2025高考數(shù)學復習必刷題：原函數(shù)與導函數(shù)混合還原

第19講原函數(shù)與導函數(shù)混合還原

知識梳理

1、對于對>'(%)+/(x)>0(<0),構造g(%)=X?7(%),

2、對于獷'(%)+勺'(x)>0(<0),構造g(%)=f?/(%)

3、對于x"'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=/區(qū),

X

4、對于尤.尸(元)一外'(尤)>0(<0),構造8(%)=軍

5、對于尸(x)+/(*)>0(<0),構造g(x)=e'"(x),

6、對于f(x)+、(x)>0(<0),構造g(x)=*"(x)

7、對于/'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=駕，

e

8、對于廣⑴一妙(%)>。(<0),構造g(%)=/詈

e

9、對于sin%?/'(X)+cosx?/(x)>0(<0),構造g(x)=/(])?sin兄，

10>sinx-f\x)-cosx-f(x)>0(<0),構造g(x)=

sinx

11>對于cos%"'(%)—sinx"(%)>0(<0),構造g(x)=/(%)?cos%,

12、對于cos%?/'(%)+sinx"(%)>0(<0),構造g(x)=

cosx

13>對于尸(%)—/(%)>>(<0),構造g。)=e""(x)-燈

14、對于/'(x)Inxd———>0(<0),構造g(x)=lnx"(x)

15、f(x)+c=[f(x)+cx]r；f(x)+gf(x)=[/(x)+g(x)y；

fM-g'(x)=g(x)]f；

16、/，(x)g(x)+〃x)g，⑴力⑴g(x『小售產(chǎn)宜=[緇]、

必考題型全歸納

題型一：利用x"(x)構造型

例L(安徽省馬鞍山第二中學2024學年高三上學期10月段考數(shù)學試題)已知/(無)的定義

域為(0,+?),八尤)為Ax)的導函數(shù)，且滿足則不等式

+的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，構造函數(shù)y=4(x),xe(O,心)，貝uy=f(x)+/(x)<。，

所以函數(shù)y=4(x)的圖象在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又因為〃X+1)>(無一1)/(/一1),所以(尤+1)/。+1)>卜2-1)/卜2-1),

所以0v%+1v%2-1,解得了〉2或x<—1(舍).

所以不等式”》+1)>(犬-1)/1-1)的解集是(2,+8).

故選：B.

例2.(河南省溫縣第一高級中學2024學年高三上學期12月月考數(shù)學試題)已知函數(shù)

/(X)的定義域為(0,y)，且滿足f(x)+^(x)>。是/(x)的導函數(shù))，則不等式

(》一1)/k2-1)<"》+1)的解集為()

A.(fo,2)B.(1,+co)C.(1,2)D.(-1,2)

【答案】C

【解析】令g(x)=」(x),則g'(x)="x)+V'a)>0,即g(x)在(0,.)上遞增，

又x+l>0,貝U(xT)/(尤尤+1)等價于(/一1)/(/-1)<(》+1)/(》+1)，即

g，-l)<g(x+l),

x2-l>0

所以，x+l>0,解得1<%<2,原不等式解集為(L2).

x~—1<X+1

故選：C

例3.(黑龍江省大慶實驗中學2024屆高三下學期5月考前得分訓練(三)數(shù)學試題)已

知函數(shù)/(x)的定義域為(O,+e),尸(X)為函數(shù)〃尤)的導函數(shù)，若無2尸(力+獷(力=1,

/(1)=0,則不等式/(2,3)>0的解集為()

A.(0,2)B.(log23,2)C.(log23,+ao)D.(2,+oo)

【答案】D

【解析】由題意得，礦(x)+/(x)=J,

即=(liir+c)'，

所以獷(x)=lnx+c,即/(尤)=生土+￡,

又了⑴=0,所以c=0,故/■(x)=￥,

廣(無)=^^=0,可得X=e,

X

在(0,e)上，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

在(e,+8)上，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以的極大值為/(e)=L.簡圖如下：

所以/(x)>0，2A-3>1,x>2.

故選：D.

