2025屆衡水高三年級(jí)上冊(cè)期中綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2025屆衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試卷

+答案

2024-2025學(xué)年度高三年級(jí)上學(xué)期期中綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)學(xué)科

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

L若復(fù)數(shù)z滿足士=1-3）則忖二（）

A.75B.V10C.5D.10

2.設(shè)全集U={—2,—1,0,1,2,3},集合A={-1,2},5={尤|3無=o},則導(dǎo)入集§）=（）

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-2,1}D.{-2,0,1}

3.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺(tái).已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為1和

7T

2,側(cè)棱與底面所成的角為一，則該四棱臺(tái)的體積是（）

4

A.ZB.迪C.遞D,迪

6632

4.已知等差數(shù)列{〃〃}的前〃項(xiàng)和為，若。2+。10=24,且。3=6,則S&=（）

A.60B.72C.120D.144

5.已知兩條不同的直線/,m,兩個(gè)不同的平面a,B，則下列條件能推出。///的是（）

A.lua,mua,且/〃夕，ml10

B./u。，mu0,且/〃加

C./J_。，m工0,QI"m

D.Illa,rn/Ip,且〃/用

6.函數(shù)〃x）=F4，“<\若/（/+]）<〃—]。。卜/⑸，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

[lux,x>l

A.{-1}B.（-oo,-l]

C.[-l,+oo）D.-1,--

7.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=/（x）及其導(dǎo)函數(shù)y=r（乃的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有

第1頁/共5頁

一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,1),則()

A.函數(shù)y=/(%)+x的最大值為1B.函數(shù)y=/—的最小值為1

/(x)

C.函數(shù)y=/(xAe”的最大值為1D.函數(shù)丁=」學(xué)的最小值為1

e

8.如圖，在棱長為5的正方體A5CD—A?C7y中，M是側(cè)面AOOA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CC

上，且|尸。［=2,則以下命題正確的是()(動(dòng)點(diǎn)的軌跡：指動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形)

A.沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)尸的最短距離是后

B.保持尸〃與3D'垂直時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為3夜

C.若保持|PM|=回，則M的軌跡長度為g兀

D.平面AD'P被正方體ABCD-AB'C'D'截得截面為直角梯形

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.以下是真命題的是()

A.已知5為非零向量，若卜+?〉,一耳，則a與5的夾角為銳角

B.已知彳，b,e為兩兩非共線向量，若2，則￡，僅一。

C.在三角形ABC中，若a-cosA=6-cos5,則三角形ABC是等腰三角形

D.若三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心

10.已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為了'(x),g'⑺，"1一九)=6—g'(l-九)，

f(l-x)-g'(l+x)=6,且g(x+2)為奇函數(shù)，則()

第項(xiàng)/共5頁

A.g(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱

B.g，(x+6)=g，(x)

c.r⑹=*2)

D./(2021)+/(2023)=12

11.已知△ABC中，ABIBC,AB=BC=2,E,尸分別在線段54,CA上，且麗=/麗，

CF=ACAUe(0,1)).現(xiàn)將△AER沿跖折起，使二面角A—EE—C的大小為a(ae(0,〃)).以下命

題正確的是()

A.若X=a=~,則點(diǎn)R到平面ABC的距離為包

232

B.存在X使得四棱錐A-8CEE有外接球

C.若無=,，則棱錐歹-A期體積的最大值為3

381

D.若a=工，三棱錐A-5ER的外接球的半徑取得最小值時(shí)，2=-

23

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖，在正三棱柱ABC—44G中，AB=1,M=2,。為的中點(diǎn)，則異面直線與G。所

13.如圖，圓。與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C,8在圓。上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

第3頁/共5頁

ZAOC=a.若忸=1,則6cos?&-sin4cos4..-的值為.

22

14.曲線y=|lnx|在A(Xi，yJ,5(%2，丁2)兩點(diǎn)處的切線分別為4，%，M14＞貝11菁%2=；若4,

12交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為％3，則占%3+%2%3=-

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟.

15.已知△A3C的面積為20省，。為邊3c的中點(diǎn)，0A=5,OAOB=20-

(1)求5c的長；

(2)求角C的正弦值.

16.如圖，三棱臺(tái)ABC—4與G中，ZSABC是正三角形，AA，平面ABC,AB=2^A=2A.Q=4,

M,N分別為棱AB,g3的中點(diǎn).

