高考數(shù)學(xué)考前終極沖刺攻略（新高考新題型專用）

高考數(shù)學(xué)考前終極沖刺攻略

目錄contents

解三角形（解答題）..............................................03

?倒計(jì)時(shí)

空間立體幾何（解答題）...........................................23

?倒計(jì)時(shí)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（解答題）.............................................53

圓錐曲線（解答題）.............................................77

新定義（解答題）..................................................112

解三角形（解答題）

考情分析

年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)

①正余弦定理

2021年I卷19解三角形

②三角形內(nèi)部一條線的處理技巧

①正余弦定理

2021年II卷18解三角形②三角形的面枳問題

③根據(jù)三角形形狀求參數(shù)

①正余弦定理

2022年I卷18解三角形

②三角形邊長關(guān)系求最值

①正余弦定理

2022年H卷18解三角形

②三角形的面積問題

①正余弦定理

2023年新高考117解三角形

②三角形求高的處理技巧

①正余弦定理

2023年新高考217解三角形

②三角形中線的處理技巧

近三年，解三角形在解答題中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來說是:

1、三角形題干條件的化解2、三角形的面積定值與最值（①全部轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式求最值與范圍

②全部轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)求最值與范圍）3、三角形周長（長度）定值與最值（①全部轉(zhuǎn)化為邊，利

用基本不等式求最值與范圍②全部轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)求最值與范圍）

題干的設(shè)置一般來說在上述的三項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。解三角形的三類需要認(rèn)真分析，每一類題型都有

它獨(dú)特的處理辦法，找準(zhǔn)精髓便可輕松搞定。

高考預(yù)測

解三角形在2024新高考新題型中的考查形式依然以解答題為主，以考查基本概念和核心方法為主，大

概率考察三角形內(nèi)部一條線，考生可適當(dāng)留意常見的內(nèi)部中線、角平分線、任意一條線現(xiàn)象并分類，每一

類總結(jié)出一個(gè)固定模板，以便此類題在高考出現(xiàn)時(shí)考生能做到心中有數(shù)，快速解答.

應(yīng)試必備

一、正余弦定理基礎(chǔ)問題

《正弦定理》

①正弦定理：，一二"—=」一二2/?

sinAsinBsinC

sinAasinBbsiiiCc

②變形:----=—,-----=—,-----=—

sinBhsinCcsinAa

③變形：tz:Z?:c=sinA:sinB:sinC

a+b+c_a_b_c

④變形:

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

⑤變形：asinB=bsinA,asinC=csinA/sinC=csinB

《余弦定理》

①余弦定理：b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=labcosC

222222122

GKWAb+c-anCl+c-bca+b-c

②變形：cosA=----------.cos8二------------,cosC=----------

2bclaclab

核心問題：什么情況下角化邊?什么情況下邊化角？

⑴當(dāng)每一項(xiàng)都有邊且次數(shù)?樣時(shí)，采用邊化角

⑵當(dāng)每一項(xiàng)都有角《sin》且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊

⑶當(dāng)每一項(xiàng)都是邊時(shí)，直接采用邊處理問題

⑷當(dāng)每一項(xiàng)都有角《sin》及邊旦次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊或變化角均可

二：三角形面積公式

S

①M(fèi)BC=g〃〃sinC,S.c=g“csin氏S^BC=gbcsinA

②SMBC=IKa+人+c）=；〃其中/?，/分別為AABC內(nèi)切圓半徑及AABC的周長

推導(dǎo)：將AA3C分為三個(gè)分別以M8C的邊長為底，內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的一：角形，利用等面積法

即可得到上述公式

③Swc=2R2sinAsinBsinC=—（R為A48c外接圓的半徑）

4R

推導(dǎo)：將a=2Rsin4代入S.c=-a2smasmC可得§必如=2/?2sinAsinBsinC

2sinA

將。=2/?sinA,b=27?sinB,c=2/?sinC代入S”8c=2R?sinAsinBsinC

ahc

可得S&\BC

4R

八c1sinBsinC1,sinXsinC1sin4sinB

2o2-c2"---------

2sinC

⑤海倫公式SAABC=(〃一《)(〃-〃)(〃一c)(其中〃=((a+6+c))

