專題9.2 二項式定理（解析版）

專題9.2二項式定理目錄題型一：求(a＋b)n形式的“特定項” 3題型二：求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定項 5題型三：三項式的展開式 7題型四：“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”的最值問題 8題型五：“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”的和 10知識點總結知識點總結二項式定理二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項展開式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二項展開式通項Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項展開式的通項，是展開式中的第k＋1項，可記做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0,1,2，…，n)二項式系數(shù)各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)二項式系數(shù)的性質(1)對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.事實上，這一性質可直接由eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＝C\o\al(n－m,n))得到.直線r＝eq\f(n,2)將函數(shù)f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對稱軸.(2)增減性與最大值：當k<eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而增大；當k>eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而減少.如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開式中間一項，即Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n,2)＋1))的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)))與Teq\s\do8(eq\a\vs4\al(\f(n＋1,2)＋1))的二項式系數(shù)相等且最大.(3)各二項式系數(shù)的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.楊輝三角的性質(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1,2,3,4，…，第三層(含1,3)是三角形數(shù)列1,3,6,10,15，….(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜左(右)下方的那個數(shù)．例題精講例題精講求(a＋b)n形式的“特定項”【要點講解】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：①求展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第k＋1項，再由特定項的特點求出k值即可；②已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)，可由某項得出參數(shù)值，再由通項寫出第k＋1項，由特定項得出k值，最后求出其系數(shù).注意“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆．在的展開式中，的系數(shù)為24．【解答】解：二項式的展開式的通項公式為，，1，2，3，4，令，解得，所以的系數(shù)為．故答案為：24．若的展開式中共有個有理項，則的值是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：的展開式通項公式為：，，1，2，3，4，5，6，7，8，當，4，8時，，，為有理項，故．故選：．“”是“的二項展開式中存在常數(shù)項”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解答】解：由題意，展開式的通項為：，當時，，展開式的第五項為常數(shù)項，充分性成立；當時，展開式中存在常數(shù)項，如，，故必要性不成立，所以“”是“的二項展開式中存在常數(shù)項”的充分不必要條件．故選：．已知的展開式中各項系數(shù)之和為0，則展開式中的系數(shù)為A．28 B． C．45 D．【解答】解：令，則展開式中各項系數(shù)之和為，解得，所以的展開式的通項公式為，令，則，所以展開式中的系數(shù)為．故選：．二項式的展開式中含項的系數(shù)是A．6 B． C． D．12【解答】解：因為二項式的展開式通項為，令，則，所以二項式的展開式中含項的系數(shù)為．故選：．在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中項的系數(shù)A．15 B．54 C．12 D．【解答】解：由于二項式系數(shù)的和是16，故，解得，故，當時，展開式中項的系數(shù)為．故選：．的展開式中項的系數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)的展開式的通項公式為，令，可得，故展開式中項的系數(shù)是．故選：．求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定項已知展開式中的系數(shù)為48，則實數(shù)A．1 B． C．2 D．【解答】解：展開式的通項公式為，，1，，令，則，令，則，展開式中的系數(shù)為，解得．故選：．展開式中含的系數(shù)是A．28 B． C．84 D．【解答】解：展開式的通項為，，1，2，，9，當選取時，由已知可得，應選取展開式中含的項，由，可得；當選取時，由已知可得，應選取展開式中含的項，由，可得；當選取1時，由已知可得，應選取展開式中含的項，由，可得，所以展開式中含的系數(shù)是．故選：．展開式中的系數(shù)為A．56 B． C．64 D．【解答】解：的二項展開式滿足，當時，系數(shù)為，當時，系數(shù)為，故展開式中的系數(shù)為．故選：．二項式展開式中的系數(shù)為A．120 B．135 C． D．【解答】解：二項式，故它的展開式中的系數(shù)．故選：．已知的所有項的系數(shù)和為3，則的系數(shù)為A．80 B．40 C． D．【解答】解：由題意令中即可得到，解得，此時變?yōu)榱?