2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：立體幾何解答題（解析版）

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

第56講立體幾何解答題

必考題型全歸納

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

例1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知正四棱臺(tái)4的體積為生也，其中

3

AB=2AlB1=4.

⑴求側(cè)棱44]與底面48co所成的角；

（2）在線段eq上是否存在一點(diǎn)尸，使得若存在請(qǐng)確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【解析】（1）依題意，在正四棱臺(tái)48co-45cA中，*3=244=4,

所以上底面積耳=2x2=4,下底面積$2=4x4=16,

設(shè)正四棱臺(tái)的高為〃，則;（4+"1?+16）〃=與2"=/.

連接NC，4C],貝l]/C=4收，4G=2a,

所以山=產(chǎn)j+/=中,

=2

設(shè)側(cè)棱AA.與底面ABCD所成的角為6,貝Usin。=與=（,

AAX2

由于線面角e的取值范圍是Jo,』，所以e

L2」4

（2）連接3。,呂A，設(shè)正四棱臺(tái)上下底面的中心分別為。1，。，

以。為原點(diǎn)，OA,OB,OO,分別為無,7,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

4（0,0,行）,。（0,-20,0）,5（0,2行,0）,

設(shè)線段CG上存在一點(diǎn)P,滿足于=4束（04彳41）,

1

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G(-V2,0,V2),C(2V2,0,0),QC=(372,0,-72),

QF=(3722,0,-722),

貝I］麗=西+于=(-V2,-2A/2,V2)+(3V2A,0,-V22)=(3V22-V2,-2A/2,叵-V2A),

1^=(-V2,-2V2,-V2),

若AP_L4。，則麗?麗=0，

即-V2(3V2^,-V2)+8-V2(V2-V22)=0,

解得2=2,舍去，

所以在線段eq上不存在一點(diǎn)p,使得8尸，4。.

例2.(2024?全國"高三專題練習(xí))在三棱臺(tái)/BC-DE尸中，G為/C中點(diǎn)，AC=2DF,

B

(1)求證：3。1平面?！?；

7T

(2)若4B=BC=2,CF1AB,平面E尸G與平面/CEO所成二面角大小為§,求三棱錐

后-。尸6的體積.

【解析】(1)在三棱臺(tái)N3C-DE尸中，G為NC中點(diǎn)，則ZC=2GC,

又AC=2DF,:.GC=DF,

■：AC!IDF,四邊形GCFD為平行四邊形，.?.DG〃C尸，

又BCLCF,BC1DG,

2

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DEHAB,AB1BC,BCYDE,

■.■DEC\DG=D,D￡,DGu平面DEG,..BC，平面DEG.

(2)???CF1AB,DGIICF,DGLAB,

又DGLBC,ABcBC=B,AB,BCc^ABC,r.DG_L平面NBC,

連接BG,;AB=BC=2,ABIBC,G為/C中點(diǎn)，:.GBYAC-,

以｛怎，品,&｝為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系G-平，

則G（0,0,0）,5（亞,0,0）,4（0,-衣0}C（0,衣0）,

設(shè)DG=C77=加（加>0）,則￡）（0,0,加），尸（0,血,,

.?立=歷+瓦=&+；益=（0,0〃卜倉60'，GF=（0,V2,m）,

設(shè)平面K/G的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

--^77：V2A/2

n-(JE=----x-\------y+mz=

則22令z=—0，解得：>=加，、=冽，

n?GF=+mz=0

又平面ZCF。的一個(gè)法向量能=（1,0,0）,

I/——\I|加,川m1

cos（九〃）=?一?|_|=~不=不，解得：m=l,即Z）G=1,

?\Z|\m\'\n\J2/+22

???。6_1平面力5。，平面4BC7/平面。￡尸，，。6_1平面?！晔?，

嚷回=%-兩=JSAOM?OG=；x；xlxlxl=；.

55Zo

例3.（2024?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱臺(tái)

4BCD—44GA中，4B=2A、BT，44=6,M,N為棱4G，G2的中點(diǎn)，棱45上存

3

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在一點(diǎn)E,使得4￡〃平面BAWD.