R

(1)證明：■平面MCN；

(2)求直線G。與平面MCN所成的角的正弦值.

17.已知數(shù)歹!j｛?！埃鸵玻凉M足，q=2,4=1,an+1=2an(neN*)

4+；4+；4+—+工優(yōu)=%|-1(〃6河)

23n'，

(D求a,與b,；

第4頁/共5頁

1

——，〃為奇數(shù)

bb

(2)記數(shù)列｛cj的前〃項(xiàng)和為7；,且C"=<",若對(duì)〃eN*，女恒成立，求上的取

為偶數(shù)

an

值范圍.

18.如圖，四棱錐尸—A3CD的底面A3CD為正方形，E,尸分別為PA,PC的中點(diǎn)，且平面平

⑵若PB=4^PD，當(dāng)四棱錐尸-ABC。的體積最大時(shí)，求平面P43與平面5ER的夾角的余弦值.

19.設(shè)y=〃x)是定義域?yàn)镈且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，若存在區(qū)間和「€(。力)，使得

y=/(%)在［a,5)上單調(diào)遞增，在(%0，以上單調(diào)遞減，則稱y=/(x)為“山峰函數(shù)”，不為“峰點(diǎn)”，

［a,b］稱為y=f(%)的一個(gè)“峰值區(qū)間”.

(1)判斷g(x)=x?+cosx是否是山峰函數(shù)？若是,請(qǐng)指出它的一個(gè)峰值區(qū)間；若不是，請(qǐng)說明理由；

(2)已知相>1,//(x)=(m+2)x—x2—*是山峰函數(shù)，且［0』是它的一個(gè)峰值區(qū)間，求機(jī)的取值范

圍；

(3)設(shè)函數(shù)/(x)=［/一2〃/+(4〃—4)x］lnx—，3+_(4〃_4)x.設(shè)函數(shù)y=/(x)是山

峰函數(shù)，卜川是它的一個(gè)峰值區(qū)間，并記7-S的最大值為小).若/［卜0,且/［撲］⑴，

求d(")的最小值.(參考數(shù)據(jù)：ln^^0.4)

第5頁/共5頁

2024-2025學(xué)年度高三年級(jí)上學(xué)期期中綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)學(xué)科

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足iz=l—3i,則忖=()

A.-75B.A/10C.5D.10

【答案】B

【詳解】因?yàn)閕z=l—3i,所以z=匕①=—3—i,

i

所以忖=J(—3『+(—l『=A/10-

故選：B

2.設(shè)全集U={—2,—l,0,l,2,3},集合A={-1,2},B={W3彳=0},貝氏(4^8)=()

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-2,1}D.{-2,0,1}

【答案】C

【詳解】解：?.?3={x|x2-3x=0}={0,3},AAuB={-1,0,2,3},

又。={-2,-1,0,l,2,3},

.工(4U5)={-2,1}.

故選:C.

3.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺(tái).已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為1和

7T

2,側(cè)棱與底面所成的角為二，則該四棱臺(tái)的體積是()

4

A.ZB.謹(jǐn)C.速D.迪

6632

【答案】B

【詳解】如下圖所示：分別為上下底面的中心，作GELAC于點(diǎn)石，

第1頁/共22頁

TV

根據(jù)題意可知4片=1,A3=2,側(cè)棱與底面所成的角即為NGCE，可知NGCE=1；

因此可得GE=CE，

易知AC=2J5，AG=后，由正四棱臺(tái)性質(zhì)可得CE=；（AC—AG）=1；

所以該正四棱臺(tái)的高為GE=CE=/,

22

因此該四棱臺(tái)的體積是V=-fl2+22+V1X2）X1=XI.

3\/26

故選：B

4.已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，若4+010=24,且。3=6,則§8=（）

A.60B.72C.120D.144

【答案】B

【詳解】在等差數(shù)列｛。“｝中，2a6=a/aw=24,解得a6=12,

所以S.=8（。；%）=4（%+4）=4/（6+12）=72.

