數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的單元教學(xué)設(shè)計-以“空間角”為例

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的單元教學(xué)設(shè)計——以“空間角”為例一、單元內(nèi)容盡管“線與線所成的角”“線與面所成的角”“面與面所成的角”在定義的表述上不盡相同，但它們最終都是轉(zhuǎn)化為“線線角”來刻畫、度量。不僅如此，在向量視角下，空間角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角，具有統(tǒng)一的向量求解公式，這一方面體現(xiàn)了空間問題平面化的基本思想，另一方面也充分說明了空間“三類角”實質(zhì)就是“線線角”。因此，在進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計時，將“線線角”進(jìn)行延伸與拓展就可以使學(xué)生獲得對空間角更深入的認(rèn)識。二、分析教學(xué)要素（一）數(shù)學(xué)分析空間角呈現(xiàn)出空間中幾何元素（線線、線面、面面相對傾斜程度）位置關(guān)系?？臻g角的相關(guān)概念形成過程有著一致的思路：先定義角的存在性:即可以找到一個角來刻畫直線與直線、直線與平面或平面與平面之間的位置關(guān)系；再是定義角的唯一性:即所定義的角是確定的,對于相同的傾斜程度,度量的角度是固定的。（二）課標(biāo)分析立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生以長方體為載體，認(rèn)識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。（三）學(xué)情分析人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）首先在“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”（教材必修2）中介紹三種空間角的定義以及用傳統(tǒng)作角、證角的邏輯推理方法求解空間角，而后在“空間向量與立體幾何”（教材選擇性必修一）中進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量解法，實際教學(xué)表明，由于空間向量這個有力工具的引入，很多學(xué)生基本上只會單純用向量法處理立體幾何問題，對于需要結(jié)合傳統(tǒng)的幾何推理才能解決的綜合性問題，則往往無法解決，實在令人惋惜。雖然空間向量能降低思維的難度，能將抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)化為具體的計算，且對解決一些用傳統(tǒng)作角、證角的方法較難處理的復(fù)雜空間角問題優(yōu)勢明顯，但同時也淡化和削弱了空間角的邏輯推理，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的落實。傳統(tǒng)立體幾何的發(fā)生、發(fā)展先于空間向量，因此，“空間角”的教學(xué)顯得猶為重要，它充分挖掘了學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象能力等方面的教育價值，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。本次復(fù)習(xí)課教學(xué)對象是高中一年級學(xué)生，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了立體幾何的基本知識，具備了初步的空間想象能力和邏輯推理能力，但是這些能力還處于較低的水平，特別是對動態(tài)問題的研究能力還非常薄弱，所以復(fù)習(xí)課是以能力提升為基本目標(biāo)的探究課，具有較大的難度。（四）教材分析1.分析大單元——幾何與代數(shù)空間角有關(guān)內(nèi)容是平行、垂直內(nèi)容之后的一個重要的部分，因此，要全面分析“空間角”所統(tǒng)領(lǐng)的單元內(nèi)容、單元地位及價值，還需要立足于幾何與代數(shù)大單元向下層層分析空間角相關(guān)內(nèi)容。幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的四大主線之一，該主題體現(xiàn)了幾何直觀與數(shù)學(xué)運算的相融，道出了數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性及整體性。幾何與代數(shù)是學(xué)生在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域的基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展的一個領(lǐng)域。從小學(xué)到高中，在學(xué)習(xí)圖形與幾何過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從動手操作獲得初步認(rèn)識，到運用定理進(jìn)行推理論證形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識，之后又經(jīng)歷運用向量，從另一角度研究幾何內(nèi)容。在此階段，學(xué)生逐步發(fā)展空間想象、推理能力以及數(shù)形結(jié)合意識，且數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)都在持續(xù)培育中。根據(jù)上述分析，我們需要站在整個大單元分析幾何內(nèi)容，整體看到知識的聯(lián)系、方法的持續(xù)、核心素養(yǎng)培養(yǎng)的進(jìn)階，使我們對空間角單元教學(xué)的定位更加準(zhǔn)確。

2.分析小單元——空間角

空間角是立體幾何中一個重要概念，它是空間圖形的一個突出的量化指標(biāo)，是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)。本節(jié)是在學(xué)生已經(jīng)完成了對點、直線、平面之間的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，重點對空間角做進(jìn)一步的鞏固和加強。由于空間角在我們的周圍無處不在，與我們的生產(chǎn)和生活聯(lián)系十分密切。同時，本節(jié)又是高考中立體幾何部分的熱點、難點所在，所以有著十分重要的現(xiàn)實意義。

原教材的空間三角內(nèi)容被安排在必修二第二章“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”一章2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系——“異面直線所角”2.3.1直線與平面垂直的判定——“直線與平面所成角”2.3.2平面與平面垂直的判定——“二面角”新教材空間三類角內(nèi)容被安排在第二冊第八章第六節(jié)8.6.1直線與直線垂直——“異面直線所角”8.6.2直線與平面垂直——“直線與平面所成角”8.6.3平面與平面垂直——“二面角”教材是實施教學(xué)計劃和實現(xiàn)課程目標(biāo)的重要資源，新教材的編排更能體現(xiàn)研究的整體性認(rèn)知的連續(xù)性，但是教材對于空間角的相關(guān)概念均是直接給出，沒有呈現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展的過程，以二面角的平面角這一概念為例（教材部分如圖所示），這種直告式的定義讓學(xué)生感到困惑，兩個半平面上都有無數(shù)條直線，為什么要用分別與棱垂直的兩個半平面上的兩條線之間所成的角定義二面角呢？這樣的定義與平面上兩條相交直線的夾角、兩條異面直線所成角的定義是否一致？數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心是引導(dǎo)學(xué)生開展概括活動，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷操作、觀察、思辨、探宄、推理等過程展現(xiàn)思維，才能自主構(gòu)建知識。二面角的平面角教材部分圖（五）重難點分析教學(xué)重點

