2025屆順德高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案）

順德區(qū)普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測（一）

數(shù)學(xué)試題2024.11

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如

需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求

作答的答案無效.

4.請(qǐng)考生保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第I卷（選擇題共58分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足匚^=1+#/，則忖=（）

Z

A.2B.lC.V2D.V3

2.已知集合/={xeZ}|x—1|<3},5={x|0<x<3},則（）

A.{0,1,2,3}B.{-l,0,l,2}C.{x|0<x<3}D.{x|-2<x<4}

3.“2'〉1,log2b〉1”是“2a+b〉4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知單位向量2,B滿足卜+目=1,則下列說法正確的是（）

A.?\=150。B.|a-^|=3

C.向量1+B在向量2上的投影向量為D.6±+

5.函數(shù)/（X）=COS2X-COSA^（）

A.偶函數(shù)，且最小值為一2B.偶函數(shù)，且最大值為2

C.周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.非周期函數(shù)，且在?］上單調(diào)遞減

6.印度數(shù)學(xué)家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊寫有3025的一塊牌子被劈成了兩半,

1

一半上寫著30,另一半上寫著25.這時(shí)，他發(fā)現(xiàn)30+25=55,552=3025,即將劈成兩半的數(shù)加起來，再

平方，正好是原來的數(shù)字.數(shù)學(xué)家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱之為雷劈數(shù)(或卡普列加數(shù)).則在下列

數(shù)組：92,81,52,40,21,14中隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，其中恰有一個(gè)數(shù)是雷劈數(shù)的概率是()

831

A.—B.—C.—D.0

1553

-ax+1,x<a

7.已知函數(shù)=｛2的值域?yàn)槌?，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

(x-1),x>a

A.(-oo,0)B.(-8,-1]C.[-l,l]D,[-l,0)

8.記正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)積為Tn,已知(%-1)北=2%,若％<黑，則〃的最小值是()

A.999B.1000C.1001D.1002

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：Xl,x2,---,xl6；乙組數(shù)據(jù)為：3x「9,3/-9,…,3X16-9,若甲組數(shù)

據(jù)的平均數(shù)為加，標(biāo)準(zhǔn)差為〃，極差為。，第60百分位數(shù)為b,則下列說法一定正確的是()

A.乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3掰-9B.乙組數(shù)據(jù)的極差為3a

C.乙組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為36-9D.乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為〃

io.在三棱臺(tái)4BC-481G中，側(cè)面ZCG4是等腰梯形且與底面垂直，4G=1，24=收，

ZC=8。=3,48=3后，則下列說法正確的是()

A.A.A1BCB.V,=9K

IAj—AoC

13

C.V=D.三棱臺(tái)45C—44G的體積為一

AZlj-ABC2VBD-ACC1116

11.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若/(x)+/(2-x)=2,

g(x-1)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是()

A./(0)+/(l)+/(2)=3B.g(x+4)=g(x)

C./(x+4)=/(x)

第H卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知3cos8+4sin。=5,則tan8=.

2

13.已知橢圓C:=+々=1(?！?〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn),,過鳥作直線/垂直于x軸并交橢圓C

a-b~

于Z,8兩點(diǎn)，若△ZB耳是正三角形，則橢圓C的離心率是.

14.現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫了一封信，然后都投到同一個(gè)郵箱里.若甲、乙、丙3位同學(xué)分別從

郵箱里隨機(jī)抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是(用數(shù)字作

答).

四、解答題：本大題共5小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15(本題滿分13分)

在△4SC中，內(nèi)角Z,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sirtS?sinC=sirU,a=2.

(I)求AZBC的面積S；

(II)若/+c?=12,求/.

16(本題滿分15分)

4

如圖，四棱錐尸-4BCD的底面是正方形，且48=2,尸2,四.四棱錐尸-4BCD的體積為一.

3

B----------sz

C

(I)證明：平面048,平面Z8CD；

(II)求平面尸48與平面PCD夾角的余弦值.

17(本題滿分15分)

已知函數(shù)f(x)=e2x-2(a+l)ex+2ax+2a+1(?>0).

(I)求函數(shù)在x=0處的切線方程；

(II)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(III)若函數(shù)/(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)可，x2,且玉+々〉0，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3

18（本題滿分17分）

密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩

家，4名新手玩家，甲為新手玩家.

