2025高考數(shù)學二輪復習：導數(shù)與不等式恒成立九大題型-專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學二輪專題-導數(shù)與不等式恒成立九大題型-專項訓練

題型1直接求導型.........................................1

題型2端點賦值法.........................................2

題型3隱零點型...........................................3

題型4分離參數(shù)法.........................................4

題型5分離參數(shù)法-洛必達法則..............................5

題型6構造輔助函數(shù)求參...................................5

題型7絕對值同構求參.....................................6

題型8函數(shù)取“整”型.....................................7

題型9“存在”成立問題....................................8

題型1直接求導型

若了(%)在區(qū)間D上有最值，則

(1)恒成立：VxGD,/(x)>0Q>0；Vx6D,f(x)<0<=>f(x)max<0；

(2)能成立：BxeD,f(x)〉0=/(x)max>0；Sx6D,f(x)<0=/(x)min<0.

若能分離常數(shù)，即將問題轉化為：a>/(%)(或a<f(x)),貝

(1)恒成立:a>f(x)<=>a>/(x)max；a<f(x)<=>a</(x)min；

(2)能成立：a>f(x)Qa>/(x)min；a</(%)=a</'(x)max；

【例題11(2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)f⑺=警，xeD.其中。=(0,1)U(1,+8)

1—X

(1)求函數(shù)f(x)在點處的切線方程；

⑵若g(x)=-2，且VxeD,fO)2g(久)恒成立，求a的取值范圍.

【變式1-1]1.(2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習)已知函婁好㈤=21nx-|mx2+l(mGR).

.

⑴當血=lBf,證明:f(x)<1;

(2)若關于x的不等式/(久)<(m-2)x恒成立，求整數(shù)小的最小值.

【變式1-1]2.(2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)/(久)=/一mxlnx+1,meR且小豐0.

(1)當機=1時，求曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若關于%的不等式/(久)>:久恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)小的取值范圍.

【變式1-1]3.(2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)m(x)=t?e，+ln￡,n(x)=1-In詈

(1)若函數(shù)F(x)=m(x)-n(x),討論當t=1時函數(shù)F(K)的單調性；

(2)若函數(shù)爪(x)>2恒成立，求珀勺取值范圍.

【變式1-1]4.(2023秋?云南保山?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(久)=2ax-sin%.

(1)當a=1時，求曲線y=/(%)在點(0/(0))處的切線方程；

⑵當%>0時，f(x)>aKCOSx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題型2端點賦值法

1.端點賦值法(函數(shù)一般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關重要的作用)

2.為了簡化討論,當端點值是閉區(qū)間時候，代入限制參數(shù)討論范圍.注意，開區(qū)間不一定

是充分條件.

有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論.

【例題2](2022?河南鄭州統(tǒng)考一模)設函數(shù)f。)=In%-p(x-l),pER.

(1)當p=1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(2)設函數(shù)。(久)=xf(x)+p(2x2-%-1)對任意x>1都有g(x)<。成立，求p的取值范圍.

【變式2-1]1.(2022秋?黑龍江雞西?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)/(久)=|%2-(a+l)%+alnx+1.

(1)若x=3是f(x)的極值點，求f(久)的單調性；

(2)若f(久)>1恒成立，求a的取值范圍.

【變式2-1]2.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學?？茧A段練習)設函數(shù)f(乃=(x+a)ex-1,已知聯(lián)、j

y=2x是曲線y=f(x)的一條切線.

⑴求實數(shù)a的值；

(2)若不等式/(久)>t[x+ln(x+1)]對任意xe(-1,+8)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

【變式2-1]3.(2023春河南鄭州?高三鄭州外國語學校?？茧A段練習)已知函數(shù)f⑺=21nx+fez.(a,b為實數(shù))

(1)當b=2時，求過點(0,-2)的外久)圖象的切線方程；

(2)設g(x)=ex-1+|xf(x),若。(久)>0恒成立，求b的取值范圍.

2

【變式2-1]4.(2023?四川成都校聯(lián)考二模)已知函數(shù)f⑺=-標+(6-1)久+。在％=0處的切線與y軸垂直.(其

中e是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)設g(x)=詈，x€(0,+oo),當a=1時，求證：函數(shù)/'(x)在xe(0,+8)上的圖象恒在函數(shù)g(%)的圖象的上方；

(2)Vx￡[0,+oo),不等式2[e*/(久)-cosx]>ln(x+1)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題型3隱零點型

1,導函數(shù)(主要是一階導函數(shù))等零這一步，有根X。但不可解.但得到參數(shù)和X。的等量代

換關系.備用

2.知原函數(shù)最值處就是一階導函數(shù)的零點處，可代入虛根X。

3.利用X。與參數(shù)互化得關系式，先消掉參數(shù)，得出X。不等式，求得X。范圍.