變式1.(2024屆高三第七次百校大聯(lián)考數(shù)學試題(新高考))已知定義在R上的偶函數(shù)

>=/(耳的導函數(shù)為丫=((耳，當x>0時，")+”>)>0,且"2)=1,則不等式

2

/(2x-l)<-~；的解集為()

2x-l

A.［一00,［山1+4B.1|,+1

D

c段)-

【答案】C

【解析】當x＞0時，礦（x）+〃x）＞o,所以當彳＞0時，#'（x）+/（x）＞0,

X

令p（x）=v（x）,則當x＞0時，/（x）=v（x）+/（x）＞o,

故網(wǎng)x）=#（x）在（0,+巧上單調(diào)遞增，

又因為y=/（x）在R上為偶函數(shù)，所以尸（力=獷（同在R上為奇函數(shù)，

故P（x）=W（x）在R上單調(diào)遞增,因為"2）=1,所以產(chǎn)⑵=2〃2）=2,

當尤時，/（2x-l）＜——可變形為（2龍_（/（21）＜2,即網(wǎng)2x—1）〈網(wǎng)2）,

22x—1

313

因為R（x）=4（x）在R上單調(diào)遞增，所以2x-l＜2,解得x＜\,故3Vx＜；；

12

當尤〈上時，/（2x-l）＜-------可變形為（2xT）〃2x-l）＞2,即尸（2尤-1）＞“2）,

22%—1

因為尸⑺二步'⑺在R上單調(diào)遞增，所以2彳-1＞2,解得尤＞j故無解.

綜上不等式/（2x-l）＜/匚的解集為.

2x—1122J

故選：C.

變式2.（四川省綿陽市鹽亭中學2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題）已知定義在

o3

（0,e）上的函數(shù)〃尤）滿足2#（力+/尸（“＜0,/（2）=|,則關于x的不等式〃x）＞一的

4x

解集為（）

A.（0,4）B.（2,-HK）C.（4,+oo）D.（0,2）

【答案】D

【解析】令/2（x）=V〃x）,貝曠/（%）=2獷（*）+只［"）＜0,所以/2（x）在（0,”）單調(diào)遞

減，

不等式“無）＞/■可以轉化為尤2〃x）＞4xa=22〃2）,即/z（x）＞/z（2）,所以0＜x＜2.

故選：D.

變式3.（河南省豫北重點高中2024學年高三下學期4月份模擬考試文科數(shù)學試題）已知

函數(shù)的定義域為（0,+8）,其導函數(shù)是1（x）,且2/（力+礦（x）＞x.若"2）=1,則

4

不等式37（%）-%-7＞0的解集是（）

A.（0,2）B.（2,+oo）

C-(°4)D.

【答案】B

【解析】構造函數(shù)g(x)=r7(x)Tx3,其中工>0,

則g'(x)=2獷1(x)+尤2r(x)—V=尤[2〃X)+礦(x)—尤]>0,

1Q4

故函數(shù)g(x)=f〃x)-在(0,+功上為增函數(shù)，且g⑵=4/(2)-|=二

因為x>0,由3/(x)-x-*>0可得尤2/(%)一：％3,即g(x)>g(2),解得x>2.

故選：B.

變式4.(廣西15所名校大聯(lián)考2024屆高三高考精準備考原創(chuàng)模擬卷(一)數(shù)學試題)已

知Ax)是定義在R上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為尸(x)J(-1)=4,且3/(x)+獷，(x)>3,則不

等式〃x)<1+3的解集為()

x

A.(f-1)51,+s)B.(-1,O)U(O,1)C.(0,1)D.(LE)

【答案】C

【解析】設g(X)=x3/(X)-V,

則g(x)在R上為奇函數(shù),且g(0)=0.

又g'(x)=3x2/?+x?'(x)-3/=x2[3/(x)+xf\x)-3],

當x>0時，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

因此g(x)在R上為增函數(shù).

又/(—1)=/(1)=4,當x>0時，不等式/(冗)<1+_化為//⑴一/交，

即g(x)vg⑴，

所以Ovxvl；

當xvO時,不等式/。)<1+石化為//1)〉/+3,即g(x)>3=g⑴，

x

解得工〉1,故無解，

3

故不等式/(x)<1+—的解集為(0,1).

