高中物理必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型題解析

第五章平拋運(yùn)動(dòng)

§5-1曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)&運(yùn)動(dòng)的合成及分解

一、曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

L定義：物體運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)。

2.條件：運(yùn)動(dòng)物體所受合力的方向跟它的速度方向不在同始終線(xiàn)上。

3,特點(diǎn)：①方向：某點(diǎn)瞬時(shí)速度方向就是通過(guò)這一點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方向。

②運(yùn)動(dòng)類(lèi)型：變速運(yùn)動(dòng)（速度方向不斷變更）。

③F合W0,肯定有加速度a。

④F臺(tái)方向肯定指向曲線(xiàn)凹側(cè)。

⑤F合可以分解成程度和屢直的兩個(gè)力。

4.運(yùn)動(dòng)描繪一一蠟塊運(yùn)動(dòng)

二、運(yùn)動(dòng)涉及的公式：的合成及分解

1.合運(yùn)動(dòng)v=及分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：等時(shí)

性、獨(dú)立,A匕性、等效性、矢量性。

tan9=——

叭

2.互成角度的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的推

斷：

①兩個(gè)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍舊是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

②速度方向不在同始終線(xiàn)上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是勻

變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其合運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，a臺(tái)為分運(yùn)動(dòng)的加速度。

③兩初速度為0的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍舊是勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

④兩個(gè)初速度不為0的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)可能是直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)也可能是曲

線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的初速度的和速度方向及這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的和加速度在

同始終線(xiàn)上時(shí)，合運(yùn)動(dòng)是勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，否則即為曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

三、有關(guān)“曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)”的兩大題型船俯視圖

繩河

（一）小船過(guò)河問(wèn)題

后F岸

..________一模型一：過(guò)河時(shí)間t最短:模型二：干脆位移X最

Vm，短:模型三：間接位移之最抵

［觸類(lèi)型］1、（20171年上海卷）如圖5-4所示，水流方向01-------

*minLsmU

T意町避以速度v行走，且通過(guò)不行伸長(zhǎng)的繩蟬虹v

P水min

船沿繩的方向行進(jìn).此過(guò)程中繩始終及水面平行，引蜀

及河岸的夾角為。時(shí)，船的速率為（C）。

解析：依題意，船沿著繩子的方向前進(jìn)，即船的速度總d

是沿著繩子的，根據(jù)繩子兩端連接的物體在繩子方向上的投影速度一樣，可

知人的速度V在繩子方向上的重量等于船速，故

v*=vcosa,C正確.

2.（2011年江蘇卷）如圖5-5所示，甲、乙兩同學(xué)從河中0點(diǎn)動(dòng)身，分別

沿直線(xiàn)游到A點(diǎn)和B點(diǎn)后，馬上沿原路途返回到0點(diǎn)，0A、0B分別及水

流方向平行和垂直，且OA=OB.若水流速度不變，兩人在靜水中游速相等，

則他們所用時(shí)間t甲、t乙的大小關(guān)系為（C）

A.t甲乙B.t甲=t乙

C.t甲＞t乙D.無(wú)法確定

解析：設(shè)游速為匕水速為％,OA=OB=1,則1甲=+——；乙沿0B

v，+%V—Vo

運(yùn)動(dòng)，乙的速度矢量圖如圖4所示,合速度必需沿出方向，則［乙=2--rJ,

聯(lián)立解得力甲＞1乙，c正確.

（二）繩桿問(wèn)題（連帶運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）

1、本質(zhì)：合運(yùn)動(dòng)的識(shí)別及合運(yùn)動(dòng)的分解。

2、關(guān)鍵：①物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合速度，分速度的方向要按實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果

確定；

②沿繩（或桿）方向的分速度大小相等。

模型四：如圖甲，繩子一頭連著物體B,一頭拉小船A,這時(shí)船的運(yùn)動(dòng)方向不

沿繩子。

處理本粘付出瞥、，如小船的速度以沿繩楓之垂直于繩的方向分解為V1

和V2，V1就是拉繩曲誓，）微是小船的賣(mài)他娶

［觸類(lèi)旁通］如E仁在程度地面上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)'前W車(chē)，通過(guò)定滑輪用繩子

吊起一個(gè)物體，若畀車(chē)和被吊物體在同一時(shí)刻的速度分別為V1和v2,則下

列說(shuō)法正確的是（C）

A.物體做勻速運(yùn)動(dòng)，且v2=viB.物體做加速運(yùn)動(dòng)，且v2>vi

C.物體做加速運(yùn)動(dòng)，且v2<V1D.物體做減速運(yùn)動(dòng)，且v2<V1

解析：汽車(chē)向左運(yùn)動(dòng)，這是汽車(chē)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，故為汽車(chē)的合運(yùn)動(dòng).汽車(chē)的運(yùn)

動(dòng)導(dǎo)致兩個(gè)效果：一是滑輪到汽車(chē)之間的繩變長(zhǎng)了；二是滑輪到汽車(chē)之間的

繩及豎直方向的夾角變大了.明顯汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)是由沿繩方向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和垂

直于繩變更繩及豎直方向的夾角的運(yùn)動(dòng)合成的，故應(yīng)

分解車(chē)的速度，如圖，沿繩方向上有速度V2=v1sin0.

由于Vi是恒量，而。漸漸增大，所以v2漸漸增大，

故被吊物體做加速運(yùn)動(dòng)，且v2<Vi,C正確.