4.再代入?yún)?shù)和X?；セ街星蟮脜?shù)范圍.

【例題31(2023秋?湖北隨州?高三隨州市曾都區(qū)第一中學?？奸_學考試)已知函數(shù)f(x)=ax2+xlnx(aeR)圖象

在點(1/(1))處的切線與直線x+3y=。垂直.

Q)求實數(shù)a的值；

(2)若存在keZ,使得f(x)>k恒成立，求實數(shù)k的最大值.

【變式3-1]1.(2023秋?四川成都?高三樹德中學?？奸_學考試)已知函數(shù)f⑺=ex-ax,aeR.

⑴討論f⑺的單調性；______

(2)若當x>一1時，/'(x)>ax,求a的取值范圍.

(3)若存在實數(shù)a、b，使得f(久)+ax2>b-ax恒成立,求a-b的最小值.

【變式3-1]2.(2022秋?江西撫州?高三臨川一中?？计谥?已知函數(shù)=e久一ax,<p(x)=f(x)+sin2%,(aGR),

其中ex2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴討論函數(shù)”久)的單調性，

⑵若aeN*,當久20時，(p(x)>。恒成立時，求a的最大值.(參考數(shù)據(jù)：e3?20.1)

【變式3-1]3.(2023?福建泉州??？寄M預測)已知函數(shù)f(乃=In%-mx2+(1-2m)x+1.

⑴若m=1,求f(x)的極值；

(2)若對任意x>0,/(%)<0恒成立，求整數(shù)m的最小值.

題型4分離參數(shù)法

【例題41(2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開學考試)已知函數(shù)/(久)=In%-%e^+黃e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)f0)在x=1處的切線方程；

⑵若/'(%)+%-|-1>ae~x+Inx恒成立，求證：實數(shù)a<-1.

【變式4-1]1.(2023秋?廣東江門?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)f(乃=0-l)lnx-m(x+1).

(1)若％=1是函數(shù)y=f(久)的極值點，求m的值；

⑵若對任意的xe@,+8),/Q)>o恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【變式4-1]2.(2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學?？茧A段練習)已知函數(shù)/⑺=2久3+3(1+m)x2+

67n%(%6R).

Q)討論函數(shù)/(%)的單調性;

⑵若〃-1)=1,函數(shù)g(x)=a(lnx+1)-等W0在(1,+8)上恒成立，求整數(shù)a的最大值.

【變式4-1]3.(2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)f0)=lnx-x+(x-2)e^-m,meZ.

Q)當機=1時，求曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若關于%的不等式/(久)<。在(0,1]上恒成立，求小的最小值.

【變式4-1]4.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預測)設函數(shù)/(久)=xlnx+1-a久；

(1)若/(久)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，證明：elf⑺>a(%2-xe'T).

題型5分離參數(shù)法-洛必達法則

1.若分離參數(shù)后，所求最值恰好在“斷點處"，則可以通過洛必達法則求出"最值"

2.注意"斷點”是在端點處還是區(qū)間分界處.

【例題5]設函數(shù)〃久)=惡.(1)求f⑺的單調區(qū)間；

(2)如果對任何x>0,都有f(x)<ax,求a的取值范圍.

【變式5-1]1.設函婁好(x)=整一Inx+ln(x+1).

(1)求f。)的單調區(qū)間和極值；

(2)是否存在實數(shù)a，使得關于X的不等式f(x)>a的解集為(0,+8)?若存在，求a的取值范圍；若不存在，試

說明理由.

【變式5-1]2.已知函數(shù)/■(久)=ex,曲線y=f(x)在點(久(),尢)處的切線為y=g(久).

(1)證明：對于VxeR,f(x)>g(x)；

(2)當x>。時,f(x)>1+普恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題型6構造輔助函數(shù)求參

1.含有久1和血型，大多數(shù)可以考慮變換結構相同，構造函數(shù)解決.

2.可以利用第一問的某些結論或者函數(shù)結構尋找構造的函數(shù)特征.

【例題6](2023?四川宜賓?四川省宜賓市第四中學校?？既?已知函數(shù)/⑺=aln(久-1)+J%2+1,久久)=/(%)+

(1)當a=-1時，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若任意右,乂2G(1,+8)且均豐4，都有必出12>1成立，求實數(shù)a的取值范圍.

一工1

【變式6-1]1.(2023春?江蘇揚州?高三揚州中學?？茧A段練習)已知函數(shù)f。)=e，+(2-2a)或一以尤+1)(^6

(1)討論f(行的單調性；

x

⑵設g(x)=xe-In(ex)+mx,若a=1,且對任意x】eR,x2G(0,+oo),%2/(%1)+^(%2)>0恒成立,求實數(shù)m的取

值范圍.