（I）在某個(gè)游戲環(huán)節(jié)中，需隨機(jī)選擇兩名玩家進(jìn)行對(duì)抗，若是同級(jí)的玩家對(duì)抗，雙方獲勝的概率均為工；

2

若是資深玩家與新手玩家對(duì)抗，新手玩家獲勝的概率為工，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；

3

（II）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號(hào)分別為①和②.

密室①有2個(gè)門，密室②有3個(gè)門（每個(gè)門都可以雙向開），甲在每個(gè)密室隨機(jī)選擇1個(gè)門出去，若走出密

室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號(hào)為X（X=1,2）,求X的分布列.

1—J

yac

①6②d-

19(本題滿分17分)

已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為Sn,且=2%+〃-3.

(I)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

k.n=a,-1*

(II)設(shè)勿,keN

[bn_^2k,ak-l<n<ak+i-l

(i)當(dāng)左22,〃=a左+1-1時(shí)，求證：bn_x>(ak-l)-bn；

Sn-n

(ii)求工人.

i=l

4

2024學(xué)年順德區(qū)普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(一)

數(shù)學(xué)試題

2024.11

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如

需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作

答的答案無效.

4.請(qǐng)考生保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第I卷(選擇題共58分)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

-5|z|=

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z，則臼()

A.2B.1C.72D.V3

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得Z=2”,再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，最后再計(jì)算其模.

1+V3i

【詳解】因?yàn)?==1+后，

Z

V3-i(V3-i)(l-V3i)

所以z==—市令—￡=一,

1+V3i(1+V3i)(l-V3i)

所以忖=1.

故選：B

已知集合4={%€2|卜-1|<3},B={x|0<x<3},則4集8=()

A.（0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|-2<x<4}

【答案】A

【解析】

【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合A,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由,一［<3,即—3<x—1<3,解得—2<x<4,

所以A={xeZ|<3}={xeZ|-2cx<4}={-1,0,1,2,3},

又3={x|0<%<31,

所以An3={0,l,2,3}.

故選：A

3.“20〉1，log2b>1”是“2"+°>4”的C）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】由2"〉1可得。>0，由log20〉］可得匕>2,由2"+'>4可得。+匕>2,

所以由“2">1，log2b>1”推得出“20+“>4”，故充分性成立；

由>4”推不出“2“>1，log2b>1”,

如a=0,b=3,滿足2a+b>4，但是2"=1，故必要性不成立；

所以'2">1，log2b>「'是"2"+'>4”的充分不必要條件?

故選：A

4.已知單位向量2,B滿足忖+可=1,則下列說法正確的是（）

A.（7+150。B.忖―4=3

C.向量G+辦在向量）上的投影向量為告之D.+

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出小6,即可求出他刀，從而判斷A,再根據(jù)忖―可判斷B,

根據(jù)投影向量的定義判斷C,計(jì)算即可判斷D.

【詳解】單位向量B滿足忖+可=1,

則僅+B）=a2+la-b+b2=\,所以無反=—

所以.心,可=而\=一又0。〈伍可W180。，所以伍M=120。，故A錯(cuò)誤;

因?yàn)椋∕+孫+彼*=12+

2

〃+/??〃1

所以向量五+B在向量之上的投影向量為—?a=-a,故C錯(cuò)誤;

同’2

因?yàn)槭?1+!3]=3/+工石2=_J_+J_xF=0,所以故D正確.

22222J

故選：D

5.函數(shù)=cos2x-cosx是（）

A.偶函數(shù)，且最小值為一2B.偶函數(shù)，且最大值為2

c.周期函數(shù)，且在［o,、］上單調(diào)遞增D.非周期函數(shù)，且在兀］上單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判定方式以及函數(shù)的最值判斷A,B；根據(jù)周期性判斷，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

性判斷C,D.