推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論cosC="一十”一一

2ab

2a2+b2-c2

SMBC=—absinC=—tzZ?Vl-cosC=!叫1-

222ylab

1

=；J(2㈤2—(〃2+b2—c)=WJU+/+0)(/+C-a\c+a-b\a+b-c)

令P=g（a+〃+c）,整理得=J〃（〃—a,”一風(fēng)P—c）

三：三角形中面積最值求算

技巧總結(jié)

正規(guī)方法：面積公式+基本不等式

①；-2a^Sm=>c2+Z;2=2abcosC+c2>2ab^>ab<

2(1-cosC)

Ia1+b2-c2=2abcosC

S-2"‘sin'=。2+。2=ZuccosB+b?>2ac=>ac<-r-b2_

a2+c2-b2=2accosB2(1一cos8)

1.2

③<S-2"csinA=>/?2+(?2=2bccosA+a2>2bc=bcW—y----?

[b2^c2-a2=2bccosA2(\-cosA)

三%形中面積取值范圍求算

技巧總結(jié)

思路1：如果題干已知一個(gè)角，則利用面積公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（注意角的范圍）

思路2：如果題T不知角，則利用面積公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值（注意單?邊的范圍）

求單一邊范圍用到的工具

①兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

②若為銳角三角形，則兩邊平方之和大于第三邊平方

若為鈍角三角形，則兩邊平方之和小于第三邊平方

③若為銳角三角形，則可利用圖象破解或＜：。$。＞0,（：05方〉0建立不等式

四：三角形內(nèi)部中線條件的求算

技巧總結(jié)

①中線長定理：（兩次余弦定理推導(dǎo)可得）+（一次大三角形一次中線所在三角形+同余弦值）

如：在AABC與同用cosB求AO

2

②中線長常用方法

cosZADB+cosZADC=0

③已知A8+AC,求的范圍

???A3+AC為定值，故滿足橢圓的第一定義

???半短軸WAZX半長軸

④方程組思想（復(fù)雜情況）

I余弦定理

J中線定理

|］題干所給條件（垂直：

⑤已知N3AO或NC4力則利用倍長中線構(gòu)建平行四邊形處理

⑥已知福+元?jiǎng)t利用而=3例+/）兩邊平分得結(jié)論

三角形內(nèi)部角平分線條件的求算

技巧總結(jié)

《1》張角定理

如圖，在A4BC中，。為8c邊上一點(diǎn)，連接AO,設(shè)4。=/,乙BAD=a、乙CAD=B

r,4+sinQ+力)sinasinB

則一定有一,=——十--

/bc

SMBDSMCD〃+《力

證明過程:Sgsc=+,:csin(a+/)=:c/sinaHsin

一?-1,sSin(a+￡)sinasinB

同時(shí)除以一Z?c/得一~色=-----+--

2Ibc

v*真題回眸

典國1【2023新高考1卷】已知在58C中，A+B=3C,2sin（A—C）=sinB.

（1）求sinA；

（2）設(shè)AB=5,求A5邊上的高.

【答案】（1）3叵

(2)6

10

【解析】【I】A+B=3C,

:.it-C=3C,即。=2，

4

乂2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

.,.2sin/AcosC—2cos/\sinC=sinAcosC+cosAsinC,

sinAcosC=3cosAsinC,

「.sinA=3cosA,

即tanA=3,所以

=2二處

Vioio

【2】由(1)知，cosA=—^==^^~,

Vioio

it]sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

《2石

由正弦定理，-r^—=-^-.可得人=―金一二2屈,

sinCsinBV2

T

-ABh=—AB-ACsinA,

22

.,.力=力?sinA=2\/10x3^^=6.

10

典/2【2023新高考全國II卷】記53C的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,"c,已知一ABC的面積為G，

。為8c中點(diǎn)，且AO=1.

(1)若ZADC=—,求tan8；

3

(2)若。2+。2=8，求"C.

【答案】（I）—：（2）b=c=2.

