由②分析可得|。砰=/+/=24不7—1,進(jìn)而求范圍判斷③；由基本不等

式、余弦定理確定NRPE范圍，再根據(jù)三角形面積公式求最值判斷④.

【詳解】令PQ,沙)，則y/(x+l)2+y2-y/(x—l)2+y2=2,

所以［Q+l)2+才］［Q—Ip+才］=4,則(/—1)2+2“2(/+1)+/=4,

將(x,y)>(―c,y)、(―,，一0)代入上述方程后，均有(X2—I)?+2y2(x2+1)+y4=4,

所以曲線。既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，①正確；

令土=才>0,則/+2(/+l)t+(/-1)2-4=o,

對(duì)于/(力)=t2+2(x2+l)t+(X2—I),—4,對(duì)稱軸為x=—(rc2+1)<0,

所以/⑶在［0,+8)上遞增，要使/⑶=0在［0,+8)上有解，只需/(0)=(/—1)2-4&0,

所以一14/-142,即0W/43,可得一遍WrcW通，②正確；

由QP|"=，+才，由f(t)=0中，△=4(/+1)2-4(,2_ip+16=16(/+1),

所以t=才=一I，'+=2，7n—(/+1)>0,其中負(fù)值舍去，

!

綜上，?？?2；2+/=2G匚|'-1,又042；243,即14;1；2+144,

所以lOPfe［1,3］,則|OP|G［1,四］,③正確；

由|P同+|P月>2加麗西=22,僅當(dāng)|P耳|=|P耳|=2時(shí)等號(hào)成立，

△P月月的面積S=y|F^||F^|sinZ^P^=sin/RP西,

r-/ppp廬后產(chǎn)+5附一囪研、n.?O/ppp<-00°

而C0S/-FJPF2=---------1-----------1------->0,所以0VAFiPFi<90,

2\PFi\\PF2\

所以△9瓦用的面積的最大值為1,④正確.

綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:②③通過(guò)換元t=構(gòu)造/⑻=)+2(，+墳+32-1)2—4,利用根的分布求P

的橫坐標(biāo)、QP|的取值范圍.

題目④在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,B)=max{|a;1—?2|,|yi—y2|}為兩點(diǎn)4%%)，及電,統(tǒng))的“切比雪夫

距離”，并對(duì)于點(diǎn)P與直線Z上任意一點(diǎn)Q,稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P與直線Z間的“切比雪夫距離”,記作

d(P,Z),給定下列四個(gè)命題：

Pi：對(duì)于任意的三點(diǎn)A,B,C,總有d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

的：若點(diǎn)P(3,1),直線Z:2c—沙—1=0,則d(P,Z)=弓；

P3：滿足式。")=。(。>0)的點(diǎn)M的軌跡為正方形；

Pa：若點(diǎn)用(一c,0),￡(c,0),則滿足|d(P出)一d(P,￡)|=2a(2c>2a>0)的點(diǎn)M的軌跡與直線y=為常

數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn);則其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】①討論力，B,C三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②設(shè)點(diǎn)Q是直線y—2x—l上一點(diǎn)，且Q(c,2c—1),可得d(P,Q)—max{|c—3|,|2—2劍},討論—3],

|2-2⑹的大小，可得距離d,再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

③運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；

④討論P(yáng)在坐標(biāo)軸上和各個(gè)象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷.

【詳解】①對(duì)任意三點(diǎn)4B、C,若它們共線，設(shè)4出，物)、BE，例)，

結(jié)合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),d(A,B)

為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,則d(C,A)+d(C,B)=d(A,B);

若B,?；駻,。對(duì)調(diào)，可得d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

若4,B,。不共線，且三角形中。為銳角或鈍角，由矩形CMNK敢矩形BMNK,

d(C,⑷+d(C,⑹>d(A,⑹；

則對(duì)任意的三點(diǎn)4石，。,都有d(C,A)+d(。，⑹>d(A,B);故①正確；

設(shè)點(diǎn)Q是直線g=2力一1上一點(diǎn)，且QQ,2/-1),

可得d(P,Q)=max{|力一3|,|2—26|},

由\x-3|>|2—2ex\,解得一1&n&,即有d(P,Q)=\x-3|,

o

當(dāng)力=.時(shí)，取得最小值.；

OO

由\x-31Vl2—2x\,解得x>日或xV—1,即有d(_P,Q)=|2T—2|,

d(P,Q)的范圍是(3,+oo)U(!,+8)=(+8),無(wú)最值,

綜上可得，P,。兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為

故②正確：

③由題意，到原點(diǎn)的''切比雪夫距離”等于。的點(diǎn)設(shè)為(①夕)，則max{|磯㈤}=C,

若\y\>聞，則㈤=。;若\y\<同,則|;c|=C,故所求軌跡是正方形，則③正確;

④定點(diǎn)E(—c,0)、月(c,0),動(dòng)點(diǎn)PQ,y)

滿足\d(P,耳)—d(P,月)|=2a(2c>2a>0),

可得P不y軸上，P在線段用其間成立，

可得a;+c—(c—c)=2a,解得a:=a,

由對(duì)稱性可得①=—a也成立，即有兩點(diǎn)P滿足條件；

若P在第一象限內(nèi)，滿足|d(P,卻—d(P,E)|=2a,

即為c+c—y—2a,為射線,

由對(duì)稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點(diǎn)P的軌跡與直線y=k(k為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).