【詳解】/(x)=cos2x-COSX定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

f(-x)=cos(-2%)-cos(-x)=cos2x-cos%=/(%),

所以/（x）為偶函數(shù)，又/（x）=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1,

令cosx=r,=-t-\,

當(dāng)/=L時(shí)，即COSX='，/（x）有最小值，最小值為一2,

448

當(dāng)/=-1時(shí)，即cosx=-l時(shí)，“X）有最大值，最大值為2,故A錯(cuò)誤，故B正確；

因?yàn)?（x+2兀）=cos2（x+2兀）一cos（x+2兀）=cos2x-cosx=/（x）,所以〃x）為周期函數(shù),

因?yàn)閥=cosx在上單調(diào)遞減，在兀］上單調(diào)遞減，

-COSX-1,令cosx=r,0</<1,/(?)=2f-t-1,/(7)在|o，z

當(dāng)xc%,/(x)=2cos2x

單調(diào)遞減，在一」單調(diào)遞增,

14）

/(x)=2cos2x-cosx-1,令cosx=r,-1<?<0,/(/)=2r-t-1,在

（-1,0）單調(diào)遞減,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，/（x）在上先減后增，在兀J上單調(diào)遞增；

故C,D錯(cuò)誤，

故選:B.

6.印度數(shù)學(xué)家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊寫有3025的一塊牌子被劈成了兩半,

一半上寫著30,另一半上寫著25.這時(shí)，他發(fā)現(xiàn)30+25=55,552=3025,即將劈成兩半的數(shù)加起來，再

平方，正好是原來的數(shù)字.數(shù)學(xué)家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱之為雷劈數(shù)（或卡普列加數(shù)）.則在下列數(shù)

組：92,81,52,40,21,14中隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，其中恰有一個(gè)數(shù)是雷劈數(shù)的概率是（）

831

A.—B.一C.-D.0

1553

【答案】C

【解析】

【分析】找出這6個(gè)數(shù)中的雷劈數(shù)，結(jié)合組合數(shù)公式求相應(yīng)的概率.

【詳解】因?yàn)椋?+1）2=9?=81,所以81是雷劈數(shù).其余的不是雷劈數(shù).

記：“從6個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，其中恰有一個(gè)數(shù)是雷劈數(shù)”為事件A,

1

則尸⑷=CE$si

3

故選：C

f-tzx+1,x<a

7.已知函數(shù)〃x)=2的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

,x>a

A.(-co,0)B.(-oo,-l]C.[-1,1]D,[-1,0)

【答案】D

【解析】

【分析】分段求函數(shù)值域，根據(jù)原函數(shù)值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】若a<0,在(一―a)上，函數(shù)>=-辦+1單調(diào)遞增，所以ye(—8,1—")；

此時(shí)，函數(shù)y=(x-在上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，無最大值，所以ye[0,+s)；

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的值域?yàn)镽,所以1—1之。，結(jié)合。<0得—lWa<0.

l,x<0

若a=0,則/(0=的值域?yàn)閇0,+s)；

(x-1),x>0

若0<a<l,在(——a)上，函數(shù)>=-"+1單調(diào)遞減，所以y6(1-",+00)(1一/>0)；

在上，函數(shù)y=(x-17單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，無最大值，所以ye[0,+s)；

所以函數(shù)/(x)的值域不可能為R；

若則函數(shù)在(―-。)上，函數(shù)>=-辦+1單調(diào)遞減，所以ye(1—/,+8)(l-a2<0);

在[a,+oo)上，函數(shù)y=(x_]/單調(diào)遞增，je(a-l)2,+ooj,

此時(shí)函數(shù)/(x)的值域不可能為R.

綜上可知：當(dāng)一141<0時(shí)，函數(shù)/(x)的值域?yàn)镽.

故選：D

8.記正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積為7；,已知(4—1)7；=2%,若%〈黑，則〃的最小值是()

A.999B.1000C.1001D.1002

【答案】C

【解析】

【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積滿足(4-1)(=2耳，可求得｛雹｝是等差數(shù)列，并求得(的通項(xiàng),

進(jìn)而得到｛4｝的通項(xiàng)，再由4<—,即可求得正整數(shù)〃的最小值.

1000

【詳解】???(,為正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積，(耳―1)7；=2%,

.,.當(dāng)“=］時(shí)，((—1)4=2g,%=1=3

???｛(｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，且4=3+2(〃-1)=2〃+1.

