理論力學(xué)課件 矢量分析

理論力學(xué)ClassicalMechanics2024Introduction緒論空間分布量及其時(shí)空變化02表示空間04矢量分析基礎(chǔ)01旋轉(zhuǎn)變換03101矢量分析基礎(chǔ)1.1矢量的基本概念位置矢量矢量定義:具有大小和方向，它在幾何上對(duì)應(yīng)于從一個(gè)點(diǎn)指向另一個(gè)點(diǎn)的向量，例如位移、速度、力等。坐標(biāo)表示方法物理對(duì)象（比如機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)）的某個(gè)性質(zhì)通常需要多個(gè)量來刻畫。為了方便，同時(shí)強(qiáng)調(diào)它們的共同歸屬，我們通常會(huì)把這些相關(guān)量打包成一個(gè)整體物理量來看待和處理。1.2矢量運(yùn)算矢量的分解合成轉(zhuǎn)化1）物理對(duì)象們存在著相互影響并時(shí)刻在變化著；2）針對(duì)矢量構(gòu)建相應(yīng)的運(yùn)算體系來方便地處理這些相互影響和變化規(guī)律；3）運(yùn)算體系要體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界物理對(duì)象關(guān)系及其演化所呈現(xiàn)出來的特點(diǎn)。1.2.1加法矢量加法滿足平行四邊形法則幾何解釋解決矢量合成（從左到右看）和分解（從右到左看）的問題。1.2.1加法①交換律②結(jié)合律1.2.1加法③矢量減法通過矢量減法，我們可以得到一個(gè)特殊的矢量——零矢量。任何矢量與它求和都等于其自身。1.2.2數(shù)乘令為一實(shí)數(shù)，它與矢量的數(shù)乘定義為一個(gè)新的矢量大小特例1.2.2數(shù)乘①分配律②結(jié)合律③單位矢量其長度是從單位矢量出發(fā)，通過拉伸、壓縮和反向（數(shù)乘），可以得到該方向上的任意矢量。1.2.3內(nèi)積（點(diǎn)乘）內(nèi)積定義：它實(shí)現(xiàn)了將兩個(gè)矢量映射到一個(gè)標(biāo)量上去。1.2.3內(nèi)積（點(diǎn)乘）①交換律②分配律1.2.3內(nèi)積（點(diǎn)乘）③矢量模長④施瓦茲不等式⑤三角不等式證明：1.2.3外積（叉乘）外積定義：長度：方向：矢量向矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)軸的指向（右手定則）外積的平行四邊形面積解釋：1.2.3外積（叉乘）與矢量的加法類似，矢量的外積也可以看作是將兩個(gè)矢量合成為另一個(gè)矢量?？臻g反演(坐標(biāo)反轉(zhuǎn))我們將通常的矢量稱為極矢量，而將外積得到的矢量稱為軸矢量（也稱贗矢量）在空間上鏡像反演時(shí)，軸矢量的方向保持不變，與極矢量不同。1.2.3外積（叉乘）特性極矢量軸矢量（贗矢量）定義通常的矢量，如位移、速度、力由兩個(gè)極矢量的叉積生成的矢量，如角動(dòng)量、磁場在鏡像反演下的行為方向反轉(zhuǎn)方向保持不變幾何意義直接描述方向和大小，如直線位移與旋轉(zhuǎn)有關(guān)，如角動(dòng)量、磁場等計(jì)算來源直接計(jì)算（如位移、速度的變化）通常是兩個(gè)極矢量的叉積1.2.3外積（叉乘）空間反演下的贗標(biāo)量兩極矢量的內(nèi)積，得到的標(biāo)量不會(huì)發(fā)生改變兩軸矢量的內(nèi)積，得到的標(biāo)量也不會(huì)更改符號(hào)一個(gè)極矢量和一個(gè)軸矢量內(nèi)積，得到的標(biāo)量符號(hào)發(fā)生反轉(zhuǎn)贗標(biāo)量在物理定律中表現(xiàn)出對(duì)空間反演敏感的特性，通常出現(xiàn)在涉及對(duì)稱性、空間反演、旋轉(zhuǎn)和拓?fù)湫?yīng)等現(xiàn)象中。