【變式6-1]2.(2023秋?重慶渝北?高三重慶市渝北中學校?？茧A段練習)已知函婁妤0)=；%2+aln(x-1),g(x)=

/⑺+專一+x-

⑴當a=-1時，求函數(shù)f(x)的極值；

⑵若任意打、久26(1,+8)且久1中x2,者隋嗎工絲>1成立，求實數(shù)a的取值范圍.

%]一

【變式6-1]3.(2022?陜西西安?西安中學?？寄M預測)已知函數(shù)/(久)=之/_(口+J%+也無，其中a>0.

(1)當a=1時，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,e]上的最大值；

⑵若ae(o,j)，證明對任意xi,久2G[j,l]0豐x2),弋:片<，亙成立.

【變式6-1]4.(2021?甘肅嘉峪關?嘉峪關市第一中學?？既?已知函數(shù)f(%)=ax2-e?aeR).

(1)若曲線y=f(%)在％=1處的切線與y軸垂直，求y=/0)的最大值；

(2)若對任意0<x1<x2,都有/■(久2)+久2(2-21n2)<f(久力+%-2-21n2),求a的取值范圍.

題型7絕對值同構求參

1?含絕對值型，大多數(shù)都是有單調性的，所以可以通過討論去掉絕對值.

2.去掉絕對值，可以通過"同構"重新構造函數(shù).

【例題7](2023?上海徐匯?位育中學?？寄M預測)已知函數(shù)/(久)=/一磔一a,aeR.

Q)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

⑵若函數(shù)F(x)=x"(久)在x=1處有極值，且關于x的方程FQ)=爪有3個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍；

z

(3)記g(x)=-e(e是自然對數(shù)的底數(shù)).若對任意修、%2e[?；厍?>冷時，均有-/fe)l<lg(久i)一g(%2)l成

立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式7-1]1.(2022秋?天津北辰?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(%)=*-(a+￡)尤+Inx,其中a>0.

Q)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(l,f(l))處切線的方程

(2)當a豐1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(3)若a￡(0.0,證明對任意xi,久2e[|,1]3豐x2),弋;:?)l<]恒成立.

【變式7-1】2.(2022秋?天津東麗?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)f(x)=#-aln久+6(aeR).

⑴若曲線y=f(x)在x=l處的切線的方程為3x-y-3=0,求實數(shù)a,b的值；

(2)當a=l時,/(%1)=/(%2)/且%好％2/求證%I+%2>2.

⑶若0<a41,對任意巧，x2&a,2],不等式|人巧)力犯)1，玲恒成立，求小的取值范圍；

【變式7-1]3.(2021?吉林長春?吉林省實驗校考模擬預測)已知函數(shù)f(久)=x-l-alnx.

⑴討論函數(shù)/(久)的單調性；

(2)若對任意比1,久2e(0,1]都有，(久1)—/(X2)|<IgQi)—g(*2)l成立，其中gO)=[且a<o,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式7-1]4.(2020秋?海南?？?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)f(%)=Inx-|a%2+x(aER),g(x)=-2%+3.

(1)討論函數(shù)F(x)=/O)+[ag(久)的單調性；

(2)若-3WaW-1時,對任意修、x2G[1,2],不等式|/31)-/(x2)|<t\g(x^-9(冷)|恒成立,求實數(shù)珀勺最小值.

【變式7-1]5.(2021秋?山西長治?高三山西省長治市第二中學校?？茧A段練習)已知函數(shù)f(久)=ax2+21nx.

(1)若f(x)在(0,1]上的最大值為-2,求a的值；

(2)記。(久)=/(x)+(a-l)lnx+1,當a<一2時,若對任意亂與G(。，+00),總有1goi)一9(久2)12<4一冷1，求

k的最大值.

題型8函數(shù)取“整”型

討論出單調性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點函數(shù)的符號問題

【例題8](2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學?？茧A段練習)已知函數(shù)f(久)=2%3+3(1+m)%2+6mx(xe

R).

Q)討論函數(shù)f(x)的單調性；

⑵若f(-1)=1,函數(shù)g。)=a(lnx+1)-詈<0在(1,+8)上恒成立，求整數(shù)a的最大值.

【變式8-1]1.(2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習)已知函數(shù)f⑺=2lnx-jm%2+1(meR)；

(1)當TH=1時,證明：/(%)<1；

(2)若關于x的不等式/(久)<(m-2)對亙成立，求整數(shù)機的最小值.

【變式8-1]2.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三?？茧A段練習)設函數(shù)f(久)=/一3a/+3爐久

(1)若a=l,b=0,求曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若0<a<6,不等式f等)〉/6)對任意xe(1,+8)恒成立,求整數(shù)k的最大值.

