2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第8講　離心率的范圍問題解析版

第8講離心率的范圍問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍 2【考點(diǎn)二】利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍 9【考點(diǎn)三】利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍 15【專題精練】 22考情分析：圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)題型，對(duì)圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡(jiǎn)潔．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：題號(hào)1答案C1．C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍一、單選題1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若使為直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·四川成都·開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是右支上一點(diǎn)，且，設(shè)，當(dāng)?shù)姆秶鸀闀r(shí)，雙曲線C離心率的范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（21-22高二上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，下列說法正確的是（

）A． B．離心率范圍C．當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，為等腰直角三角形 D．若，則4．（23-24高二上·山東青島·期中）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，左右焦點(diǎn)為，，直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，則（

）A．若，則的面積為B．直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，則C．若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為D．存在直線的方程為，使得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為三、填空題5．（23-24高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，是橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點(diǎn)，若，則橢圓離心率的范圍是．6．（23-24高二下·廣東深圳·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的右支交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為.參考答案：題號(hào)1234答案CAABDABC1．C【分析】先根據(jù)為直角三角形分三類討論，利用橢圓的對(duì)稱性可分析出以點(diǎn)、和為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；再利用余弦定理及判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù)的方法得出；最后根據(jù)離心率的求法及橢圓離心率的范圍即可求解.【詳解】為直角三角形，可分為以下三類討論：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).由橢圓的對(duì)稱性可知：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個(gè)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個(gè)，則要使為直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，須使以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形有4個(gè).由橢圓的對(duì)稱性可得在軸上方有兩個(gè)點(diǎn)滿足以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).則，即，所以，解得即，所以，又因?yàn)闄E圓離心率，所以.故選：C.2．A【分析】先應(yīng)用雙曲線定義結(jié)合正弦定理把離心率轉(zhuǎn)化為角的正弦，再根據(jù)兩角和差和輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)已知角范圍求解即可.【詳解】在中，由．因?yàn)?，所以，所以，所以．故選:A.3．ABD【分析】利用極化恒等式可得，結(jié)合可得離心率范圍，當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，易知其為等邊三角形，結(jié)合面積關(guān)系可得正切值.【詳解】∵，∴，又，∴，∴，故A正確；∵，，∴，即，∴，故B正確；當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，∵，，∴為等邊三角形，故C錯(cuò)誤；若，又∴，∴，不妨設(shè)為銳角，則為鈍角，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，故D正確.故選：ABD4．ABC【分析】對(duì)于A：利用余弦定理及雙曲線的定義求出，進(jìn)而可得三角形的面積；對(duì)于B：設(shè)，與直線聯(lián)立，發(fā)現(xiàn)均與無關(guān)，進(jìn)一步分析可得；對(duì)于C：求出為定值，進(jìn)而可得的斜率的范圍；對(duì)于D：將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，通過判別式可得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，對(duì)于A：在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，，可得所以，故A正確；

對(duì)于B，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)表示雙曲線，當(dāng)時(shí)表示該雙曲線的兩條漸近線.設(shè)直線，其與的交點(diǎn)為聯(lián)立，可得，應(yīng)滿足且.由韋達(dá)定理可知，都與無關(guān).所以線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，不妨設(shè)為.由可知，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，且，，所以若的斜率范圍為，則的斜率的范圍為，C正確；對(duì)于D，聯(lián)立，消去可得，，故直線與雙曲線無交點(diǎn)，所以不存在中點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.5．【分析】根據(jù)角平分線定理求出的關(guān)系，根據(jù)定義得出或，再由求解即可.【詳解】如圖，當(dāng)在O點(diǎn)同側(cè)時(shí)，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，假設(shè)點(diǎn)P在第一象限，

