2025高考數(shù)學復習必刷題：兩條直線的位置關(guān)系（學生版）

第58講兩條直線的位置關(guān)系

知識梳理

知識點一：兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

4:4%+與y+Q=04坊—為耳二o且

44+B、B?=0

12:4X+B2y+C2=0耳G—B?G。o

L:y=k.x+b,

；（斜率存在）

/:y=kx+b勺=k2,b[W4或

222kjk2=T或勺與&中有一個

="（斜率不存在）X=Xl,X=X2,XlW%2為0，另一個不存在.

l2:x=x2

知識點二：三種距離

1、兩點間的距離

平面上兩點《（為％）,￡（%，%）的距離公式為|耳￡|={（%一%）2+（乂一%）2.

特別地，原點。（0,0）與任一點P（x,y）的距離IOR=舊+.

2、點到直線的距離

|Ax。+3%+C|

點片（小,%）到直線l:Ax+By+C=0的距離d=

VA2+B2

特別地，若直線為/：x=m,則點到/的距離d=|加-尤（J；若直線為/:產(chǎn)小則

點P0{x0,%）到/的距離d=\n-y0\

3、兩條平行線間的距離

已知4,4是兩條平行線，求4,4間距離的方法：

（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.

（2）^l.-.Ax+By+Q=0,l2:Ax+By+Q=0,則，與I,之間的距離d=隼二Si

一ylA2+B2

注：兩平行直線方程中，尤，y前面對應系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式一（X）=+j土+Q型函數(shù)求解,首先想到兩點間的距離，或

者利用單調(diào)性求解.

【解題方法總結(jié)】

1、點關(guān)于點對稱

點關(guān)于點對稱的本質(zhì)是中點坐標公式：設(shè)點尸（占，》）關(guān)于點Q（尤0,%）的對稱點為

--X+%

則根據(jù)中點坐標公式，有°2

P'（%2，%），

）+%

>0=

2

可得對稱點P'（x2，為）的坐標為（2%-內(nèi)，2%-%）

2、點關(guān)于直線對稱

點P（%,%）關(guān)于直線/：Ax+3y+C=0對稱的點為P'a，%），連接PP'，交/于M點,

則/垂直平分PP，所以尸P"且"為尸尸，中點，又因為“在直線/上，故可得

k]■kpp>=—1

解出（%,必）即可?

A^BA±AC

2+2+=0

3、直線關(guān)于點對稱

法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標,

再由兩點式求出直線方程；

法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對稱

求直線4:ar+by+c=0，關(guān)于直線6++f=0（兩直線不平行）的對稱直線4

第一步：聯(lián)立4算出交點尸（方,%）

第二步：在《上任找一點（非交點）0（占，%）,利用點關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對

稱點Q'5,%）

第三步：利用兩點式寫出《方程

5、常見的一些特殊的對稱

點（x,y）關(guān)于x軸的對稱點為（x,-y）,關(guān)于V軸的對稱點為（-x,y）■

點（尤，y）關(guān)于直線y=x的對稱點為（y,x）,關(guān)于直線y=-x的對稱點為（―y,—尤）.

點（x,y）關(guān)于直線x=。的對稱點為（2a—x,y），關(guān)于直線y=b的對稱點為

（%,2b-y）-

點（％,y）關(guān)于點（a,6）的對稱點為（2a—兀，2b—y）-

點（%,y）關(guān)于直線%+y=上的對稱點為（4-y,k—x）y關(guān)于直線％-y=左的對稱點為

（k+yyx-k）?

6、過定點直線系

過已知點Pl%,%）的直線系方程y一%=%（%一毛）（左為參數(shù)）.

7、斜率為定值直線系

斜率為k的直線系方程y=履+Z?（b是參數(shù)）.

8、平行直線系

與已知直線Ax+5y+C=0平行的直線系方程AY+3y+4=0（丸為參數(shù)）.

9、垂直直線系

與已知直線Ax+5y+C=0垂直的直線系方程及-Ay+X=O（丸為參數(shù)）.