故選：B

5.已知兩條不同的直線/,m,兩個(gè)不同的平面a,p,則下列條件能推出夕的是（）

A.lua,maa,且/〃尸，ml//3

B./ua,mu/3,且/〃加

C.IS_a,mL/3,且/〃加

D.Illa,mlI/3,且/〃加

【答案】C

【詳解】對(duì)于A,若/ua,mua,且/〃m///3,此時(shí)a,4可能相交，如下圖所示:

第2頁/共22頁

a

當(dāng)ans=〃，/,機(jī)都與“平行時(shí)，①，相交，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若Iua,mu0,且/〃加，此時(shí)a,￡可能相交，如下圖所示:

當(dāng)［□￡=〃，/,機(jī)都與“平行時(shí)，%，相交，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由/J_a,Ulm,得nzJ.a,而所以a//6，C正確;

若///a,ml113,且/〃加，此時(shí)久，可能相交，如下圖所示：

當(dāng)aPl￡=〃，根ua,Iu/3,/,7"都與“平行時(shí)，如，相交，D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.函數(shù)〃x)=F—4，x<\若/(a2+i)v〃_l0a)_〃5),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

Inx,x>1

A.{-1}B.(-oo,-l]

【答案】A

【詳解】當(dāng)x<l時(shí)，/(x)=eA'+x-4,因?yàn)閥=e*,y=x—4在(一e,l)上單調(diào)遞增，此時(shí)/(x)單調(diào)遞

增，

1

當(dāng)x21時(shí)，易知/(x)=lnx單調(diào)遞增，且當(dāng)x=l時(shí)，e+l-4=e-3<0=lnb

第3頁/共22頁

則y(x)在R上單調(diào)遞增,

因?yàn)?+121，則/(a2+l)+/(5)=ln(a2+i)+in5=ln5(a2+l)=/[5(a2+l)],

所以由—“5)得/[5(/+i)卜/go。)，

所以5(/+1)<一io*解得。=一1.

故選：A.

7.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)，=/(%)及其導(dǎo)函數(shù)y=尸(乃的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有

一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,1),則()

e

A.函數(shù)y=/(%)+x的最大值為1B.函數(shù)y一的最小值為1

/(%)

D.函數(shù)y=粵的最小值為1

C.函數(shù)y=的最大值為1

e

【答案】B

【詳解】由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象都在x軸上方，所以尸(x)>0,/(X)單調(diào)遞增,

所以實(shí)線為7(x)的圖象，虛線為尸0)的圖象，/(0)=/,(0)=1,

對(duì)A,y=r(x)+l>0,y=/(x)+x單調(diào)遞增，無最大值，A錯(cuò)誤;

(切叫/(0)-r(0)]

對(duì)B,了==0,

[/W]2y'L=o[/(0)]2

由圖可知，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)-/,(x)<0,當(dāng)x〉o時(shí)，/(x)-/,(x)>0,

所以y=在(-8，0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

于(X)

e0

所以當(dāng)X=0時(shí)，函數(shù)取得最小值丁皿=干@=1，B正確;

對(duì)c,y=[f,(x)+/(x)]eA,由圖可知〃x)+r(x)>0,

所以y=/(%)?e”在R上單調(diào)遞增，無最大值，C錯(cuò)誤;

第4頁/共22頁

對(duì)D,y/'(x)7(x),

er

由圖可知，當(dāng)了<o時(shí)，y(x)-/,(x)>o,當(dāng)x〉o時(shí)，y(x)-/,(x)<o,

所以函數(shù)y=等在(-”,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值ymax=半=1,D錯(cuò)誤.

e

故選：B

8.如圖，在棱長為5的正方體ABC?！狝'B'C'。'中，M是側(cè)面ADD'A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CC'

上，且|尸。'|=2,則以下命題正確的是()(動(dòng)點(diǎn)的軌跡：指動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形)

A.沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離是后

B.保持尸河與30垂直時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為3夜

C.若保持|PM|=亞，則M的軌跡長度為，兀

D.平面AD'P被正方體ABCD-AB'C'。'截得截面為直角梯形

【答案】B

【詳解】對(duì)于A,將正方體的下底面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接AP,則技尸=J25+64=屈，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,如圖：

第5頁/共22頁

。。，平面435,AC^ABCD,所以O(shè)D'LAC,又AC工BD,

DDGBD=D,DD',BDu平面BDD',所以AC平面3。。，

又BD'u平面3。。'，所以AC，3。'，

同理可得BD'LAB',ACcAB'=A,AC,AB'u平面ACE,所以平面AC5'.