故④正確；

綜上可得，真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

求解本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義“切比雪夫距離”的理解，“切比雪夫距離”即是兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差絕對(duì)值與縱

坐標(biāo)之差絕對(duì)值中的最大值;理解新定義的基礎(chǔ)上，結(jié)合曲線與方程的有關(guān)性質(zhì)，即可求解.

題目回定義:若直線Z將多邊形分為兩部分，且使得多邊形在Z兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線Z的距離之和相等，則稱%

為多邊形的一條“等線”.已知雙曲線-嗎=l(a，b為常數(shù))和其左右焦點(diǎn)凡另，P為。上的一動(dòng)

ab

點(diǎn)，過(guò)P作。的切線分別交兩條漸近線于點(diǎn)4B,已知四邊形上鏟鳥與三角形刊的有相同的“等線”Z.

則對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

①|(zhì)阿=\PB\；

②等線Z必過(guò)多邊形的重心；

③，始終與螺—￥=i相切；

ab

④Z的斜率為定值且與a,6有關(guān).

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

【答案】。

【分析】對(duì)于①，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意求出過(guò)點(diǎn)P(x0,yo)的切線方程，再與漸近線方程聯(lián)立可求出4B的橫坐

標(biāo)，然后與g比較可得答案，對(duì)于②，由“等線”的定義結(jié)合重心的定義分析判斷，對(duì)于③④，由多邊形重心

的定義可知四邊形AFrBF，其重心H必在△ARE與重心連線上，也必在AAF^B與△?!理8重心連

線上,△PRE重心設(shè)為G,則/即為直線G8,然后由重心的性質(zhì)可證得GH//AB,從而可得結(jié)論.

【詳解】解:①:設(shè)P(g,%),當(dāng)y0>0時(shí)，設(shè)y>0,則由號(hào)—叟f=1,得￡二包而匚浸,

aba

所以式=一^^,所以切線的斜率為k=—?jiǎng)?lì)，,

avx2—a2ay/x1—a2

所以切線方程為v—%=第23-g),

XQ-a

22________

2222

因?yàn)辄c(diǎn)F(rc0,yo)在雙曲線上，所以多—華=1,得y/x1-a=華y。,bx1—a^yl—ab,

所以g—窩=b?(/-g)=與-%)，

a?卡yoay°

222

所以0yoy-ayl=bxQx-bxl,

222222

所以bxox—ayQy=bx1—ayl=ab，所以叁生—叟字=1,

ab

同理可求出當(dāng)認(rèn)<0時(shí)的切線方程為叁學(xué)一邛=1,

ab

當(dāng)為=0時(shí)，雙曲線的切線方程為2；=±&，滿足等—釁=1,

ab

所以過(guò)P點(diǎn)切線方程為警一等=1,

ab

漸近線方程為y=±-x

聯(lián)立兩直線方程得力4=----------,x=-----

空_/Bxo_,yo_

abab

故有，4+=22"°，=2g,故l-R4|=\PB\

g%

a2~b2

②:設(shè)多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)為②,%)，其中i=1,2,3…八

設(shè)“等線”方程為"一kc—6=0,則。,少)到等線的距離為：&=履二］◎一引

y/1+k2

又因?yàn)榈染€將頂點(diǎn)分為上下兩部分，則有

VJ_V^yi-kxj-b

乙九部分一乙飛苫

yi—kXi—b

上k下部分一工一二點(diǎn)，

Z4上部分=》d下

部分

從而之國(guó)三絲二1二0

占Vi+fc2

1_72_[_n_

整理得一匯%=k?一匯為+b

即等線/必過(guò)該多邊形重心.

③④:考察AFEE重心，設(shè)P（g,%）,則重心G（y-y）.對(duì)于四邊形448尸,其重心H必在A4里與

△3號(hào)乂重心連線上，也必在與A4的B重心連線上，則Z即為直線GH.

設(shè)A4EE與ABEE重心分別為E,F,則普=尊=E，所以EF〃AB,

EAFB2

因?yàn)镚為△PEE的重心，所以邛=綜,所以EG〃AB,

EAGP

所以E,EG三點(diǎn)共線，

因?yàn)镠在即上，所以GH〃AB,過(guò)G信玲），

因?yàn)橹本€AB為華一誓=1,所以直線AB的斜率為卜=空?空，

ab