(2)當(dāng)正四棱臺(tái)/3CD-44的體積最大時(shí)，求3月與平面的必⑦所成角的正弦值.

【解析】(1)作BF〃&E交4B于F,再作尸G/BC交AD于G,連接MG.

因?yàn)?E〃平面BAWD,所以耳尸〃平面3MM).

又平面B]FGMc平面8ACVO=MG,所以用尸〃MG.

又因?yàn)槭珿〃3C〃耳G，所以四邊形gFG"是平行四邊形，

所以尸G==；4Q=；，即產(chǎn)為棱的四等分點(diǎn)，

AJ71

故￡也為棱的四等分點(diǎn)，所以差=：.

AB4

(2)由(1)易知G為助的四等分點(diǎn)，所以點(diǎn)用在點(diǎn)G的正上方，

所以4G,底面48co.

設(shè)Z8=24耳=4x,則==所以民G=「3-2x2,

所以該四棱臺(tái)的體積r=；(16/+V16X2-4X2+4X2)A/3-2X2=yx2V3-2x2,

222

工皿7842，八-2、784(x+x+3-2x^

而片=—x2-X2-(3-2x2j<—1---------------------.

當(dāng)且僅當(dāng)f=3一2/,即x=l時(shí)取等號(hào)，此時(shí)42=4,4耳=2.

以G為原點(diǎn)，GF,2。分別為x軸、z軸，

過G平行于AB的直線為J軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4

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則G(0,0,0),4(0,0,1),,5(1,1,0),尸(1,0,0),

所以G5=(l,l,0),GM=K^=(-1,0,1),函

設(shè)平面3MND的法向量為”=(x,y,z),

CBn=0,

尤+y=o,人,則％=(1,7,1).

由—.得T+Z=0令X"

GM-n=0,

設(shè)AB】與平面3M所成角為6,

./-----X\n-BB\11

則sin。=(cos?,BBj=,——-r=耳=—,

'/忖.網(wǎng)|J3xj33

故BBX與平面BMND所成角的正弦值為1.

變式1.(2024?湖北黃岡?滴水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱臺(tái)43Gd3C中,

44=2,AB=AC=4,N4=CG=右，BB、=3,ZBAC=^.

(1)證明：平面平面48C；

(2)設(shè)。是8C的中點(diǎn)，求平面AtACQ與平面AXAD夾角的余弦值.

【解析】(1)證明：

5

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在梯形44381中，取N5的中點(diǎn)E,連接呂E,

因4月=2,AB=AC=4

故AXBX=AE,四邊形//E且是平行四邊形，

/.B\E=AA、=卮

EB=-AB=2,BB.=3

2

所以BF+EB=BB；,

7T

.\ZBEB.=-,即

2

因與E//Z4，所以氏4_L44],

jr

又因/A4C=-,所以胡，4C,

2

又因441C1/C=/,所以平面//eq,

因A4u平面ABC,

所以平面4/CG，平面/BC；

(2)取/C的中點(diǎn)O,4G的中點(diǎn)尸，連接OD,OF,則Q9//48,

因4B14C,所以O(shè)Z)_LNC,

由條件知：四邊形//CG是等腰梯形，所以。尸，/C,

平面//eqc平面ABC=AC

。尸u平面N/CG,

平面4/CG，平面4BC

6

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，。尸_L平面N8C,

分別以。4,OD,OF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

2

則在等腰梯形//CG中，由平面幾何知識(shí)可得：OF=A/5-(2-1)=2,

.?.4(2,0,0),Z)(0,2,0),4(1,0,2),AD=(-2,2,0),怒=(-1,0,2)

r

設(shè)平面44D的法向量4=(x,y,z),

—2x+2y—0

則由＜

/HAD—x+2z—0

令x=2,得y=2,z=l,

所以*=（2,2,1）,

又平面4/CG的法向量丘=(0,1,0),

設(shè)平面44cq與平面4AD的夾角為6,

c2x12

貝Ucos8="；-j—j—r=/二=—.

|A|-|V|722+22+12X13

變式2.(2024?安徽?高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，圓錐尸O的高為3,4B是底

面圓。的直徑，四邊形48co是底面圓。的內(nèi)接等腰梯形，且/B=2CD=2,點(diǎn)、E是母線PB

上一動(dòng)點(diǎn).