【變式8-1]3.(2023?廣西桂林??？寄M預測)已知函數(shù)/(久)=^-ln(x+a).

(1)討論函數(shù)g(x)=f(x)-熹的單調性；

⑵若a=1,且存在整數(shù)k使得f(久)>k恒成立，求整數(shù)k的最大值.

(參考數(shù)據(jù)：ln2x0.69,ln3?1.10)

【變式8-1]4.(2022秋?云南?高三云南民族大學附屬中學?？计谥?已知函數(shù)f0)=In%+mx(meR).

⑴討論函數(shù)八支)的單調性；

⑵若m為整數(shù)，且關于x的不等式“x)W￡/+Q爪—1)久-1恒成立，求整數(shù)小的最小值.

題型9“存在”成立問題

1.當不能分離參數(shù)時候，要移項分類討論.

2.確定是最大值還是最小值.

【例題9](2023秋?湖南株洲?高三株洲二中?？奸_學考試)已知函數(shù)/(久)=e--|%2-%-l,

Q)證明:當久>0時，(⑺>0恒成立；

(2)若關于x的方程號+；=asin久在(0,n)內有解,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式9-1]1.(2023秋?內蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開學考試)已知函數(shù)f(久)=箋，xe(0,川，尸⑺是f⑺的導函數(shù).

(1)證明：尸(久)存在唯一零點；

(2)若關于x的不等式尸(久)+爰+aW0有解，求a的取值范圍.

【變式9-1]2.(2023?全國?高三專題練習)設函數(shù)f(久)=(a-a2)%+lnx-i(aeR).

小值；若不存在，請說明理由.

【變式9-1】3.(2022?遼寧?校聯(lián)考一模)已知函數(shù)/'(x)=；x3-x2sina+x+l,ae|-￡,g],

4LoZJ

⑴討論函數(shù)/(X)的單調性；

⑵證明：存在a6卜?外，使得不等式f(x)>/有解(e是自然對數(shù)的底).

【變式9-1]4.(2022秋?北京?高三北京市第十二中學?？茧A段練習)已知函數(shù)/(%)=ex(x123*+ax+a).

Q)當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間：

(2)若關于x的不等式f(x)<e。在[a,+8)上有解，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若曲線y=f(x)存在兩條互相垂直的切線，求實數(shù)a的取值范圍；(只需直接寫出結果)

【變式9-1]5.(2022?北京海淀口01中學統(tǒng)考模擬預測)設函數(shù)f(%)=In%+^,g(X)=ax-3.

(1)求函數(shù)處久)=/(%)+g(久)的單調遞增區(qū)間；

(2)當a=1時，記何x)=f(x)g(x),是否存在整數(shù)"使得關于X的不等式24>旗久)有解？若存在，請求出4的最小

值；若不存在，請說明理由.

1.(2023?陜西商洛傳真安中學?？寄M預測)已知函數(shù)f0)=(久-，廠(%)是f(久)的導函數(shù).

⑴設gQ)=/(%)-；,證明：9(%)是增函數(shù)；

(2)當％>0時，/(%)>aln(x+1)N?+9n3-工恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Z4X

2.(2023?河南開封?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(x)=e?xeR).

(1)若x>0,函數(shù)/'(x)的圖象與函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若m<<n(m,n6R)在xG(0,1)恒成立，求幾-爪的最小值.

3.(2023?福建廈門廈門一中?？家荒?函數(shù)/(久)=手+a(x-1)-2.

(1)當a=0時，求函數(shù)f(%)的極值；

⑵若對任意xG(0,1)U(1,+8),不等式魯<強成立，求實數(shù)a的取值范圍.

4.(2023?貴州畢節(jié)?？寄M預測)已知函數(shù)/(久)=a(x-TT)b-sinx+l,%e[n,+<x>)

⑴當b=1時，,若/(%)41恒成立,求a的取值范圍；

⑵若b="(x)在卜,河上有極值點配,求證：f(x0)+x0>n+1.

5.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)f(x)=竺合的圖象在(1"(1))處的切線經過點(2,2e2).

(1)求a的值及函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

⑵設g(x)=*,若關于x的不等式入陽(久)We2^-1在區(qū)間(1,+8)上恒成立，求正實數(shù)M勺取值范圍.

6.(2023福建福州福建省福州第一中學?？寄M預測)已知函數(shù)人久)=asinx,其中a>0.

(1)若/■(久)<久在[0,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

⑵證明：V久e(0,+co),有2e*>(%+￡)[ln(x+1)+sin%].

7.(2022?貴州安順統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-1.

(1)討論函數(shù)八支)的導函數(shù)的單調性；

(2)若a>二",求證：對V*>0,/(x)>|x3+x恒成立.