§5-2平拋運(yùn)動(dòng)&類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)

—>拋體運(yùn)動(dòng)

L定義：以肯定的速度將物體拋出，在空氣阻力可以

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

忽視的狀況下，物體只受重力的作用，它的運(yùn)動(dòng)即為拋體運(yùn)動(dòng)。

2.條件：①物體具有初速度；②運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受G。

二、平拋運(yùn)動(dòng)

L定義：假設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的初速度是沿程度方向的，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就叫做平拋運(yùn)動(dòng)。

2,條件：①物體具有程度方向的加速度；②運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受G。

3?處理方法：平拋運(yùn)動(dòng)可以看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是程度方向的勻

速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)扈密直勢(shì)柄的自曲磁體運(yùn)蝦城焉夕味

4?規(guī)律：______

(2)速度：匕=%,vv=gi,v=Jy；+(gl)2,tan6>=—

%

—:胡雌軾懦趟虻科期里哪罹斕墻端Q的足

.卜冷W物理蝌鯉撮高徵雋福衲撮雕嚅和聶P鹿明明直

:乏于x軸的A1點(diǎn)(A點(diǎn)未畫(huà)出)，則0A的長(zhǎng)度為(B)

，喉咻無(wú)快面9二tana-2tan0。

JI圖5—3所示)，/r及。豎直方向的夾角為0,根據(jù)幾何關(guān)

系得tanci=Al)，由平拋運(yùn)動(dòng)得程度方向有w=豎直方向有

6=3^1③，由①②③式得tan4=7f7，在中，\E=btana=\,

乙LJU乙

所以0A=-

乙

5,應(yīng)用結(jié)論一一影響做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的飛行時(shí)間、射程及

落地速度的因素

a、飛行時(shí)間：/=行，t及物體下落高度h有關(guān)，及初速度V。無(wú)關(guān)。

b、程度射程:由Vo和h共同確定。

c、落地速度：v=+V；=+2gh,V由Vo和Vy共同確定。

三、平拋運(yùn)動(dòng)及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)常見(jiàn)問(wèn)題

模型一：斜面問(wèn)題：處理方法：1.沿程度方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的

［觸類(lèi)旁鯉歲巴華錮S瀚㈱運(yùn)渤渡拋泄廨閾、劃踴隨明遞謖動(dòng)痛豳1&1上

時(shí)，英述妙*?蟠腌^曲闞廛曲L豳透動(dòng)J0中虛線(xiàn)所示.小球在豎直

在程度方向通閡㈱娜融圣謝到））B的時(shí)間：根據(jù)

解析：如圖5所示，平地聯(lián)褥歐鹿劣鱉酗響的夾角等于斜面傾角。，有tan

則下落高度及程度射程之比為歲=二=盧=-1〃，D正確.

gtx%12%2tan〃

樽型二,臨界間杲恥I

思路分析：排球的運(yùn)動(dòng)可看作平拋運(yùn)動(dòng)，把它分解為下加

程度

有一公

■■擊僦的弟

解答：（1）如

電位移關(guān)系：，

設(shè)球剛好打在邊界線(xiàn)上，則落地點(diǎn)X2=12m,y2=h2=2.5m,代入上面速度公1-31------9m——

式可求得：、=120111/S,欲使球既不觸網(wǎng)也不越界，則球初速度”應(yīng)滿(mǎn)足：3V10m/s<v0<12V2m/s

/,

（2）設(shè)擊球點(diǎn)高度為h」時(shí)，球恰好既觸網(wǎng)又壓線(xiàn)，如圖所示。

再設(shè)此時(shí)排球飛出的初速度為v,對(duì)觸網(wǎng)點(diǎn)X3=3m,y3=h3-hl=h3-2代入（1）1”、、、

中速度公式可得：、"3用1

對(duì)壓界點(diǎn)x,=12m,y,=h3,代入（1）中速度公式可得：、,=12聘<2>Im+9m4

<1>、<2>兩式聯(lián)立可得%=2.13m,即當(dāng)擊球高度小于2.13m時(shí)，無(wú)論球被水平擊出的速度多大，球不是觸網(wǎng),

就是出界。

又因?yàn)閤>八聯(lián)立①②③式解得r=47T木-

§5-3圓周運(yùn)動(dòng)&向心力&生活中常見(jiàn)圓周運(yùn)動(dòng)

一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)

L定義：物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓的運(yùn)動(dòng)叫做圓周運(yùn)動(dòng)，物體運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度大小

不變的圓周運(yùn)動(dòng)即為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

2,特點(diǎn)：①軌跡是圓；②線(xiàn)速度、加速度均大小不變，方向不斷變更，故屬

于加速度變更的變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度恒定；③勻速圓周運(yùn)

動(dòng)發(fā)生條件是質(zhì)點(diǎn)受到大小不變、方向始終及速度方向垂直的合外力；④勻

速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)周而復(fù)始地出現(xiàn)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性。

3.描繪圓周運(yùn)動(dòng)的物理量：

（1）線(xiàn)速度v是描繪質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量；其方向沿軌跡

切線(xiàn)，國(guó)際單位制中單位符號(hào)是m/s,勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，v的大小不變，方向

卻始終在變；

（2）角速度3是描繪質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量；國(guó)際單位符號(hào)

是rad/s；

（3）周期T是質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)一周所用時(shí)間，在國(guó)際單位制中單位符號(hào)是s；

（4）頻率f是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)完成一個(gè)完好圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，在國(guó)際單位

制中單位符號(hào)是Hz；

（5）轉(zhuǎn)速n是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)，單位符號(hào)為r/s,以及r/min.

4.各運(yùn)動(dòng)參量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

5.三種常見(jiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)裝置及其特點(diǎn)：

模型一：”軸傳動(dòng)模型二:皮帶傳動(dòng)模型

i年逋Ng/內(nèi)壁光滑的隊(duì)?土筒的軸線(xiàn)垂直于程度燙吸一

?質(zhì)量一樣的/卜球小和6沿著筒的內(nèi)壁

Jy=y"=▲么?

VARTK

T

0=%，一=一，北=BTV/，K必

程度面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，4的運(yùn)動(dòng)半徑較大，則(AC)

A.4球的角速度必小于8球的角速度

B.力球的線(xiàn)速度必小于〃球的線(xiàn)速度

C.力球的運(yùn)動(dòng)周期必大于8球的運(yùn)動(dòng)周期

D./球?qū)ν脖诘膲毫Ρ卮笥诜角驅(qū)ν脖诘膲毫?/p>

解析：小球A、B的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即運(yùn)動(dòng)條件均一樣，屬于三種模型中的皮帶傳送。

