2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量的概念及線性運算

第六章平面向量、復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.預(yù)計2025年高考對本節(jié)內(nèi)容的考

2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向查會以線性運算、共線向量定理為

量共線的含義.主，主要以選擇題、填空題的形式

3.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.出現(xiàn)，難度屬中、低檔.

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義表示

向量在平面中，既有大小又有方向的量用Q,b,C,…或協(xié)，病，…表示

向量。的大小，也就是表示向量〃的

向量的模⑷或電1

有向線段M的長度（或稱模）

零向量長度為0的向量用0表示

單位向量長度等于1個單位的向量用e表示，\e\=l

方向相同或相反的非零向量（或稱共

平行向量a//b

線向量）

相等向量長度相等且方向相同的向量a=b

相反向量長度相等，方向相反的向量向量a的相反向量是一〃

說明：零向量的方向是不確定的、任意的.

規(guī)定：零向量與任一向量平行.

2.向量的線性運算

向量運算法則（或幾何意義）運算律

/

交換律：a+b=[oi\b+a；

a

三角形法則

加法結(jié)合律：3+5)+c=|02|〃

a+—+c)

平行四邊形法則

減法。一二=|"5§1。+（一力）

a

幾何意義

M=W\a\,當(dāng)2>0時，加的方向與a的方向畫

如a)=1。71(九)〃；

相同;

數(shù)乘(1+〃)〃=108|癡+〃。；

當(dāng)kO時，〃的方向與a的方向國相反;

A(a+b)=I。91癡+我

當(dāng)2=0時，觴=|06|0

3.向量共線定理

向量a（中0）與B共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)人使得/>=癡.

提醒：當(dāng)。邦時，定理中的實數(shù)2才唯一.

常用

1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點

的向量，即晝2+而孤+笳3+...+A〃—14=福小特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的

向量和為零向量.

2.若F為線段AB的中點，。為平面內(nèi)任意一點，則舁=/次+彷）.

3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點，則成+可+此=0=P為AABC的重心，乖=/壽

+At）.

4.若次K彷+〃虎（九〃為常數(shù)），貝UA,B,C三點共線的充要條件是4+〃=1.

5.對于任意兩個向量a,b,都有||a|一|訓(xùn)〃士加W|a|十|回.

診斷自測

i.概念辨析(正確的打r"，錯誤的打“X”)

(1)同與|臼是否相等，與a,b的方向無關(guān).()

(2)若向量。與分同向，且間＞|臼,則”＞小()

(3)若向量屈與向量劭是共線向量，則A,B,C,。四點在一條直線上.()

(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.()

答案(1W(2)x(3)X(4)4

2.小題熱身

(1)如圖，D,E,尸分別是AABC各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.Ep^cb

B.防與防共線

C.初與仍是相反向量

D.施斗配

答案D

解析Ak='^AC＞故D錯誤.故選D.

(2)(人教B必修第二冊6.2.1例3改編)設(shè)向量a,6不共線，向量；la+Z?與a+25共線，則實

數(shù)2=.

答案2

，P=2，

解析：疆+分與a+2Z＞共線，，存在實數(shù)〃使得%+Z?=〃(a+2A),：.＜1

【〃2,

(3)(人教A必修第二冊6.2例6改編)已知口A8CD的對角線AC和BD交于點O,且次=a,彷

=b,則虎=,就=.(用a,8表示)

答案b——a——a——b

解析如圖，加=魂=成一m=b-a,病=質(zhì)一加=一溫一及=-a—b.

⑷（人教A必修第二冊習(xí)題6.2T10改編）若a,b滿足⑷=3,但|=5,則|。+"的最大值為

，最小值為?

答案82

解析|a+b|W|a|+|Z>|=3+5=8,當(dāng)且僅當(dāng)a,b同向時取等號，所以|a+》|max=8.又|a+b|，||a|

-|*||=|3-5|=2,當(dāng)且僅當(dāng)“，?反向時取等號,所以|a+61min=2.

考點探究——提素養(yǎng)

考點一平面向量的有關(guān)概念

例1（多選）下列命題中的真命題是（）

A.若⑷=|臼，則。=力

B.若A,B,C,。是不共線的四點，貝上屈=讓’是"四邊形ABC。為平行四邊形”的充要條

件

C.若a=l）,b=c,貝!Ja=c

D.a=5的充要條件是⑷=|例且a〃?