8.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)f(乃=ex-x2-ax,aeR.

Q)若八久)為R上的增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若/(久)>-x2+3x+b在xGR內恒成立,6GR,求2a+b的最大值.

9.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)f⑶=ax-襄,xe(0彳)

(1)當a=8時，討論f(x)的單調性；

⑵若/'(久)<sin2vfg成立，求a的取值范圍.

10.(2011?北京?高考真題)已知函數(shù)/'(X)=1-kx-xlnx(/ceR),g(x)=上(1+1).

(1)若久e(0,1]時，/(久)=0有解,求k的取值范圍;

(2)在(1)的條件下k取最小值時，求證：/(%)<g(x)恒成立.

參考答案與解析

題型1直接求導型...............................................................11

題型2端點賦值法...............................................................18

題型3隱零點型.................................................................25

題型4分離參數(shù)法...............................................................32

題型5分離參數(shù)法-洛必達法則....................................................38

題型6構造輔助函數(shù)求參.........................................................42

題型7絕對值同構求參...........................................................50

題型8函數(shù)取“整”型...........................................................59

題型9“存在”成立問題.........................................................66

題型1直接求導型

劃重點I

若/(X)在區(qū)間D上有最值，則

(1)恒成立:Vx6D,/(x)>0<=>/(x)min>0；Vx6D,f(x)<0=f(x)max<0；

(2)能成立：3xGD,f(x)>0=/(x)max>0；3^6D,f(x)<0=/(x)min<0.

若能分離常數(shù)，即將問題轉化為：a>/(%)(或a<f(x)),貝U

(1)恒成立：a>f(x)oa>/(%)max；a</(x)oa</(x)min；

(2)能成立：a>f(x)=a>/(x)min；a<f(x)=a</(x)max；

【例題1](2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)f⑺=警，xeD.其中。=(0,1)U(1,+8)

1-X

(1)求函數(shù)/(為在點處的切線方程；

⑵若g(x)=-e，且V%eD,f(%)>。(久)恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)(4-41n2)尤-y-2=0

(2)[1,+8)

【分析】(1)利用導數(shù)幾何意義可求得切線斜率尸G),結合f?=-21n2可求得切線方程；

>0,將恒成立的不等式轉化為a>舞,分別在(0,1)和(1,+8)的情況下得到變形后的不等關系；構造函

數(shù)%⑴=21nx-a(x-i),分別在a>1和0<a<1的情況下討論得到h(x)的單調性，結合八(1)=?？纱_定滿足題意

的取值范圍.

【詳解】(1)「尸3=舒=代(-??/(鄉(xiāng)=守=4-41n2,

又/0=牛=-21n2,

2

/(久)在點0)處的切線方程為y+2In2=(4一41n2)-m,即(4-41n2)x-y-2=0.

(2)當％e(0,1)時,f(x)=普<0;當xe(1,+oo)時,f(x)=罟<0;

???/(%)<0在％e。上恒成立，

當a<0時，g(x)=-^>0,/(x)>g(x)不成立，不合題意；

當a>。時，不等式可變形為：a>舞，

當％E(0,1)時,a(石—專)<Inx=21nV%,即21n?—a—套)>0；

當％e(1,+8)時,a—套)>Inx=21nVx,即21n?—a—專)<0；

令h(%)=21nx—a(%—：),%E(0,4-oo),則九口)=：—a(1+妥)=一""皆"一°；

令m(%)=—ax2+2x—a,則A=4—4a2；

①當A<0,即a21時,m(x)<0恒成立,即"(%)<0恒成立，

??.九(%)在(0,+8)上單調遞減,

則當工￡(0,1)時,h(x)>h(l)=0,BP2Inx>Q(%—()21nV%—a{y[x—2)>0；

當％G(1,+8)時,h(x)<八⑴=0,即21n%<a(%—：),21nVx—a—2)<0；

???f(x)>g(%)恒成立，滿足題意；

②當A>0,即0VaV1時，設m(%)=。的兩根分別為%1，型(%1<%2)，

2

???+%2=1>2,XrX2=1,-0<%!<1<X2,

???當％eOi，1)時,m(x)>o,即//(%)>o,八(%)在1)上單調遞增，

■■

此時無(久)<屁)=0,即21nx<a(x-1),21nVx-a(y/x-2)<0,不合題意；

:實數(shù)a的取值范圍為[1,+oo).

【點睛】思路點睛：本題考查利用導數(shù)幾何意義求解切線方程、恒成立問題的求解；本題求解恒成立的基本思路是將

問題轉化為含參函數(shù)單調性的討論問題，通過討論含參函數(shù)的單調性，確定符合題意的參數(shù)范圍即可.

【變式1-1]1.(2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中校考階段練習)已知函數(shù)f(x)=2ln%-|mx2+l(meR).

