福建省福州市長樂第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月階段一考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

長樂第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月階段一考試數(shù)學(xué)科試卷考試時間：10月11日完卷時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1.若直線是圓的一條對稱軸，則（）A.0 B.1 C.2 D.42.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.向量，，且，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.或4.下列命題正確的是（）A.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B.若，則存在唯一的實數(shù)，使C.若空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為D.若向量，的夾角為針角，則實數(shù)的取值范圍為5.已知正方體的棱長為1，若點在正方體的內(nèi)部且滿足，則點到直線AB的距離為（）A. B. C. D.6.已知點，，若直線與線段AB（含端點）有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.7.點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（）A.； B.；C.； D.；8.邊長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，中點，M是DB靠近B的四等分點，P在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（）A.1 B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.過點與直線平行的直線是C.直線到直線的距離為D.若直線，則10.下列說法正確的是（）A.在四面體OABC中，若，則A，B，C，G四點共面B.若G是四面體OABC的底面三角形ABC的重心，則C.已知平行六面體的棱長均為1，且，則對角線D.若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)，已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為11.長方體，，，則下列說法中正確的是（）A.長方體外接球的表面積等于B.是線段BD上的一動點，則的最小值等于3C.點到平面點的距離等于D.二面角的正切值等于2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條直線和的交點在軸上，那么的值是_______.13.已知點，，，，則向量在向量上的投影向量的模為_______.14.已知P，Q分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知的頂點為，，，求：（1）邊AC上的中線所在直線的方程；（2）邊AC上的高所在直線的方程；（3）邊AC的垂直平分線的方程.16.（15分）如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，D為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.17.（15分）設(shè)直線的方程為.（1）求證：不論為何值，直線必過定點；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（3）若直線交軸正半軸于點，交軸負半軸于點，的面積為，求的最小值.18.（17分）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：，，分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作.（1）若，，求的斜坐標(biāo)；（2）在平行六面體中，，，，如圖，以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”.①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求.19.（17）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有表有廣，而上有表無廣：芻，草也，甍，屋蓋也”.翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部有長沒有寬為一條棱：芻甍為茅草屋頂”，現(xiàn)將一個正方形折疊成一個“芻甍”，如圖1，E、F、G分別是正方形的三邊AB，CD，AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB，CG就得到了一個“芻甍”，如圖2.圖1圖2（1）若O是四邊形EBCF對角線的交點；求證：平面GCF；（2）若二面角A-EF-B的大小為，求直線AB與平面GCF所成角的正弦值.高二年級數(shù)學(xué)科參考答案第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.12345678AABCDDCD二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.91011BCBCDABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12. 13. 14.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）（1）設(shè)中點為，所以，即，所以，直線：，即，所以邊上的中線所在的直線方程為.（2）由題意得，所以邊上高的斜率為，所以邊上高所在直線的方程為：，即.（3）由（2）得的垂直平分線的斜率為，由（1）得的垂直平分線過點，所以的垂直平分線的方程為：，即.16.（15分）（1）證明：設(shè)，連接，，，由題意知，四邊形為正方形，，在中，，在中，，，是的中點，，，且平面，平面.（2）解：取的中點，的中點，連接，，則，，平面平面，平面平面，平面，又平面，，故以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由（2）知平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面的夾角的余弦值為.17.（15分）（1）證明：因為直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，，故直線過定點；（2）解：因為在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)直線過原點時，可得，此時直線的方程為；當(dāng)直線不過原點時，可得，解得，此時直線的方程為，故直線的方程為或；（3）令，可得，令，可得，則，此時，令，則且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時，取得最小值6.18.（17分）解：（1），，，的斜坐標(biāo)為.（2）設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①；②由題，由，知，由，知：，，，解得，則19.解：（1）證明：取線段中點，連接、，如圖所示：圖1 由題意得四邊形為矩形，，則是的中點，，且，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）建立以