，若要得到這一項分以下兩種情形：情形一：第一步若取中的，則第二步只能取1個中的，取3個中的，所以由分步乘法計數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形一所對應的的系數(shù)為；情形二：第一步若取中的，則第二步能取2個中的，取2個中的，所以由分步乘法計數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形二所對應的的系數(shù)為．因此由分類加法計數(shù)原理可知的展開式中的系數(shù)為．故選：．三項式的展開式【要點講解】某些三項或三項以上的展開問題，根據(jù)式子的特點，可通過變形轉化為二項式，再用二項式定理求解.轉化的方法通常為配方、因式分解.在的展開式中，的系數(shù)為A．60 B．15 C．120 D．30【解答】解：在的展開式中，含的項為，故含的系數(shù)為，故選：．的展開式中，的系數(shù)為A． B．60 C． D．120【解答】解：因為，所以的展開式通項為，令，得，則的系數(shù)為．故選：．的展開式為多項式，其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)一共有A．72項 B．75項 C．78項 D．81項【解答】解：由題設，多項式展開式各項形式為，且，，，且都為整數(shù)），故問題等價于將2個隔板和11個小球分成三組，即．故選：．在的展開式中，的系數(shù)是A．24 B．32 C．36 D．40【解答】解：根據(jù)題意，的項為：．故的系數(shù)是40．故選：．“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”的最值問題【要點講解】求二項式系數(shù)最大項，如果n是偶數(shù)，則中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項（第eq\f(n＋1,2)項與第eq\f(n＋1,2)＋1項）的二項式系數(shù)相等并最大.已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解答】解：展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則，展開式的通項為，則該展開式中各項系數(shù)，若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，解得，系數(shù)的最小值為．故選：．的展開式中各項系數(shù)的最大值為A．112 B．448 C．896 D．1792【解答】解：該二項式的通項公式為，由，可得．因為，所以展開式中各項系數(shù)的最大值為．故選：．設為正整數(shù)，的展開式中存在常數(shù)項，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由題知，（2），因為存在常數(shù)項，所以，所以，為正整數(shù)，故時，最小，為3，故選：．已知的展開式中第3項與第6項的二項式系數(shù)相等，求的展開式中：（1）所有二項式系數(shù)之和．（2）系數(shù)絕對值最大的項．【解答】解：的展開式中第3項與第6項的二項式系數(shù)相等，則，解得，（1）的展開式中所有二項式系數(shù)之和為；（2）的展開式中系數(shù)的絕對值最大的項，即的展開式中系數(shù)的最大的項，的展開式的通項公式為，，即，解得，，，系數(shù)絕對值最大的項為．已知．（1）若其展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)相等，求；（2）若展開式中存在常數(shù)項，求的最小值．【解答】解：（1）由題意，；（2）展開式通項為，令，可得，時，有最小正整數(shù)值5．“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”的和【要點講解】(1)①“賦值法”普遍運用于恒等式，是一種處理二項式相關問題比較常用的方法.對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).(2)對于展開式中含有(m＋x)因式的展開問題的一般策略是①“換元法”，即令(m＋x)＝t，則x＝t－m，再將x＝t－m代入，即可轉化為關于t的二項式，進而求解；②“整體代入”法，實質是和“換元法”一致的，即將(m＋x)看成一個“因子”，左右兩端都轉化為有(m＋x)的因式即可求解．已知．（1）求的值；（2）求的展開式中含項的系數(shù)．【解答】解：（1）令得，①令得，②，①②得，即；（2）由題知展開式通項為，則，，所以的展開式中含項的系數(shù)．已知，其中．（1）求實數(shù)的值；（2）求的值．【解答】解：（1）根據(jù)二項展開式，當時，，解得；（2）當時，，當時，；故．已知在的展開式中，前3項的系數(shù)分別為，，，且滿足．（Ⅰ）求展開式中各項的二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項；（Ⅲ）求展開式中所有有理項．【解答】解：的展開式通項公式為：，，1，2，，則，，，，解得，（Ⅰ）展開式中各項的二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）記第項系數(shù)為，記第項系數(shù)最大，則有，且，又，于是，解得，所以系數(shù)最大項為第3項和第4項；（Ⅲ）通項，令，1，2，，所以只有當，6時，對應的項才為有理項，有理項為，．從①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是；②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36；這兩個條件中任選一個，補充在下面橫線上，再解決補充完整的題目．已知，且的二項展開式中，____．（1）求的值；（2）①求二項展開式的中間項；②求的值．【解答】解：（1）若選擇①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是，則有，化簡可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36，則有，化簡可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項展開式的中間項為．②易知，、、、、為正數(shù)，、、、為負數(shù)．在中，令，可得．再令，可得，．在二項式的展開式中，_______，給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256；③若展開式中第7項為常數(shù)項．試在上面三個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：（1）求展開式中系數(shù)最大的項；（2）求展開式中的常數(shù)項．（備注：如果多個條件分別解答，按第一個條件計分）【解答】解：選擇①：，即，即，解得或（舍去）．選擇②：，即，解得．選擇