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(1)證明：平面NCE_L平面P。。；

(2)若二面角/-EC-8的余弦值為:號(hào)，求三棱錐/-EC。的體積.

【解析】(1)連接OC,由題意知四邊形NOC。為菱形，故

因?yàn)槭琌/平面48cD,ZCu平面/BCD,

所以R9_L/C,

因?yàn)槭琌nO0=O,尸0,0。＜=平面尸0。，所以/C_L平面尸。0,又/Cu平面/CE,

故平面ACE1平面POD；

(2)以。為原點(diǎn)，的中垂線為無軸，05為V軸，。尸為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則/(0,-1,0),5(0,1,0),60,0,3),C^,-,oj,

設(shè)玩二痂,顯然4=1不合題意，則力?0,1),則￡(0",3-3勾，

—rVs1「百3)—廣百1)

122JI22JI22J

設(shè)平面CBE的法向量為m=(x,y,z),

_FD6,[八

m?CB=---xH——y=0

22

則

m-CE=-~~~x+—+(3-32,二0

號(hào)y=V3，得x=1z=—,則成=i,"J

3I3J

設(shè)平面NEC的法向量為方=(a,b,c)

1+A,-

令a=A/3，b—yc=-----貝nljn=

3-32

V31+A

It.I麗?司33-32=警，解得幾=；或3,

從而cos6=_L

同“I/+1,+1+X7乜

因?yàn)?e[0,l),故2=1

8

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此時(shí)二面角/-EC-8的余弦值為?滿足題意.

130

從而限ECD=腺TCO=；g/CD4POX-lXlXlX曰［X3g

333223o

變式3.（2024?云南?云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，/,B為底面圓O

上兩點(diǎn)，ZAOB=—,E為PB中點(diǎn),點(diǎn)尸在線段上，且N尸=2所.

（1）證明：平面/OP_L平面OE尸；

Q）若OP=AB,求直線NP與平面尸所成角的正弦值.

【解析】（1）設(shè)圓。的半徑為r,

在—OB中，OA=OB=r,Z.AOB=,Z.OAB=—,

36

故AB=Cr,又AF=2FB,故/b=冬色1,

3

在“OF中，由余弦定理得OF。=OA2+AF2-2OA?AF?cosZOAF=-OA2=-r2,

33

所以。/2+o尸2=z尸2,即。/，。尸；

圓錐中，尸。，底面。。，。尸u底面OO,故尸OLOF,

又OAcOP=O,所以。尸，平面/OP,

又。尸u平面OEF,所以平面/。尸，平面OEF.

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(2)以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

不妨設(shè)04=6，貝(10P=/2=6。/=3,OF=—OA=\,

3

(h3、</T3Q>I

則/(>/§,0,0),尸(0,0,3),B——,—,0,E------,川(0,1,0),

I22JI442J

一rKT；(633、一

AP=0,3),OE=—?—?—,OF=(0,1,0)?

I44

設(shè)平面?！陱S的一個(gè)法向量為力二(%，6z),

'一立，

有｛n-O一E=0，即｛4x+34v+?2~=0，解得為=(2百「,0,1),

n-OF=0n

變式4.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考三模)如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，四

邊形48cp是圓。的內(nèi)接四邊形，8。為底面圓的直徑，W在母線PB上，且

(1)求證：平面ZMC1平面A8CD；

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(2)設(shè)點(diǎn)E為線段P。上動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面所成角的正弦值的最大值.

【解析】(1)如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)、N,連接〃N,OC,CU,

由已知可得OC=OA=2,又AB=BC=2,

所以四邊形45。。為菱形，所以

,:BM=2,BD=4,MD=25

?1?BM2+MD2=BD2，,NBMD=-，

jjr

cosZMBD=~,又所以NAffiZ)=—,

23

因?yàn)镹為。5的中點(diǎn)，5N=1,BM=2.