1.2.3外積（叉乘）外積和內(nèi)積的混合或者多重運(yùn)算，我們會(huì)經(jīng)使用到，其中最為常見的計(jì)算關(guān)系有：1.3線性空間作為幾何對(duì)象的矢量可以被拉伸、壓縮、翻轉(zhuǎn)、合成與分解，對(duì)應(yīng)的代數(shù)操作是數(shù)乘和矢量加減法。拉伸、壓縮合成張開的線性空間和1.3線性空間矢量和張開平面空間矢量坐標(biāo)表示1.3線性空間矢量的運(yùn)算規(guī)則的簡化令：（2）矢量加減法（1）矢量數(shù)乘（3）矢量內(nèi)積（4）矢量外積1.3線性空間矢量的個(gè)數(shù)越多，張開的空間越大么？1.3線性空間一般地，如果用于張開空間的矢量組有冗余，我們稱它們線性相關(guān)。1）有非零解，那么矢量組線性相關(guān)。2）如果只有全零解，那么矢量組線性無關(guān)。如果一個(gè)矢量，在矢量組所張開的空間內(nèi)，那么下式一定有實(shí)數(shù)解1.3線性空間舉個(gè)例子令直角坐標(biāo)系中表示矩陣表示解組成了矢量，目標(biāo)矢量是它經(jīng)過函數(shù)變換而來1.3線性空間矩陣（及其逆矩陣）可以看作是線性變換（lineartransform）的一種表示，常見的與幾何有關(guān)的線性變換有恒等、鏡像、放大、旋轉(zhuǎn)等。202空間分布量及其時(shí)空變化2.1空間分布1）有了線性空間后，空間中任意一點(diǎn)都可以方便地用矢量（及其坐標(biāo)）來表示。2）彌散在空間中的物理量也可以用基于矢量的函數(shù)來刻畫。3）有空間分布特性的量叫做場，它通常寫成：物理量可以是標(biāo)量或者矢量，分別稱為標(biāo)量場和矢量場2.2場的軸向變化：偏導(dǎo)數(shù)考察從空間的一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)，跨過單位長度距離，標(biāo)量場的變化：引力場例子2.3場的定向變化：梯度通過偏導(dǎo)數(shù)我們很容易計(jì)算軸向的小位移所引起的場的變化一般的小位移并不一定是沿著軸向的，我們可以重新選擇坐標(biāo)系，使小位移沿著新坐標(biāo)系的軸向，有在兩個(gè)坐標(biāo)系中有了兩種展開方式等式兩邊與基矢內(nèi)積，可以得到兩套坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系2.3場的定向變化：梯度該式可以看作是兩個(gè)矢量的內(nèi)積第一個(gè)矢量我們稱其為標(biāo)量場的梯度。它也可以看作是一個(gè)矢量算符作用在標(biāo)量場上的結(jié)果被稱為那勃勒（Nabla）算符2.3場的定向變化：梯度因此，沿任意方向的小位移造成的標(biāo)量場改變?yōu)橐粋€(gè)特殊的情況是當(dāng)梯度矢量與小位移的方向垂直時(shí)，由上式我們有注意到在場為恒定值的曲面上（比如等高線，等勢面等），梯度矢量沒有分量，它只分布在垂直該面的方向上。2.4場的時(shí)間變化：全導(dǎo)數(shù)場的自變量矢量還可能依賴其它量而變化，比如時(shí)間。那么在一段微小的時(shí)間段內(nèi)，場的單位時(shí)間變化為2.4場的時(shí)間變化：全導(dǎo)數(shù)2.4場的時(shí)間變化：全導(dǎo)數(shù)假設(shè)場的變化是連續(xù)的（物理量通常都有良好的連續(xù)性），于是，場關(guān)于時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)為隱藏時(shí)間的影響，場關(guān)于空間的全微分為2.4矢量場的聚散：散度矢量場，我們可以用類似電場線的形式將其可視化。場的發(fā)散、匯聚和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象2.4矢量場的聚散：散度①場進(jìn)入該區(qū)域②場離開該區(qū)域③該區(qū)域產(chǎn)生（發(fā)出）了新的場④該區(qū)域破壞（吸收）了原有的場場在立方區(qū)域的進(jìn)出2.4矢量場的聚散：散度首先考慮僅在x2方向上通過的場分量y2