則可以知道，兩個(gè)小球的線(xiàn)速度v一樣，B錯(cuò)；因?yàn)镽A>RB,則3A<G)B,T,,<TB,A.C

正確；又因?yàn)閮尚∏蚋鞣矫鏃l件均一樣，所以，兩小球?qū)ν脖诘膲毫σ粯?，D

錯(cuò)。所以A、C正確。

2、兩個(gè)大輪半徑相等的皮帶輪的構(gòu)造如圖所示，AB兩個(gè)個(gè)廠廠下不

點(diǎn)的半徑之比為2:1,CD兩點(diǎn)的半徑之比也為2:1,上

則ABCD四點(diǎn)的角速度之比為1：1：2：2,這四點(diǎn)的線(xiàn)速度之比為2：

1：4：2o

二、向心加速度

L定義：任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向圓心，這個(gè)加速度叫向

心加速度。

注：并不是任何狀況下，向心加速度的方向都是指向圓心。當(dāng)物體做變速圓

盾運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的一個(gè)分加速度指向圓心。

2.方向：在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，始終指向圓心，始終及線(xiàn)速度的方向垂直。向

心加速度只變更線(xiàn)速度的方向而非大小。

3.意義：描繪圓周運(yùn)動(dòng)速度方向方向變更快慢的物理量。

2

4?公式：alt=—=cvr=vcv=r=(2刀7尸廠

5.兩個(gè)函數(shù)圖像：

TaiTa.,/

［觸類(lèi)旁通］1、如圖所示的吊臂上有一個(gè)可以沿程度方向運(yùn)

(

動(dòng)的小車(chē)A,小車(chē)下裝有吊著物體B的吊鉤c在小車(chē)A及B

物體B以一樣的程度速度沿吊臂方向勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，吊8

鉤將物體B向上吊起。A、B之間的間隔以d二H-—

2t2（3SI）（SI表示國(guó)際單位制，式中H為吊臂離地面的高度）規(guī)律變更。對(duì)于地

面的人來(lái)說(shuō)，則物體做（AC）

A.速度大小不變的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

B.速度大小增加的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

C.加速度大小方向均不變的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

D.加速度大小方向均變更的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

2、如圖所示，位于豎直平面上的圓弧軌道光滑，半徑為R,0B沿豎直方向，

上端A距地面高度為H,質(zhì)量為ni的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的

2,方向：總是指向圓心。

2(2Y

3.公式:Fn=m^=m^r=mvco=m^\r=m(2miyr.

4,幾個(gè)留意點(diǎn)：①向心力的方向總是指向圓心，它的方向時(shí)刻在變更，雖然

它的大小不變，但是向心力也是變力。②在受力分析時(shí)，只分析性質(zhì)力，而

不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。③描繪做勻速圓周運(yùn)

動(dòng)的物體時(shí)，不能說(shuō)該物體受向心力，而是說(shuō)該物體受到什么力，這幾個(gè)力

的合力充當(dāng)或供應(yīng)向心力。

四、變速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法

L特點(diǎn)：線(xiàn)速度、向心力、向心加速度的大小和方向均變更。

2,動(dòng)力學(xué)方程：合外力沿法線(xiàn)方向的分力供應(yīng)向心力：=〃/…合外力

r

沿切線(xiàn)方向的分力產(chǎn)生切線(xiàn)加速度：FT=moaTo

3.離心運(yùn)動(dòng)：

(1)當(dāng)物體實(shí)際受到的沿半徑方向的合力滿(mǎn)意F供二F需二m32r時(shí);物體做圓周

運(yùn)動(dòng)；當(dāng)F供〈F需二m32r時(shí)，物體做離心運(yùn)動(dòng)。

(2)離心運(yùn)動(dòng)并不是受“離心力”的作用產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，而是慣性的表現(xiàn)，是

F供〈F需的結(jié)果；離心運(yùn)動(dòng)也不是沿半徑方向向外遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。

五、圓周運(yùn)動(dòng)的典型類(lèi)型

類(lèi)型受力特點(diǎn)圖示最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況

用細(xì)繩拴2

一小球在繩對(duì)球只有廠①若F=0,貝Img=^~,v=^/gR

豎直平面拉力

h②若F豐0,K'Jv>VgR

內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)

2

①右F—0,則mg—R,v—^/gR

小球固定

7—

在輕桿的桿對(duì)球可以②若F向下，則mg+F—％,v>VgR

一端在豎是拉力也可

直平面內(nèi)以是支持力mv?

③若F向上，則mgF—或mgF—0,

轉(zhuǎn)動(dòng)K

貝“owv<q就

管對(duì)球的彈

小球在豎

力R可以向根據(jù)mg—推斷，若v—VQ,F—0;若v<v,

直細(xì)管內(nèi)KN0

上也可以向

轉(zhuǎn)動(dòng)FN向上；若V>Vo,FN向下

下?

①假設(shè)剛好能通過(guò)球殼的最高點(diǎn)A,則VA=

在最高點(diǎn)時(shí)0,F=mg

球殼外的N

彈力耳的方②假設(shè)到達(dá)某點(diǎn)后分開(kāi)球殼面，該點(diǎn)處小球

小球

向向上受到殼面的彈力FN=O,之后改做斜拋運(yùn)動(dòng)，

A若在最高點(diǎn)分開(kāi)則為平拋運(yùn)動(dòng)

六、有關(guān)生活中常見(jiàn)圓周運(yùn)動(dòng)的涉及的幾大題型分析

（一）解題步驟：

①明確探討對(duì)象；

②定圓心找半徑；

③對(duì)探討對(duì)象進(jìn)展受力分析；

④對(duì)外力進(jìn)展正交分解；

⑤列方程:將及和物體在同一圓周運(yùn)動(dòng)平面上的力或其分力代數(shù)運(yùn)算

后，另得數(shù)等于向心力；

⑥解方程并對(duì)結(jié)果進(jìn)展必要的探討。

（二）典型模型：

I、圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

談一談：圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題屬于一般的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，無(wú)非是由物體的受力狀況確

定物體的運(yùn)動(dòng)狀況，或者由物體的運(yùn)動(dòng)狀況求解物體的受力狀況。解題思路

就是，以加速度為紐帶，運(yùn)用那個(gè)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程，求解

并探討。

模型一:火車(chē)轉(zhuǎn)彎問(wèn)題：人

a、涉及公衣:七=mgtanO?mgsin0-ing—①

L

R.[②，由①②得：咻=.陛。

咨/地拱橋吧蹩："

