理論力學(xué)課件 第二章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動3

理論力學(xué)ClassicalMechanics第二章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動描述現(xiàn)象：基于定量測量的運(yùn)動學(xué)2.1解釋機(jī)制：基于因果關(guān)系的動力學(xué)2.2增加對象：多質(zhì)點(diǎn)共同運(yùn)動的情況2.3限定結(jié)果：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動受到約束2.422.3增加對象：多質(zhì)點(diǎn)共同運(yùn)動的情況

質(zhì)點(diǎn)組：由許多（有限或無限）相互聯(lián)系著的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。內(nèi)力：質(zhì)點(diǎn)組中質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。外力：質(zhì)點(diǎn)組以外的物體對質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力。動量：動能：動量矩：2.3.1質(zhì)心運(yùn)動：集體運(yùn)動的抽象代表

1、內(nèi)力的性質(zhì)①質(zhì)點(diǎn)組中所有內(nèi)力的矢量和等于零。②質(zhì)點(diǎn)組中所有內(nèi)力對任一參考點(diǎn)的力矩的矢量和等于零。證明：2.3.1質(zhì)心運(yùn)動：集體運(yùn)動的抽象代表2、質(zhì)心（一個設(shè)想的質(zhì)點(diǎn)）

直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量式質(zhì)心速度質(zhì)點(diǎn)組動量2.3.1質(zhì)心運(yùn)動：集體運(yùn)動的抽象代表1、動量定理對i求和，得(i=1,2,3…n)

由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組中，任一質(zhì)點(diǎn)Pi的質(zhì)量為mi，對某慣性參照系坐標(biāo)原點(diǎn)O的位矢為，作用在質(zhì)點(diǎn)Pi上的外力為，內(nèi)力為。其運(yùn)動微分方程為2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈微分形式積分形式2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈{

質(zhì)點(diǎn)組的動量對時間的微商，等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上諸外力之矢量和?；蛸|(zhì)點(diǎn)組動量的微分，等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上諸外力的元沖量的矢量和。直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量式

內(nèi)力可改變質(zhì)點(diǎn)的動量，但不改變質(zhì)點(diǎn)組的動量。2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈2、質(zhì)心運(yùn)動定理

（1）質(zhì)點(diǎn)組受已知的外力作用時，每一質(zhì)點(diǎn)如何運(yùn)動雖然無法知道，但質(zhì)心的運(yùn)動，可以完全確定。（2）質(zhì)心的運(yùn)動只與外力的矢量和有關(guān)，與內(nèi)力無關(guān)。根據(jù)質(zhì)心定義求導(dǎo)，得所以或2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈

3、動量守恒定律即=恒矢量恒矢量

（2）質(zhì)心運(yùn)動完全等價于質(zhì)點(diǎn)組的平動部分。

（1）內(nèi)力雖然可使質(zhì)點(diǎn)組中個別質(zhì)點(diǎn)改變動量，但卻不能改變整個質(zhì)點(diǎn)組動量的總和，也不能改變質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的速度。

如果則有時雖然(常量)但(常量)而2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈

1、對固定點(diǎn)O的動量矩定理

由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組中，任一質(zhì)點(diǎn)Pi的運(yùn)動微分方程為(i=1,2,3…n)用左矢乘方程兩邊，并對i求和，得2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈微分形式積分形式

內(nèi)力可改變質(zhì)點(diǎn)的動量矩，但不改變質(zhì)點(diǎn)組的動量矩。2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈

2、動量矩守恒定律{即恒矢量如果則雖然有時而但(常量)2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈3、對質(zhì)心的動量矩定理

由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組中，任一質(zhì)點(diǎn)Pi在C系的運(yùn)動微分方程為C系：隨著C相對于S系平動用左矢乘方程兩邊，并對i求和，得S系C系PiO2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈即：質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心C的動量矩對時間的微商等于所有外力對質(zhì)心的力矩之和。在C系中有2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈

1、質(zhì)點(diǎn)組的動能定理

由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組中，任一質(zhì)點(diǎn)Pi的動能定理為對i求和，得注意2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈2、機(jī)械能守恒律都是保守力，或只有保守力作功時，V是包含內(nèi)力、外力的總勢能注意：內(nèi)力作功不一定為零。

2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈3、柯尼希定理S系C系PiO或在C系中有2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈

質(zhì)點(diǎn)組的動能等于質(zhì)心的動能與各質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)心動能之和。4、對質(zhì)心的動能定理

任一質(zhì)點(diǎn)Pi在C系的運(yùn)動微分方程為或?qū)憺?.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈

質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心動能的微分，等于質(zhì)點(diǎn)組相對于質(zhì)心系位移時外力及內(nèi)力所作元功之和。用標(biāo)乘方程兩邊，并對i求和，得2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈}動力學(xué)量小結(jié)：總結(jié)：質(zhì)點(diǎn)組的動量、動量矩、動能分別等于質(zhì)心的動量、動量矩、動能與各質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)心的動量、動量矩、動能之和。2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈{

內(nèi)力雖然可以改變各個質(zhì)點(diǎn)的動量和動量矩，但不能改變整個質(zhì)點(diǎn)組的動量和動量矩，而內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)組的動能。三大定理2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈{三大守恒定律2.3.2守恒定律：質(zhì)點(diǎn)之間的零和博弈2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動太陽S的運(yùn)動微分方程為地球P的運(yùn)動微分方程為