10、過兩直線交點的直線系

過直線4：4%+4丁+G=o與6：4%+為〉+G=o的交點的直線系方程：

4%+耳＞+。1+/1（4尤+52）+。2）=。（2為參數(shù)）.

必考題型全歸納

題型一：兩直線位置關(guān)系的判定

例1.（2024.高二課時練習）直線2x+y+2=。與依+4、-2=0互相垂直，則這兩條直線的

交點坐標為（）

A.（1,T）B.（0,-2）

C.（-1,0）D.3;]

例2.（2024?江蘇南通?高二江蘇省如皋中學?？奸_學考試）已知過點4（-2,㈤和點8（人4）

的直線為〃，：2X+I，4：x若，，則"?+”的值為（）

4y=-y=—n—n.44

A.-10B.-2

C.0D.8

例3.（2024?浙江溫州?高二樂清市知臨中學?？奸_學考試）設(shè)直線4：尤+23-5=0,

l2'.（3a—l^x—ay—2=0,貝|q=］是《_L的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

變式1.（2024?廣東東莞?高三校考階段練習）直線4：〃吠+2y+2=0與直線4：

刀+（相一1）、=0平行，貝°加=（）

A.-1或2B.2C.-1D.-2

變式2.（2024?全國?高三專題練習）已知直線ax+2y+l=0,l2.

（3-a）x-y+a=0,則條件“a=l”是小的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不必要也不充分條件

變式3.（2024.黑龍江牡丹江.牡丹江一中?？既＃┮阎本€

ll:x+y=0,l2:ax+by+1^0,若上口,貝1］。+6=（）

A.-1B.0C.1D.2

變式4.（2024?全國?高三專題練習）已知A（一l,2),B(l,3),C(0,—2),點。使A。，

BC,AB//CD,則點。的坐標為（）

變式5.（2024.甘肅隴南.高三統(tǒng)考期中）已知AASC的頂點3（2,1）,C（-6,3）,其垂心為

H（-3,2）,則其頂點A的坐標為

A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)

變式6.（2024?全國?高三專題練習）直線4：x+（l+a）y=l-a（aeR）,直線=

下列說法正確的是（）

A.3aGR,使得4〃4B.BaeR,使得乙工乙

C.VaeR,4與'都相交D.3aeR,使得原點到人的距離為3

變式7.（2024.全國?高三對口高考）設(shè).也c分別為“LBC中ZA,NB,NC所對邊的邊長，則

直線sinA-x+ay+c=0與直線6x-sinB-y+sinC=0的位置關(guān)系是（）

A.相交但不垂直B.垂直C.平行D.重合

【解題方法總結(jié)】

判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般

地，設(shè)/]：4x+4y+G=0（4,4不全為0）,12：A,x+B2y+C2=0（4也不全為0）,則：

當4名-4旦片0時，直線44相交；

當時，44直線平行或重合，代回檢驗；

當44-4息=。時，4,直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶.

題型二：兩直線的交點與距離問題

例4.（2024?全國?高三專題練習）若直線=與直線2x+3y-6=0的交點位于第

一象限，則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

例5.（2024?上海浦東新?華師大二附中?？既＃┮阎龡l直線4：尤-2，+2=0,

/2%-2=0,右：尤+6=。將平面分為六個部分，則滿足條件的女的值共有（）

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

例6.（2024.全國?高三專題練習）若三條直線4：4x+y=34：7ur+y=04：x-7"；y=2不能圍

成三角形，則實數(shù)加的取值最多有（）

A.2個B.3個

C.4個D.6個

變式8.（2024?江蘇宿遷.高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）若點P（x,y）在直線

2x+y-5=0上，。是原點，則。尸的最小值為（）

A.2也B.2C.y/5D.4

變式9.（2024.吉林長春.高二東北師大附中校考期中）已知點尸（4,兀）在直線

3x-4y-10=0上，則J元0?+%2的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

變式10.（2024.高二課時練習）已知點尸（。,2）、A（-2,-3）、3（1,1）,且附=網(wǎng),則

a=.