由余弦定理可得MN=7w2+BM2-2BN-BMcosZMBN=，

BM2=BN2+MN2,所以MNJLBN,即

又/C,AGVu平面4WC,ACcMN=N,3。工平面/MC.

又BOu平面48CD,平面ZMC1平面48CD.

(2)由已知尸平面4BCD,ZCu平面4BCD,所以尸OL/C,

又AC工BD,BDcPO=P,尸Ou平面尸3D,

/C_L平面PAD,

又ACVu平面尸8。，/.MNLAC.

由(1)知MN1BD,ACcBD=N,NC,8Z)u平面43cD,

所以ACV_L平面4BCD,

/.PO//MN,又點(diǎn)N為80的中點(diǎn)，

所以P0=2MN=2也.

以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，板,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間

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則/（百,0,0）,￡>（0,3,0）,5（0,-1,0）,Af（0,0,73）,C（-V3,0,0）,0（0,1,0）,

設(shè)￡（0,1,7）（0W2百），貝I」匠=（e,1"）,

/.25=（-73,3,0）,屈=卜百,0月），

設(shè)平面4WD的法向量為〃=（x,y,z）,

AD-n=0-A/3X+3y=0

則令y=l,貝Ijx=百,z=百，

AM-n=0—y/3x+s/3z=0

所以〃=（百,1,6）為平面/MD的一個(gè)法向量.

設(shè)直線CE與平面所成的角為

____,\n-CE\怖+4

V7卜產(chǎn)+16+8底―V7[?4+8"

則sin6=cos（n,CE）\=」?=—L-r==~TV-+4-V\+t2+4

11\n\-\CE\V7X^2+4

構(gòu)建=二吁（0<t<273），

當(dāng)時(shí)，r（o>o,函數(shù)/?）在［0,。）上單調(diào)遞增,

當(dāng)君<M2石時(shí),廣⑺<0,函數(shù)/⑴在小,2百8上單調(diào)遞減,

.?"=6時(shí)，/⑺取到最大值4.

此時(shí)，sin。取到最大值1.

另由［（百,1,6），赤=（百,1,7）知，

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當(dāng)/=百時(shí)，n//CE，此時(shí)近_L平面/MD,

設(shè)直線CE與平面/MD所成的角為。，因?yàn)?。4。490。，

當(dāng)f=G時(shí)，sin。取到最大值1.

變式5.(2024?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，線段44是圓柱0a的母線，是圓柱

下底面。。的內(nèi)接正三角形，AA^AB=3.

(1)劣弧前上是否存在點(diǎn)。，使得平面448?若存在，求出劣弧防的長度；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

(2)求平面CBO,和平面BAAX所成角的正弦值.

【解析】(1)如圖過點(diǎn)。作的平行線交劣弧前于點(diǎn)D,

連接OQ,OXD,因?yàn)?。Q///4，441U平面平面//田，

則OQ//平面AA.B,同理可證OD//平面AAtB,

OO^OD^O,且OQu平面OOQ,ODu平面OOQ,所以平面44d//平面OO/,

又因?yàn)镺Qu平面OOQ,所以QD〃平面448

故存在點(diǎn)D滿足題意.

TTTT

因?yàn)?45c為底面。。的內(nèi)接正三角形，所以NA4C=—,即=

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3

又因?yàn)?8=3,所以。。的半徑為0.71

2sin—

3

兀

所以劣弧曲的長度為上x27tx6=也；

2716

(2)如圖取8C的中點(diǎn)為連接小，以八四為x軸，為y軸，過M作。。/平行線

又因?yàn)?41=/3=3,設(shè)N5中點(diǎn)為N.