所以過點(diǎn)P作PG//CD交CD于G,過G作GF//AC交AD于R,

由A3'〃r>C',可得尸GZ7AB',PG<Z平面ACB,AB'u平面AC5',

所以PG//平面AC3',同理可得GE//平面AC8,

又GbnPG=G,G￡P(guān)Gu平面GEP,則平面GBP//平面ACE.

設(shè)平面PEF交平面ADD'A'于EF,則M的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段EF,

由點(diǎn)尸在棱CC'上，且因［=2,可得|DG|=|D尸|=|4E|=2,

ApAA'

連接AD,貝!1絲=",所以所口4。，又B'CDA'D,所以B'C口EF,

AFAD

所以|E6=||AD|=|x5行=3后，故B正確；

對(duì)于C,如圖：

若|PM|=J記，則M在以尸為球心，而為半徑的球面上,

過點(diǎn)尸作尸。，平面ADD'A,則|。'。|=2,

第6頁/共22頁

此時(shí)IQM1=PM|--1PQI2=J26-25=1.

所以點(diǎn)M在以。為圓心，1為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為兀.

點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡長度71X1=71,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如圖：

延長DC,D'P交于點(diǎn)H,連接交于/,連接3,

所以平面AD'P被正方體ABCD-AB'C'D'截得的截面為AIPD'.

||_|PC|_|HC|_3

LPCH-OD'DH,所以

|D'H\~\D'D\~\DH\^5

\CI\_\HC\_\IH\_3

ni/CH-DADH,所以

\DA\~\DH\~\AH5

mzIPHI\IH\\PI\3

所以/7Z7A。'且|P/罔AD'\,

|D'H||AH|\AD'\5

所以截面AIPD'為梯形，|AI|=|PD'|=J25+4=729,

所以截面A/P。'為等腰梯形，故D不正確.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.以下是真命題的是（）

A.已知力,在為非零向量，若歸+@〉口—q,則力與在的夾角為銳角

B.已知％,b,e為兩兩非共線向量，若則￡，僅一。

C.在三角形ABC中，若a-cosA=6-cos5,則三角形ABC是等腰三角形

D.若三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心

【答案】BD

第7頁/共22頁

【詳解】A：因?yàn)椴?,〉歸一.，兩邊同時(shí)平方，得?+可2,即

a"+b2+2a-b>a2+b2-2a-b>所以〉B〉0,因此cos,,B)〉0,因?yàn)槲榭晌洹?司，所以

(a,b)e0,'],因此a與石的夾角為銳角或零角，故A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)楣な?73，所以。?僅一。)=0,又因?yàn)閍,6，c為兩兩非共線向量，則所

以a_Le-c)，故B正確；

C：因?yàn)閕,cosA=/?,cos5,結(jié)合余弦定理得sinA?cosA=sin5?cos8,所以sin2A=sin2B,所以

71

2A=23或2A+25="，即A=6或A+3=一,所以角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)

2

誤；

D：

設(shè)三棱錐P-A3C的頂點(diǎn)尸在底面ABC的射影為。，所以P。，底面ABC,又因?yàn)锳。u底面

ABC,3。u底面ABC,COu底面ABC,所以P。，AO,P。，30,P。，CO,又因?yàn)槿忮F的

三條側(cè)棱與底面所成的角相等，所以NPAO=NPBO=NPC。，所以口瓶。出尸3。丸PC。，所以

AO=BO=CO,所以點(diǎn)。是△ABC的外心，故D正確；

故選：BD.

10.已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為了'(x),g'(x),f(l-x)=6-g'(l-x),

/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x+2)為奇函數(shù)，則()

A.8(%)的圖象關(guān)于％=1對(duì)稱

B.g,(x+6)=g,(x)

C.〃6)=(⑵

第8頁/共22頁

D./(2021)+/(2023)=12

【答案】ACD

【詳解】由題意可得4,、，兩式相減可得g'(l+x)=—g'(l—X)①，

"(I)=6+gZ(1+x)

所以g(l+x)=g(l-尤)+C,令尤=0,可得C=0,

所以g(l+x)=g(l—x),

所以g(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，故A正確；

因?yàn)閮H久+2)為奇函數(shù)，所以g(x)關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱，