答案BC

解析A是假命題，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；B是真命題，,港=

故,.,.|盛|=|比|且協(xié)〃虎，又A,B,C,D是不共線的四點，四邊形ABC。為平行四

邊形；反之，若四邊形A3。為平行四邊形，貝"恭|=|虎|,屈〃反且屈，比方向相同，

因此屈=成；C是真命題，'.'a=b,.'.a,》的長度相等且方向相同，又b=c,：.b,c的長

度相等且方向相同，c的長度相等且方向相同，故“=<;；D是假命題，當(dāng)a〃5且方向

相反時，即使|。|=|臼，也不能得到。=瓦故同=|臼且a〃B不是a=Z>的充要條件，而是必要

不充分條件.故選BC.

【通性通法】

平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點

關(guān)注點一非零向量的平行具有傳遞性

關(guān)注點二共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)

關(guān)注點三向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量

關(guān)注點四言是與。同方向的單位向量

【鞏固遷移】

1.（多選）下列命題正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

C.若e?都為非零向量，則使卷=0成立的條件是a與方反向共線

D.若a〃"b//c,則a〃c

答案BC

解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；由零向量的定義知，零向量的長度

為0,故B正確；因為言與令都是單位向量，所以只有當(dāng)言與奈是相反向量，即“與A反向

Mll"lMl1"1

共線時才成立，故C正確；若6=0,則不共線的a,c也有a〃0,c//0,故。錯誤.

考點二平面向量的線性運算（多考向探究）

考向1平面向量加、減運算的幾何意義

例2設(shè)尸為對角線的交點，。為平面A2C。內(nèi)的任意一點，則溫+彷+歷+歷=

（）

A.OPB.2辦

C.3O>D.40>

答案D

解析由題意知，P為AC,BZ）的中點，所以在AOAC中，源=；（次+乃，即次+求=

2OP,在AOBD中，0p=j（0i+0t）,即彷+而=2海，所以云+仍+虎+防=4海.

故選D.

【通性通法】

1.平面向量的線性運算技巧

(1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三

角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

2.三種運算法則的要點

(1)加法的三角形法則要求“首尾連”，平行四邊形法則要求“共起點”.

(2)減法的三角形法則要求“共起點，連終點，指被減”.

(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算.

【鞏固遷移】

2.(2024?山東青島二中月考)若|屈|=|就|=|命一祀|=2,則|屈+病|=.

答案24

解析因為|屈|=|R|=|沿一At|=2,所以AABC是邊長為2的正三角形，所以電十祀|為

△ABC的邊上的高的2倍，所以|油+6|=2小.

考向2平面向量的線性運算

例3(2022?新高考I卷)在AABC中，點。在邊上，BD=2DA,記國=m，cb=n,則

m=()

A.3m—2nB.-2帆+3〃

C.3加+2〃D.2m-\~3n

答案B

解析ct)=|cA+|cS,即就=-2目+3無)=-2機(jī)+3”.故選B.

【通性通法】

平面向量的線性運算的求解策略

盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,

＜簧略）■選用從同一頂點出發(fā)的向量或首尾相

接的向量

充分利用三角形中位線、相似三角形

點略）對應(yīng)邊成比例等平面幾何性質(zhì)，把未

知向量轉(zhuǎn)化為已知向量

【鞏固遷移】

3.（2023?江蘇南通二模）在平行四邊形A8CQ中，就=；就，善=凝.若屈=加定+〃曲,

則m+n={）

A1B3

A.2D.4

C-6D-3

答案D

解析由題意可得顯=烈+防=9+；加=凝+；（彷+成）=磋

+/（方/才方）=3方方+總方，所以機(jī)=；，"=焉，所以故選D.

考點三向量共線定理的應(yīng)用（多考向探究）

考向1判定向量共線、三點共線

例4設(shè)兩個非零向量a與?不共線.若油=a+b,肉=2a+8"cb=3（a-b）,求證：A,

B,。三點共線.

證明'：A^=a+b,Bt=2a+Sb,cb=3（a~b）,：.Bb=Bt+cb=2a+Sb+3（a-b）=2a+

8%+3a—36=5（a+Z＞）=5屈，；.屈，前共線，又它們有公共點8,/.A,B,。三點共線.

【通性通法】

共線向量定理的三個應(yīng)用

【鞏固遷移】

4.己知產(chǎn)是AABC所在平面內(nèi)的一點，若■=%"+彷，其中九WR,則點尸一定在（）

A.A48C的內(nèi)部B.AC邊所在直線上

C.A8邊所在直線上D.BC邊所在直線上

答案B

解析由越=九成+協(xié)，得費一彷=/i可，c>=M,則辦，可為共線向量，又凈,或有

一個公共點尸，所以C,P,A三點共線，即點尸在AC邊所在直線上.故選B.