，，是的平分線，，則，由，可得，由，可得，由，可得；當(dāng)當(dāng)在O點(diǎn)異側(cè)時(shí)，由角平分線定理可得，則，可得，所以；綜上，.故答案為：6．【分析】設(shè)，利用雙曲線定義，結(jié)合余弦定理求得，再利用余弦定理建立方程求出離心率.【詳解】令，則，在中，由余弦定理得，解得，則，令，在中，由余弦定理得，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.規(guī)律方法：此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．【考點(diǎn)二】利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍一、單選題1．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則橢圓的離心率范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（21-22高二上·湖南永州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線離心率的范圍為B．直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則C．動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是某雙曲線的一支D．點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線4．（22-23高二上·重慶九龍坡·期末）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．若直線l與雙曲線左右兩支各一個(gè)交點(diǎn)，則直線l的斜率范圍為）B．點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為C．若直線AB垂直于x軸，且△ABM為銳角三角形，則雙曲線的離心率取值范圍為D．記的內(nèi)切圓的半徑為r1，的內(nèi)切圓的半徑為，若，則三、填空題5．（21-22高二上·黑龍江綏化·期中）已知橢圓上有一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使得為直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，則橢圓的離心率的范圍是．6．（21-22高三上·浙江紹興·期末）已知是雙曲線.左，右焦點(diǎn)，若上存在一點(diǎn)，使得成立，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是.參考答案：題號(hào)1234答案AAACDACD1．A【分析】由題可知六個(gè)點(diǎn)，有兩個(gè)是短軸端點(diǎn)，因此在四個(gè)象限各一個(gè)，設(shè)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，分或，列方程組求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由可得離心率范圍；或結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等關(guān)系即得．【詳解】法一：顯然，是短軸端點(diǎn)時(shí)，，滿足為等腰三角形，因此由對(duì)稱性，還有四個(gè)點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)，設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時(shí)，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個(gè)，不合題意．綜上，的范圍是．法二：①當(dāng)點(diǎn)與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿足條件的；②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點(diǎn)滿足為等腰三角形即可，則或當(dāng)時(shí)，則，即，則，當(dāng)時(shí)，則有，則，綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.故選：A.2．A【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線過定點(diǎn)可得點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，整理不等式可得離心率.【詳解】將直線整理可得，易知該直線恒過定點(diǎn)，若直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；易知橢圓上的點(diǎn)當(dāng)其橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為，即可得，整理可得，即，解得.故選：A3．ACD【分析】對(duì)A，結(jié)合題意知，結(jié)合離心率公式可求；對(duì)B，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，分類討論和可求值；對(duì)C，設(shè)動(dòng)圓半徑為，結(jié)合圓心距關(guān)系和雙曲線定義可判斷正確；對(duì)D，將已知條件轉(zhuǎn)化為到定點(diǎn)距離等于到定直線距離，由定點(diǎn)在定直線上可判斷.【詳解】對(duì)A，由雙曲線漸近線性質(zhì)可知，若過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則直線斜率大于漸近線斜率，即，，解得，又雙曲線離心率大于1，故，故A正確；對(duì)B，由可得，當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)圓的圓心為，圓的圓心為，動(dòng)圓圓心為，半徑為，則，，故點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，的雙曲線右支上，故C正確；對(duì)D，可將翻譯為：動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，又經(jīng)過，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條過點(diǎn)，且垂直于的一條直線，故D正確.故選：ACD4．ACD【分析】設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)題意，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，利用韋達(dá)定理即可求解，判斷選項(xiàng)；求出右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，進(jìn)而判斷選項(xiàng)；要使為銳角三角形，則，所以，進(jìn)行等量代換求出離心率的取值即可判斷選項(xiàng)；根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點(diǎn)先求出兩圓的內(nèi)心在上，然后利用三角形相似求出的值，進(jìn)而求出，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，設(shè)直線與雙曲線左右兩支的交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則，也即，解得：，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，設(shè)右焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為：，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若直線AB垂直于x軸，則直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)，，要使為銳角三角形，由雙曲線的對(duì)稱性可知：，則，即，所以，又因?yàn)?，則，也即，整理可得：，則，解得：，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，過分別作的垂線，垂足為，則，因?yàn)?，則，又因，則，所以，即在直線上，同理也在直線上，所以軸，因?yàn)?，則，所以，由可知：，則，也即，因?yàn)?，，所以，，故選項(xiàng)正確，故選：.5．【分析】根據(jù)題意判斷，以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，再求得點(diǎn)P在y軸上時(shí)的離心率，最后根據(jù)橢圓的離心率越大橢圓越扁求得答案.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性，為直角，共有4個(gè)位置，為直角，共有4個(gè)位置，于是以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn).又離心率越大橢圓越扁，而當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，，于是，若要滿足題意，.故答案為：.6．【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)，則，先求出，，由條件可得，再根據(jù)，根據(jù)建立不等式從而可得答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)，則，則則同理可得由，可得，又所以，即，即所以，即，即，即所以，即故答案為：規(guī)律方法：利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角，通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解．【考點(diǎn)三】利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍核心梳理：一、單選題1．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）焦點(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，則橢圓離心率的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，它們的離心率分別為、，點(diǎn)為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高二上·廣東深圳·期中）下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線的傾斜角的范圍是C．方程表示的曲線是雙曲線D．曲線與曲線恰有三條公切線，則4．（23-24高三上·湖北·開學(xué)考試）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，則（

