22-2第二型曲面積分

第2節(jié)一、曲面的側(cè)二、型曲面積分的概念三、型曲面積分的計(jì)算四、兩類曲面積分的聯(lián)系型曲面積分2021/6/27一、曲面的側(cè)?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)2021/6/27莫比烏斯帶(單側(cè)曲面的典型)2021/6/27其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)S為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定:類似可規(guī)定:2021/6/27二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過有向曲面S的流量E.分析:若S是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

2021/6/27對(duì)一般的有向曲面S,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則2021/6/27設(shè)S

為光滑的有向曲面,在S

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);S

叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)S的任

則稱此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積2.定義.2021/6/27引例中,流過有向曲面S的流體的流量為稱為Q

在有向曲面S上對(duì)

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面S上對(duì)

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面S上對(duì)

y,z

的曲面積分;若記S正側(cè)的單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式2021/6/273.性質(zhì)(1)若之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用Sˉ

表示S

的反向曲面,則2021/6/27三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理.

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是S

上的連續(xù)函數(shù),則證:∵S取上側(cè),2021/6/27

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面S

取下側(cè),則2021/6/27解:

把S

分為上下兩部分根據(jù)對(duì)稱性

思考:

下述解法是否正確:例1.計(jì)算曲面積分其中S

為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.2021/6/272021/6/27例2.計(jì)算解：2021/6/272021/6/27由對(duì)稱性可得：2021/6/27例3.

計(jì)算其中S

是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解:

利用(輪換)對(duì)稱性.原式S

的頂部取上側(cè)S的底部取下側(cè)2021/6/27例4.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:

利用輪換對(duì)稱性,有2021/6/27四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫2021/6/27令向量形式(A在

n上的投影)2021/6/27例5.

位于原點(diǎn)電量為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為解:。求E

通過球面S:r=R外側(cè)的電通量

.2021/6/27例6.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解:2021/6/27例7.

計(jì)算曲面積分其中S解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).2021/6/27原式2021/6/27內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

2021/6/27性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲線積分的定義一個(gè)與S

的方向無(wú)關(guān),一個(gè)與S2021/6/272.常用計(jì)算公式及方法面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化2021/6/27當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.2021/6/27思考與練習(xí)是平面在第四卦限部