由(1—2)4=7；,得。〃=笆5=五口

1001nl2n+l10012001

右。〃<，則-----<n>------

“10002n-l10002

所以，正整數(shù)”的最小值為1001.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：%,％,…,乙；乙組數(shù)據(jù)為：3%—9,3%-9,…J/—9,若甲組數(shù)

據(jù)的平均數(shù)為相，標(biāo)準(zhǔn)差為“，極差為。，第60百分位數(shù)為則下列說法一定正確的是()

A.乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3〃-9B.乙組數(shù)據(jù)的極差為3a

C.乙組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為勁-9D.乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為“

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)及百分位數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】不妨設(shè)甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：石,々「一，玉6,

則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：3%—9,3%-9,…,3石6-9,

因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為加，標(biāo)準(zhǔn)差為〃，極差為。，第60百分位數(shù)為6,

則。=石6一石，又16%60%=9.6,所以8=%，

所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3〃z-9,故A正確；

乙組數(shù)據(jù)的極差為3/一9一（3%—9）=3（%6-=3。，故B正確；

乙組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為3玉0-9=-9,故C正確；

乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3"，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

io.在三棱臺(tái)ABC—aqG中，側(cè)面ACGA是等腰梯形且與底面垂直，AG=1,M=41,

AC=BC=3,AB=3底,則下列說法正確的是（）

A.4A_L3CB.V&-ABC=9匕_440]

13

=

C.VA-ABC2Vg_^D,三棱臺(tái)ABC—A4G的體積為二

cc6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直證明線面垂直，再證線線垂直，可判斷A的真假；根據(jù)兩個(gè)同高的三棱錐的體積之

比等于它們的底面積之比，可判斷BC的真假；根據(jù)臺(tái)體的體積公式求出臺(tái)體體積，判斷D的真假.

【詳解】如圖：

對(duì)于A：在中，AC=BC=3，AB=3拒,所以NAC5=90°,即AC，5c.

由平面ACGA1?平面ABC,平面ACCi^n平面A6C=AC,BCu平面ABC,

所以平面ACGA，又AAu平面ACGA，所以故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)锳C=1，AC=3,且△4B]GsZSABC,所以與2￡=：S口ABC-

又三棱錐4-ABC和3—AgG的高相同，所以！_筋0=9匕_4甌1，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)锳C=3AG,所以=38口4。1。,所以％―AAC=3Vg_AGC,即/_4叱=，故C

錯(cuò)誤;

對(duì)于D：因?yàn)槿馀_(tái)的高為1,所以三棱臺(tái)ABC-的體積為：V=1

故

D正確.

故選：ABD

11.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記g(x)=7'(x)，若〃x)+/(2-x)=2,

g(x-1)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是()

A./(0)+/(1)+/(2)=3B.g(x+4)=g(x)

C./(x+4)=/(x)D.gU=g1|]

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，即可判斷.

【詳解】對(duì)A：令龍=1,則”1)+/?⑴=2n"1)=1；令尤=0,則/⑼+"2)=2.所以

〃0)+/。)+〃2)=3,故A正確；

對(duì)B：因?yàn)椤皒)+/(2-x)=2,

兩邊求導(dǎo)，得g(x)—g(2—x)=0即g(x)=g(2-x)；

因數(shù)g(%T)為偶函數(shù)，所以g(T+x)=g(T-x)=>g(2-x)=g(—4+x),

所以g(x)=g(—4+x),故g(x+4)=g(x)成立，故2正確；

對(duì)C因?yàn)間(x+4)=g(x),

所以/(x+4)+Ci=/(%)+°2n/(x+4)=/(x)+c,c未必為0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：因?yàn)間(x)=g(2—x),令x=g，則gg]=g1|']，故D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若/(%),g(x)的定義域均為R,且g(x)=/'(x),則:

（1）若y（x）為奇函數(shù)，則g（x）為偶函數(shù)；若/（尤）為偶函數(shù)，則g（x）為奇函數(shù).反之也成立.

（2）若/（X）為周期函數(shù)，則g（x）也是周期函數(shù)，且周期相同，反之未必成立.

第n卷（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若3cosa+4sina=5,則tana=.

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】由已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系，求得sina,cosa,進(jìn)而可得解.

sin(Z=—

3cosa+4sina=5

【詳解】聯(lián)立《

cos2+sin2a=1

cosa=—

故答案為:

1（。〉人〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為6、F],過工且垂直于X軸的直線交橢圓

于A、2兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓C的離心率為.

【解析】

【分析】由已知及AA43是等邊三角形即可求得：4月=^HC,AF=迪°,利用橢圓定義列方程可得:

2313

AF2+=""c+2"c=2a，整理得：Gc=a，問題得解.