故選：C

【解題方法總結】

1、對于J/'(X)+/(%)>0(<0),構造g(x)=%?/(%),

2、對于對>'(x)+妙(x)>0(<0),構造g(%)=%*?/(%)

題型二：利用幽構造型

例4.(河南省信陽市息縣第一高級中學2024學年高三上學期9月月考數(shù)學試題)已知定

義在(0,+?)的函數(shù)外力滿足：Vxe(O,y)J(x)-礦(x)<0,其中第x)為〃x)的導函

數(shù)，則不等式(2x-3)/(x+l)>(x+l)〃2x-3)的解集為()

A.g/]B.(4,+8)

C.(-1,4)D.(f,4)

【答案】A

【解析】設g介中g，⑺=礦([丁⑺,

因為Vxe(0,+oo),〃x)-靖(x)<0,

所以在(0,+?)上g?x)>0,

所以g(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增，

由已知，f(x)的定義域為(。,+?),

所以％+1>0,2%—3>0,

所以(2>3)〃了+1)>(尤+1)/(2%—3)等價于“^>小匚3,

x+12x-3

即g(x+l)>g(2%-3),

x+l>0

3

所以2x-3>0,解得9c<4,

x+1>2x-3

所以原不等式的解集是(I，4).

故選：A.

例5.已知定義域為｛撲￥0｝的偶函數(shù)/(%),其導函數(shù)為了⑴，對任意正實數(shù)%滿足

xf(x)>2f(x),若g(x)="：),則不等式g(x)<g(l)的解集是()

x

A.(-00,1)B.(-1,1)

C.(-00,0)U(0,l)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】因為1x)是定義域為｛x|#0｝的偶函數(shù)，所以八—x)=/(x).對任意正實數(shù)無滿足

xf\x)>2/(x),

所以苗(x)-2/(x)>0,

因為g(x)=/(N,所以g(x)也是偶函數(shù).

X

,W)-2/W

當x￡(0,+00)時,g(x)=>0,

所以g(x)在(0,十刃)上單調(diào)遞增，在(-8,0)單調(diào)遞減,

若g(x)<g⑴,則聞<1(#0),解得0<x<1或一1<x<0,

故g(x)<g⑴的解集是(一1,0)U(0,1),

故選：D

例6.(江蘇省蘇州市2024屆高三下學期3月模擬數(shù)學試題)已知函數(shù)/(x)是定義在R上

的奇函數(shù)，/(2)=0,當x>0時，有才(尤)-〃力>0成立，則不等式#(x)>0的解集是

()

A.^-oo,一2)D(2,+8)B.(―2,0)D(2,+00)

C.^-oo,一2)口(。，2)D.(2,+oo)

【答案】A

【解析】礦⑺-〃力>。成立設8⑺:勺，

則g，(x)=[①]=r(x)x-f(x)>Q)即x>。時g⑺是增函數(shù)，

當x>2時,g(x)>g⑵=0,此時〃尤)>。；

0<x<2時，g(x)<g⑵=0,此時/(x)<0.

又了(X)是奇函數(shù)，所以一2(尤<0時，/(x)=-/(-x)>0；

了<-2時f(x)=-f(f)>0

則不等式『/(/"\>。等價為f/(x)>0或f/(口x)<。0

IJi，U［人(U

可得%>2或1<一2,

則不等式獷（另＞0的解集是（f，-2）u（2,+s）,

故選：A.

變式5.（西藏昌都市第四高級中學2024屆高三一模數(shù)學試題）已知函數(shù)/（X）是定義在

（-卜,0）（0,+?）的奇函數(shù)，當xe（O,+8）時，＜/（%）,則不等式

V（2-x）+（x-2）〃5）＜0的解集為（）

A.（―oo,—3）u（3,+8）B.（―3,0）＜J（0,3）

C.（-3,0）0（0,7）D.（f-3）u（2,7）

【答案】D

【解析】令8（司=乎，

?.,當xe（0,+oo）時，xf\x）＜

.,.當xe（0,+s）時，g，（x）="