(1)當m=1時，證明：f(x)<1；

(2)若關于x的不等式門久)<(爪-2)x恒成立，求整數(shù)小的最小值.

【答案】Q)證明見解析

(2)最小值為3

【分析】(1)先確定函數(shù)的定義域，求導得f'(%)=一，根據(jù)其正負即可得函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)最值證明即可；

(2)構造函數(shù)G(x)=21nx-|mx2+(2-m)x+1在區(qū)間(0,+oo)內恒成立，再求出G(x)的最大值為G(、)=、一

2lnzn+2ln2-1,

結合函數(shù)單調性，即求得整數(shù)血的最小值.

【詳解】(1)當巾=1時，/(%)=21nx-1%2+1(%>0),

fix')=|—x=(%>0),

令尸(x)=0,得x=&,

當Xe(o,&)時，尸(%)>o,f(x)單調遞增；

當%e(V2,+8)時，/(%)<o,f(x)單調遞減,

所以/(X)在X=/處取得唯一的極大值，即為最大值，

所以〃%)max=/(V2)=2lnV2-1X2+1=In2,

所以f(x)<In2,

而In2<Ine=1,

所以/'(x)<1.

■I

，(2)令G(x^=/(x)—(m-2)x-21nx-|m%2+(2-m)x+1.

=|-mx+(2-m)=二?+(j-m)x+2.

當m<0時,因為x>0,所以G<x)>0,所以G(K)在(0,+8)上單調遞增,

又因為G(l)=-|m+3>0.

所以關于x的不等式GQ)<0不能恒成立；

當巾>0時，G，(x)=

X

令G，(x)=0,得X=A,所以當xe(0,2)時，G'(x)>0；

當x￡佶,+8)時，G'(X)<0.

因此函數(shù)G⑶在(0,§上單調遞增，在華,+8)上單調遞減.

故函數(shù)G(x)的最大值為G(')='—2lnm+2ln2-1.

令h(7n)=》2lm+21n2-1，

因為h(l)=1+2ln2>0,h(2)=0,h(3)=2ln2-2ln3-|<0,

又因為八(巾)在(0,+8)上單調遞減，所以當巾>3時，/i(m)<0.

所以整數(shù)巾的最小值為3.

【點睛】方法點睛：根據(jù)不等式直接構造函數(shù)，分類討論法，利用導數(shù)研究單調性、最值，從而得出參數(shù)小范圍

【變式1-1]2.(2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)/'(X)=/_mx\nx+1,meR且小牛0.

Q)當機=1時，求曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若關于%的不等式/(久)>:久恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)小的取值范圍.

【答案】⑴x-丫+1=0

⑵R—e,0)u(0,e-j]

【分析】(1)求導，利用導數(shù)值求解斜率，即可由點斜式求解直線方程，

(2)將問題轉化為x+1-minx-|>。在(0,+9)上恒成立，構造函數(shù)g(x)=x+--minx--,ft(x)=%+-—

(x-3Inx-j,利用導數(shù)求解單調性，即可求解.

(1)由題,當m=1時,ftx)=x2-xlnx+1,/'(x)=2x-Inx-1,

，/'⑴=2,所以切線方程為y-2=x-1,

化簡得x-y+l=O,即曲線f(x)在點處的切線方程為x-y+l=O.

(2)/(%)>|x,即/_mxlnx+1>jx,即x+|-minx-|>0在(0,+8)上恒成立，

令g(x)=-+?minx-1,則g(x)=1一2一?=

對于y=x2-mx-l,A=m2+4>0,故其必有兩個零點，且兩個零點的積為-1,

則兩個零點一正一負，設其正零點為比6(0,+0°),則比-mx-1=0,即爪=x~—,

00%0

且在(O,%o)上時y=x2-mx-1<0,則“(x)<0,此時g(x)單調遞減，

在Oo,+8)上,y=x2-mx-1>0,g'(x)>0,此時g(x)單調遞增,

因此當久=X。時，g(x)取最小值，

故9(320，即&+.-(*?！狪n%。-|>0.

令/i(x)=x+/-卜-Inx-1,則"⑺=1一2一(1+2)Inx—(1—2)=—(1+—Inx,

當％6(0,1)時，h'{x)>0,當％E(L+8)時，〃(%)<0,

則%0)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，又hQ)=h(e)=0,故久。e[j,e],

顯然函數(shù)巾=x0-搟在R,e]上是關于通的單調遞增函數(shù)，則巾eg-e,e-j],

所以實數(shù)小的取值范圍為日一e,0)u(0,e-j]

【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直

接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在

性問題的區(qū)別.