變式11.（2024?全國?高二專題練習）已知點M（x,T）與點N（2,3）間的距離為7近,則

x=.

變式12.（2024?全國?高二課堂例題）已知點4（2,1）,8（3,4）,C（-2,-l）,則"RC的面

積為.

變式13.（2024?江蘇淮安?高二統(tǒng)考期中）已知平面上點尸（3,3）和直線/：2丁+3=0,點2到

直線/的距離為d,則4=—.

變式14.（2024.黑龍江哈爾濱.高三哈爾濱七十三中?？计谥校c（O,T）到直線y=%（x+2）

的距離的最大值是.

變式15.（2024.高二課時練習）過直線小龍-2y+3=。與直線4：2了+3丫-8=0的交點，且

到點P（0,4）的距離為1的直線/的方程為.

變式16.（2024.江西新余.高二?？奸_學考試）若點P（3,l）到直線/：3x+4y+a=0（a>0）的

距離為3,貝!］。=.

變式17.（2024?全國?高三專題練習）點（0,0）,（3,4）到直線/的距離分別為1和4,寫出一

個滿足條件的直線/的方程：.

變式18.（2024?浙江溫州?高二樂清市知臨中學校考開學考試）若兩條直線4：x+2y-6=。

與4：x+Q-5=0平行，則乙與4間的距離是.

變式19.（2024?江蘇宿遷?高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）平行直線

4:3x-4y+6=0與&:6x-8y+9=0之間的距離為.

變式20.（2024?新疆?高二校聯(lián)考期末）己知不過原點的直線4與直線/2：%->+及=0平

行，且直線4與'的距離為1,則直線4的一般式方程為.

【解題方法總結(jié)】

兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距

離公式的結(jié)構(gòu).

題型三：有關(guān)距離的最值問題

例7.（2024?北京?高三強基計劃）J（x-9）2+4+d+三+g-3）+9的最小值所屬區(qū)間

為（）

A.[10,11]B.(11,12]

C.(12,13]D.前三個答案都不對

例8.（2024?全國?高三專題練習）已知實數(shù)和尤2,%%，滿足d+y；=4,x^+yl=9,

XiN+%%=。，則歸+乂一9|+上+%-9|的最小值是

例9.（2024?全國?高三專題練習）如圖，平面上兩點尸（0』）,Q（3,6）,在直線y=x上取兩點

M,N使|MN|=0,且使1PMl+|"M+|NQ|的值取最小，則N的坐標為.

變式21.（2024.全國?高二專題練習）已知點尸,。分別在直線4：x+y+2=。與直線

小尤+y-1=0上,且尸?？?，點4（一3,-3）,8（3,0）,則|蝴+|「。|+|明的最小值

為.

變式22.（2024.全國?高二課堂例題）已知直線/："+y+2-左=0過定點跖點尸（x,y）在

直線2x-y+l=0上，則伽研的最小值是（）

A.5B.75C.述D.旦

55

變式23.（2024?全國?高三專題練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂

分家萬事休.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：

1（x-a）2+（y-b）2可以轉(zhuǎn)化為點到點b）的距離，則,+]+&_以+8的最小值

為（）.

A.3B.25/2+1C.273D.V13

變式24.（2024?貴州?校聯(lián)考模擬預測）已知尤,yeR+,滿足2x+y=2,則x+Jf+y'的

最小值為（）

A.-B.-C.1D.^2^1

553

變式25.（2024?江西?高三校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點A（0,-2）,

點5（l,0）,P為直線2x-4y+3=0上一動點，則|到+|咫的最小值是（）

A.75B.4C.5D.6

變式26.（2024?高二課時練習）已知點4（1,3）,8（5,-2）,點尸在x軸上使|轉(zhuǎn)|-|明最大,

求點P的坐標.

變式27.（2024?天津和平?高二天津市匯文中學?？茧A段練習）在直線/：3x-y-1=0上求

一點P,使得：

（1）P到A（4,l）和5（0,4）的距離之差最大；

⑵尸到A（4,l）和C（3,4）的距離之和最小.