，g（x）在（。，+8）上單調(diào)遞減；

又“X）為（-卜,0）（。，+?）的奇函數(shù)，

.：g（_x）=2BD=z￡H=/（U=g（x）,即且⑶為偶函數(shù)，

一X-XX

，g（x）在（—,0）上單調(diào)遞增；

又由不等式》（2—x）+（x—2）/（5）＜0得T（2—同＜（2-力/（5）,

當2-x＞0,即x＜2時，不等式可化為'（2一"＜工區(qū),即g（2-x）＜g（5）,

2-x5

由g（無）在（。，+8）上單調(diào)遞減得2-x＞5,解得x＜—3,故x＜-3；

當2r＜0,即X＞2時，不等式可化為了（2-X）＞/包,即g（2-x）＞g（5）=g（-5）,

2-x5

由g（x）在（y,0）上單調(diào)遞增得2f＞-5,解得x＜7,故2＜x＜7；

綜上所述，不等式5〃2-司+@-2）〃5）＜0的解集為：（--3）口（2,7）.

故選：D.

【解題方法總結】

1、對于x"'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=""，

x

2、對于尤?/'(尤)-妙(尤)>0(<0),構造g(x)=^學

x

題型三：利用e""(x)構造型

例7.(河南省2024學年高三上學期第五次聯(lián)考文科數(shù)學試題)已知定義在R上的函數(shù)

〃x)滿足“x)+J(x)>0,且有"3)=3,則/(x)>3e3T的解集為()

A.(3,+oo)B.(l,+oo)C.(-^o,3)D.

【答案】A

【解析】設尸(x)=〃x)d,貝IJ9(x)=1(x).e，+f(x).e，=e，"(x)+_f(x)]>0,

.,.P(x)在R上單調(diào)遞增.

又"3)=3,則尸⑶=〃3"3=3e3.

Vf(x)>3e3T等價于f(x).ex>3e3,即產(chǎn)(x)>尸(3),

.?.x>3,即所求不等式的解集為(3,+8).

故選：A.

例8.(河南省2024學年高三上學期第五次聯(lián)考數(shù)學試題)已知定義在R上的函數(shù)/(可滿

111一X

足]/(%)+/⑺>0,且有/⑴=5,則的解集為()

A.(-^o,2)B.(l,+oo)

C.(-oo,l)D.(2,+QO)

【答案】B

X￡1￡牙I-

【解析】設/⑺=〃“&，則P(x)=?f(x)?e2+5“％)?e2=e2-/(x)+/(x)>0,

i1i1

所以函數(shù)/(%)在H上單調(diào)遞增，又/(1)=不，所以尸(1)=/(1)?添=5次.

乙乙

又2〃力>苫等價于即尸(x)>尸⑴，所以x〉l,

即所求不等式的解集為。,內(nèi)>).

故選：B

例9.(廣東省佛山市順德區(qū)北洛鎮(zhèn)莘村中學2024屆高三模擬仿真數(shù)學試題)己知尸(x)是

函數(shù)y=/(x)(xeR)的導函數(shù)，對于任意的xeR都有r(x)+/(x)>l,且“0)=2023,

則不等式。"(了)>/+2022的解集是()

A.(2022,-KO)B.(-00,0)u(2023,+oo)

C.(-oo,0)U(0,+co)D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】法一：構造特殊函數(shù).令〃x)=2023,則解(x)+f(x)=2023>l滿足題目條件,

把外力=2023代入e"(x)>1+2022得20231>1+2022解得x>0,

故選：D.

法二：構造輔助函數(shù).令g(x)=e"(x)-1，則g〈x)=e，(〃x)+r(x)—l)>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又因為g(0)=/(0)-1=2022,所以e"(x)>e'+2022og(x)>g(0),所以尤>0,

故選：D.