所以g(尤)+g(4—尤)=0②,②式兩邊對(duì)龍求導(dǎo)可得g'(x)=g'(4-尤),

結(jié)合g'(l+x)=—g'(l—X),可得：g'(x)=-g'(2-x)

所以g'(4—x)=—g'(2—X),令4—x=/,可得：g\t)=-g\t-2),

所以g?)=g"—4)即g?)=g?+4),故B錯(cuò)，

因?yàn)?(x)=6-g'(x),可知/(x)也是周期為4的周期函數(shù)，

即/(x+4)=/(x),兩邊求導(dǎo)可得尸(x+4)=/'(x),所以八6)=尸(2),故C正確；

/(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以/(2021)+/(2023)=/(1)+/(3),

因?yàn)間'(l+x)=—g'(l—x),令x=0,貝ijg")=—g'⑴，即g")=0,

又g")=—g'?—2),所以=⑴=0,又因?yàn)間(x)是周期為4的周期函數(shù)，

[y(l)=6-g,(l)=6

則gQ)=g'(—D=0,由/(x)=6—g'(x)可得[二〉

"(3)=6-g(3)=6

所以/⑴+/(3)=12,所以“2021)+“2023)=12,D正確.

故選：ACD

11.已知△ABC中，ABIBC,AB=BC=2,E,尸分別在線段54,CA上，且麗=彳麗，

CF=ACAUe(0,1)).現(xiàn)將△AER沿斯折起，使二面角A—EE—C的大小為a(ee(0,〃)).以下命

題正確的是()

第9頁/共22頁

A.若2a=~,則點(diǎn)R到平面ABC的距離為止

232

B.存在X使得四棱錐A-2CFE有外接球

C.若沈=工，則棱錐歹-AEB體積的最大值為3

381

712

D.若a=一,三棱錐A-3ER的外接球的半徑取得最小值時(shí)，2=-

23

【答案】ACD

【詳解】BE=ABA>CF=2G4(2e(0,l)),易知石/口3。，ER(Z平面ABC,BCu平面ABC,

易知EE〃面ABC

故點(diǎn)F到平面ABC的距離為即為點(diǎn)E到平面ABC的距離，

因?yàn)锳5LBC,所以ABLER,所以EFLBE,EFLAE,

所以ZBEA為二面角A—EE—C的平面角，

又AE,BE為平面ABE內(nèi)兩條相交直線，

所以ERL平面ABE,

所以3。_1_平面48后，又5c在平面ABC內(nèi)，

所以平面ABC±平面ABE,

所以E到平面ABC的距離即為E到AB,

I7T71

A選項(xiàng)：X=—,a=—,即3￡=4￡=1,48胡=—,三角形ABE等邊三角形，

233

/?

可得：E到AB的距禺為lxsin60°=—，故A正確；

2

B選項(xiàng)：由于直角梯形不可能共圓，所以四棱錐A-BCBE無外接球，所以B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：由題意可知BE=2；l,AE=2-2A,EF=2-2A,smZAEB=a

VAFR=-S“ABFxEF=—AExBExsinZAEBxEF,

F36

第10頁/共22頁

=122（2-22）（2-22）sinZAEB,

4A+2—2A+2—2464

由基本不等式可知：42(2-22)(2-22)<

327

當(dāng)且僅當(dāng)42=2-22=2-22,即％=工時(shí)取得最大值，

3

所以VF-AEB=-x22（2-22）（2-22）sinZAEB<—sinNAEB,

681

所以當(dāng)4=—,sin/AEB=a=—時(shí)，體積取到最大值一，故正確;

3281

D選項(xiàng)：由題意可知BE=24,AE=2—2A,EF=2—22,

JT

a=—，也即EREB,EA兩兩垂直,

2

可以依次構(gòu)造長方體，長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球半徑為r,

則（2廠）2=422+2（2—22）2=1222-162+8,2e（0,l）,

所以2=2時(shí)，2r取得最小值辿，此時(shí)已=旦，所以D正確.

33mm3

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖，在正三棱柱ABC—A4。中，AB=1,M=2,。為的中點(diǎn)，則異面直線A/與G。所

成角的余弦值為.