模型二:

r.EI”冰帖

b、

替

汽車(chē)過(guò)拱橋時(shí)不

的，由知麗森撿羋薪可

車(chē)輪

、'I——

示，彎道處的回弧半彳粗S柝潮謙鄭杼勺叫車(chē)轉(zhuǎn)彎郵:內(nèi)軌

速度小于，貝ij（A）（1）u=再，汽車(chē)對(duì)橋面的壓力為o,汽車(chē)出于完全失重狀態(tài):

A.內(nèi)軌對(duì)內(nèi)側(cè)車(chē)輪輪建有勒斯，汽車(chē)對(duì)橋面的壓力為

B.外軌對(duì)外側(cè)車(chē)輪匏§彖營(yíng)次壓汽車(chē)將脫離橋面，出現(xiàn)飛車(chē)現(xiàn)象。

c、留意：同樣，當(dāng)汽車(chē)過(guò)凹形橋底端時(shí)滿(mǎn)意幾7郎=加1,汽車(chē)對(duì)

眼的溪伸初院逮懺對(duì)小春有喳置有上的m舟力F,其大小等于小

C.這時(shí)鐵軌對(duì)火車(chē)的支持力等于N

k“撇懈^九聯(lián)樹(shù);噢筋率輕狗h膝詞甌通迎最麟s

D.這時(shí)鐵軌對(duì)火車(chē)⑵的落支當(dāng)持福力大謙于轆耨贏輸懶右饌槨男卻哆瞥善整春蟲(chóng)大小

解析：當(dāng)內(nèi)外軌對(duì)輪緣沒(méi)有擠壓時(shí)，物體受重力和支持力的合力供應(yīng)向心力,

此時(shí)速度為廊麗。

2、如圖所示，質(zhì)量為m的物體從半徑為R的半球形碗邊向碗

底滑動(dòng)，滑倒最低點(diǎn)時(shí)的速度為若物體滑倒最低點(diǎn)時(shí)受

到的摩擦力是f,則物體及碗的動(dòng)摩擦因數(shù)u為(B)o

A、j_B、拄C、fRD、二

mgR+mv2nif＞R-ntv2mv

解析：設(shè)在最低點(diǎn)時(shí)，碗對(duì)物體的支持力為F,則尸一郎="=〃1，解得

V

F=mg+in—9由

f二DF解得〃=化簡(jiǎn)得〃=廣,所以B正確。

VmgR+mv~

mg+m-

IK圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

A.常見(jiàn)豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)的臨界問(wèn)題

談一談：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)于物體在豎直平

面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，中學(xué)物理只探討問(wèn)題通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的狀

況，并且常常出現(xiàn)有關(guān)最高點(diǎn)的臨界問(wèn)題。

模型三：輕繩約束、單軌約束初牛贏小心殛述圓胤最高瑪)

(1)臨界條件：小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力或單軌

橙鬼尸.擇日軌約耀禰世等，超^淹居盎鬻迨向心力。即：

2

“'臨界/R

/J(1)嗡察不誣了即手錠壽前雙軌的支撐作用，小球恰能到達(dá)最

。洲娜觸懶用孰―摩發(fā)回繩

田z.

隨小球速度的增大而減小，其取值范圍是0＜外,＜叫;

的速度為4m/s,g取10m/s2,求:

（1）在最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力？

（2）在最高點(diǎn)時(shí)水對(duì)小杯底的壓力？

（3）為使小杯經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)水不流出，在最高點(diǎn)時(shí)最小速率/

t

是多少？\

答案：（1）9N,方向豎直向下；（2）6N,方向豎直向上；（3）m/s=、'

3.16m/s

2、如圖所示，細(xì)桿的一端及一小球相連，可繞過(guò)0點(diǎn)的程度軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)

給小球一初速度，使其做圓周運(yùn)動(dòng)，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和

最高點(diǎn)，則桿對(duì)球的作用力可能是（AB）

A.a處為拉力，b處為拉力

力

C.a處為推力，b處為拉力

為推力

3、如圖所示，LMPQ是光滑軌道，LM程度，長(zhǎng)為5m,MPQ是一半徑R=l.6ni的

半圓，Q0M在同一豎直面上，在恒力F作用工，質(zhì)量n^lkg的物體A從L點(diǎn)

由靜止開(kāi)場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)M時(shí)馬上停頓用力，欲使A剛好能通過(guò)Q點(diǎn)，則力

F大小為多少？（取g二lOm/s?）

解析；物體A經(jīng)過(guò)Q時(shí)，其受力狀況如圖所示：

由牛頓第二定律得：mg+F=m—

NR

物體A剛好過(guò)A時(shí)有FN=0;解得u=J/=4m/s

對(duì)物體從L到Q全過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

F'LM—2mgR=gmv2,解得F—8N0

b

B.物體在程度面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

談一談：在程度面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度3變更

時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)（半徑變更）的趨勢(shì)。這

時(shí)要根據(jù)物體的受力狀況推斷物體所受的某個(gè)力是否存在

以及這個(gè)力存在時(shí)方向如何（特殊是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。

模型左：轉(zhuǎn)盤(pán)問(wèn)吸理方法：先對(duì)A進(jìn)展受力分析，如圖所示，留意在分

UrAN

樽蝌舞忽視摩接酒作當(dāng)然手線(xiàn)設(shè)奉圈選期物羔滴肝臉

A,箕亡逋生及圓心等高的a處時(shí)，有一質(zhì)點(diǎn)B從圓心0處開(kāi)場(chǎng)做自由落

底通動(dòng)輪子的半徑為R,求：

⑴輪子的角速度3滿(mǎn)意什么條件時(shí)，點(diǎn)A才能及質(zhì)點(diǎn)B相遇？

⑵輪子的角速度3,滿(mǎn)意什么條件時(shí)，點(diǎn)A及質(zhì)點(diǎn)B的速度才有可能在某

時(shí)刻一樣?

解析：（1）點(diǎn)A只能及質(zhì)點(diǎn)B在d處相遇，即輪子的最低處，則點(diǎn)A從a

3

處轉(zhuǎn)到d處所轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)為。=2〃兀+展叮，其中刀為自然數(shù).

由力=:§/知，質(zhì)點(diǎn)夕從。點(diǎn)落到“處所用的時(shí)間為「=個(gè)”,則輪子的角

速度應(yīng)滿(mǎn)意條件

3=/=（2/?+|）冗\(yùn)/源其中〃為自然數(shù).