變式6.(寧夏吳忠市2024屆高三一輪聯(lián)考數(shù)學試題)函數(shù)/'(X)的定義域是R,

〃。)=2,對任意尤eR,/(x)+r(%)>l,則不等式：/〃力>1+1的解集為()

A.{x|x>。}B.{x|x<。}

C.{x|x<-l或無>1}D.或0<x<l}

【答案】A

【解析】構造函數(shù)g(x)=e/(x)—e-l,貝心(0)=〃0)-2=0,

g，(無)=e[〃x)+((尤)-1]>0,則函數(shù)g(尤)在R上單調(diào)遞增，

由ex-/(%)>e*+1可得g(x)=eA/(x)-eA-1>0=g(0),可得x>。，

因此，不等式e，等(力>子+1的解集為{小>0}.

故選：A.

【解題方法總結】

1、對于尸(x)+f(x)>0(<0),構造g(x)=eJ/(x),

2、對于/'(X)+姑(x)>0(<0),構造g(x)=*?/(》)

題型四：用綽構造型

例10.(安徽省六安市第一中學2024學年高二下學期期末數(shù)學試題)定義在(-2,2)上的函

數(shù)F(x)的導函數(shù)為了⑺,滿足：/(x)+e4'/(-x)=0,〃l)=e2,且當尤>0時,

廣(x)>2/(x),則不等式e2"(2-x)<e4的解集為()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(L”)D.(0,1)

【答案】A

【解析】令g(x)=誓，貝Ie"g(x)+(—x)=0可得g(x)+g(-x)=0

所以8(力=誓是(-2,2)上的奇函數(shù)，

r=r(x)-2"x),

e4xe2x

當x>0時，f(x)>2f(x),所以g，(x)>0,

g(x)=《!2是(0,2)上單調(diào)遞增，

所以8(力=誓是(-2,2)上單調(diào)遞增，

因為g⑴=/^=彳=1，

ee

由e2V(2-x)<e4可得e2xe2(2-x)g(2-x)<?BPg(2-x)<l=g(l),

f(%)|—2<2—%<2

由g(x)=5是(-2,2)上單調(diào)遞增，可得解得:l<x<4,

、/e2-x<l

所以不等式e?"(2-x)</的解集為(L4),

故選：A.

例11.(廣東省汕頭市2024屆高三三模數(shù)學試題)已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導函數(shù)為

尸(無)，且滿足//(2O21)=e2021,則不等式/、lnx卜質(zhì)的解集為()

20212021

A.（e,+oo）B.（O,e）C.1叫+oo）D.（0］加）

【答案】D

【解析】4?=-ln.r,則》=濯，

e

所以不等式/1in，〈質(zhì)等價轉化為不等式/⑺<叱=￡,即乎<1

構造函數(shù)g⑺=40,則g，⑺=—⑺,

ee

由題意，g'⑺=/（—（。>0,所以g⑺為式上的增函數(shù)，

e

又/（2021）=e2021,所以g（2021）=7尊Li,

e

所以g（r）=g!<l=g（2021）,解得f<2021,即fnx<2021,

所以0<X<評3,

故選：D.

例12.（陜西省安康市2024屆高三下學期4月三模數(shù)學試題）已知函數(shù)/（X）的定義域為

R,且對任意xeR,〃x）--（x）<0恒成立，貝托"（彳+1）>，了（2彳一3）的解集是（）

A.（4,-KO）B.（-1,4）

C.（-8,3）D.（-?,4）

【答案】D

【解析】設8（力=竽，該函數(shù)的定義域為R,

貝.8,（同=廣（尤）1）（力>0,所以g（x）在R上單調(diào)遞增.

由e"（x+1）>e7（2x-3）可得"：?。?gt;"?（）,gpg（x+i）>g（2x-3）,

ee

又g（x）在R上單調(diào)遞增，所以x+l>2x-3,解得x<4,

所以原不等式的解集是（0,4）,

故選：D.