5

【解析】【1】

方法1：在。中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，ZADC=-,A￡)=l，

3

則S,=-ADDCsinZADC=-xlx-ax—=—a=-S,=—，解得q=4,

ADCC222282B2C

2TC

在△ABD中，NADB=上,由余弦定理得d=鳥。？+人。2一？^。.AOCOSZAOB，

3

7+4—1577

,則cos8=

277x2-14

所以tanB=%2=^.

cos85

71

方法2：在“8C中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，ZADC=~,AD=\,

3

則SADC=~n/-^DC=-X1X—?X—=—?=—5ABC=-?解行。=4,

、xtyv222282L2

在,ACD中，由余弦定理得從=CD2+AD2-2CD?ADcosAADC，

即〃=4+l-2x2xlx；=3,解得b=百，有4。2+A。2=4=82,則/°。=或，

C=7,過A作AEJ_3C于￡,于是CE=ACcosC=2,AE=ACsinC=且，BE="

6222

r-C|,|_AEy/3

所以tanB=---=—?

BE5

c2二%?+l-2xgax1xcos（兀一NAOC）

方法1：在△A8O與.AS中，由余弦定理得＜

,1,1

b~=—a~+l-2x—tzxlxcosZ.ADC

42

整理得2/+2=〃+/,而從+/=8,則4=26，

2

又SA”=』xgxlxsin/AOC=正，解得sinZADC=l,而OVZADCVTT，于是NADC=￥，

AUK..222

所以之nCnJm+CZ^=2?

方法2：在「43。中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，則2Ao=A8+AC，又C8=AB-AC，

于是4A02+C82=（45+AC）2+（A8—AC）2=2S2+C2）=16，即4+您=16,解得4=2百，

又S4"?=』xGxlxsinNAOC=正，解得sinZADC=l,而OVZADCVTT，于ZADC=-,

1222

所以6=c=J^^荷存=2?

cosAsin28

典用312022新高考全國I卷】記J13C的內(nèi)角4,〃，C的對(duì)邊分別為a”,c,已知

1+sin4I+cos2/?

（I）若。=也，求&

3

（2）求.的最小值.

【答案】3）（2）4向5.

6

【解析】11】

cosAsin282sinBcosB_sinB

/J1+sinA1+cos282cos2BcosB

（）；

sinB=cosAcosB-sinAsin5=cosA+B=_cosC=

而0<B<2,所以B二￥；

26

[2]

7171

由（I）知，sinB=-cosC>0.所以一<C<7t,0<B<一,

22

而sinB=_cosC=sin（c-]）,

/\/a\

所以。=巴+8,即仃A=2一2B,所以5w0,—,Ce——

22I4jU4J

a2+b~sin2A+sin2Bcos22B+1-cos2B

所以

sin2Ccos2B

（2COS2B-1）2+1-COS2B

=4cos2B+—4——522必5=4垃-5?

cos2BCOS2B

當(dāng)且僅當(dāng)cos?8=也時(shí)取等號(hào)，所以2?2

“：的最小值為4近一5.

2

奧國4【2022新高考全國II卷】記3ABC的內(nèi)角4,B,C的右邊分別為小Ac,分別以“，4c為邊長

的三個(gè)正三角形的面積依次為SP52,5,,已知§一S,+S.=—,sinB=-

23

(1)求.A5c的面積:

（2）若sinAsinC=，^，求〃.

3

【答案】(1)—(2)；

82

【解析】[1]

由題意得耳=獷冬為.經(jīng)應(yīng)邛—邛八步+外邛,

221_2]

即/+<?一從=2，由余弦定理得cosB=a+C------格」甲霜accos8=1,則cosB>0,ZsinB=-.

lac3

二逑,則S-Lcsi但烏

則cosB=

cosB4ABC28

3夜

bacb-acac9h3

----=-----=-----,inii：l——；—=----------=--------=7-=—,則-----=—

sinBsinAsinC'sinBsinAsinCsinAsinCJ24'sinB2

T

Z>=—sinB--

22

典信S【2021新高考全國I卷】記J13C是內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為"，b,c.已知〃=ac，點(diǎn)。

在邊AC上，BDsinZABC=as\nC.