【詳解】如圖，依據(jù)題意作出圖形,

由題可得：耳月=2c,又兒443為等邊三角形,

77

由橢圓的對(duì)稱性可得：NA￡&=—,又A3,耳凡

6

AF2="c,AF、=吏c

計(jì)算可得:

313

由橢圓定義可得：+A耳=———c~\———c-2a

整理得：y[3c=a

所以e=￡=《3

a3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，還考查了三角形中的邊、角計(jì)算，還考查了橢圓的定義應(yīng)用，

考查方程思想及計(jì)算能力，屬于中檔題.

14.現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫了一封信，然后都投到同一個(gè)郵箱里.若甲、乙、丙3位同學(xué)分別從

郵箱里隨機(jī)抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是（用數(shù)字作

答）.

【答案】134

【解析】

【分析】設(shè)甲、乙、丙3位同學(xué)的信件分別為A、B、C,對(duì)A、B、C取到的個(gè)數(shù)分四種情況討論，

按照分類、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙3位同學(xué)的信件分別為A、8、C,

若A、8、C都沒有取到，則有A：=24種不同的取法；

若A、8、C取到一個(gè)，則有C；A；A”72種不同的取法；

若A、8、C取到兩個(gè)，則有?；伊兇+5=36種不同的取法；

若A、8、C取到三個(gè)，則有C；=2種不同的取法；

綜上可得一共有24+72+36+2=134種不同的取法.

故答案為：134

四、解答題：本大題共5小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c,且siaB?sinC=sinA,a=2.

（1）求△ABC的面積S；

（2）若廿+。2=12，求A.

【答案】（1）2

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理得到。-sinC=a=2,從而得到sinC=2,再由面積公式計(jì)算可得；

b

（2）由余弦定理得到6ccosA=4,從而得到bccosA=q2,再由正弦定理將邊化角，即可求出tan4,從

而得解.

【小問1詳解】

因?yàn)閟inB-sinC=sinA,a=2,

由正弦定理可得6sinC=a=2,所以sinC=2,

b

所以-sinC=—x2bx—=2；

22b

【小問2詳解】

因?yàn)椤?=02+02-20CCOSA，又/+。2=12，4=2,

所以4=12—2Z?ccosA,所以Z?ccosA=4,貝!JbccosA=/,

由正弦定理可得sinBsinCeosA=sin2A，又sinB-sinC=sinA,

所以sinAcosA=sin?A,顯然sinA>0,所以cosA=sinA,則tanA=l,

又440,兀），所以A=

4

如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是正方形，5.AB=2,P4,尸5.四棱錐尸-A3CD的體積為

(1)證明：平面平面A3CD；

(2)求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

5

【解析】

【分析】(1)取A3的中點(diǎn)。，連接。尸，即可得到尸。=1,設(shè)尸到平面A5CD的距離為/?,根據(jù)錐體

的體積公式求出力=1,即可得到P。，平面A5CD,從而得證；

(2)取CD的中點(diǎn)，連接OE,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【小問1詳解】

取A3的中點(diǎn)。，連接。尸，因?yàn)锳8=2,PA1PB,

所以尸0=LA3=1,

2

又四棱錐P—ABC。的底面是正方形，所以SABCD=22=4,設(shè)尸到平面A3CD的距離為限

114

則^P-ABCD="SABCD=§X，X4=§,所以力=1，

所以尸0=%,即P。_L平面ABCD,又POu平面PAB,所以平面PAB_L平面ABCD；

取CD的中點(diǎn)，連接。石，則0E〃6C,即。

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P(O,O,1),C(1,2,0),。(一1,2,0),

所以灰=(2,0,0),PC=(1,2,-1),

設(shè)平面PCD的法向量為力=(x,y,z),貝叫_.,取力=(0,1,2),

n-PC=x+2y-z=0

又平面243的一個(gè)法向量為陽=(0,1,0),

\m-n\1V5

設(shè)平面PA3與平面PC。夾角為，，貝！jcos6=^^=——r=—,

\m\-\n\lxV55

所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為.

5

17.已知函數(shù)八%)=e2x-2(a+l)ex+2ax+2a+l(a>0).