變式7.（新疆克拉瑪依市2024屆高三三模數(shù)學試題）定義在R上的函數(shù)Ax）的導函數(shù)為

/'（x）,/（-1）=-1,對于任意的實數(shù)尤均有如3"（此<八月成立，且y=/（x-；）+l的圖像

關于點(；，1)對稱，則不等式〃x)-3A2>0的解集為()

A.(1,+8)B.(—1,+co)C.(—co,—1)D.(—oo,1)

【答案】A

【解析】因為y=的圖像關于點(：，1)對稱，

所以y=/(x)是奇函數(shù)，

因為對任意的實數(shù)》均有l(wèi)n3./?<f'M成立，

所以對任意的實數(shù)x均有l(wèi)n3.f(x)-f'(x)<0成立，

令g(x)=孚，

r(x)3*_"x)3，ln3_r(x)-"x)ln3>0

所以g(x)在R上遞增，

因為g(l)="

又/(X)-3*-2>0o^2-g>Oo^^>gog(x)>g⑴,

所以無>1,

故選：A

變式8.(浙江省紹興市新昌中學2024屆高三下學期5月適應性考試數(shù)學試題)若定義在

R上的函數(shù)/⑶的導函數(shù)為了'(X),且滿足廣(">/(“,”2022)=e的,則不等式

/[lnx]<也的解集為()

A.(O.e6066)B.(O,e2022)

C.廿。22,+句D.@嗎+動

【答案】A

【解析】由題可設尸(%)=等,因為/'(力一/(乃>0,

貝IJ尸⑴=尸(x)e：/(無心=f'M-fM>0,

eex

所以函數(shù)方(%)在R上單調(diào)遞增,

又尸(2022)=/￡)=1,不等式/ginx]<近可轉化為_J

e-°-13)”，

e3

/.F(；lnx]<l=F(2022),

所以glnx<2022,解得0<x<e6°66,

所以不等式/，山力〈也的解集為(0"。66).

故選：A.

變式9.(吉林省長春市吉大附中實驗學校2024學年高三上學期第四次摸底考試數(shù)學試

題)設尸⑺是函數(shù)/⑺的導函數(shù)，且廣(力>3/⑺(xeR),=e(e為自然對數(shù)的

底數(shù))，則不等式/(lnx)<x3的解集為()

A.LB.I,+sjC.(0,%)D.(泥,+s)

【答案】C

【解析】令g(x)=空，則g，(x)

因為/'(x)>3/(x)(xeR),

所以gG)=1'(x))：〃x)>o,

所以函數(shù)g(%)在R上為增函數(shù),

7(M<I

不等式"Inx)<x3即不等式x3

x>0

/(Inx)_/(Inx)

又g(lnx)=

所以不等式/(lnx)<x3即為g(lnx)<gI

即Inx<g,解得0<x<Ve，

所以不等式/。向<三的解集為伍，網(wǎng).

故選：C.

變式10.(四川省綿陽市南山中學2024學年高三二診熱身考試數(shù)學試題)已知定義在R上

的可導函數(shù)〃尤)的導函數(shù)為,(X),滿足/'(x)<〃x),且"T)=/(2+X),/(2)=1,

則不等式/(x)<e*的解集為()

A.B.(2,+oo)C.D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】因為/(T)=F(X+2),所以y=/(x)的圖像關于直線x=l對稱，所以

/(0)=/(2)=1,

設g(x)="，則g(x),因為尸(x)<〃x),所以g[x)J(x)："x)<0,

eee

所以g(x)在R上為減函數(shù)，

又g(o)=與=1，因為f(x)<e",所以g(x)<l,,g(x)<g(0),所以x>0.

故選：D.

變式IL(山東省煙臺市2024屆高三二模數(shù)學試題)已知函數(shù)了(%)的定義域為R,其導

函數(shù)為尸⑺，且滿足/'(x)+〃x)=eT,f(0)=0,則不等式卜2:1)/3<6-1的解集

為().

C.(-1,1)D.(-l,e)

【答案】C

【解析】由/'(x)+/(x)=eT得e"'(x)+e"(x)=l,即[e"(x)]'=l，

可設e"(x)=x+m,

當x=0時，因/(。)=。得m=0,

所以/(%)=屁一”,

(e2x—l)/(x)ve—'可化為(e?x—L

即xe「xer<e-L

e

設g(x)=xe"_xeT,

因g(-%)=-%0+xe*=g(x),故g(x)為偶函數(shù)

g'(x)=ex+xex+xeTx-e~x,

當xNO時，因泥工+止-*20,eA-e-x>0,

故g'(x)=e'+xex+Ae-'-e-x>0,所以g(x)在區(qū)間［0,+向上單調(diào)遞增,

因g(l)=e—J,

所以當x20時g(無)=xe，-配一*<e-5的解集為［0,1),

又因g(x)為偶函數(shù)，故g(x)<e-J的解集為(-1,1).