）A．若，則的面積為B．存在弦的中點(diǎn)為，此時(shí)直線的方程為C．若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為D．直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，則三、填空題5．（2022·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為.6．（21-22高三上·浙江嘉興·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，P?Q是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，M?N分別是PF?QF的中點(diǎn)，若以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的范圍是.參考答案：題號(hào)1234答案CCBDACD1．C【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨設(shè)矩形的對(duì)角線所在的直線方程為：（假設(shè)），與橢圓方程聯(lián)立可得矩形的面積，變形利用基本不等式結(jié)合題意求解即可.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨設(shè)矩形的對(duì)角線所在的直線方程為：（假設(shè)），聯(lián)立，則，解得：，，所以矩形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因?yàn)辄c(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，所以，則，即，，即，解得：，即.故選：C.2．C【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，焦距．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義,得，,在中,根據(jù)余弦定理可得到，，與的關(guān)系式，進(jìn)而可得，設(shè)則有，所以，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.【詳解】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，焦距，點(diǎn)為第一象限交點(diǎn)．則，，解得，，如圖：在中,根據(jù)余弦定理可得：，整理得，即，設(shè)則有，，所以，即有，所以，所以===，設(shè),則,令，得，所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)趨于1時(shí)，趨于2，所以，即：.故選：C.3．BD【分析】代入驗(yàn)證知A錯(cuò)誤，確定得到B正確，軌跡為兩條射線，C錯(cuò)誤，確定兩圓外切，根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：將代入驗(yàn)證不成立，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：直線的斜率為，直線傾斜角為，，，則，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，表示到點(diǎn)和的距離之差的絕對(duì)值為，軌跡為兩條射線，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，，兩圓有三條公切線，故兩圓外切，故，解得，正確；故選：BD4．ACD【分析】選項(xiàng)A：利用雙曲線的定義結(jié)合余弦定理求解和三角形面積公式求解，選項(xiàng)B：利用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系判斷，選項(xiàng)C：利用斜率公式可得和斜率的乘積是定值判斷，選項(xiàng)D:設(shè)直線帶入，通過證明和中點(diǎn)重合判斷即可.【詳解】在雙曲線中，，，，且，，，，選項(xiàng)A：設(shè)，，由雙曲線定義得：，兩邊平方得①，在中，由余弦定理可得②，①②聯(lián)立解得，所以的面積為，A正確；選項(xiàng)B：設(shè)，，則，兩式相減得，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，，因此由可得，此時(shí)直線的方程為，代入雙曲線的方程消去可得，此時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線無公共點(diǎn)，說明此時(shí)直線不存在，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，則，即，又直線與的斜率的乘積，所以若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為，C正確；選項(xiàng)D：設(shè)，當(dāng)時(shí)表示雙曲線，當(dāng)時(shí)表示該雙曲線的兩條漸近線，設(shè)直線帶入得，應(yīng)滿足，且，由韋達(dá)定理可得，，與無關(guān)，所以線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，不妨設(shè)為，則由，可得，D正確；

故選：ACD【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點(diǎn)、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握.5．【分析】由直線與雙曲線有交點(diǎn)，得在一三象限的漸近線的斜率大于1，得出的一個(gè)范圍．雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，與軸交于點(diǎn)，由平面幾何的知識(shí)及雙曲線定義得，在直角三角形中由邊的關(guān)系得不等式，得出的范圍，同時(shí)由的范圍又是一個(gè)不等關(guān)系，從而得出離心率范圍．【詳解】雙曲線C與直線有交點(diǎn)，則，，解得，雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則點(diǎn)在右支上，設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性，所以，所以，，所以，由得，所以，又中，，，所以，即，綜上，．故答案為：．6．【分析】設(shè)點(diǎn)，利用條件可知得到關(guān)于的方程，再聯(lián)立，用含的式子表示出，再利用的取值范圍，即得出離心率的范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，又點(diǎn)，∴，又以為直徑的圓過原點(diǎn)，則有,所以，即，∴，又，所以，得，∴，整理得：，解得，又，所以.故答案為：.規(guī)律方法：利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長(zhǎng)度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不含左右端點(diǎn)），左右端點(diǎn)為，則離心率e的范圍為（