【變式1-1]3.(2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)向式)=t-ex+ln^,n(x)"—In

(1)若函數(shù)R(x)=m(x)-n(x),討論當t=1時函數(shù)F(久)的單調性；

(2)若函數(shù)爪(久)>2恒成立，求珀勺取值范圍.

【答案】⑴在(-2,ln2)上單調遞減，在(ln2,+8)上單調遞增

(2)(e,+8)

【分析】(1)化簡可得F(x)=-2%-1(%>-2),利用導數(shù)可求得F(x)單調性；

(2)分析可知t>0且x>-2；令。(久)=e*+x,可將恒成立的不等式轉化為g(久+Int)>g(ln(x+2)),結合單調性

可得Int>ln(x+2)-x,令h(x)=ln(x+2)-x,利用導數(shù)可求得h(x)單調性和八(x)max，進而得到t的范圍.

【詳解】(1)當t=1時，F(xiàn)(x)=e*+In+-1+In詈=ex—1+lne-2x=ex—2x—1(%>-2)；

???F(X)定義域為(-2,+8),F，(x)=ex-2,

二當“￡(—2,ln2)時，戶(x)<0；當x￡(ln2,+8)時，尸'(x)>0;

???FO)在(-2,ln2)上單調遞減，在(ln2,+8)上單調遞增.

(2)若x+2<0,即x<—2,由累>0彳導：t<0,

則當x=—2+t時，m(—2+t)=te~2+t+Ini=te~2+t<0,則m(x)>2不恒成立,

???t>。且zn(x)定義域為(一2,+8);

由m(x)>2恒成立可得：t,e*+Int—ln(x+2)>2,

x+lnt

...g+x+Int>ln(x+2)+x+2=e】n(x+2)+in(x+2),

令9(x)=ex+x,貝！|g(x+Int)>g(ln(x+2)),

???y=e》與y=%均為單調遞增函數(shù)，;g(x)為單調遞增函數(shù),

%+Int>ln(x+2),Int>ln(x+2)-x；

x+1

令八(工)=ln(x+2)—x,則八'(x)=—1

%+2

.?.當xe(-2,-1)時，h'(x)>o;當％e(-1,+8)時，h'(x)<0;

八(X)在(一2,-1)上單調遞增，在(-1,+8)上單調遞減，二h(X)max=以-1)=1,

???Int>1,解得:t>e,即實數(shù)t的取值范圍為(e,+oo).

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調性，恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關鍵是能夠采

用同構法，將問題轉化為g(x)=e，+x的兩個函數(shù)值大小關系的比較問題，進而根據(jù)g(%)的單調性得到自變量的大小

關系.

【變式1-1]4.(2023秋?云南保山?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)人久)=2ax-sinx.

Q)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0/(0))處的切線方程；

⑵當x>0時，f(x)>aKCOSx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)y=%

⑵U+8)

【分析】(1)求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜率式方程可得切線的方程；

(2)求出導數(shù)，令令g(x)=/(x)-axcosx,討論當a>l,a<0,0<a<1時，函數(shù)g(x)的單調性，即可得到所求

范圍.

【詳解】(1)當a=1時,f(x)=2x-sinx,f'(%)=2-COS%,

切線的斜率為k=r(0)=l,

又切點為(0,0),所以切線方程為y=%.

(2)令g(x)=/(%)—axCOSx,即g(x)=2ax—axCOSx—sinx,

①若a>1,則當x>0時,g(x)>2x—xcosx-sinx,令h(x)—7.x—xcosx-sinx,h'(x)—2—2cosx+xsinx,

當xe時，h'(x)>0,

所以h(x)在(0,用上單調遞增,h(x)>h(0)=0,

當xe(TI,+8)時，h(x)=%(1—cosx)+(%—sinx)>0,

所以g(%)>h(x)>0恒成立，符合題意;

②若a<0,則當xE時，g(x)—2ax—axcosx—sinx=ax(l—cosx)+ax—sinx<0,不合題意；

③若0<a<1,注意到g(0)=0,g'(x)=2a—a(COSx—久sinx)—COSx,g'(0)=a—1,

令3(x)=g'(x)=2a—a(cosx—xsinx)—cosx,則d(x)=(2a+l)sinx+axcosx,

eM)時,v'(x)>o,HWG)在(。?)上單調遞增,

=a-1<0,gg)=(2+以a>0,

所以存在%。e(0()，使得g'Oo)=0,

當xe(0,沏)時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,沏)上單調遞減，g(x)<g(0)=0,不合題意.

綜上，a的取值范圍為[1,+8).

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，一種方法為參變分離，一種方法轉化為函數(shù)的最值來求解,

并通過利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性來得到函數(shù)的最值，考查化歸與轉化思想，屬于難題.