⑵點(diǎn)A及質(zhì)點(diǎn)B的速度一樣時(shí)，點(diǎn)A的速度方向必定向下，因此速度一

樣時(shí)，點(diǎn)A必定運(yùn)動(dòng)到了c處，則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到c處時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)為

O'=2nJi+n,其中n為自然數(shù).

轉(zhuǎn)過(guò)的時(shí)間為仁二=呼應(yīng)

CDCD

z

此時(shí)質(zhì)點(diǎn)B的速度為vB=gt,又因?yàn)檩喿幼鰟蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的速度

為VA=3'R

由VA=VR得，輪子的角速度應(yīng)滿(mǎn)意條件4=巧野，其中〃為自然數(shù).

2、（2009年高考浙江理綜）某校物理愛(ài)好小組確定實(shí)行遙控賽車(chē)競(jìng)賽.競(jìng)賽

途徑如下圖所示，賽車(chē)從起點(diǎn)A動(dòng)身，沿程度直線(xiàn)軌道運(yùn)動(dòng)L后，由B點(diǎn)進(jìn)

入半徑為R的光滑豎直圓軌道，分開(kāi)豎直圓軌道后接著在光滑平直軌道上運(yùn)

動(dòng)到C點(diǎn)，并能越過(guò)壕溝.已知賽車(chē)質(zhì)量m=0.lkg,通電后以額定功率P

=1.5W工作，進(jìn)入豎直軌道前受到的阻力恒為0.3N,隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的

阻力均可不記.圖中L=10.00m,R=0.32m,h=1.25m,x=L50m.問(wèn)：

要使賽車(chē)完成競(jìng)賽，電動(dòng)機(jī)至少工作多長(zhǎng)時(shí)間？（取g=10ni/s?）

解析：設(shè)賽車(chē)越過(guò)壕溝須要的最小速度為人由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

4=3m/s

x=匕t,h=~g^,解得:V\=

設(shè)賽車(chē)恰好越過(guò)圓軌道，對(duì)應(yīng)圓軌道最高點(diǎn)的速

度為如最低點(diǎn)的速度為匕，由牛頓第二定律及機(jī)械

能守恒定律得

mg=nrz不加。=大勿日+儂（2心

解得匕=或面=4m/s

通過(guò)分析比擬，賽車(chē)要完成競(jìng)賽，在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)當(dāng)是

%汨=4m/s

設(shè)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間至少為3根據(jù)功能關(guān)系

Pt—F「L'=,由此口J"得0=2.53s.

3、如下圖所示，讓擺球從圖中A位置由靜止開(kāi)場(chǎng)下擺,

好到最低點(diǎn)B位置時(shí)線(xiàn)被拉斷.設(shè)擺線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)=L6m,“<.二卻擺

球的質(zhì)量為0.5kg,擺線(xiàn)的最大拉力為10N,懸點(diǎn)及地面￡的

CD

2

豎直高度為H=4nb不計(jì)空氣阻力，g取10m/so求：

（1）擺球著地時(shí)的速度大小.（2）D到C的間隔。

解析：（1）小球剛擺到B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可知：

F,「ng=m}①,由①并帶入數(shù)據(jù)可解的：也=4〃z/s,

小球分開(kāi)B后，做平拋運(yùn)動(dòng).

豎直方向：H-l=42②,落地時(shí)豎直方向的速度：匕,=/③

2

落地時(shí)的速度大?。?舊+*④,由①②③④得：u=8〃z/s.

⑵落地點(diǎn)D到C的間隔s=vBt=^m.

第六章萬(wàn)有引力及航天

§6-1開(kāi)普勒定律

一、兩種對(duì)立學(xué)說(shuō)（理解）

L地心說(shuō)：

（1）代表人物：托勒密；（2）主要觀點(diǎn)：地球是靜止不動(dòng)的，地球是宇宙的

中心。

2.日心說(shuō)：

（1）代表人物：哥白尼；（2）主要觀點(diǎn)：太陽(yáng)靜止不動(dòng)，地球和其他行星都

繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。

二、開(kāi)普勒定律

L開(kāi)普勒第肯定律（軌道定律）：全部行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太

陽(yáng)處在全部橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

2,開(kāi)普勒第二定律（面積定律）：對(duì)隨意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它及太陽(yáng)的連線(xiàn)在相

等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。此定律也適用于其他行星或衛(wèi)星繞某一天體的運(yùn)

動(dòng)。

3.開(kāi)普勒第三定律（周期定律）：全部行星軌道的半長(zhǎng)軸R的三次方及公轉(zhuǎn)周

期T的二次方的比值都一樣，即￡=攵值是由中心天體確定的。通常將行星

T-

或衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)的軌道近似為圓，則半長(zhǎng)軸a即為圓的半徑。我們也

常用開(kāi)普勒三定律來(lái)分析行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率的大小。

［牛刀小試］1、關(guān)于“地心說(shuō)”和“日心說(shuō)”的下列說(shuō)法中正確的是（AB）。

A.地心說(shuō)的參考系是地球B.日心說(shuō)的參考系是太陽(yáng)

C.地心說(shuō)及日心說(shuō)只是參考系不同，兩者具有等同的價(jià)值D.日心說(shuō)是

由開(kāi)普勒提出來(lái)的

2、開(kāi)普勒分別于1609年和1619年發(fā)表了他發(fā)覺(jué)的行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，后人稱(chēng)之

為開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律。關(guān)于開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，下列說(shuō)法正確的是

（B）

A.全部行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是圓，太陽(yáng)處在圓心上

B.對(duì)任何一顆行星來(lái)說(shuō)，離太陽(yáng)越近，運(yùn)行速率就越大

C.在牛頓發(fā)覺(jué)萬(wàn)有引力定律后，開(kāi)普勒才發(fā)覺(jué)了行星的運(yùn)行規(guī)律

D.開(kāi)普勒獨(dú)立完成了觀測(cè)行星的運(yùn)行數(shù)據(jù)、整理觀測(cè)數(shù)據(jù)、發(fā)覺(jué)行星運(yùn)