場線會(huì)有一部分從左邊x2，處x1x3截面進(jìn)入該區(qū)域場線會(huì)有一部分從右邊x2+

dx2，處x1x3截面離開該區(qū)域根據(jù)場線的定義，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域的場線數(shù)目（通量）應(yīng)該與場在x2處的大小y(x2)成正比。那么，場線的面密度與場的大小成正比，所以穿過dx1dx2截面的總場線數(shù)目為離開區(qū)域的場線數(shù)目為2.4矢量場的聚散：散度此區(qū)域產(chǎn)生（吸收）的場線數(shù)目為其它兩個(gè)方向，場的進(jìn)出、產(chǎn)生和破壞情況完全類似2.4矢量場的聚散：散度為所選空間區(qū)域的體積代表了該區(qū)域的源頭產(chǎn)生場并發(fā)散出去的本領(lǐng)（體密度）我們稱其為散度，定義為2.4矢量場的旋轉(zhuǎn)：旋度如何定量分析矢量場的旋轉(zhuǎn)特性?線索：當(dāng)一個(gè)物體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，與旋轉(zhuǎn)中心的距離越大，其線速度也越大。水平方向的速度受豎直方向上的位移影響2.4矢量場的旋轉(zhuǎn)：旋度該木棍的速度由水流的速度場決定對(duì)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，考察點(diǎn)豎直向上的空間移動(dòng)(x2)會(huì)造成其水平向左的速度v1增加。該效應(yīng)，使用偏導(dǎo)數(shù)來量化。負(fù)號(hào)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正值，速度方向與x軸正方向相反。水平方向的速度受豎直方向上的位移影響2.4矢量場的旋轉(zhuǎn)：旋度豎直方向上的速度受水平方向的位移影響類似地，旋轉(zhuǎn)中豎直方向的速度變化率與水平方向的位移的關(guān)系為在一個(gè)平面內(nèi)，速度場的速度可以被分解為水平和豎直兩個(gè)分量。加和兩者，得到描述速度場總旋轉(zhuǎn)程度的量，這就是所謂的旋度。2.4矢量場的旋轉(zhuǎn)：旋度豎直方向上的速度受水平方向的位移影響圖示旋轉(zhuǎn)軸的方向垂直直面向外，所以是總旋度在e3軸上的分量類似的，旋度在e1軸上的分量類似的，旋度在e2軸上的分量2.4矢量場的旋轉(zhuǎn)：旋度速度場的總旋度可以表示為這三者的矢量合成。上式可以表示為梯度算子與矢量場的外積形式。列維-奇維塔函數(shù)303旋轉(zhuǎn)變換3.1提取坐標(biāo)：基于內(nèi)積計(jì)算通過將矢量投影到基矢量上實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)提取在第一個(gè)直角坐標(biāo)系中另一坐標(biāo)系中3.2被動(dòng)變換：以不變應(yīng)萬變改變坐標(biāo)系并不會(huì)改變矢量本身的性質(zhì)，因此我們可以得到以下關(guān)系通過對(duì)上式兩邊同時(shí)對(duì)基矢求內(nèi)積3.2被動(dòng)變換：以不變應(yīng)萬變基矢之間的幾何關(guān)系這表明繞定軸的旋轉(zhuǎn)操作是一種可以使用矩陣來描述的線性變換。3.2被動(dòng)變換：以不變應(yīng)萬變在舊坐標(biāo)系中其坐標(biāo)表示為在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示3.2被動(dòng)變換：以不變應(yīng)萬變與之相似，其它兩個(gè)基矢的坐標(biāo)為坐標(biāo)變換矩陣的各列直接對(duì)應(yīng)了基矢量在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示3.2被動(dòng)變換：以不變應(yīng)萬變當(dāng)進(jìn)行只涉及旋轉(zhuǎn)的直角坐標(biāo)變換時(shí)，可以按照以下三個(gè)步驟操作：①根據(jù)坐標(biāo)系基矢量之間的幾何關(guān)系，確定舊坐標(biāo)系中的基矢量在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示。②利用這些新的坐標(biāo)表示來構(gòu)造坐標(biāo)變換矩陣。③通過將坐標(biāo)變換矩陣作用于矢量的舊坐標(biāo)表示，計(jì)算出該矢量在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示。3.3主動(dòng)變換：矢量自身旋轉(zhuǎn)主動(dòng)變換和被動(dòng)變換在同一坐標(biāo)系中，矢量的主動(dòng)旋轉(zhuǎn)也可以導(dǎo)致其坐標(biāo)發(fā)生變化。

404表示空間4.1位形空間（ConfigurationSpace）用于描述物體的靜態(tài)空間構(gòu)型，也就是描述其組成質(zhì)點(diǎn)的具體幾何位置。完整描述構(gòu)型所需要的最少變量個(gè)數(shù)稱為該空間的維度。對(duì)于做平面圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)來說，在構(gòu)型空間中它的運(yùn)動(dòng)路徑可以表示為4.2事件空間（EventSpace）

位形空間的路徑并未考慮時(shí)間因素。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在確定的時(shí)刻出現(xiàn)在某個(gè)特定位置時(shí)，我們稱其為“可觀測事件”。所有這些可觀測事件一起定義了“事件空間”。以一個(gè)做平面圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)為例，在事件空間中，它的運(yùn)動(dòng)路徑可以表示為4.3相空間（Phase