考向2利用向量共線定理求參數(shù)

例5若“，8是兩個不共線的向量，已知詞/=“一2'P^=2a+kb,0=3a—b,若M,N,

。三點共線，貝隈=（）

A.-1B.1

3

C.2D.2

答案B

解析由題意知，旗=殖—聞=a—（k+l）b,因為必N,。三點共線，所以存在實數(shù)九

使得腦丸=刀而，即a—25=4“一（左+1）切，解得；.=1,k=l.

【通性通法】

一般通過構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程

（組）即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

【鞏固遷移】

5.如圖，在"BC中，比,￡是8。上一點，若屈屈+何，則實數(shù)4的值為（）

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析由勸=%成，得4t=今」初，因為盛=蔣通十%t,所以屈=蔣話+；左」才力，因

A104Io4X

為E,B,。三點共線，所以共十安=1，解得力=4.故選B.

104Z

課時作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固練

一、單項選擇題

1.若a,》為非零向量，則端=各是％,5共線”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析濟(jì)微分別表示與。，％同方向的單位向量，啟=備則有“，8共線，而a,A共線，

則裾，卷是相等向量或相反向量，所以端=粉是,，》共線”的充分不必要條件.故選B.

2.設(shè)a=（恭+歷）+（就+速），5是一個非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a//bB.a+b—a

C.a+b=bD.\a+b\=\a\+\b\

答案B

解析由題意得，a=（?+&＞）+（灰*+5A）=加+或=0,且B是一個非零向量，所以a〃8

成立，所以A正確；因為〃+8=方，所以B不正確，C正確；因為|〃+臼=|例，\a\+\b\=\b\,

所以|a+"=|a|+忸所以D正確.故選B.

3.已知屈=a+5Z>,Bt=~3a+6b,cb=4a~b,貝i」（）

A.A,B,。三點共線

B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線

D.A,C,。三點共線

答案A

解析由題意得動=/+歷=。+55=屈，又炭)，油有公共點B,所以A,B,D三點共

線.故選A.

4.(2024?安徽銅陵三模)在平行四邊形ABCD中，〃是。邊上的中點，貝U2磁=()

A.碇—2加B.就+2港

C.2就一鼐D.2祀+屈

答案C

解析因為M是平行四邊形ABCD的CD邊上的中點，所以CU=—彌瓦所以屬=祀+CU

=祀一短，所以2M=2就一A1故選C.

5.己知向量a和〃不共線，向量融=a+〃力，Bt^5a+3b,cb^~3a+3b,若A,8,。

三點共線，則m=()

A.3B.2

C.1D.-2

答案A

解析因為A,B,。三點共線，所以存在實數(shù)九使得動=正，應(yīng))=此+歷=2a+6方，

[2=2，

所以2°+65=相+冽乃，所以＜解得m=3.故選A.

[6=mA,

6.矩形ABC。的對角線相交于點。，E為AO的中點，若仍=觀+融僅，〃為實數(shù))，則

下+〃2=()

A￡B1

A.&從4

C.1D.77

lo

答案A

解析Dk=Ak-At)=^At—At)=^Ah+Ab)—At)=^Ah—^Ab,.*.A=^,/z=—.*.A2+//2

195

=m+諱=6故選A-

7.正方形ABC。中，石在。。上且有&=2或，AE與對角線5。交于R則#=（）

A.B.?

C.^Ah+^At）D.^Ab+Ah

答案C

解析如圖，??,在正方形A3CD中，石在CD上且有段=2前，AE與對角線3。交于方，J

?EF1333

DE=^AB,且DE〃AB,.,.△DEFS^BAF,可得赤=?可得4尸=41￡,屈=彳(無方

+防）=孤中+|■屈）=%&+|A力.故選c.

8.（2023?滁州模擬）已知P為AABC所在平面內(nèi)一點，屈+防+反=0,|屈|=|協(xié)|=|反］=2,

則AA8C的面積為（）

A.4B.2小

C.3小D.4小

答案B

解析設(shè)BC的中點為。，AC的中點為M,連接尸。，MD,BM,如圖所示，則有防+此=

2前.由顯+防+反:=0,得屈=—2麗，又。為3c的中點，M為AC的中點，所以篇=一

2向,則團(tuán)=司乙則P,D,M三點共線且。為PM的中點，又。為8C的中點，所以四

邊形CPBM為平行四邊形.又|協(xié)|=|協(xié)|=|瓦?|=2,所以|流1=|即|=2,則|就|=4,且|扁|

=|反1=2,所以AAMB為等邊三角形，ZBAC=60°,貝ISAABC=；><2X4義半=2小.故選B.