動(dòng)規(guī)律等全部工作

§6-2萬(wàn)有引力定律

一、萬(wàn)有引力定律

L月一地檢驗(yàn)：①檢驗(yàn)人：牛頓；②結(jié)果：地面物體所受地球的引力，及月

球所受地球的引力都是同一種力。

2.內(nèi)容；自然界的任何物體都互相吸引，引力方向在它們的連線(xiàn)上，引力的

大小跟它們的質(zhì)量皿和叱乘積成正比，跟它們之間的間隔的平方成反比。

3.表達(dá)式：F=G*G=6.67xlO-UN.根2/必2（引力常量）.

r~

4,運(yùn)用條件：適用于相距很遠(yuǎn)，可以看做質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的互相作用，質(zhì)量

分布勻稱(chēng)的球體也可用此公式計(jì)算，其中r指球心間的間隔。

5.四大性質(zhì)：

①普遍性：任何客觀存在的有質(zhì)量的物體之間都存在萬(wàn)有引力。

②互相性：兩個(gè)物體間的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力及反作用力，滿(mǎn)意牛頓第三

定律。

③宏觀性：一般萬(wàn)有引力很小，只有在質(zhì)量宏大的星球間或天體及天體旁邊

的物體間，其存在才有意義。

④特殊性：兩物體間的萬(wàn)有引力只取決于它們本身的質(zhì)量及兩者間的間隔，

而及它們所處環(huán)境以及四周是否有其他物體無(wú)關(guān)。

6.對(duì)G的理解：①G是引力常量，由卡文迪許通過(guò)扭秤裝置測(cè)出，單位是

N,m21kg?o

②G在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)的互相吸引力大小。

③G的測(cè)定證明了萬(wàn)有引力的存在，從而使萬(wàn)有引力可以進(jìn)展定量計(jì)算，同

時(shí)標(biāo)記著力學(xué)試驗(yàn)精細(xì)程度的進(jìn)步，創(chuàng)始了測(cè)量弱互相作用力的新時(shí)代。

［牛刀小試］1、關(guān)于萬(wàn)有引力和萬(wàn)有引力定律理解正確的有（B）

A.不行能看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體之間不存在互相作用的引力

B.可看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的引力可用F等計(jì)算

C.由F二G華知，兩物體間間隔r減小時(shí)，它們之間的引力增大，緊

r

靠在一起時(shí)，萬(wàn)有引力特別大

D.引力常量的大小首先是由卡文迪許測(cè)出來(lái)的，且等于6.67X10-11N府

/kg2

2、下列說(shuō)法中正確的是（ACD）

A.總結(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)三條定律的科學(xué)家是開(kāi)普勒

B.總結(jié)出萬(wàn)有引力定律的物理學(xué)家是伽俐略

C.總結(jié)出萬(wàn)有引力定律的物理學(xué)家是牛頓

D.第一次準(zhǔn)確測(cè)量出萬(wàn)有引力常量的物理學(xué)家是卡文辿許

7.萬(wàn)有引力及重力的關(guān)系：

（1）“黃金代換”公式推導(dǎo)：

當(dāng)G=F時(shí)，就會(huì)有mg==GM=gR2。

⑵留意：①重力是由于地球的吸引而使物體受到的力，卜二

但重力不是萬(wàn)有引力。，

②只有在兩極時(shí)物體所受的萬(wàn)有引力才等于重力。

③重力的方向豎直向下，但并不肯定指向地心，物體在赤道上重力最小，在

兩極時(shí)重力最大。

④隨著緯度的增加，物體的重力減小，物體在赤道上重力最小，在兩極時(shí)重

力最大。

⑤物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變更很小，

因此在一般粗略的計(jì)算中，可以認(rèn)為物體所受的重力等于物體所受地球的吸

引力，即可得到“黃金代換”公式。

［牛刀小試］設(shè)地球外表的重力加速度為go,物體在距地心4R（R為地球半徑）

處，由于地球的作用而產(chǎn)生的重力加速度為g,則8：8。為（D）

A.16：1B.4：1C.1：4D.1：16

.萬(wàn)有引力定律及天體運(yùn)動(dòng)：

8/、

⑴運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：通常把天體的運(yùn)動(dòng)近似看成是勻速圓周/孫f\

運(yùn)動(dòng)。!邊￡

⑵從力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系角度分析天體運(yùn)動(dòng)：\J/

天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其速度方向時(shí)刻變更，

其所需的向心力由萬(wàn)有引力供應(yīng)，即F/F萬(wàn)。如圖所示，由牛頓第二定律得：

「=〃”弓=牛，從運(yùn)動(dòng)的角度分析向心加速度：

(2〃2

(3)重要關(guān)系式：GM,==m(jL=mL=w(2^)2L.

LL

［牛刀小試］1、兩顆球形行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b,衛(wèi)星的圓形軌道接

近各自行星的外表，假設(shè)兩顆行星的質(zhì)量之比，半徑之比二q,則兩顆衛(wèi)星的

危期之比等于4I。

2、地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角速度為3”軌道半徑為R”月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速

度為川2，軌道半徑為R,那么太陽(yáng)的質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？

解析：地球及太陽(yáng)的萬(wàn)有引力供應(yīng)地球運(yùn)動(dòng)的向心力，月球及地球的萬(wàn)有引

力供應(yīng)月球運(yùn)動(dòng)的向心力，最終算得結(jié)果為（六倚］。

3、假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量M及地球質(zhì)量版之比如二夕；火

%

星的半徑分及地球的半徑位之比?二Q,那么火星外表的引力加速度g及地

球外表處的重力加速度/之比m等于（A）

82

A.4B.pqC.Kpq

9,計(jì)算大考點(diǎn)：“填補(bǔ)法”計(jì)算勻稱(chēng)球體間的萬(wàn)有引力：

談一談：萬(wàn)有引力定律適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的引力作用，對(duì)于形態(tài)不規(guī)則的物體

應(yīng)賜予填補(bǔ)，變成一個(gè)形態(tài)規(guī)則、便于確定質(zhì)點(diǎn)位置的物體，再用萬(wàn)有引力

定律進(jìn)展求解。

模型：如右圖所示，在一個(gè)半徑為R,質(zhì)量為M的勻

------罵

稱(chēng)球體中，緊貼球的邊緣挖出一個(gè)半徑為R/2的球

形空穴后，對(duì)位于球心和空穴中心連線(xiàn)上、及球心H

相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？

思路分析：把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余局部對(duì)質(zhì)點(diǎn)

