理論力學課件 第三章 分析力學3

理論力學ClassicalMechanics2024第三章分析力學哈密頓量：時間對稱性與能量守恒3.5動力方程：基于哈密頓的力學體系3.6泊松括號：統(tǒng)一處理物理量的變化3.7洛倫茲力：拉格朗日量中的矢量勢3.833.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒守恒律與對稱性之間的關系存在不改變拉格朗日量的對稱操作，利用歐拉-拉格朗日方程就可以發(fā)現(xiàn)蘊含在該系統(tǒng)中相應的守恒量比如系統(tǒng)的空間平移對稱性對應了動量守恒3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒對于這種具有時間平移不變性的系統(tǒng)，其拉格朗日量就不能顯含有時間變量。幾種經典物理實驗不管從什么時間點開始實驗得到的結果不變時間的平移不變性時間有對稱性么？3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒從形式上說，就是在構造拉格朗日函數(shù)時，它括號里的自變量不能出現(xiàn)時間t。比如，對一個自由運動的粒子來說，它的拉格朗日量就只能是坐標和速度的函數(shù)。注意，不顯含時間，并不能說明這個系統(tǒng)的拉格朗日量就無法隨時間變化了。當粒子的坐標和速度隨著時間變化時，它的拉格朗日量當然應該跟著變化。也就是說，拉格朗日量是可以受時間的間接影響的。所以，它可以寫成時間的嵌套函數(shù)。什么叫不顯含時間呢？3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒我們拿諧振子，比如連著彈簧的小球來舉個例子：諧振子的運動是往復的周期運動，比如所以，L與時間的關系為3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒真實彈簧系統(tǒng)的拉格朗日量會直接受到時間的影響：顯含時間：即使是系統(tǒng)的坐標和速度都沒變化，但是隨著時間的流逝，系統(tǒng)的拉格朗日量也會改變。因此，系統(tǒng)的自變量里面必須明顯包含時間項：在什么情況下，系統(tǒng)的拉格朗日量會顯含時間呢？3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒把拉格朗日量做一個全微分：三個自變量坐標變化速度的變化時間t的變化定量地描述“變化”就是求微分3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒

拉格朗日方程代入3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒

動能項包含，則，動量在x方向的分量直角坐標系下廣義坐標表示廣義速度：廣義動量：3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒為了強調這層關系，我們常稱p為q的共軛動量。換成把

換成

注意有限的求和可以和求導交換順序，所以可以先把p和q一點的乘積項先加起來，再求導。3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒注意等式右邊這一項，當系統(tǒng)滿足時間平移對稱性的時候，L不顯含時間t，所以偏導數(shù)

，再看看等式左邊，現(xiàn)在變成了一個時間倒數(shù)等于0。兩個時間導數(shù)項就可以合并：3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒時間對稱性下的守恒量，叫做哈密頓，簡稱H：??減去求和項的結果是一個常數(shù)3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒哈密頓究竟有什么物理意義？當系統(tǒng)具有時間平移對稱性時，拉格朗日量對時間的偏導為0，得到哈密頓量不變，也就是系統(tǒng)總能量守恒。哈密頓量就是系統(tǒng)的總能量3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒彈簧振子的拉格朗日量：彈簧的勢能與勁度系數(shù)成正比，當其它條件不變，勁度系數(shù)下降了，勢能降低，總能量也就減少了。系統(tǒng)能量的變化，也就是哈密頓量隨時間的變化率，現(xiàn)在受彈簧勁度系數(shù)衰減的影響3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒3.5哈密頓量：時間對稱性與能量守恒勁度系數(shù)變化的原因來自彈簧外部，也就是空氣的腐蝕。當空氣與彈簧發(fā)生化學反應時，儲存在彈簧材料中的彈性勢能就被釋放出去了。換句話說，系統(tǒng)能量不守恒是因為系統(tǒng)外部力量的干預，這種干預是與時間相關的。一個有意思的問題是:減少的能量去哪了？如果你把彈簧和空氣當做一個整體，這個更大的系統(tǒng)就沒有外部力量干預了，系統(tǒng)的能量就又守恒了。所以，原則上說，能量總是可以守恒的，就看你能不能發(fā)現(xiàn)那個更大的系統(tǒng)。But33.6動力方程：基于哈密頓的力學體系3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系引入哈密頓量通過時間的對稱性討論了能量守恒問題從拉格朗日力學來到哈密頓力學相空間（1）相空間：提高表示維度降低粒子數(shù)目3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系歐拉拉格朗日方程

粒子們都是自由的，每個粒子有3個獨立維度，n個粒子就是3n個獨立的維度，每一個獨立的維度都可以寫出一個歐拉拉格朗日方程來，所以是3n個。為什么是3n個呢？初始條件:

（1）相空間：提高表示維度降低粒子數(shù)目3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系

（1）相空間：提高表示維度降低粒子數(shù)目3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系以一維彈簧諧振子來為例：在6n維空間中只需要追蹤1個粒子的運動，也就是一條軌跡而已追蹤n個粒子的運動，n條軌跡繞來繞去極其復雜在3維空間彈簧勁度系數(shù)定義廣義的坐標三維空間是直觀的，完全符合我們的直覺，在相空間，空間維度從3個暴漲到了6n個，我們這是不是自找麻煩呢？（1）相空間：提高表示維度降低粒子數(shù)目3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系

坐標和動量的是完全對稱的（1）相空間：提高表示維度降低粒子數(shù)目3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系當彈簧能量守恒時，系統(tǒng)哈密頓就是一個常數(shù)。相空間中的質點還需要一個動力學方程，這個動力學方程肯定跟系統(tǒng)的哈密頓有關，至少是包含哈密頓、廣義坐標q與共軛動量p這些量的微分方程。在一維空間中，彈簧在做復雜的往復運動；在二維相空間中來看，僅是一個簡單的圓周運動。But（1）相空間：提高表示維度降低粒子數(shù)目3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系全微分（2）正則方程：在相空間建立動力學方程3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系H是p和q的函數(shù)哈密頓正則方程：（2）正則方程：在相空間建立動力學方程3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系當哈密頓不顯式地依賴某些坐標時，這些坐標被稱為循環(huán)坐標，比如不依賴p：循環(huán)坐標的出現(xiàn)可以大大簡化運動方程的求解過程（2）正則方程：在相空間建立動力學方程3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系（3）勒讓德變換：為動力方程選擇自變量相互獨立函數(shù)的二階導數(shù)可以實現(xiàn)降階3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系（3）勒讓德變換：為動力方程選擇自變量直接使用新變量定義得到的函數(shù)變換并不具有唯一性3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系（3）勒讓德變換：為動力方程選擇自變量對主函數(shù)進行適當?shù)恼{整定義函數(shù)的勒讓德變換為正變換逆變換一一對應3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系一元函數(shù)變換二元函數(shù)變換多元函數(shù)變換哈密頓量是拉格朗日函數(shù)的勒讓德變換被替換的坐標

乘以原函數(shù)關于替換坐標的一階導數(shù)減去原函數(shù)（3）勒讓德變換：為動力方程選擇自變量3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系（4）劉維爾定理：系統(tǒng)初態(tài)對運動的影響把三維空間中多粒子系統(tǒng)的運動，看成高維相空間中單個粒子的運動相空間中粒子運動下一時刻系統(tǒng)在相空間中的位置系統(tǒng)在相空間中的運動軌跡也就是廣義坐標和共軛動量隨時間變化的微分方程：

3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系（4）劉維爾定理：系統(tǒng)初態(tài)對運動的影響想一想：在每一個可能的初始狀態(tài)，也就是相空間中的每一個點上，都安排一個粒子，然后讓這群充滿相空間的粒子，按照哈密頓力學給出的運動方程，浩浩蕩蕩地在相空間中集體流動，會得到一個什么結果？由于粒子流是從單個粒子所有可能的初始狀態(tài)出發(fā)的，所以這股粒子流在相空間流過的痕跡，其實就是單個粒子所有可能的運動軌跡的集合。你可能會問：從單個粒子的視角切換到流體視角，會不會大幅增加解決問題的難度呢？相空間的流體沒有真實流體那么復雜3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系1.單個粒子的具體運動軌跡不確定性很大（我們通常也不關心）2.多個粒子構成的整體系統(tǒng)的集體運動更有可能涌現(xiàn)出來確定的規(guī)律。（4）劉維爾定理：系統(tǒng)初態(tài)對運動的影響3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系（4）劉維爾定理：系統(tǒng)初態(tài)對運動的影響如何描述流體運動：類比電場：為空間中每一個點都分配一個矢量E(x,y,z)，然后通過覆蓋整個空間的矢量群來研究電場是如何在空間中變來變去的。

如果，流體的速度只于空間位置有關，而于時間無關，那么速度場就僅是位置的函數(shù)??(??,??,??)，這時流體的流動看起來就是穩(wěn)定的。3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系粒子群運動視為流動，用速度矢量場來描述流體的動態(tài)考察粒子的匯聚和發(fā)散情況帶入哈密頓方程虛擬粒子在相空間的移動速度（4）劉維爾定理：系統(tǒng)初態(tài)對運動的影響3.6動力方程：基于哈密頓的力學體系系統(tǒng)要可逆，順著時間線流入狀