2025屆安徽合肥六校聯(lián)盟高三年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考

高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

(考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分)

命題學(xué)校：合肥三中命題教師：蔡開(kāi)根審題教師：孟凡慧

一'單選題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確

的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知命題p；a={x|三IW0},命題q：B={x\x-a<0},若命題p是命題q的必要不充分條件，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是()

A.(2,+8)B.[2,+8)C.(―°°,1)D.(―0°,1]

2.已知集合A={x\y=7log05(2x-1)},B={yEZ\y=2sinx},則AnB=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{0,1}D.{1}

3.已知Log5a=I，加=I，(|)c=5,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

4.已知函數(shù)y=/(%)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)久20時(shí)，/(%)=x2+x,則當(dāng)久V0時(shí)有()

A./(x)=x2+%B./(%)=—X2+xC./(x)=x2—xD./(%)=—%2—x

5.已知sin45-cos45=：,0e(0,71),則-注+cos。=()

225cos20-sin20

6.若函數(shù)/(%)=lg(?n%2一7nx+2)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)TH取值范圍是()

A.［0,8)B.(8,+8)C.(0,8)D.(-8,0)u(8,+8)

7.已知函數(shù);■(無(wú))與/'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=餐()

A.在區(qū)間(-1,2)上是減函數(shù)

B.在區(qū)間(-|弓)上是減函數(shù)

(0,2)上是減函數(shù)

D.在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù)

8.定義：若函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［a,6］上存在%i，*2(a<xr<x2<b),滿(mǎn)足/''(xj="?力°),

f/0力=力a),則稱(chēng)函數(shù)丫=/(%)是在區(qū)間口切上的一個(gè)雙中值函數(shù).已知函數(shù)/Q)=/—是

D—CL5

區(qū)間[0,H上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)￡的取值范圍是(

A.36,B.26,C.23

.5‘5..5’5,S,5.

高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)共4頁(yè)

二'多選題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得。分，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位

置上.

9.已知奇函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,若/(久)=f(2-x),貝)

A./(0)=0B.f(x)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱(chēng)

C./(%)=-/(%+4)D.f(x)的一個(gè)周期為4

10.函數(shù)f(x)滿(mǎn)足/，G)<f(x),則正確的是()

A./(3)<e/(2)B.e/(0)</(I)

C.e2f(-D.e/(l)</(2)

11.已知x>0,y>0,2久+y=1,則()

A.4工+2〃的最小值為B.Zog2x+/og2y的最大值為一3

C.y-％-xy的最小值為一1D.胃|+=的最小值為:

x+2y+16

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/(%)對(duì)任意%滿(mǎn)足3/(%)-/(2-%)=4%,則/(%)=.

13.若函數(shù)/(%)=x2+ln(2+|%|),則使得/(2%+1)</(%-1)成立的X的取值范圍是.

14.已知點(diǎn)4是函數(shù)y=21nx圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是函數(shù)y=萬(wàn)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為

M,則|2B|+|BM|的最小值為.

四'解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(x)=6cosxsin(x—+j.

(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=/(%)-a在%￡醇刑存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)共4頁(yè)

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=Inx+p

(1)討論f。)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明：當(dāng)無(wú)N1時(shí)，%/(%)—ex-x+e<0.

17.(本小題15分)

在銳角△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,己知里*=嘩.

(1)求角B的值；

(2)若a=2,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

18.(本小題17分)

r2

已知函數(shù)/'(x)=2lnx+-■—ax,aER

(1)若。=3,求f(x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)/'(尤)在x=t處的切線方程為y=g(x),若函數(shù)y=f(x)-g(x)是(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，求t

的值；

(3)函數(shù)f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合，若存在則求出a的

取值范圍，若不存在則說(shuō)明理由.

高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)共4頁(yè)

19.（本小題17分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式廣，=3+“⑦（其中a,b,c,d為常數(shù)），將點(diǎn)P（x,y）變換為點(diǎn)

y=c%+dy

的坐標(biāo)，我們稱(chēng)該變換為線性變換，也稱(chēng)⑦為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由a,b,c,

d組成的正方形數(shù)表，唯一確定，我們將（:；）稱(chēng)為二階矩陣，矩陣通常用大寫(xiě)英文字母4B,...

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P（3,4）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)g得到點(diǎn)P'（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)P'

的坐標(biāo)；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P（x,y）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到點(diǎn)“（J）（到原點(diǎn)距

離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；

（3）向量赤=（x,y）（稱(chēng)為行向量形式），也可以寫(xiě)成（；），這種形式的向量稱(chēng)為列向量，線性變換坐標(biāo)公式

（；）=（：：）（；），則川:卜二階矩陣（"）與向量◎的乘積，

①可以表示為:設(shè)4是一個(gè)二階

矩陣，m,元是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：A（m+n）=Am+An.

高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)共4頁(yè)

合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考

高三年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案

(考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分)

命題學(xué)校：合肥三中命題教師：蔡開(kāi)根審題教師：孟凡慧

一'單選題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,

請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B

5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

9.【答案】AD10.【答案】AC11.【答案】ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】%+113.【答案】(—2,0)14.【答案】年

四'解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本小題13分)

解：(1)/(%)=6cosxsin(%—^)+|=6cosx(字sinx—|cos%)+|

l33V-31+cos2x3

=3v3sinxcosx—3coszx+]=-—sin2%—3x-----------Fq

—3(苧sin2x—|cos2%)=3sin(2%—.............................4分

所以函數(shù)/Xx)的最小正周期為T(mén)=g=n...............................................5分

令——+2/CTT<2.x——+2/CTT,k￡Z,則——+kji4％+kTi,k￡Z,

???函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜看+k稀+時(shí)(fcez).................................7分