的引力之和，即可求解。

根據(jù)“思路分析”所述，引力F可視作F=E+F2：

則挖去小球后的剩余局部對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力為GMm乂上學(xué)竺。

8不一胃

［實(shí)力提升］某小報(bào)登載：義年x月X日，X國(guó)放射了一顆質(zhì)量為100kg,周

期為lh的人造環(huán)月球衛(wèi)星。一位同學(xué)記不住引力常量G

的數(shù)值且手邊沒(méi)有可查找的材料，但他記得月球半徑約//'

、1、、,1I，八\\

為地球的彳，月球外表重力加速度約為地球的經(jīng)過(guò)推At----七萬(wàn)臺(tái)；

理，他認(rèn)定該報(bào)道是則假新聞，試寫(xiě)出他的淪證方案。/

（地球半徑約為6.4X103km）、'

證明：因?yàn)樨》炙?=2川\\『

/3X6.4X106

\2X9.8-s=6.2X103s^l.72ho

環(huán)月衛(wèi)星最小周期約為1.72h,故該報(bào)道是則假新聞。

§6-3由“萬(wàn)有引力定律”引出的四大考點(diǎn)

-、解題思路一一“金三角”關(guān)系:

（1）萬(wàn)有引力及向心力的聯(lián)絡(luò)：萬(wàn)有引力供應(yīng)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,

即

2

。吁'=ma=m—=mco2r=nl—r=〃?（2勿?尸尸是本章解題的主線(xiàn)索。

廠r\T）

（2）萬(wàn)有引力及重力的聯(lián)絡(luò)：物體所受的重力近似等于它受到的萬(wàn)有引力，

即曾一〃吆送為對(duì)應(yīng)軌道處的重力加速度，這是本章解題的副線(xiàn)索。

（3）重力及向心力的聯(lián)絡(luò):mgr,g為對(duì)應(yīng)軌道處的重力

加速度，適用于已知g的特殊狀況。

二、天體質(zhì)量的估算

模型一：環(huán)繞型：

談一談：對(duì)于有衛(wèi)星的天體，可認(rèn)為衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，中心

天體對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力供應(yīng)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，利用引力常量G

和環(huán)形衛(wèi)星的V、3、T、r中隨意兩個(gè)量進(jìn)展估算（只能估計(jì)中心天體的質(zhì)

量，不能估算環(huán)繞衛(wèi)星的質(zhì)量）。

①已知r和T:G"二〃傳卜=M=寡.

②已知r和v：G曾=

rrG

③已知T和v:G絆='瀉）＞"立.

/rVTJ271G

模型二：外表型：

談一談：對(duì)于沒(méi)有衛(wèi)星的天體（或有衛(wèi)星，但不知道衛(wèi)星運(yùn)行的相關(guān)物理量）,

可忽視天體自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力進(jìn)展粗略估算。

變形：假設(shè)物體不在天體外表，但知道物體所在處的g,也可以利用上面的

方法求出天體的質(zhì)量：

處理：不考慮天體自轉(zhuǎn)的影響，天體旁邊物體的重力等于物體受的萬(wàn)有引力,

Mm

即:G-------7=M

(R+〃)G

［觸類(lèi)旁通］1、（2013?福建理綜，13）設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為加某行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周

期為7,軌道可視作半徑為r的圓。已知萬(wàn)有引力常量為￡則描繪該行星運(yùn)

動(dòng)的上述物理量滿(mǎn)意（A）

4n2r4n2r4n2/4nr

A.GM=p；B.GM=C.GM=彳D.GM=-

GMm

解析：本題考察了萬(wàn)有引力在天體中的應(yīng)用。是學(xué)問(wèn)的簡(jiǎn)潔應(yīng)用。由▼=

4兀2

如〒可得

4nV./

GM=斤9A正確。

2、（2013?全國(guó)大綱卷，18）“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次放射的探月衛(wèi)星，它在

距月球外表高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘。已知引

力常量G=6.67X10fN?n）2/kg2,月球半徑約為1.74XlO'km。利用以上數(shù)據(jù)

估算月球的質(zhì)量約為（D）

A.8.lX10'°kgB.7.4X1013kgC.5.4X1019kgD.7.4X1022kg

解析：本題考察萬(wàn)有引力定律在天體中的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是明確探月衛(wèi)星

Mm4Ji2

繞月球運(yùn)行的向心力是由月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力供應(yīng)。由q=〃L了得滬=

4n2/

，又r=R月+h,代入數(shù)值得月球質(zhì)量/仁7.4X10、g,選項(xiàng)D正確。

3、土星的9個(gè)衛(wèi)星中最內(nèi)側(cè)的一個(gè)衛(wèi)星，其軌道為圓形，軌道半徑為1.59

X105km,公轉(zhuǎn)周期為18h46min,則土星的質(zhì)量為5.為X1（）26網(wǎng)。

4、宇航員站在一顆星球外表上的某高處，沿程度方向拋出一個(gè)小球。經(jīng)過(guò)時(shí)

間t,小球落到星球外表，測(cè)得拋出點(diǎn)及落地點(diǎn)之間的間隔為L(zhǎng)。若拋出時(shí)

的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)及落地點(diǎn)之間的間隔為6人已知兩落地點(diǎn)

在同一程度面上，該星球的半徑為R,萬(wàn)有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。

解析：在該星球外表平拋物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及地球外表一樣，根據(jù)已知條件可

以求出該星球外表的加速度；須要留意的是拋出點(diǎn)及落地點(diǎn)之間的間隔為小

球所做平拋運(yùn)動(dòng)的位移的大小，而非程度方向的位移的大小。然后根據(jù)萬(wàn)有

引力等于重力，求出該星球的質(zhì)量友軍。

3Gt-

5、“科學(xué)真是迷人。”假設(shè)我們能測(cè)出月球外表的加速度g、月球的半徑〃和

月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T,就能根據(jù)萬(wàn)有引力定律“稱(chēng)量”月球的質(zhì)量了。

已知引力常數(shù)G,用〃表示月球的質(zhì)量。關(guān)于月球質(zhì)量，下列說(shuō)法正確的是

（A）

A.M=貯B.MC?〃二二D.〃二可

GgGT24/G

解析：月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期r及月球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。

三、天體密度的計(jì)算

模型一:利用天體外表的g求天體密度:

G空^=.=p.土成3=p=3g

H3ATIGR

物體不在天體外表：

模型二：利用天體的衛(wèi)星求天體的密度:

四、求星球外表的重力加速度:

在忽視星球自轉(zhuǎn)的狀況下，物體在星球外表的重力大小等于物體及星球間的

萬(wàn)有引力大小，即一%=G￥=&星=警.