(1)證明：BD=b；

(2)若4力=2QC,求cos/ABC.

7

【答案】（1）證明見解析；（2）cos/48C=—.

【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為凡由正弦定理，

bc

得sinNABC=—,sinC=—,

2R2R

bc

因?yàn)?OsinZA8C=asinC，所以BD—=a——,即8O〃=ac.

2R2R

又因?yàn)椤?ac，所以3￡>=>

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理

2122

因?yàn)锳D=2DC,如圖，在中，cosC=a~+~,①

2ah

由①②得/+〃一02=3/+（芻2一/,整理得2/一11〃+/=0.

乂因?yàn)?二%;,所以6/—1lac+3c2=0，解“。=；c或。=T3c，

2A

當(dāng)。==ac=J時(shí)，a+b=-+-^~<c（舍去）.

3333

3M3十c--—7

當(dāng)〃=二/2=〃。=工時(shí)，cosZABC=-^--———=—

223<:12

9z—,c

2

7

所以cos/4BC=—.

12

［方法二］:等面積法和三角形相似

如圖，已知AO=2￡）C，則5八4m=：?4改，

I291

即一x二〃sinZ.ADB=—x—acxsinZ.ABC,

2332

故有NA￡)8=ZABC,從而N/$Q=NC.

，H--bcCABA

111b2=ac即一=:，即|HI——即ACBS，ABD,

abCB~BD

2b

ADAB

-<——=--，---即？"_c，

ABAC~=T

2

又b?=ac,所以c=§a,

..(72+4-一/?-7

貝r|JcosZABC=---------=—.

2ac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結(jié)合

由(1)知8D=Z?=AC,再由4O=2DC得AO=2仇C￡>=』b.

33

在AADB中，由正弦定理得.""—二變"

sinAABDsinA

—h2

又"BD=NC,所以3二7,化簡得sinC=—sinA.

sinCsinA'

c2

在_A5C中，由正弦定理知c=又由從=〃c,所以〃二二/

33

24222

22—h2〃~+—a—a7

在JSC中，由余弦定理，得cos/48C="-］=-=——9-二一

2m2x012

3

7

故cos/48C=—.

12

［方法四］:構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)

如圖，作。石〃A5,交BC『點(diǎn)E,則△OECsAABC.

[t]AD=2DC,得DE=￡,EC=3,BE=-^.

333

在，BED中，cos/BED

在,ABC中cosNABC=

lac

因?yàn)閏osZABC=-cosZBED,

22

cr+c-b_爭+鏟”

所以

lac2ac

2?—?一

33

整理得6a2-1防2+3才=。

又因?yàn)椤?ac?所以6a2-1lac+3c2=0,

C5

即。二—或。=一c.

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

uuuiiLim

因?yàn)锳D=2DC,所以AO=2DC?

一一.一2一1一

以向量A4,BC為基底，/]BD=—BCT—.

33

24)41-2

所以=-BC+-BABC-￥-BA,

999

441

即/=—a2+—accosZABC+-c2,

999

又因?yàn)椤?=ac>所以9ac=4a2+4ac-cosZABC+c2-③

由余弦定理得〃=a2+c2-laccosZABC，

所以ac=a2+c2-2tzccosZABC④

聯(lián)立③④，得6/—Uac+3c2=0.

31

所以。=—c或。=一。.

23

下同解法1.

［方法六］:建系求解

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在宜線為無軸，過點(diǎn)。垂直于AC的H線為y軸,

DC長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則。(0,0),4(-2,0),C(l,0).

由(1)知，BD=b=AC=3,所以點(diǎn)4在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

設(shè)8(x,y)(-3vxv3),則f+/=9.⑤

由/二加?知，忸A(yù)|-|BC|=|ACf,

即+2)2+)，2?+y2=9.⑥

7795

聯(lián)立⑤⑥解得工二一;或x=—23(舍去)，/=一,

4216

由余弦定理得cosNA8C=.