故”(0,0,0),B\—,0,0j,A0,---,0，cf--,0,0o]o,冽,噌孚0

{2)[2)

一「361

易知ON,平面44#,所以平面的法向量ON=-,^-,0

設(shè)平面CBOX的法向量為n=(x,y/),

^-y+3z=0,

又因?yàn)楦?10,：,3,W=Q,0,0n-MO,=Q,

故＜一即《

n-MB=0,3

-x=0,

[2

令y=2百得為=(0,2后_1)

3

nON2V39

所以平面CBO和平面BAA1夾角的余弦值為|-==-7T—=?

X卜膽M"*屈13

4

故平面CBO|和平面切4夾角的正弦值為晅.

13

題型二：立體幾何存在性問題

例4.(2024?全國?高三對(duì)口高考)如圖，如圖1,在直角梯形48co中,

ZABC=ZDAB=90°,ZCAB=30°,BC=2,AD=4.把Z\DAC沿對(duì)角線AC折起到APAC的

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位置，如圖2所示，使得點(diǎn)尸在平面上的正投影〃恰好落在線段/C上，連接P8,點(diǎn)

圖1圖2

(1)求證：平面跖H//平面「5C；

(2)求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；

⑶在棱尸/上是否存在一點(diǎn)使得M到點(diǎn)尸,4下四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)在“3C中，ZABC=90°,ZCAB=30°,BC=2,所以NC=4

在△4PC中，NPAC=60°,NC=4P=4,所以△/PC為等邊三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)尸在平面/3C上的正投影"恰好落在線段/C上，

所以P//1平面N8C,又/Cu平面/8C,

所以尸所以H為線段/C的中點(diǎn)，

又點(diǎn)￡,b分別為線段上4,48的中點(diǎn)，

所以EH〃PC,EF〃PB,

由EFHPB,防(2平面尸3。，尸8u平面尸5C,所以￡尸〃平面尸5C,

由EHHPC,EH0平面PBC,PCu平面P3C,所以EH7/平面尸8C,

由EH,EFu平面EFH,EHIEF=E,

所以平面EFH//平面PBC；

(2)在平面48c內(nèi)過77作/C的垂線

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

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因?yàn)榫W(wǎng)0,-1,6），HE=（0,-l,^

設(shè)平面尸的法向量為與=（x,y,z）

因?yàn)辂?（百,1,0）,而=（0,0,2月）,

所以有瓦?為=0,麗?為=0,

令x=5貝”=-3,z=0,

所以元=（亞-3,0）為平面尸;仍的一個(gè)法向量，

￡配3_>/3

cos(n,HE

同聞2x2百4

所以直線族與平面句仍所成角的正弦值為"；

4

（3）存在，點(diǎn)M為線段P/的中點(diǎn)E,理由如下：

因?yàn)樵谥苯侨切问校珽H=PE=EA=-PA=2,

2

在直角三角形尸？汨中，PB=4,

又EF=LpB=2

2

所以點(diǎn)E到四個(gè)點(diǎn)尸4尸的距離相等，

所以點(diǎn)E為所找的點(diǎn)，即線段燈的中點(diǎn)E為所求.

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例5.(2024?上海長寧?上海市延安中學(xué)?？既?已知和V4DE所在的平面互相垂直,

ADYAE,AB=2,AC=4,NB4c=12?！?。是線段8C的中點(diǎn)，AD=6

(1)求證：ADLBE；

(2)設(shè)NE=2,在線段/E上是否存在點(diǎn)尸(異于點(diǎn)A),使得二面角b-C的大小為45。.

【解析】(1)BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cosl2(f=4+16+8=28,故8c=25，

BD=y/l，則=/笈+,故

又AD，4E,/￡,48u平面/BE,AEcAB=A,故4D_L平面/BE,

BEU平面ABE,故NO_LBE,

(2)△/3C和△所在的平面互相垂直，則平面平面4DE=4D,

4D1/E且/Eu平面4DE,故NE_L平面/BC,

如圖所示：以分別為尤//軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,5（2,0,0）,C（-2,273,0）,設(shè)尸（0,0,a）,ae（0,2],

平面48戶的一個(gè)法向量為%=（0,1,0）,

LU、-SC=2A/3v-4x=0

設(shè)平面尸的一個(gè)法向量為“2=2,z,貝I]_____?

n2-BF=—2x+az=0

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,解得a=2G，不滿足題意.