）A． B． C． D．2．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線，若橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值之和為，則橢圓的離心率范圍是（

）A． B．C． D．3．（21-22高二上·湖南邵陽·期末）設(shè)為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（21-22高二上·遼寧葫蘆島·期末）橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線左、右頂點(diǎn)為A，B，若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．6．（22-23高三下·四川成都·開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是右支上一點(diǎn)，且，設(shè)，當(dāng)雙曲線C的離心率范圍為時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（22-23高二上·北京房山·期末）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在右支上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線離心率e的范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·江西·二模）已知雙曲線E:,其左右頂點(diǎn)分別為,,P在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng),若的角平分線交x軸于D點(diǎn),關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,若僅存在2個(gè)P使直線與E僅有一個(gè)交點(diǎn),則E離心率的范圍為(

)A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)矩形的長(zhǎng)是寬的2倍，以該矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線W經(jīng)過另外兩個(gè)頂點(diǎn)，則W的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．10．（23-24高二下·湖北孝感·期中）設(shè)橢圓與雙曲線（其中）的離心率分別為，，且直線與雙曲線的左、右兩支各交于一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是11．（22-23高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，，分別是，的離心率，點(diǎn)M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則以下判斷正確的有（

）A．面積為B．若，則C．若，則的取值范圍為D．若，則的取值范圍為三、填空題12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則離心率的范圍為．13．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少有兩個(gè)位置使得，則橢圓C的離心率范圍是．14．（23-24高二上·江西南昌·期中）設(shè)，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，曲線，在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是.參考答案：題號(hào)12345678910答案BAABDBDDACDACD題號(hào)11答案ABD1．B【分析】將條件中的不等式用坐標(biāo)表示，再結(jié)合橢圓方程化簡(jiǎn)不等式，即可求解橢圓的離心率的范圍.【詳解】設(shè)，，，，，由題意可知，，即，得，則.故選：B2．A【分析】先將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，由求出的范圍，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，sinθ），然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P到直線的距離，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得的最值，從而可得當(dāng)直線與橢圓相切或相離時(shí)滿足題意，再由可求出離心率的范圍【詳解】解：聯(lián)立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，因?yàn)橹本€l與橢圓C相離或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，∴1<a2≤3，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，sinθ），則點(diǎn)到直線l的距離，其中，d的最小值?最大值分別為：，，滿足最大值與最小值之和為，∴1<a2≤3，.故選：A.3．A【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因?yàn)?，解得故選：A.4．B【分析】求得，可得出，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，因?yàn)榕c在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因?yàn)?，則，故.故選：B.5．D【分析】由題可得與雙曲線有公共點(diǎn)，據(jù)此可得答案.【詳解】易知，設(shè)，則，所以，又，所以，即，所以，即直線與雙曲線有公共點(diǎn).聯(lián)立與雙曲線方程，有，消去得：，則要使方程有根，需使.故選：D6．B【分析】結(jié)合雙曲線的定義和正弦定理可得：，然后利用兩角和的正弦公式和輔助角公式可得，然后結(jié)合離心率的取值范圍即可求解.【詳解】在中，由．因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍為．故選：.7．D【分析】設(shè)，，其中，設(shè)直線方程為，其中利用點(diǎn)到直線的距離為，得到關(guān)于表達(dá)式，再利用可得答案.【詳解】設(shè)，，其中，設(shè)直線方程為，則.因點(diǎn)到直線的距離為，則則，則.故選：D8．D【分析】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，我們可證直線且，據(jù)此可求離心率的范圍.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，由題設(shè)可得不為右頂點(diǎn).設(shè)Px0,雙曲線在Px0,由可得，整理得到：，故，整理得：即，故，故切線方程為：即.

因?yàn)榇嬖?個(gè)P使直線與E僅有一個(gè)交點(diǎn)，故由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)在第一象限，此時(shí)，均為銳角且存在唯一的滿足題設(shè)條件.故直線與漸近線平行或與雙曲線相切或.若直線與漸近線平行，則，而為的平分線，故其傾斜角滿足，故，故，故，但,故，而，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，這不可能，故直線與漸近線不平行.若直線與雙曲線相切，且切點(diǎn)為Px0雙曲線在的切線方程為：，故且該切線的斜率為，所以直線的斜率為.此時(shí)，而，即，故，矛盾.故直線，所以，而直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且在之間，故，由在第一象限內(nèi)的唯一性可得存在唯一的，使得，而，故，所以即，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解析幾何中圓