(1)求函數(shù)/(x)在x=0處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(力的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)/(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)看，%，且%+%2〉0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)>=0

(2)答案見解析(3)(1,+co)

【解析】

【分析】(1)求出了(0),再求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，從而求出切線方程；

(2)由⑴可得/'(x)=2(e=4.-1),再分a=l、。〉1、0<。<1三種情況討論，分別求出函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間；

(3)由f(0)=0,可得/(x)必有一個(gè)零點(diǎn)為0,再結(jié)合(2)討論可得.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)=q2x-2(o+l)e*+2ax+2o+l(o>0),

所以“0)=0,f\x)=2e2x-2(a+l)ex+2a,則/(0)=0,

所以函數(shù)/(x)在x=0處的切線方程為>=0；

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)=e2x-2(。+1謬+2ax+2o+l(o>0)的定義域?yàn)镽,

且f'(x)=2e2*-2(a+l)el+2a=2(eA-a)(ex-l),

當(dāng)a=l時(shí)，尸(0=2佇—1)220恒成立，所以/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a〉l時(shí)，則當(dāng)尤>lna或x<0時(shí)/'(X)〉0,當(dāng)0<x<lna時(shí)/'(x)<0,

所以/(X)在(-8,0),(Ina,+CO)上單調(diào)遞增，在(O』na)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<l時(shí)，則當(dāng)x〉0或x<Ina時(shí)—(x)〉0,當(dāng)lna<x<0時(shí)/'(x)<0,

所以〃x)在(-aUna),(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，在(Ina,0)上單調(diào)遞減；

綜上可得，當(dāng)a=l時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a〉l時(shí)，/(x)在(-90),(Ina,+8)上單調(diào)遞增，在(0,Ina)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<l時(shí)，，(%)在(一8,1強(qiáng)),(0,+司上單調(diào)遞增,在(Ina,0)上單調(diào)遞減.

【小問3詳解】

因?yàn)椋?0)=0,/(x)必有一個(gè)零點(diǎn)為0,

由(1)可得，當(dāng)a=1時(shí)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a〉l時(shí)，/(x)在(-8,0),(Ina,+8)上單調(diào)遞增，在(0,Ina)上單調(diào)遞減，

顯然f(lna)<f(O)=O,

當(dāng)x>ln[2(a+l)]時(shí)e*>2(a+l),則e*-2(a+l)>0,^>0，2ax>0,

所以/(%)=片'-2(a+l)e、'+2ax+2a+1=[e*-2(a+l)]e，+2ax+2a+1>0,

所以/(x)在(Ina,+co)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)七，馬(不妨令王<%),且否=0,x2e(lntz,+oo),即馬〉0,滿足

%+%>°；

當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)在(一％,In。)，(0,+“)上單調(diào)遞增，在(lna,0)上單調(diào)遞減，

所以/(x)在(0,+e)不存在零點(diǎn)，且一個(gè)零點(diǎn)為0,則另一零點(diǎn)不可能大于0,

此時(shí)不滿足%!+x2>0,故舍去；

綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+8).

18.密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深

玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.

(1)在某個(gè)游戲環(huán)節(jié)中，需隨機(jī)選擇兩名玩家進(jìn)行對(duì)抗，若是同級(jí)的玩家對(duì)抗，雙方獲勝的概率均為

;若是資深玩家與新手玩家對(duì)抗，新手玩家獲勝的概率為《，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率;

（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號(hào)分別為①和

②.密室①有2個(gè)門，密室②有3個(gè)門（每個(gè)門都可以雙向開），甲在每個(gè)密室隨機(jī)選擇1個(gè)門出去，若走

出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號(hào)為X（X=1,2）,求X的分布

列.

密室外''、、、、

/ac\

;①b②d\

?I

【答案】（1）3

42

（2）分布列見解析

【解析】

【分析】（1）先求出7人中隨機(jī)選擇2人的情況數(shù)和包含甲的情況數(shù)，分析得到6種情況中，甲和資深玩

家對(duì)抗的情況有3種，和同級(jí)的玩家對(duì)抗情況有3種，分兩種情況，求出甲獲勝的概率，相加即可；

（2）設(shè)《為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，舄為甲在密室②，且最終從密室

33

①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，分析得到兩個(gè)方程，求出耳=§,從而得到尸（x=1）=§和

P（X=2）=|,得到分布列.

【小問1詳解】

7人中隨機(jī)選擇2人，共有C；=21種情況，其中含甲的情況有C；=6種，

6種情況中，甲和資深玩家對(duì)抗的情況有3種，和同級(jí)的玩家對(duì)抗情況有3種，

311

則甲和資深玩家對(duì)抗并獲勝的概率為—x-=—,

21321

313

和同級(jí)的玩家對(duì)抗并獲勝的概率為—x-=—,

2