“星：K是

［牛刀小試］（2012新課標(biāo)全國(guó)卷，21）假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布勻

稱(chēng)的球體。一礦井深度為《已知質(zhì)量分布勻稱(chēng)的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為

零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（A）

B.1+(

解析：設(shè)地球的質(zhì)量為四地球的密度為0,根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知,

地球外表的重力加速度.貴地球的質(zhì)量可表示為公:元川0

因質(zhì)量分布勻稱(chēng)的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，所以礦井下以（〃一中為半徑

的地球的質(zhì)量為

"=/0?一初30，解得"=(與今施則礦井底部處的重力加速度短

oK

r'ut

游廠，所以礦井底部處的重力加速度和地球夕卜表處的重力加速度之比

"d_.,

---=1-9選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C>D錯(cuò)誤。

gR

五、雙星問(wèn)題：

特點(diǎn)：“四個(gè)相等”：兩星球向心力相等、角速度相等、周期相等、間隔等于

軌道半徑之和。

符號(hào)表示:F=mco2r=mcov=>rx—,vx—=-2—L,r,=———L?

mm"%+m2~+m2

處理方法：雙星間的萬(wàn)有引力供應(yīng)了它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即：

2

(j^=nhdr\=nh^r29由此得出：

(1)0右=儂為，即某恒星的運(yùn)動(dòng)半徑及其質(zhì)量成反比。

2JI4n2Z3

(2)由于<y=—,ri+/2=Z,所以?xún)珊阈堑馁|(zhì)量之和陽(yáng)+德=—^~。

［牛刀小試］1、(2010年全國(guó)卷I)如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星

球A和B在引力作用下都繞0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心

之間的間隔為L(zhǎng).已知A、B的中心和0三點(diǎn)始終共線(xiàn)，A和B分別在0

的兩側(cè).引力常量為G.

⑴求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；

⑵在地月系統(tǒng)中，若忽視其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球

A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為「.但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常

認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期為T(mén)2.已知地球和月

球的質(zhì)量分別為5.98X1024kg和7.35Xl()22kg.求工及「兩者的平方之

比.(結(jié)果保存兩位小數(shù))

解析：(1)A和B繞0做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力供應(yīng)向心力，

則A和B的向心力相等，且A和B及。始終共線(xiàn)，說(shuō)明A和B有一樣

的角速度和周期.因此有

mu)2r=Mo2R,r+R=L聯(lián)立解得R=r=ni+l/

對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：

(27V上一L,化簡(jiǎn)得7=2萬(wàn)

萬(wàn)M+"?G(M+/?i)

⑵將地月看成雙星，由(1)得了=2%1—

VG(M+m)

將月球看做繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得

GMm「2萬(wàn)丫，

——；-=m——L

化簡(jiǎn)得7=2孫旦

所以?xún)煞N周期的平方比值為

(TyM+m5.98X1024+7.35X1()22

同=~M~=5.98X1()24=1.01.

2、(2013?山東理綜，20)雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在互相引力的作

用下，分別圍繞其連線(xiàn)上的某一點(diǎn)做周期一樣的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。探討發(fā)覺(jué)，

雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、間隔和周期均可能發(fā)生變更。若某雙

星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén),經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變

為原來(lái)的〃倍，兩星之間的間隔變?yōu)樵瓉?lái)的〃倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

(B)

兒造B.居C.@D.也

解析：本題考察雙星問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要駕馭雙星的角速度(周期)相等，

要留意雙星的間隔不是軌道半徑，該題考察了理解實(shí)力和綜合分析問(wèn)題的實(shí)

GMm2G加

力。由~=ini'\3:~=Mr?.：

rr

/口GM+m24兀之e*Gkin4n2

r=_r】+連得：--------=_r"=廠了同理有----g2解得1\

B正確。

§6-4宇宙速度&衛(wèi)星

一、涉及航空航天的“三大速度”：

（-）宇宙速度：

1.第一宇宙速度：人造地球衛(wèi)星在地面旁邊環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)必需具

有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面旁邊的環(huán)繞速度，v尸7.9km/s。它是近

地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，也是人造衛(wèi)星最小放射速度。（待在地球旁邊的速度）

2.第二宇宙速度：使物體擺脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星

或飛到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/so（離棄地球，投入太陽(yáng)懷抱

的速度）

3.第三宇宙速度：使物體擺脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)以外的宇宙空間去

的最小速度，V2=16.7kn/So（離棄太陽(yáng)，投入更大宇宙空間懷抱的速度）

（-）放射速度：

L定義：衛(wèi)星在地面旁邊分開(kāi)放射裝置的初速度。

2.取值范圍及運(yùn)行狀態(tài)：

①W=匕=7.9姓/s,人造衛(wèi)星只能“貼著”地面近地運(yùn)行。

②W>匕=7.9Q〃/s,可以使衛(wèi)星在距地面較高的軌道上運(yùn)行。

③匕<“<彩，即7.9癡一般狀況下人造地球衛(wèi)星放射速度。

（三）運(yùn)行速度：

L定義：衛(wèi)星在進(jìn)入運(yùn)行軌道后繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度。

2.大?。簩?duì)于人造地球衛(wèi)星，G空二加匕->”、陛，該速度指的是人造地球衛(wèi)

rrVr

星在軌道上的運(yùn)行的環(huán)繞速度，其大小隨軌道的半徑rI而vt。

3.留意：①當(dāng)衛(wèi)星“貼著”地面飛行時(shí)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度；②當(dāng)

衛(wèi)星的軌道半徑大于地球半徑時(shí)，運(yùn)行速度小于第一宇宙速度。

［牛刀小試］1、地球的第一宇宙速度約為8km/s,某行星的質(zhì)量是地球的6

倍，半徑是地球的1