二、多項選擇題

9.下列式子中，結(jié)果為零向量的是（）

A.Ah+Bt+cK

B.Ah+Mi+Bb+O^[

c.ok+oh+Bb+cb

D.A^-At+Bb-Cb

答案AD

解析利用向量運算，易知A,D中的式子結(jié)果為零向量.故選AD.

10.點尸是A4BC所在平面內(nèi)一點，且滿足|防一無M4+前一2成=0,則AABC不可能

是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

答案AD

解析因為點尸是AABC所在平面內(nèi)一點，且屈一前I—屈+無一2或1=0,所以I的一1（屋

—成）+（前一成）|=0,即|在|=|屈+送|,所以|初一證|=|祀+屈等式兩邊平方并化簡

得企?顯=0,所以就_L顯，ZBAC=90°,則AABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直

角三角形，不可能是鈍角三角形和等邊三角形.故選AD.

11.（2023?安徽合肥期末）在AABC中，D,E,尸分別是邊BC,CA,的中點，點G為AABC

的重心，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.通一或=0

B.砧=（懣+痔

C.A^+Bt)+ck=0

D.G^+Gh+Gt=O

答案BCD

解析如圖，對于A,防一反'=油+宿=2防運前故A錯誤；對于B,點G為"BC的

重心，則4左=1?才方=京；（電+加）=|■（油+加），故B正確；對于C,#+炭）+費=：（顯+

B?+CA）=O,故C正確；對于D,GA=-2Gb=-2x1（G^+Gt）,故GA+訪+就=0,故

D正確.故選BCD.

三、填空題

12.設(shè)向量〃，）不平行，向量觴+方與〃+2方平行，則實數(shù)2=.

答案2

解析?向量。，8不平行，.??〃+2厚0,又向量Xzz+力與〃+2方平行，則存在唯一的實數(shù)〃，

f%=〃51

使筋+8=〃（〃+2萬）成立，即,+萬=〃0+2獨，貝N解得％=〃=5.

[1=2〃，2

13.已知O,E,尸分別為△A5C的邊3C,CA,A5的中點，且炭1=〃，0=b,給出下列命

題：①A2）=呼一b；②鼠=〃+*；③泛1=—呼+于；④屏斗^^=0.其中正確的命題是

答案②③④

解析前=〃,cX=b,At）=^Ah+^At=^（At+ch）+^Ab=^ch+At=—^a—b,故①錯誤;

乙乙乙乙乙乙

B^=Bt+^cX=a+^b,故②正確；Cp=^ch+ck）=^—a+b）=—^a+^b,故③正確；Ab

+B^+Cp=—b—^a+a+^b+^b—^a=09故④正確.

14.（2024?麗江模擬）在A45C中，點。在線段AC上，且滿足以力|=g|祀點Q為線段

上任意一點，若實數(shù)x,y滿足獨=xA^+yR,則!+:的最小值為.

答案4+2記

解析由題意知，點。滿足勸=!■祀，故獨=施+僦=楊+3以力，由Q,B,。三點

共線，可得x+3y=l,x>0,y>0,貝N+：=C+J)(尤+3y)=4+?+.24+2小，當(dāng)且僅當(dāng)三

Jiy\AyjJiyx

=：,即x=^21'y=3J時等號成立.所以的最小值為4+25.

B級素養(yǎng)提升練

15.如圖，在平行四邊形A3CQ中，融=2巍,#=前，點G為CE與好的交點，則花=

()

A.B.

C.1■然?祀D.得話+,6

答案A

解析由魂=2讖，訃=前,知E,b分別為AB,A0的中點.如圖，設(shè)AC與3產(chǎn)的交點

ApAf7AJ71、1、

為P,易得“PFsacPB,所以正=7^=前=5，所以#=]AC.因為E是AB的中點，所

CrCnALfZJ

以腦磅.由尸，G,2三點共線知，存在相€R,滿足才有=〃舒+(1—m)融=|■〃就+(1—

㈤a1由C,G,E三點共線知，存在w€R,滿足4&=每1+(1—瓊正=%油+(1—w)公，

所以g:加正+(1—加)屈=；〃屈+(1—“)就.又因為才屈為不共線的非零向量，所以

1m=l

1—m

所以才古=|?然+之祀.

解得，

1

3m1—n，n=5

16.(多選X2024?武漢模擬)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這

樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心間的距離是垂心

和重心間的距離之半.這個定理就是著名的歐拉線定理.設(shè)AABC中，點