綜上所述：不存在點(diǎn)尸，使二面角尸-C的大小為45。.

例6.（2024?湖南邵陽?邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在“3C中，05=90°,P為AB

邊上一動(dòng)點(diǎn)，PDHBC交.AC千點(diǎn)、D,現(xiàn)將AP/M沿PD翻折至APZM.

（1）證明：平面C2H_L平面P8H；

⑵若PB=CB=2PD=4,且H尸，4P,線段4c上是否存在一點(diǎn)￡（不包括端點(diǎn)），使得

銳二面角￡-助-。的余弦值為血，若存在求出任的值，若不存在請(qǐng)說明理由.

14EC

【解析】（1）因?yàn)镻DHBC,D5=90°,

所以44尸。=90。，所以HP_LED,

所以/'尸，BC,又因?yàn)锽CLBP,

4PCBP=P,4Pu平面P84,BPu平面

所以平面尸84,又BCu平面C3H,

所以平面CBA'l平面PBA'.

（2）因?yàn)镻D"BC,BCLAP,C.PDLAP,

又：Z'尸_L4P,A'P^}PD=P,4尸,尸。匚平面?尸。，

，AP1平面A'PD,

:.P4、PA'、尸。兩兩垂直，以尸點(diǎn)為原點(diǎn)，PZ為X軸，為y軸，為z軸建立空間

直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镻B=CB=2PD=4,PD//BC,

18

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

所以/尸=P8=4.

則。(0,2,0),C(T,4,0),3(-4,0,0),4(0,0,4),

平面BCD的一個(gè)法向量為加=（0,0,1）,

7C=(-4,4,-4),設(shè)/=4酢=(-444/1,-4/1),0<2<1

前=(4,0,4),礪=前+”=(一42+4,44一42+4)

麗=(4,2,0),

設(shè)平面3DE法向量為〃=（x,y,z）,

n-BE=0卜44+4)x+4Ay+(-42+4)z=0

則—,所以

n-BD=0[4x+2y=0

取E,則尸-2,z二子32―-1

1-X

故”二卜,-2得）

為平面的一個(gè)法向量,

3V14

一14

2

解得丸=],符合題意

即碎=2刀?，=2.

3EC

變式6.（2024?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊

形.如圖，四邊形48co為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為。,48=拒,80=^^=2,將沿3。

折到的位置，形成三棱錐/'-BCD.

（1）求B到平面A'OC的距離；

⑵當(dāng)A'C=1時(shí)，在棱A'D上是否存在點(diǎn)P,使得直線BA'與平面POC所成角的正弦值為:？

19

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

若存在，求赤的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

AD

【解析】（1）因?yàn)锳B=C,BD=BC=2,

所以3。不可能為四邊形ABCD的對(duì)稱軸，則/C為四邊形ABCD的對(duì)稱軸，

所以/C垂直平分瓦》所以HOLBRCOLBD.

/0<=平面/'。0。0匚平面4。（7,/'。門。。=O

所以8。1平面HOC.

所以B到平面HOC的距離d=』BZ）=l.

2

（2）存在點(diǎn)尸，使得直線3?與平面尸0c所成角的正弦值為

過。作平面BCD,所以O(shè)D,OE,OC兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)，。。,。區(qū)。。所在直線分別為工軸，了軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

由（1）得平面平面HOC,因?yàn)椤?'=1,OC=VIHC=1

所以H0,三，,

設(shè)〃=2近=,一gz-gx(2e[0,l]),

(2222J

oc=(o,Ao),

r

設(shè)平面POC的法向量〃二(%,%z),

y=0

aoc=o/

一，所以11

n-OP=0Ax+旦巴1+口A,z=0

22J1222

令z=2%,則x=%—1,

20

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

所以平面尸0c的一個(gè)法向量萬=（2-1,0,22）,

設(shè)直線3H與平面尸OC所成角為6,BA'=1,^-,-,

（22）

I—?所萬|12-1+211

11同V2X7（A-1）2+4A24

171A'P1

所以4或％=（,所以存在點(diǎn)尸，使得直線84與平面P。。所成角的正弦值為：￡涓=3

.Dy4力D3

?A'P7

m/-----=——

A'D9'

變式7.（2024?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）斜三棱柱/8C-4片G的各棱長都為

4,ZA,AB=60。，點(diǎn)4在下底面ABC的投影為ZB的中點(diǎn)O.