故選：C

變式12.(江西省九江十校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題)設函數(shù)/(x)的定義域為R,

其導函數(shù)為尸(%),且滿足/?>r(x)+1,/(O)=2023,則不等式「了⑴>/+2022

(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集是()

A.(2022,+8)B.(-8,2023)C.(0,2022)D.(-8,0)

【答案】D

【解析】設8(幻=萼匚，

e

???/(%)>/。)+1,即f\x)-/(x)+l<0,

.g，(九)=「，一<0,

e

???g(%)在R上單調(diào)遞減，又『(0)=2023,

不等式仁"。)>e-x+2022o2Mzi>2022=f(0)-1=當緊，

exe

即g(x)>g(0),;.x<0,

原不等式的解集為(-8，。).

故選：D

【解題方法總結】

1、對于/''(*)-/(x)>0(<0),構造g(x)=/學，

e

2、對于/'(x)-4(尤)>。(<0)，構造g(元)=^^

e

題型五：利用sinx、tanx與/(x)構造型

7171

例13.(江西省2024屆高三教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題)定義在區(qū)間上的可導函數(shù)

2；2

關于〉軸對稱，當時，f\x)cosx>/(x)sin(-x)恒成立，則不等式

的解集為()

71717171

B.C.D.

4,?412吟

【解析】因為f(x)cosx>/(x)sin(-x),化簡得/z(x)cos^+/(x)sinx>0,

構造函數(shù)/")=犯，尸(X)/'(%)cosx+/(%)sinx

COSXcos2x

即當xe(0,3時,F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,

71

--X

>0^>/(x)>

tarixcosxsiru

71.因為尸⑺為偶函數(shù)且在x[o，S上單調(diào)遞增,

即F(x)>F--X

7171

—<X<—，且xw0

22

717171

所以---<----X<——，解得XW

222

71

——X

w>2

故選：C.

例14.(天津市南開中學2024屆高三下學期統(tǒng)練二數(shù)學試題)已知可導函數(shù)/(x)是定義

71兀上的奇函數(shù).當工中微

在時，/(x)+r(x)tan.r>0,則不等式

252

COSX+sinx./(—x)>0的解集為(

71兀兀71

A.~29~6B.C.29~4D.

【答案】D

【解析】當時，/(%)+/,(x)tanx>0,貝!]cos^f(x)+r(x)sinx>0

則函數(shù)sin獷（力在[0,2上單調(diào)遞增，又可導函數(shù)/（X）是定義在7171

上的奇函數(shù)

2；2

上的偶函數(shù)，且在層可單調(diào)遞減,

則sin葉（尤）是

7171

——<x+—<—

222，可得％卜,。），貝（71，71

由,6Jx+aw[°

71兀2

——<-X<—

I22

71

則苫€卜§,0卜寸，不等式cosx-《x+]+sinx-/(-x)>0

2

7171

可化為sin|.x+彳-/x+->sin(-x)./(-^)

22

又由函數(shù)sin（x）在（0,2上單調(diào)遞增，且-xe（0,,71

XH---

2

則有+無＞0,解之得一￡＜x＜0

故選：D

7171

例函數(shù)/（尤）對任意的尤滿足％+2f(x)+f\x)sin2x=ex~x(其中f(x)是

15.y=e萬'5

函數(shù)/（X）的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（

71

B.>3/

A.f~4

C.D.

【答案】D

【解析】令尸（％）=/（%）tan光,

sin%1/'(x)sinxcosx+/(x)f(x)sin2x+2/(x)

一⑴八）+〃x)

cos%cos2Xcos2X2cos2x

又由已知可得，2/(x)+f(x)sin2x=ex-l-x>Q,所以尸'(x)部,

7171

所以尸（%）在上單調(diào)遞增

5'5

7171「57171

因為三＜ll,所以了tan—<ftan—,

31212

故，D正確,

故選：D

變式13.已知可導函數(shù)〃x）是定義在上的奇函數(shù).當尤時,

+tan%>0,則不等式cosxqx+^J+sinx"（-尤）＞0的解集為（）

7171

A.B.C.