2ac12

；,名校預(yù)測

次常1(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知向量〃z=(cosx,-sinx),〃=(cosx,sinx-275cosx),設(shè)

f(x)=mri.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在.A8C中，若/(NB4C)=1,AB=2,BC=R,NBA。的平分線交8C于點(diǎn)。，求A。長.

預(yù)U2(2024?北京東城?模擬預(yù)測)在ABC4*,acosC+ccosA=bcosB.

⑴求NB；

⑵若。=12,0為8c邊的中點(diǎn)，且AO=3,求人的值.

旗盅3(2024?青海?模擬預(yù)測)已知的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為力,c,且2acos'B+2/?cos4cosB=c.

⑴求B；

(2)若〃=4,必3c的面積為5.周長為L,求*的最大值.

以封4(2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測)在.48C中，角AaC所對(duì)的邊分別為a也。，勿=2ccos8+R

(1)求角。的大?。?/p>

(2)若。=",〃+力=5,求ABC的面積.

置n5(2024?全國?模擬預(yù)測)在“3C中，角A,B,C的對(duì)力分別為a,b,J面積為S,且

bcosC+2csinB=a.

(l)^sinB的值：

(2)若a=4,c=后,求g的值.

b

;名師押題

押題1A8C中，。為8c邊的中點(diǎn)，A￡)=1.

⑴若.A8C的面積為26,fiZADC=y,求sinC的值；

(2)若4c=4,求cos/84c的取值范圍.

押題2已知平面四邊形A8CO中，ZA+ZC=180,BC=3.

(1)若48=6,AO=3,CO=4,求80；

(2)若N/WC=120^ABC的面積為M，求四邊形ABC。周長的取值范圍.

2

押題3記"C的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為amc,若(〃+〃+c)(a+〃-c)=3,且48c的面積為地.

⑴求角C;

(2)若A/)=2DB，求的最小值.

押題4已知函數(shù)/(x)=J-sin%x+《sin2s:(3>0)的最小正周期為4兀.

⑴求了(力在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角三角形A8c中，內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為且(勿-c)cos4=/?.cosC,求/(A)的取值范圍.

押題5已知△ABC為鈍角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且

sin2C=sin2^+sin(—+B)cos(—+R),a<c,b<c.

36

⑴求tan(A+B)的值；

(2)若△人8c的面積為126，求c?的最小值.

［參考答案與解析J

名校預(yù)測

預(yù)H1：答案(1)伏乃—?，4%+*，keZi(2)AD=2.

【詳解】(1)f(.V)=cos2x-sinA(sinx-2-75cosx)=cos2x-sin2x+2-75sinxcosx

=Ksin2x+cos2JI=2(^sin2^+—cos2x)=2sin(2x+—)

226

^2kjr——<2x+—<2kjr+—,kwZ.

262

則br一工vxv攵4+工，kwZ,

36

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(版■-￡?"+￡),&eZ；

36

(2)由題意得：2sin(2/BAC+5)=l，

6

因?yàn)?<NB4C<萬，所以3<2/8AC+^<史，

666

即2NZMC+^=紅，所以/&1C=工，

663

在，A8C中，由余弦定理得：BC1=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC?

即6=4+4C2_24C，解得4c=石+1,

因?yàn)镹BAC的平分線殳BC于點(diǎn)、D,所以+S/D=S△枷，

所以工人8人。'小三+』4c?人。sin工=，4C?人Asin工，

262623

所以界。+?解得皿=2.

H?2：答案⑴9⑵3".

【詳解】（1）解：因?yàn)閍cosC+ccosA=3叵儀:osB,

3

由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=——-sinBcosB,

3

即sin（A+C）=——-sinBcosB，sin（兀一B）=sin13=——-sin8cos8，

33

又因?yàn)閟inAwO,所以1=馬叵cosB,

3

解得COS8=3,又因?yàn)锽e（（U）,所以B=&

26

（2）解：因?yàn)?。?c邊的中點(diǎn)，。=12,所以8O=C￡>=6,

設(shè)/BAD"、

在△”￡）中，由正弦定理可得笆=組，

sin。sinB

6二3

即前萬一I一，解得sinO=l,又因?yàn)椤?（0,2,所以0=g,

22

在中，AB=yjBD2-AD2=V62-32=3x/3?