(2)令y=/(%)—a=0,即3sin(2x——a=0,則sin(2x-。)=1..................8分

y=/(%)-a在xe俵,||］存在零點(diǎn)，則方程sin伊-.=微在x€品粉上有解,.....10分

若%€七,招］時(shí),則2久一(.［。,與］’可得sin(2x—弓)e［0,1］,........................11分

???0<^<1,WO<a<3..........................................................12分

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0,3］...........................................................13分

高三年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)共5頁(yè)

16.(本小題15分)

解：(1)由題意知/(%)的定義域?yàn)?0,+8),.............................................1分

.(久)=；一￡=裳，..............................................................2分

當(dāng)a<0時(shí)，/'(%)>。恒成立，所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增;........................3分

當(dāng)a>0時(shí),令/'(%)=0,得％=a,..................................................4分

所以當(dāng)％6(0,a)時(shí)，//(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，.......................................5分

當(dāng)%W(a,+8)時(shí),'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增..........................................6分

綜上所述：當(dāng)a40時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，f(%)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增...........................7分

(2)證明：當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=Inx+p

令g(X)=—ex—x+e=x\nx—ex—x+e+1,則g'(%)=1nx—ex,..............8分

令九(%)=g'(x)=Inx—ex,則=--ex.........................................9分

因?yàn)椋?1,所以ex>e>1,

X

所以當(dāng)無(wú)之1時(shí)，*(%)=：-e*<0恒成立，所以九(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減，............n分

即/(%)=Inx-e%在［1,+8)上單調(diào)遞減,所以。(%)<，⑴=-e<0,

所以g(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減........................................................13分

所以g(x)<g⑴=0,即%/(%)—ex—%+e<0........................................15分

17.(本小題15分)

解：⑴因?yàn)榇?罌,所以由正弦定理可得照=捻,2分

所以。2—ft2=y/~3ac—c2,BPa2+c2—b2=y/'3ac,...................................4分

V-3ac_V_3

所以cosB="與一"5分

2ac2

又B為銳角，所以8=?............................................................6分

o

(2)由⑴知4+(7=停所以C=芟—47分

由得^7=^7=~^=。，所以6=-^'c=~~T9分

sinXsinesmBsinAsinesin-r-sm力sinX

62

_12sinC,l+2sinC、,l+2s譏/+4)

所以aABC的周長(zhǎng)a+b+c=2H—：一-+=ZnH--------=ZH------------

sinAsinAsinAsinA

高三年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)共5頁(yè)

1+cosA+V_3sin?l1+cos力2cos2?

=2+^4+2+V-3=----------------T+2+y/~3

sin力C-xljii

2sm2cos2

COSTTI1f—

—j+2+yf3——+2+，12分

siri]tan.

(0<A<g0<Z<5"7r

由題意可得汆即{5n2所以?13分

0<C0<^-x32

\Z62

所紇所以缺

tan?e,1),........................?14分

所以1+2+y/~3e(3+y/~3,2+2A/-3))

tan,

所以△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為(3+，Z,2+2，Z).…15分

18.(本小題17分)

1

nX+X23X

212--

則尸(x)=l+x-3=(Iy-2)1分

令尸(x)=0,解得：^=1或％=2,列表如下:

X(0,1)1(1,2)2(2,+8)

/㈤+0—0+

f(X)7極大值極小值7

,"2分

5

由表可知，當(dāng)久=1時(shí)，/(%)的極大值為f(l)=2-“?3分

當(dāng)x=2時(shí),f(%)的極小值為f(2)=21n2-4；“4分

77

(2)因?yàn)槭?%)=彳+%—a,所以/'(t)=工+t—a,.......................5分

一71

所以久=t處切線方程為y=(-+t—a)(%—t)+21nt+-12—at

,?i

整理得：y=g{x)=(-+t-CL)X+21nt--t2—2,..................…6分

設(shè)h(x)=f(x)-g(x),則：

121

/i(x)=f(x)—g(x)=21n%+-%2—(-+t)x—21nt+-12+2,

由題意可知，

h'(x)=康+久―q+1)》o在(0,+8)恒成立.................8分

因?yàn)榫?(久)=-+x—(^+t)>2>/~2—+t),

高三年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)共5頁(yè)

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立.......................................................9分

所以271—(|+t))0,解得t=/I；..................................................10分

(3)由(2)可知，曲線y=/(X)在x=t處切線方程為：

71

y—(―+t—CL)X+21nt———2,

假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為。L/G)),(t2J(t2)),

仔+G_a=￡+七2-a①

則：11以...........................................11分

——t^2—2—21nt2—2*22—2(?)

由(D式可得：11/2=2,代入②)式,則:21nti-]妤=21n，—芻，

22r

整理得：21n?-?+4=0,...........................................................13分

22t彳

、產(chǎn)]、1

設(shè)W=m,則21nm-m-\——=0,設(shè)0(m)=21nm—mH——，

2m\m

2

則d(rn)=--1-^2=<0,

,'mmz一mz叱0

所以"On)單調(diào)遞減，

因?yàn)榛?)=0,所以9(6)=0的解為t=1..............................................15分

2

即3t=1,解得

止匕時(shí)=2=V-2=J....................................................................16分

ti

所以不存在符合題意的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合.....................17分

19.(本小題17分)

解：(1)可求得OP=OP'=5,設(shè)NPOx=8,則cos。=|,sin0=.................1分

設(shè)點(diǎn)pa,y),/.pox=e+p

故x，=5cos(8+§=5Qcos0-^sin。)=|—2A/-3................................2分

y'=5sin(。+%=5Qsin0+亨cos。)=2+.....................................3分

所以P'(|—2門(mén),2+容)......................................................4分

(2