⑴在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)。使4。，N。？若存在，求出8。的長；若不存在,

請(qǐng)說明理由；

⑵求點(diǎn)到平面的距離.

4BCC}BX

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)4在下底面Z8C的投影為的中點(diǎn)O,故4。，平面/8C，

連接OC,由題意“3C為正三角形，故

以。為原點(diǎn)，OA,OC,。4分別為xj、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

21

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

則/(2,0,0)，4(0,0,2百),C(0,2百,0),8(-2,0,0)心卜4,0,2百),G卜2,2百,26),

設(shè)詼=4函，函=卜2,0,2如)，可得。「2；1-2,0,2楨)，

麗=(-22-2,0,2折-2A/3),JQ=(-4,273,273),

假設(shè)在棱3耳（含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)。使

則Afi1苑，:.4（22+2）+2百（2732-2^3）=0,.\2=1,

14

則BD=-BBX=y；

（2）由（1）知甌=（-2,0,2網(wǎng),前=（2,250）,

設(shè)平面3CG耳的法向量為』=（》,％z）,

萬麗=0)2x+2任=0

則,令x=5則z=l,y=—l,

n-BC=0，"[2x+2^y=Q

則為=（百,-1,1）,

又布十2,0,一2⑹,

則4到平面8CG用的距離為d=兇"=噌=勺叵，

\n\755

即點(diǎn)4到平面BCCd距離為警.

變式8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-48。中，CD_L平面刃。，APAD

為等邊三角形，ADUBC,AD=CD=2BC=2,平面網(wǎng)。交平面以。直線/,￡、尸分別

為棱PD,P3的中點(diǎn).

（1）求證：BC//I；

⑵求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值;

22

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

(3)在棱尸C上是否存在點(diǎn)G,使得。G〃平面/￡尸？若存在，求拓的值，若不存在，說明

理由.

【解析】(1)因?yàn)?O//3C,4Du平面Ri。，8CO平面HLD，

所以8C//平面尸ND,

又因?yàn)?Cu平面尸8C,平面尸BCc平面尸/。=直線/,

所以8?！?.

(2)取的中點(diǎn)O,連接。尸,。8,

由題意可得：BCHOD,S.BC=OD,

則OBCD為平行四邊形，可得03//CD,

且CD_L平面處D,則O8_L平面為D,

由。尸u平面E4。，則OP_LO8,

又因?yàn)椤鳛椤榈冗吶切?，則。為的中點(diǎn)，可得。尸，ND,

OB^AD=O,。8,/Du平面/BCD,則OP,平面48cD,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。瓦?！阜謩e為x/,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則/(1,0,0),8(0,2,0),。(一1,2,0,4-1,0,0,40,0月，｛—Jo,停｝

—?(3應(yīng)、―?(1)