在.ABC中，AB=3y/3J3C=\2,B=-,

6

由余弦定理可得：AC2=Afi2+BC2-2ABACcos5=144+27-2x12x373x^=63,

所以4。=35，即8=36.

??3：答案(嗎(2浮

JJ

【詳解】(1)由正弦定理可得，2sinAcos?B+2sin8cosAcosB=sinC,

所以2sinAcos2B+2sinAcosAcos4=sinAcos8+cosAsinB,

所以sinAcosB(2cosB-1)+cosAsinB(2cosB-l)=0,

即(2cosB-l)sin(A+B)=0,

由OvA+Bv兀，可知sin(A+8)孑。，所以2cos8-l=0,即cosA=；,

由0＜8＜兀，知B=g.

（2）由余弦定理，得〃=/+。2-2accosb,8P16=+c2—ac.

所以16=（4+c『-3ac,即ac=§［（a+c）~-16,

因?yàn)镾=L不inB=^w,L=a+"c,所以1小。=0［（…斤儕,

24L4（a+c+4）12.+C+4）

所以：=*（a+c-4）,又加K（“；C）2（當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào)），

所以16=（。+。）2-3農(nóng)2心好（當(dāng)且僅當(dāng)。=c=4時(shí)取等號(hào)），

所以。+。＜8（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)取等號(hào)），

所以。=巫（〃+-4）K且x（8-4）=巫（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)取等號(hào)），

L12v712v73

即。的最大值為由.

L3

H?4：答案⑴C=/⑵羋?

【詳解】（1）在二A3C中，由2a=2ccos8+〃及正弦定理得：2sinA=2sinCeosB+sinB,

ffnsinA=sin［n-（B+C）1=sin（B+C）,Ijlij2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC=2sinCcosB+sinB,

于是2sin8cosC=sin8,又4e（0,兀），即sin/?wO,則cosC=g,又Ce（O,7t）,

所以C=方.

（2）由（1）知，C=p由余弦定理/="+從一為乩取。，

222

^l=a+b-ab=（a+b）-3ab=25-3aht解得。出=6,

所以,45C的面積Sa此="心而。=￡必=挈.

242

5：答案⑴sinB邛⑵苧

【詳解】（1）由氏osC+2rsin3=a及正弦定理，得sinBcosC+2sinCsin8=sirt4.

又A+B+C=n,所以5吊氏05。+2$皿。5101?=5111（8+。）=510^005。+（：0585m。，

H|J2sinGiiiiB=cos^sinC.

因?yàn)镃e(O,n),所以sin。。。，所以8sB=2sinB>0.

又sin，B+cos:Bul,所以sinB=好.

(2)由(1)得cosB=Jl-sin*=~~~，又a=4,c=V5,

所以由余弦定理可得y=/+c2—2ac8sB=16+5—2x4xgx工=5,解得b=6.

5

所以S=1acsinA=1x4xJ^X'^=2,所以(=-^=?也.

225b455

名師押題

押題1：答案⑴W⑵(-卜：

14\>」

【詳解】（1）因?yàn)?。?c邊的中點(diǎn)，所以5皿.=9,=6,

又SA*=1人力例CsinADC=0,即lxOCxsin空=G,解得OC=4,

223

在L\ADC中由余弦定理AC-=AD-+DC1-2ADDCcosZADC，

g|JAC2=l2+42-2xlx4x^--j=21,所以AC=x/^T，

ACAD叵—J-行

在A4DC中由正弦定理.二：二嘿,即訪一友，解得sinC=業(yè).