兩個質(zhì)點(diǎn)組成的孤立系統(tǒng)。兩體系統(tǒng)是孤立的，即不受第三者的作用。PSCOxzy①兩體的質(zhì)心作慣性運(yùn)動

動量守恒，兩體的質(zhì)心作慣性運(yùn)動。②太陽、行星繞質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動地球P對質(zhì)心C的運(yùn)動微分方程為(1)+(2)式，得：質(zhì)心系中而質(zhì)心：PSCOxzy2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動同理，太陽S對質(zhì)心C的運(yùn)動微分方程為:

由此可知，在質(zhì)心系中，太陽、行星所受的力都與距離的平方成反比，故太陽、行星都繞系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動。故：2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動③地球?qū)μ柕南鄬\(yùn)動方程(3)PSCOxzy2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動(4)是與行星有關(guān)的量而是與行星無關(guān)的量

即如果認(rèn)為太陽不動，行星的慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量都為m，那么，太陽的引力質(zhì)量應(yīng)由原來的M修正（增大）為現(xiàn)在的（M+m），這樣，兩體問題中行星的動力學(xué)方程就與單質(zhì)點(diǎn)的情況完全一樣了。兩體問題等效為單體問題的一種方法：2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動定義：折合質(zhì)量(3)式又可寫作：

即如果認(rèn)為太陽不動，太陽的慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量都為M，行星的引力質(zhì)量仍為m，行星的慣性質(zhì)量應(yīng)由原來的m修正（減小）為現(xiàn)在的μ，這樣，兩體問題中行星的動力學(xué)方程就與單質(zhì)點(diǎn)的情況完全一樣了。兩體問題等效為單體問題的另一種方法：則2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動④例題2.7開普勒第三定理的修正⑤多體問題：用微擾法求解。行星公轉(zhuǎn)的周期對行星P1:對行星P2:2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動散射角（計(jì)算值）質(zhì)心坐標(biāo)系（C系）：散射角（觀測值）實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系（L系）：散射角：被散射的質(zhì)點(diǎn)散射后的速度方向與散射前的速度方向之間的夾角。靜止坐標(biāo)系。隨質(zhì)心C平動的坐標(biāo)系。散射和碰撞問題2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動1、兩質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心（慣性系）的速度

設(shè)質(zhì)量為m1、速度為的質(zhì)點(diǎn)，被質(zhì)量為m2的靜止質(zhì)點(diǎn)散射。散射前，兩質(zhì)點(diǎn)的動量質(zhì)心的速度

根據(jù)動量守恒定律，兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心在散射前后都將沿方向以速度運(yùn)動。質(zhì)心平動系是慣性系2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動兩質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的速度：

在質(zhì)心系中，根據(jù)動量守恒定律，兩質(zhì)點(diǎn)散射前、后必將沿相反方向運(yùn)動。得故2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動由相對運(yùn)動的關(guān)系知

則

解得{質(zhì)心的速度（2）（1）2、和的關(guān)系

2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動

12COyx質(zhì)心系中而

所以求導(dǎo)數(shù)得得

2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動將式（2）、（3）代入式（1），可得到（4）

兩體系統(tǒng)是保守的，系統(tǒng)的動量守恒、機(jī)械能守恒，散射前后兩質(zhì)點(diǎn)遠(yuǎn)離無引力場時相對速度的量值相等。（3）2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動

討論：

2、還可求得：m1粒子將把所有能量轉(zhuǎn)移給m2粒子。

1、當(dāng)時，時（重靶），盧瑟福散射（粒子）。時，中子-質(zhì)子散射。

2.3.3兩體問題：雙質(zhì)點(diǎn)的有心力運(yùn)動一、運(yùn)動方程

忽略二階小量，除以Dt，并使Dt

0，得變質(zhì)量物體動力學(xué)方程：由動量定理，得t時刻

主體：質(zhì)量m，速度微元：質(zhì)量△m，速度t+△t時刻

△m與m合并，速度為△t時間內(nèi)作用在m與△m的合外力為2.3.4動態(tài)增減：質(zhì)量變化體系的運(yùn)動討論:(3)坐標(biāo)分量式成立其中:(1)如，

是與m合并以前或從m分出后一剎那的速度則(4)并入時，分出時2.3.4動態(tài)增減：質(zhì)量變化體系的運(yùn)動

人和重物組成的質(zhì)點(diǎn)組，水平方向不受外力作用，水平方向動量守恒。

拋物前，人和物體的水平速度；設(shè)拋物后，人的水平速度為v。解法一靜止坐標(biāo)系中[例題]重為W的人，手里拿著一個重為w的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時，將物體以相對速度u水平向后拋出。問由于物體的拋出，跳的距離增加了多少？2.3.4動態(tài)增減：質(zhì)量變化體系的運(yùn)動則即所以，人拋物后增加的速度故，人拋物后增加的距離為人從最高點(diǎn)到落地所需要的時間(1)(2)(3)(4)2.3.4動態(tài)增減：質(zhì)量變化體系的運(yùn)動解法二質(zhì)心坐標(biāo)系中

人和重物組成的質(zhì)點(diǎn)組，水平方向動量守恒，質(zhì)心在水平方向作速度為的慣性運(yùn)動。