數(shù)列求和公開課教案

《數(shù)列求和復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)開課時(shí)間：2016/12/22開課人：洪來春一、學(xué)情分析：學(xué)生在前一階段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)基本掌握了等差、等比數(shù)列這兩類最基本的數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，同時(shí)也掌握了與等差、等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題的一般解決方法。本節(jié)課作為一節(jié)復(fù)習(xí)課，將會(huì)根據(jù)已知數(shù)列的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鰯?shù)列的前n項(xiàng)和，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力。二、教法設(shè)計(jì)：本節(jié)課設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：講究效率，加強(qiáng)變式訓(xùn)練、合作學(xué)習(xí)。采用以具體題目為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索、討論，注重分析、啟發(fā)、反饋。先引出相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，然后剖析需要解決的問題，在例題中鞏固相應(yīng)方法，再?gòu)挠懻摗⒎答佒猩罨瘜?duì)問題和方法的理解，從而較好地完成知識(shí)的建構(gòu)，更好地鍛煉學(xué)生探索和解決問題的能力。在教學(xué)過程中采取如下方法：(1)誘導(dǎo)思維法：使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性；(2)講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。三、教學(xué)設(shè)計(jì)：1、教材的地位與作用：對(duì)數(shù)列求和的考查是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，屬于高考命題中?？嫉膬?nèi)容；另一個(gè)面，數(shù)學(xué)思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化歸與轉(zhuǎn)化思想是本課時(shí)的重點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想就是把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題的數(shù)學(xué)思想，即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題上，最終解決原問題的一種數(shù)學(xué)思想方法；化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，解題的過程實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化的過程。2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)求數(shù)列的前n項(xiàng)，本節(jié)課重點(diǎn)復(fù)習(xí)分組求和與裂項(xiàng)法求和。教學(xué)難點(diǎn)：解題過程中方法的正確選擇。3、教學(xué)目標(biāo)：(1)知識(shí)與技能：會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式選擇求和的方法，并能運(yùn)用分組求和與裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)。(2)過程與方法：①培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力；②通過階梯性練習(xí)和分層能力培養(yǎng)練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使不同層次的學(xué)生的能力都能得到提高。(3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀：①通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的分析和探究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；②通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和問題的分析和探究，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣；

四、教學(xué)過程:教學(xué)步驟教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)引入（一）鞏固:求下列」數(shù)列的前n項(xiàng)和：學(xué)生練習(xí)，教師提問(1、1+2+3+...+n=充分發(fā)揮學(xué)生\1/學(xué)習(xí)的能動(dòng)性，1「1、「1、(2)—+(—)2+…+(—)n=以學(xué)生為主體，2 2 2展開課堂教學(xué)(3)sin21+sin2。+…+sin289。=教師提問，學(xué)生回答」1c1「1 / 1、(4)1—+2—+3—+ +(n+—)—2 4 8 2n1 1 1 1(5) + + +…+ —1義22義33義4 n義(n+1)(6)1義2+2*22+3*23+…+n?2n— （二）總結(jié)數(shù)列求和的常用方法1、公式法n(a+a) n(n-1),等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn 1--n—na+ d2 1 2na,q—1等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=\a(1-qn) a一aq-1- ― ,q豐1通過學(xué)生對(duì)幾11-q 1-q種常見的求和2、倒序相加法：方法的歸納、總3、分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.結(jié)4、裂項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，,簡(jiǎn)單回憶各方相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和.法的應(yīng)用背景.常見的拆項(xiàng)公式把遺忘的知識(shí)小—1 1,點(diǎn)形成了一個(gè))nn+1nn+1；完整的知識(shí)體1 "_L_1)系(2)(2n-1)(2n+1) -2^2n-12n+□；(3)Vn+布 N尿5、錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.