sinZADCsinC—14

2

(2)設(shè)NAOC=。，?！?。,兀)，

在_ADB中由余弦定理AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB,

即AB2=『+2)—2xlx2cos(兀-0)=5+4cos0,

在L\ADC中由余弦定理AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC，

HPAC2=I2+22-2x1x2cos=5-4cos<9,

*…?一…皿Alf+AC2-BC25+4cos6+5—4cos6-163

在ABC中由余弦定理cosABAC=---------------=—//=一"/-

2ABAC2j5+4cos-?j5-4cos。:25-16.520

因?yàn)??！?0,兀)，所以8§2。?0,1),則25-16cos26《9,25],

1J1,n

所以J25-I6cos2〃?3,5],所以

725-16COS2<9l_53)

3(31(3

所以--/,'_h-7，BRcosZRACe

V25-16COS26>15」V5

押題2：答案⑴屈⑵(3萬+9,6療+9]

【詳解】⑴在△A8。中，由余弦定理得8s4=3：6；-坐2

2x3x6

在△8C。中，由余弦定理得cosNCi，竿，

2x3x4

因?yàn)镹4+NC=18CT,所以cosNA+cosNC=0,

32+62-BD232+42-BD2八

即nn----------+-----------=0,

2x3x62x3x4

解得加=聞.

(2)由已知5.皿.=3乂3乂48乂理=竽，得AB=6,

在MAC中，NA8C=120,由余弦定理得

AC2=32+62-2x3x6xcosl20=63,則AC=3五,

g/lD=x,CD=>,(x,>0,y>0),在A8中，由余弦定理得

卜⑺2=_+),2_2xy.cos60。=(x+y)~-3xy,

則(X+?=63+3MW63+3X(晝)，得(二丁)"3,

所以x+y46jy,當(dāng)且僅當(dāng)，r=y=3萬時(shí)取等號(hào)，Xx+y>AC=3\/7,

所以四邊形A8CO周長的取值范圍為卜5+9,6療+9：.

押題3:答案⑴當(dāng)⑵手

，.5

【詳解】(1),.,(rt+/?4-c)(/7+/?-r)=3,/.3=(/2+h)2-c2=/724-h~-c2+lab

/、；3

結(jié)合余弦定理得3=〃Z?cosC+2成=2出?(1+cosC),,'a/?=2(i7cosC)，

°sABC

241+CDSC

CC

2sin—cos—「

E。,7T

即----22=tan—=V3,又；故0嚀

cos2C2I2J233

2

c

(2)由(1)知.C=-,ab=—-^_r=3

"J出卻.32(l+cosC)

一1一2一

\AD=2DB^：.CD=-CA+-CB,

:.Cb"=[-CA+-CB\=-b2+-a2+-abcosC=-b2+-a2--,

U3J999993

T-,I,2422./112422c222

又一Zr+-a~——>2.1-b-—a~—=2x-------=—

993V993333

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2〃=幾時(shí),CT）長取最小值，此時(shí)CD=

.?.8長的最小值為亞.

3

押題4：答案⑴?？矗ɡ?卡）

；⑵丁二-?

【詳解】(1)/(x)=--sin26yx+—sin2ryx

V722

I-cos2<yx

222

=-s\n2a)x+-cos2Mx=sin(2M.xn+-.

226)

因?yàn)?4…所以t，

1兀

故f(x)=sin—x+—.

(26；

由一殳++四〈巴+2E/wZ,解得4A兀一"+

226233

(2)由(加一c)cos8="cosC,

得(2sia4-sinC)cos^=sin5cosG

所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(4+C)=sinA.

因?yàn)閟inA/O,所以cosBj又8?0㈤，所以人爭

0<A<-

2

又三角形為銳角三角形，則〈「，則黃所以k

0<--A<-6242612

32

Ait.5兀兀7T.兀7C兀.兀V2+\/6

又f(A)=sin—+—sin—=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=-------

2612U646464

An丘+屈

貝ij—<sin—+—<---------

2264

所以/(A)的取值范圍為fV2(+⑥

~2'-4-'

押題5:答案⑴G⑵12

【詳解】(1)因?yàn)閟in?C=sin，8+sin('+8)cos(2+8)usin'8+—sin—+2B+sin—

362\2J6

ii3

=sin2B+—\cos2B+=sin2^+^(l-2sin2B)+^=^

2(2>

因?yàn)閟inC