【詳解】以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的直線Ax為x軸，AC為y軸，A&為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,如圖所示：

第11頁/共22頁

則A（0,。,2）,B,0,G（0,1,2）,D-^-，―,1

—fV311

所以43=^-,-,-2QD=

\7

5

所以卜。，港,電卜絲片e

114心。V5XV24

則直線A,5與CQ所成角的余弦值為巫,

4

故答案為：巫

4

13.如圖，圓。與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C,8在圓。上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)8的坐標(biāo)為

ZA0C=a.若怛C|=1,則&cos2^-sin-cos---的值為

2222

【詳解】\OB\=1,.?.圓0的半徑為1.

又忸C|=l,為等邊三角形.

第12頁/共22頁

jr

ZAOB=——。，且。為銳角.

3

a.aay[3r-1+cosa1.V3

cos2---sin—cos-------=A/3x------------sina-----

2222222

V31.

二——cosa——sma=siny-erj=sin/AOB.

22

3

由三角函數(shù)的定義可得，sinZAOB=~.

，一、3

故答案為：—

14.曲線y=在A（%1，M）,6（%2，，2）兩點(diǎn)處的切線分別為4，，2,且4呼2,則玉入2=,；若乙,

，2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為％3，則%%3+%2%3=

【答案】①.1②.2

—,X>1

Inx,x>1

【詳解】由y=\inx\=<ny，=<X

-Inx,0<x<1

—,0<%<1

X

不妨設(shè)再<%2，切線4，4的斜率分別為K，左2,

71,1,71

當(dāng)時(shí)，則有左1二一,k2=一,此時(shí)左水2=---->。，顯然上#2。一1,

國X2石工2一

因此不成立，不符合題意；

,1,1,,1

當(dāng)?！从?lt;W<1時(shí)，則有尢=---,k,=----,此時(shí)左/2=-----〉0，

%x2石龍2

顯然上#2片-1，因此/1，，2不成立，不符合題意；

,1,1,,1

當(dāng)0<%<1三々時(shí)，則有尢=,k,=—,此時(shí)左A，=<0,

%％2%了2

由《J_$可得上隹=一1nXjX2=1,

此時(shí)切線/r4的切線方程分別為：y+lny-ln%2=—（x-x2）,

第13頁/共22頁

y+In石—---(x-%)

x22

兩個(gè)方程聯(lián)立，得《\

=x=--------=>x3

玉+々%+%2

y-\wx2=-(x-x2)

因此石入3+%2%3=X3(X1+%2)=---------(玉+%2)=2,

X]H-%2

故答案為：1；2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟.

15.已知AABC的面積為20百，。為邊BC的中點(diǎn)，。4=5,OA.OB=20-

(1)求BC的長；

(2)求角C的正弦值.

【答案】(1)16(2)整1

86

【解析】

【小問1詳解】

由已知。為邊5c的中點(diǎn)，

所以與ABC=2S口40B=2?J0A"sinZAOB=2073,

即|OA|-|OB|sinZAOB=2073,

又礪.礪=|。4|0葉cosNA03=20,

則tanZAOB=，

71

即NA05二一，

3

又儂=5

則||。國=20,

即|0同=8,忸C|=2|OB|=16；

【小問2詳解】

由⑴^ZAOB=y,\OC\=\OB\=8,

則NAOC=@，

3

第14頁/共22頁

在4Aoe中，由余弦定理可知\ACf=|0A|2+|OC|2-2|OA|-|OC|-COSZAOC,

91

即|AC「=25+64+2x5x8xg=129,

則|AC|=VI藥，

又由正弦定理可知,

sinZCsinZAOC

5

則?0A|-sinZAOC'T_.5V43.

sinZC二

V129—86

16.如圖，三棱臺(tái)ABC—中，ZSABC是正三角形，AA1.平面ABC,AB=2^A=2^^=4,

M,N分別為棱A3,3田的中點(diǎn).

R

（1）證明：BiB_L平面MCN；

（2）求直線G。與平面MCN所成的角的正弦值.

3

【答案】（1）證明見解析（2）-

4

【解析】

【小問1詳解】

因?yàn)锳ABC是正三角形，M為中點(diǎn)，所以CMLA8,

因?yàn)锳A，平面ABC,CMu平面ABC,所以CM，AA,

又AAnA3=A,aAA3u平面AiABB],

所以CM,平面AA35],

又因?yàn)?13u平面AABB],所以

連接AB】，易得AB]=B]3=2j5,

所以A3?=AB；+BF,所以A用1B{B,

第15頁/共22頁

又因?yàn)锳B】//MN,所以MN_L331,

因?yàn)镸NnCM=M,加,?！柏纹矫?^^7^,

所以平面MCN.