24

【答案】D

【解析】當xw時，/(^)+/r(x)tanx>0,則cosj(f(x)+f(A:)sinA:>0

則函數(shù)sin獷(x)在,3上單調(diào)遞增，又可導函數(shù)〃x)是定義在上的奇函數(shù)

則sin獷(力是「會鼻上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，

兀兀兀

——<x+—<—

222可得問一加，貝心+蕓0微

由<

——71<-x<—兀

22

則xe1-5,oJ時，不等式cosx"[尤+5]+sinx.f(-x)>0

可化為sin[x++^]>sin(-x)-/(-^)

又由函數(shù)sin#(x)在]O..上單調(diào)遞增，且x+|-efo,|

貝I有g>x+5>一尤>。,解之得譚<x<。

故選：D

【解題方法總結】

1、對于sinx"'(x)+cosx"(x)>0(<0),構造g(x)=/(x)?sinx,

2、對于sinx"'(x)-cosx，/Xx)>0(<0),構造g(x)=""

sinx

3、對于正切型，可以通分(或者去分母)構造正弦或者余弦積商型

題型六：利用cosX與/(龍)構造型

例16.(重慶市九龍坡區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題)已知偶函數(shù)/■(*)的定義域為

(一號與］'其導函數(shù)為(⑺’當0Wx<］時，有r(x)cosx+/(x)sinx>0成立,

則關于

x的不等式〃x)>2/|j}cosx的解集為(

【答案】C

【解析】構造函數(shù)g(x)="D,OVx<W，

cos尤2

/、f\x)cosx-f(x)(cosxYfr(x)cosx+f(x)sinx八

g(x)=----------2——------=----------2--------〉0'

cosXcosX

所以函數(shù)g(x)=3在10,小單調(diào)遞增，

cosxLZ)

因為函數(shù)/■(“為偶函數(shù)，所以函數(shù)g(x)=3也為偶函數(shù)，

cos%

且函數(shù)g(x)=42在10,小單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)=9在1-R。］單調(diào)遞減,

cosxLz)cosx\1)

(-JTTT\

因為無€【一5，不/所以COSX>0,

關于X的不等式“X)>2/?。?cosx可變?yōu)楣^(qū)

I〃cosX

w>-一一一

3解得S<x<g或一gcxv-g,

所以g(kl)>，貝

u兀兀3223

——<x<—

122

故選:C.

例17.已知偶函數(shù)的定義域為卜合辦其導函數(shù)為f(x)，當0<尤苦時，有

/'(%)cosx+/(%)sin%<0成立,則關于x的不等式/(%)<?COSX的解集為

B.

D.

【答案】B

［解析】由題意，設g(無)=0,則gG)=7'⑶c°sx：/(x)sinx,

cosXcosX

當0<x<￡時，因為/'(x)cosx+/(x)sinx<0,則有g'(x)<0,

所以g(x)在上單調(diào)遞減,

可得g(-x)=幻、==g(),

又因為/(x)在上是偶函數(shù),X

cos(-x)cosX

所以g(x)是偶函數(shù),

由/(無)<COSX,可得亞了(生)，即g(x)<

cosx4cosxcosn—

4

TT

又由g(x)為偶函數(shù)，且在°，f上為減函數(shù)，且定義域為'則有⑶

ATJ/x=\冗冗「TCTC

解得一不<尤<---^(，―<X<—,

2442

即不等式的解集為

故選：B.

例18.設函數(shù)在R上存在導數(shù)尸⑺，對任意的xeR,有〃x)+〃-x)=2cosx,

且在［0,+8)上有/'(x)>—sin%,則不等式〃X)一/仁一"“。5%一$皿%的解集是(

71

A.B.——,+8

4

【答案】B

【解析】設尸(X)=/(%)—COSX,

V/(%)+/(-%)=2cosx,HP/(x)-cosx=cosx-/(-x),即尸(x)