題型2端點賦值法

1.端點賦值法(函數(shù)一般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關重要的作用)

2.為了簡化討論，當端點值是閉區(qū)間時候，代入限制參數(shù)討論范圍.注意，開區(qū)間不一定

是充分條件.

有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論.

【例題2](2022?河南鄭州?統(tǒng)考一模)設函數(shù)f⑺=In%-p(x-l),p￡R.

(1)當p=1時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)設函數(shù)。(久)=xf(x)+p(2x2-x-1)對任意x>1都有g(x)<。成立，求p的取值范圍.

【答案】(1)/(久)的單調增區(qū)間為(0,1)；單調減區(qū)間為(1,+8);(2)pW后.

【分析】(1)求出廠(%),在定義域內，分別令尸0)>。求得x的范圍，可得函數(shù)f⑺增區(qū)間，f'M<0求得x的范圍，

可得函數(shù)f0)的減區(qū)間；

(2)求出“⑺=Inx+1+2px,由(1)得到Inx<%-1,將其代入“(%),然后對p的不同取值進行討論，分別利用

導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性求其最值，篩選出符合條件的p的取值范圍即可.

【詳解】(1)當P=1時，/(x)=In%-%+1,其定義域為(0,+8).

所以尸(X)1,由/0)=：-1>。得。<X<1,

的單調增區(qū)間為(0,1),單調減區(qū)間為(1,+8).

(2)由函數(shù)g(x)=x/(x)+p(2x2—x—1)=xlnx+p(2_1)得)由)=Inx+1+2px.

由(1)知，當p=1時，〃%)</(l)=0,即不等式Inx<x-1成立.

①當p<—［時，g<x)=Inx+1+2px<(x—1)+1+2Px=(1+2p)x<0,

即g(x)在［l,+8)上單調遞減，從而g(x)Wg(l)=0滿足題意；

②當一］<p<0時,存在久e(1,一2)使得Inx>0,1+2px>0,

從而g，(x)=Inx+1+2px>0,即9的在(1,一聯(lián))上單調遞增,

從而存在%。6(1，-味)使得9(&)>g(D=。不滿足題意；

③當P>。時,由尤>1知g(x)=xlnx+p(x2-1)>。恒成立,此時不滿足題意.

綜上所述，實數(shù)p的取值范圍為P<-1

【點睛】方法點睛:不等式恒成立問題常見方法:①分離參數(shù)a>f(%)恒成立(a>f(x)max即可)或a<fO)恒成立(a<

fCOmin即可)；②數(shù)形結合8=f(x)圖象在丫=9(久)上方即可)；③討論最值/'COmin??；?COmax4。恒成立；

④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

【變式2-1］1.(2022秋?黑龍江雞西?高三校考階段練習)已知函數(shù)f(X)=|%2-(a+l)x+alnx+1.

(1)若x=3是f(x)的極值點，求f(久)的單調性；

(2)若f(久)>1恒成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴增區(qū)間為(0,1),(3,+8);減區(qū)間為(1,3)

(2)(-oo,-|］

【分析】(1)由尸(3)=0求得a的值，再由尸(%)求得f(x)的單調區(qū)間.

(2)代入x=1可得a<0,再結合函數(shù)單調性確定最值后即可得解.

【詳解】(1)f(久)的定義域為(0,+8),尸(x)=x-(a+1)+^,

若久=3是f(x)的極值點,則r(3)=3—(a+l)+：0,解得a=3,

此時.0)號-4+；(>*-3),

間(0,1)U(3,+8)上/⑺>0JQ)單調遞增；

在區(qū)間(1,3)上尸⑺<0,/(x)單調遞減.

此時x=3是f(x)的極小值點，符合題意.

綜上所述，/(久)的增區(qū)間為(0,1),(3,+8);減區(qū)間為(1,3).

(2)/(%)=|x2—(a+l)x+alnx+1(%>0),

由f(x)>1,得之久2—(a+l)x+alnx+1>l,|x2—(a+l)x+alnx>0①，

設g(%)=|x2—(a+l)x+alnx(x>0)

g⑴=|-(a+1)=-a-|,

所以當a>0時，g(l)<0,①不成立，故a<0,

g，(x)=x-(a+l)+?=￡『，

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上g'(x)<0,g(x)單調遞減；

在區(qū)間(1,+8)上,g\x)>0,g(x)單調遞增，

所以g(x)>g⑴=-a-|>0,解得a<

綜上所述，a的取值范圍是(-8,—1

【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，除了尸(見)=0以外，還需要f(無)在％=與左右兩側的單調性相反.利用導數(shù)研究

含參數(shù)的不等式恒成立問題，可以考慮利用分離參數(shù)法，也可以直接構造函數(shù)，然后利用導數(shù)進行研究.

【變式2-1]2.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學?？茧A段練習)