1.理解異面直線所成角的概念、直線與平面所成角的定義、二面角的概念以及體會空間問題平面化的轉(zhuǎn)化思想2.幾何法求空間角，體會轉(zhuǎn)化化歸思想教學(xué)難點1.“空間角”大小度量過程，空間角之間的一類不等關(guān)系的推理過程2.經(jīng)歷尋找線面角、二面角的過程，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)（六）教學(xué)策略1.立足基本的認(rèn)知過程新課改削弱了立體幾何對“嚴(yán)格論證”的要求，轉(zhuǎn)而通過“直觀感知一操作確認(rèn)一思辨論證一度量計算”這一基本認(rèn)識過程來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象能力和推理論證能力。因此，只有遵循基本認(rèn)知過程，“空間角”的單元教學(xué)才能發(fā)揮應(yīng)有的功效。2.凸顯教學(xué)的有序性單元教學(xué)設(shè)計雖然以單元為模塊，但在知識的組織上應(yīng)該凸顯有序性。教材（人教Ａ版）是按照“空間位置關(guān)系判斷一求空間角”的順序，以循環(huán)交替的形式呈現(xiàn)的，這樣做雖有助于認(rèn)知的連續(xù)性，卻也割裂了空間角的相關(guān)知識的聯(lián)系。在單元教學(xué)設(shè)計中，我們不妨將空間角的學(xué)習(xí)置于“線線、線面、面面位置關(guān)系”之后，即在學(xué)生掌握了空間平行、垂直關(guān)系的判定與證明之后再集中精力學(xué)習(xí)空間角。如此一來，不僅可以避免空間角概念的反復(fù)構(gòu)建，而且能夠使學(xué)生獲得對空間角的完整認(rèn)知。3.借助重要的幾何模型幾何模型是對立體幾何知識的集中概括，是凝結(jié)在學(xué)生頭腦中的一系列的加工和認(rèn)識對象，學(xué)習(xí)立體幾何就是跟各式各樣的幾何模型“打交道”。因此，在“空間角”的單元教學(xué)中，若把空間角放在具體的幾何模型中研究，就能夠使一些復(fù)雜的空間關(guān)系直觀化，從而有助于學(xué)生建立空間角之間的聯(lián)系。4.單元教學(xué)階段的劃分根據(jù)單元教學(xué)目標(biāo)跨課時、跨學(xué)期、跨學(xué)年的特點，單元教學(xué)要細(xì)化為不同的階段，同時每一個階段又在一定的課時中去實現(xiàn)。根據(jù)“空間角”的單元教學(xué)目標(biāo)，“空間角”的課堂教學(xué)可以細(xì)化為以下幾個階段：（表1）：表1“空間角”課堂教學(xué)情況階段劃分課時名稱主要教學(xué)內(nèi)容階段1認(rèn)識角“三類角”的定義與內(nèi)在聯(lián)系階段2幾何法求角作角、證角、求角階段3向量法求角用空間角向量公式求角這樣的劃分既體現(xiàn)階段性又不失連續(xù)性，再現(xiàn)教學(xué)前后銜接的同時，又能照顧到每個課時之間的聯(lián)系。（七）教學(xué)方式分析空間角單元的設(shè)計呈現(xiàn)逆向設(shè)計的思維方式，以任務(wù)序列推進(jìn)的方式進(jìn)行教學(xué)。為了更加突出學(xué)生主體地位，從整體考慮選擇教學(xué)方式，在單元教學(xué)的過程中，主要引導(dǎo)學(xué)生自主探究，經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，所以主要通過討論法、多媒體輔助教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)。三、單元教學(xué)目標(biāo)單元教學(xué)目標(biāo)并非課時目標(biāo)的簡單累加，它既要立足整體性又要呈現(xiàn)層次性，既要瞻前又要顧后。教材對于立體幾何內(nèi)容的編排橫跨《數(shù)學(xué)》（必修二）與《數(shù)學(xué)》（選修性必修一）兩個模塊、多個章節(jié)，結(jié)合教材的設(shè)計意圖，“空間角”的單元教學(xué)目標(biāo)可以這樣定位：1.通過具體的幾何模型，發(fā)現(xiàn)空間的“三類角”，經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)的思維過程，探索空間角的度量方式，體會其合理性與科學(xué)性.2.能夠借助直觀模型，感受空間角之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過思辨論證、度量計算知道“線面角是最小的線線角”“二面角是最大的線面角”.3.能夠用幾何方法作出簡單幾何體的“三類角”，并計算其大小.4.能夠用向量的視角理解空間角的內(nèi)在聯(lián)系，推導(dǎo)空間角的向量公式，會用坐標(biāo)法求空間角.5.掌握“直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證”方法，理解變與不變、運動與靜止的辯證關(guān)系，建立空間觀念，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).【參考文獻(xiàn)】[1]王冠慶