二、例題選講：例1、(2013?新課標(biāo)I高考文科?T17)已知等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和s滿足s=0,s=5n n 3 5⑴求｛a｝的通項(xiàng)公式 ；n…一， 1 ，，、，一(2)求數(shù)列1」｛ ｝的前n項(xiàng)和aa2n-12n+1, ,s=0s=5, 【解題指南】(I)利用S30，S55求出等差數(shù)列的首項(xiàng)aaatje0=a+(n—1)d..｛a｝,,、上七八，、,及公差，利用n1' '求出In'的通項(xiàng)公式；l1l學(xué)生思考，討論后，教師重點(diǎn)講解對(duì)通項(xiàng)的處理，以及消去的項(xiàng)和留下的項(xiàng)的處理教師小結(jié):1、注意點(diǎn)：使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn).2、常見的拆項(xiàng)公式⑴Jn+J；(2) 1 2n—12n+111―-JL_^2k2n—12n+1J；⑶Vn+[n+k k( [n+k —訴. =1nn+kk學(xué)生練習(xí)、討論，教師提問、引導(dǎo)綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，求出通項(xiàng)，能由通項(xiàng)特點(diǎn)選擇方法(II)將(I)中的通項(xiàng)公式，代入到Ia2n-1a2n+1^中，利用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和.【解析】(I)設(shè)數(shù)列｛\｝的公差為d,則n(n-1)S=na+ dn 1 2.ar/、. ,一/」3a+3d=0 .R/曰「a=1解(1)由已知可得'1 一解得〈1[5a1+10d=-5 1d=-1故a-2-nn( 2 ) 由 ( 1 ) 知1 1 1/11、 - ——( - )主要是復(fù)習(xí)裂項(xiàng)法的基本操作aa (3-2n)(1-2n)22n-3 2n-12n-12n+1 ,設(shè)數(shù)歹列1—1—1的前n項(xiàng)和TIaa1 n22n-12n+1)1 11 111 1 1、nT——(———+———+,,,+ - )- n2-1113 2n-3 2n-1 1-2n例2、(2016?北京卷)^a｝ r〃[一… …已知n是等差數(shù)列，｛b｝是等比數(shù)列，且nb=3,b=9,a=b,a—b2 3 1 1 14 4

⑴求數(shù)列｛a｝,｛b｝的通項(xiàng)公式nn(⑴求數(shù)列｛a｝,｛b｝的通項(xiàng)公式nn(2)設(shè)c=a+b,求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和nnn nb 一一一解：由｛b｝是等比數(shù)列知q=一■=3,b=1,所以b=3n-1n b 1 n2｛a｝是等差數(shù)列，a=b=1,a=b=33=27,n 1 1 14 4多媒體顯示題目學(xué)生先獨(dú)立思考，后討論，最后教師由學(xué)生的回答概括出各種解法。,a-a

d=-^4114-127-1 =2,a=1+(n-1)x2=2n-113n(2)c=a+b=(1+3+5+ + 2n-1)+(1+3+9+ + 3n-1)nnnn[1+(2n-1)] 1-3n3n-1= + =n2+ 2 1-3 2(機(jī)動(dòng)題)例3、(2012?浙江高考文科改編?119)已知數(shù)列n+n2 ,｛a｝的前n項(xiàng)和為s，且s= ,n￡N*,數(shù)列ij｛b ｝n nn2 n教師小結(jié):分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后再相加減.通過例題題，讓學(xué)生能分析和式的特點(diǎn)，靈活選擇合適的方法一分組求和。鞏固所學(xué)方法滿足b=2n-1,n￡N*.n(1)求an(2)求數(shù)列｛a?b｝的前n項(xiàng)和T.nn naS」 .【解題提示】(1)利用n'Sn的關(guān)系求解，(2)數(shù)列｛an-bn｝的通項(xiàng)符合等差與等比數(shù)列乘積的形式，故可用錯(cuò)位相減法求出.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，°1=$1=1；n2+n(n-1)2+(n-1)n>2時(shí)，a=S—S= - =n當(dāng) nn n-1 2 2故數(shù)列"I的通項(xiàng)公式為"n'n(2)T=1x1+2x2+3x22+4x23+ + (n-1)-2n-2+n-2n-1(1)n2T=0+1x2+2x22+3x23+ + (n-1)-2n-1+n-2n(2)n⑴-⑵得-T=1+2+22+23+ + 2n-1-n?2nn

T1—2n c—T= -n-2nn1—2T=1—2n+n?2n=1+(n—1)?2nn通過教師點(diǎn)撥，學(xué)生自主完成。讓學(xué)生從具體實(shí)例中發(fā)現(xiàn)結(jié)論。符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律,并在結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。三、小結(jié)1、分組求和：若a=b+c+d苴中,{c},{d）均為可求和數(shù)列則若nnnn,苴中nnn上均，為可J求￡和數(shù)7列，則U可分別求和后再合并；2、裂項(xiàng)法求和的幾個(gè)注意點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)與系數(shù)3、求和思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)列求和把數(shù)列通過分組、變換通項(xiàng)、變換次序、乘以常數(shù)等方法，把數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為能使用公式求解或者能通過基本運(yùn)算求解的形式，達(dá)到求和的目的.教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié),一方面了