變式28.（2024.全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃x）=aln（x+l）+l（awR）的圖象恒過定點

A,圓O:Y+y2=4上的兩點尸（西,弘），。（吃,%）滿足西=九短（4€1t）,貝!!

|2芯+%+7|+|2當+%+7]的最小值為（）

A.2A/5B.7+5

C.15-75D.30-2行

變式29.（2024?江西?高三校聯(lián)考開學考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之

和最小的點.當三角形三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所

在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120。.根據(jù)以上性質(zhì)，.則

」（x,y）=J（x—2若＞+/+J（x+]_括）2+（y_]+逝）2+{/+（1_2）2的最小值為（）

A.4B.2+2指C.3+2括D.4+2出

變式30.（2024?全國?高三專題練習）已知x+y=0,則

-Jx2+y2-2x-2y+2+^（x-2）2+y2的最小值為（）

A.小B.2忘C.710D.2A/5

變式31.（2024?陜西西安.高二西安市鐵一中學?？计谀┰O(shè)〃zeR,過定點A的動直線

x+沖=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x,y）,則\PA\?戶目的最大值是

（）

A.75B.710C.5D.10

變式32.（2024?全國?高二專題練習）過定點A的動直線》+分=。和過定點8的動直線

爪一了一24+1=0交于點貝1]|八例+|八得的最大值是（）

A.2也B.3C.V10D.V15

【解題方法總結(jié)】

數(shù)學結(jié)合，利用距離的幾何意義進行轉(zhuǎn)化.

題型四：點點對稱

例10.（2024.全國?高三專題練習）已知A（a,6）,3（-2,6）,點P（2,3）是線段A3的中點，

則a+b=.

例11.（2024?江蘇南通?高二統(tǒng)考期中）已知點A在x軸上，點8在>軸上，線段AB的中

點M的坐標為（2,-1）,則線段的長度為.

例12.（2024?高二課時練習）設(shè)點A在x軸上，點8在y軸上，A3的中點是P（2,-l）,則

|AB|等于

變式33.（2024?高一課時練習）已知直線1與直線4：y=l及直線4：x+y-7=0分別交于

點P，Q.若PQ的中點為點加（1,-1）,則直線1的斜率為一.

【解題方法總結(jié)】

求點關(guān)于點M（x0,y0）中心對稱的點尸,（尤2，%），由中點坐標公式得

fx2=2x0-玉

1%=2%-%

題型五：點線對稱

例13.（2024.湖南長沙?高一周南中學?？奸_學考試）如下圖，一次函數(shù)、=尤+4的圖象與

x軸，丁軸分別交于點A,3,點C（-2,0）是x軸上一點，點E,尸分別為直線^=尤+4和

》軸上的兩個動點，當△CEF周長最小時，點E,P的坐標分別為（）

A.b(0,2)B.￡(-2,2),F(0,2)

F

c-mH)d-3),m，I)

例14.(2024?全國?高二專題練習)若直線/1：'-2=(%-1卜和直線/2關(guān)于直線＞=工+1對

稱，則直線4恒過定點()

A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)

例15.(2。24全國?高二假期作業(yè))拋物線y=+2的焦點關(guān)于直線—=°的對稱點

的坐標是()

A.(2,-1)B.(1,—1)

變式34.(2024?江西?高二校聯(lián)考開學考試)如圖，一束光線從4(3,4)出發(fā)，經(jīng)過坐標軸反

射兩次經(jīng)過點。(6,2),則總路徑長即|AB|+忸C|+|CD|總長為(

C.3舊D.V85

變式35.(2024?四川遂寧.高二統(tǒng)考期末)已知點A與點2(2,1)關(guān)于直線x+y+2=0對稱，

則點A的坐標為()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(-3T)D.?-3)