可得力E=--,0,^-，斯二仁,1,0,

n-AE=--x+—z=0

設(shè)平面4EF的法向量〃=(x,%z),則V22

n-EF=—x+y=0

令x=2,貝IJy=_l,z=2G，即?=

由題意可知：平面口。的法向量浣=(0,1,0),

n-m-1

可得COS為，玩=

|?|-|w|-V17xl-17

所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值叵

17

23

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

設(shè)所=2卮，G（a,b,c）,則尸G=

（-

ci-—Aa-—A

可得6=24,解得6=22,

c—\/3=--\/3Ac=V3（1—A）

即6卜九2/1,百（1一/1））,可得方不=（1-2,2%,由（1一2））,

若DG〃平面/￡/，則力，旃，

可得萬?麗=2（1-4）-22+6（1-2）=0,解得2=1,

.PG4

所以存在點(diǎn)G,使得DG〃平面/ER此時(shí)前=于

變式9.（2024?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐P/BC中，若已知尸

P8L/C,點(diǎn)尸在底面A8C的射影為點(diǎn)〃，則

(1)證明：PCLAB

Q）設(shè)PH=HA=HB=HC=2,則在線段尸C上是否存在一點(diǎn)M,使得血與平面尸48所成

CM

角的余弦值為（4，若存在，設(shè)器=2,求出力的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)尸在底面ABC的射影為點(diǎn)X,

所以尸271平面48C,又48,BC,C4u平面/8C,

24

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

所以PHL4B,PHLBC,PHLCA,

因?yàn)槭?_L3C,PHIBC,PA^PH=P,P4,PHu平面P4H,

所以3cl平面尸/〃，又/Xu平面

所以

因?yàn)镻8_LZC,PHYAC,PBcPH=P,PB,PHu平面PBH,

所以/C_L平面又BHu平面PBH,

所以4C1BH,

因?yàn)锽C_L/H,ACLBH,

所以點(diǎn)H為“6C的垂心，所以CW，48,

因?yàn)镃H_L48,PHLAB,C〃,尸Hu平面PC",CHcPH=H,

所以48工平面尸C〃，又尸Cu平面尸C〃，

所以尸C，4B；

(2)延長交48于點(diǎn)。，由(1)可得CO_L/3,

又HA=HB,所以點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，

所以CZ=C8,同理可得R4=8C,

所以“3C為等邊三角形，又HA=HB=HC=2,所以43=2有，

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以礪，無，而為x，%z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則/卜6,0,0),0,0),P(0,1,2),C(0,3,0),

故加=(26,0,0),萬=(6,1,2),布=卜6,3,0),而=(0,-2,2),

4CM

設(shè)存在點(diǎn)使得與平面0所成角的余弦值為不，且育=%，

貝1］蕭=瑟+亙？=數(shù)+；1屈=(_百,3_2；1,2；1),

設(shè)平面尸45的法向量為］,n=［x,y,z),

n-AB=0|2瓜=0

則一一，所以廠，

n-AP=0[y/3x+y+2z=0

令z=l,可得x=0,y=-2,

所以]=（0,-2,1）為平面PAB的一個(gè)法向量,

25

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

BMn—6+6A

所以cos(8M〃

V12-122+822X^

4TT

設(shè)直線8河與平面尸48所成角為e,則cos0=1,乂ee0,-

3

所以sin嗯故丁卜6+61：

V12-122+8A2x>/55

所以2=g或2=2,又4e[0,l],

所以2=1

所以在線段PC上存在點(diǎn)使得3河與平面我8所成角的余弦值為g,=2=

變式10.(2024?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在四棱錐￡-/BCD中，底面N3CD為矩形,

40=2/5=2,AE4。為等腰直角三角形，平面E4D1平面48CD,G為BC中點(diǎn).

(1)在線段上是否存在點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到平面EGD的距離為迫.若存在，求出。。的值;

2

若不存在，說明理由；

(2)求二面角。-EC-5的正弦值.

【解析】(1)法1：取20中點(diǎn)，記為w，連接EF,FG,DG,

因?yàn)槿送?。為等腰直角三角形，所以即1AD,

?.?平面及4Z)_L平面群。＞,平面EADPI平面=

EFu平面&LD,;.￡/_1平面488,

26

2025高考數(shù)學(xué)必刷題

因?yàn)镹8=l,AD=2,所以EV=；/￡>=1,貝?。軪G=」EF?+FG。=6，

DG^^JCD2+CG2=V2>ED=^DF2+EF2=41'

假設(shè)。存在，由%.EOG=-E-QGD，即］SAEDGGQ—EDG=§^^QGD^E-QGD9

x

又SEDC=-V2xV2xsin60°=^-，所以/=—x^-x^-=—,

△EDG22Q~EDG3224

又^E-QGD=1，

313