【小問2詳解】

取AC中點(diǎn)O,連接BO，G。，易知三條直線兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，。氏。。,。。1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(6,-1,2),8(26,0,0),2(0,2,0),q(0,0,2),

由(1)知平面MCN的一個(gè)法向量為瓦元=(百』,—2),又京=(0,2,—2),

?——?帚63

所以cosB.B,CjC=?—?—=—『----j==—,

112V2-2V24

3

所以直線QC與平面MCN所成的角的正弦值為一.

4

17.已知數(shù)歹！J{%}和也}滿足，q=2,b{=l,an+1=2an{nGN*),

向++；&+…+工2=2+i—1(〃eN)

23n'，

(1)求《，與勿；

——,〃為奇數(shù)

,、bbq

(2)記數(shù)列{qj的前幾項(xiàng)和為7；,且c"={""+2,若對(duì)〃eN*，之左恒成立，求上的取

-為偶數(shù)

值范圍.

【答案】(1)%=2",bn=n-(2)左＜4.

【解析】

【小問1詳解】

第16頁/共22頁

an+l=2an,%=2,｛4｝是等比數(shù)列，公比為2,所以〃“=2",

??地+3+,+…+3=%-1，

?**b\+~b2+"+…%="〃T，

23n-1

Ihhhh

兩式相減得勿+i—2=—2,???"；二」，從而｛字｝是常數(shù)列，」=1,

n〃+1nn1

b

所以」=1,即a=n-

n

【小問2詳解】

1111

由已知，”為奇數(shù)時(shí)，c=——),

n她+2n(n+2)2n〃+2

11111

q+c+---+c_=-[r(z11-j)+(---)+---+(z^_-------)]=-------

32nl212n+l2n+l

11

〃為偶數(shù)時(shí)，3=-----

an2n

iii”一J11

則。2+。4+…+=4-)2-(-)4—--(-)2n=~

3x4"

1----

4

n1]_

n"=(q+C3。2"-1)+(。2+04C2n)=2n+l+3x4"一,

3

1____

T_T?+11______n______1_________1_________1_

25+1)-2〃-2〃+33義4"+1-2"+1-3義4"一(2〃+1)(2〃+3)一尸'

[9

4向=(l+3)”=l+C；+/3+C—32+…N1+C：J3+C3-32=1+3(〃+1)+Q〃(〃+1)

99159191

=-n-\----n+4>4n+8n+4(V—n>—n),

2222

4"+i>4/+8/7+3=(2〃+1)(2〃+3),T2(n+1)-T2n>0,

?-T2(n+l)>T2n,即｛&｝是遞增數(shù)列，

所以億戶中最小值為7；

'312312

對(duì)“eN*，1“之左恒成立，則左<，.

12

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面A5CD為正方形，E,E分別為尸A,PC的中點(diǎn)，且平面平

面5ER.

第17頁/共22頁

El

/\\、

—>>C

///

AB

(1)證明：PA=PC；

(2)若PB=5PD，當(dāng)四棱錐P-ABC。的體積最大時(shí)，求平面PAB與平面5ER的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)2殛

66

【解析】

【小問1詳解】

連接AC交3。于點(diǎn)0,連接0P交EE于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作DHL3Q于點(diǎn)反，

因?yàn)槠矫鍼3D1平面5ER,平面PBDn平面3ER=3Q,?！柏纹矫嫘?。,

所以。"，平面5ER,

因?yàn)镋Ru平面5ER,

所以。H_LE產(chǎn)，

因?yàn)橥呤謩e為P4,PC的中點(diǎn)，

所以EE〃AC,DHLAC,

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為正方形，

所以AC工3。，。為AC中點(diǎn)，

因?yàn)??！翱?。=。，DH,BDu平面PBD,

所以AC,平面PB。，

因?yàn)镻Ou平面，

所以ACLPO,

第18頁/共22頁

因?yàn)椤锳C中點(diǎn),

所以PA=PC.

【小問2詳解】

設(shè)AB=叵,以。為原點(diǎn)，0A所在直線為工軸，所在直線為丁軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則2(1,0,0),B(0,1,0),