變式36.(2024?湖北?高二校聯(lián)考階段練習)在等腰直角三角形ABC中，M=AC=3,點

尸是邊上異于43的一點，光線從點尸出發(fā)，經(jīng)BC、C4反射后又回到點尸，如圖，若

光線QH經(jīng)過AABC的重心，貝|JAP=（）

33

A.—B.—C.1D.2

24

【解題方法總結(jié)】

求點尸（為,%）關(guān)于直線對稱的點P'5,y2）

方法一：（一中一垂），即線段PP的中點M在對稱軸上，若直線尸產(chǎn)的斜率存在，則

直線PP'的斜率與對稱軸10的斜率之積為一1,兩個條件建立方程組解得點尸’（々,必）

方法二：先求經(jīng)過點尸（為,為）且垂直于對稱軸的直線（法線）i0,然后由

得線段PP的中點M（x0,%）,從而得（三一2%一百

1%=2%-%

題型六：線點對稱

例16.（2024?高二課時練習）直線/：2“3丫+1=0關(guān)于點4（-1,-2）對稱的直線『的方程

為.

例17.（2024.全國?高二專題練習）直線2%-丁+3=0關(guān)于點4（5,3）的對稱直線方程

是.

例18.（2024.河北廊坊?高三?？茧A段練習）與直線/：2尤-3丫+1=0關(guān)于點（4,5）對稱的直

線的方程為.

變式37.（2024?全國?高三專題練習）直線依+y+3a-l=0恒過定點股，則直線

2x+3y-6=0關(guān)于/點對稱的直線方程為.

變式38.（2024?遼寧營口.高三統(tǒng)考期末）若直線4：、=履+4與直線6關(guān)于點”（1,2）對

稱，則當人經(jīng)過點N（0「l）時，點M到直線6的距離為.

變式39.（2024?全國?高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，將直線/沿x軸正方向平

移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線〃.再將直線〃沿x軸正方向

平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線/重合.若直線/與直線//

關(guān)于點（2,3）對稱，則直線/的方程是.

【解題方法總結(jié)】

求直線I關(guān)于點M（x0,%）中心對稱的直線r

求解方法是：在已知直線/上取一點尸（%,%）關(guān)于點加（%,%）中心對稱得尸'（%,%），再

利用////,,由點斜式方程求得直線/'的方程（或者由////,,且點M（x（）,%）到直線/及/'的

距離相等來求解）.

題型七：線線對稱

例19.（2024.全國?高三專題練習）已知直線4：x-y+3=O,直線/：x-y-l=0,若直線4

關(guān)于直線I的對稱直線為k，則直線4的方程為.

例20.（2024?全國?高三專題練習）若動點A,2分別在直線"：龍+>-7=0和以x+j-5

=0上移動，則的中點M到原點的距離的最小值為（）

A.3&B.2&C.3cD.472

例21.（2024?全國?高三專題練習）直線龍一2y-1=0關(guān)于直線y-尤=0對稱的直線方程是

（）

A.2x-y+l=0B.2%+）—1=。

C.2x+y+l=0D.%+2y+l=0

變式40.（2024?全國?高三專題練習）設(shè)直線4：1—2y—2=0與4關(guān)于直線，：2x—y—4=。對

稱，則直線乙的方程是（）

A.llx+2y-22=0B.11工+,+22=0

C.5x+y-ll=0D.10x+y-22=0

變式41.（2024?全國?高三專題練習）直線分+by+c=O關(guān)于直線y=。對稱的直線為

（）

A.ax-by+c=QB.bx-ay-\-c=QC.bx+ay+c=0D.bx+ay-c=0

變式42.（2024?全國?高三專題練習）如果直線丁=分+2與直線y=3x-b關(guān)于直線y=x對

稱，那么（）

A.a=-,b=6B.a=—,b=—6C.a=3,b=—2D.a=3,b=6

33

變式43.（2024?全國?高三專題練習）求直線x+2y—l=0關(guān)于直線x+2y+l=0對稱的直

線方程（）

A.x+2y—3=0B.x+2y+3=0

C.x+2y~2=0D.x+2y+2=0

變式44.（2024?全國?高三專題練習）若兩條平行直線4：*-2、+m=0（根＞0）與/2：

2x+〃y-6=。之間的距離是2石，則直線4關(guān)于直線4對稱的直線方程為（